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数学练习卷
考生注意：
1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或
写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分．
2．答题前，务必在答题纸上填写姓名、学校和考号．
3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位．
一、选择题（本大题共6题）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择
正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1. 已知 ， 则锐角A的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】因为 tanA= ,A为锐角,由特殊角 的三角函数值即可解答.
【详解】因为 tanA= ,A为锐角
由特殊角的三角函数值知:
A=60°，
故选C.
【点睛】掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键.
2. 已知 中， ， ， ，那么下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理求得斜边长，进而根据三角函数的定义即可求解．
【详解】解：如图
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学科网（北京）股份有限公司∵ 中， ， ， ，
∴ ,
∴ ， ， ， ，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，掌握三角函数的定义是解题的关键．
3. 关于抛物线 ，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向上 B. 与 轴的交点是
C. 顶点是 D. 对称轴是直线
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数解析式中系数与图形的关系即可求解．
【详解】解： 选项，抛物线 中， ，图像开口向下，故 选项错误，不符
合题意；
选项，令 ，函数值 ，则抛物线与 轴的交点是 ，故 选项错误，
不符合题意；
选项，根据顶点式得，抛物线 的顶点为 ，故 选项错误，不符合题意；
选项，抛物线 的对称轴是直线 ，故 选项正确，符合题意；
故选： ．
【点睛】本题主要考查二次函数系数与图像的关系，理解并掌握二次函数中系数与图像开口，对称轴，与
轴交点的特点，顶点坐标的计算方法是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司4. 已知 、 为非零向量，下列判断错误的是（ ）
A. 如果 ，那么 B. 如果 ，那么
C. 如果 ，那么 或 D. 如果 为单位向量，且 ，那么
【答案】C
【解析】
【分析】根据单位向量、平行向量以及模的定义进行判断即可．
【详解】解：A、如果 ，那么 ，故本选正确；
B、如果 ，那么 ，故本选正确；
C、如果 ，没法判断 与 之间的关系，故本选项错误
D、如果 为单位向量，且 ，那么 ，故本选正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了平面向量，熟记单位向量、平行向量以及模的定义是解题的关键．
5. 如图，为测量一条河的宽度，分别在河岸一边相距 米的 、 两点处，观测对岸的标志物 ，测得
、 ，那么这条河的宽度是（ ）
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】过点 P 作 于点 C，则这条河的宽度是 的长，根据锐角三角函数可得
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学科网（北京）股份有限公司，从而得到 ，即可求解．
【详解】解：如图，过点P作 于点C，则这条河的宽度是 的长，
∵ ，
∴ ，
∵ 米，
∴ ，
即 ，
∴ ，
即 米，
即这条河的宽度是 米，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
6. 如图，直角梯形 中， ， ， ， ， ． 是 延长
线上一点，使得 与 相似，这样的点 的个数是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【 分 析 】 由 于 ， 故 要 使 与 相 似 ， 分 两 种 情 况 讨 论 ： ①
，② ，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出 的
长，即可得到 点的个数．
【详解】∵ ， ，
，
．
设 的长为 ，则 ．
若 边上存在 点，使 与 相似，那么分两种情况：
①若 ，则 ，
即 ，
解得：
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学科网（北京）股份有限公司②若 ，则 ，
即 ，
整理得： ，
， （舍去）
满足条件的点 的个数是2个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，难度适中，进行分类讨论是解题的关键．
二、填空题（本大题共12题）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7. 已知 ＝ ，则 ＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的基本性质，由 可得 ，然后代入式子进行计算即可得解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
则 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的基本性质并能灵活运用性质进行分式的化简求值是解题
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学科网（北京）股份有限公司的关键．
8. 已知线段 ， 是 的黄金分割点，且 ，那么 的长是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据黄金分割点的定义， 是较长线段得到 ，代入数据即可得出 的长．
【详解】解：∵ 是 的黄金分割点，且 ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了黄金分割的定义，理解黄金分割点的概念．牢记黄金分割比是解题关键．
9. 如图，已知直线 ，如果 ， ，那么线段 的长是________．
【答案】
【解析】
【分析】由平行线所截线段对应成比例可知 ，然后代入 的值求解即可．
【详解】解：
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学科网（北京）股份有限公司．
故答案为：
【点睛】本题主要考查平行线所截线段对应成比例，熟练掌握比例线段的计算是解决本题的关键．
10. 如图， 中， ， ， 是边 的中点，延长 到点 ，使 ，那
么 的长是________．
【答案】2
【解析】
【分析】先判断出 ，再利用相似三角形的性质即可得到 ．
【详解】：∵ ，
∴ ，
∵ 是边 的中点， ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵
∴
∴ ．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
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学科网（北京）股份有限公司11. 如图， 中， ， 于点 ，如果 ， ，那么 的
值是________
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据题意得出 ，继而根据余弦的定义即可求解．
【
详解】解：∵ 中， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求余弦，掌握余弦的定义是解题的关键．
12. 如图，河堤横断面迎水坡 的坡比 ，堤高 米，那么坡面 的长度是________
米．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】首先根据坡比求出 的长度，然后根据勾股定理求出 的长度．
【详解】解：∵迎水坡 的坡比 ，
∴
∵堤高 米，
∴ 米，
∴ 米，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了解直角三角形的实际应用，熟记坡比的定义是解题的关键．
13. 把抛物线 向左平移2个单位，所得新抛物线的表达式是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线的顶点坐标 ，再左平移2个单位即 ，再利用顶点式抛物线解析式写出即
可．
【详解】 的顶点坐标 ，抛物线 左平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为 ，
新的顶点式抛物线为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并根据
规律利用点的变化确定函数解析式．
14. 如果一条抛物线经过点 和 ，那么该抛物线的对称轴是直线________．
【答案】
【解析】
【分析】根据 的坐标，利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴，即可得出．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵抛物线经过点 和 ，
∴抛物线的对称轴是直线 ，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，根据抛物线的对称轴，求出抛物线的对称轴是解题的关键．
15. 已知一个二次函数的图像经过点 ，且在 轴左侧部分是上升的，那么该二次函数的解析式可以
是________（只要写出一个符合要求的解析式）．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】由于二次函数的图象经过点 ，且在 轴左侧部分是上升的，由此可以确定抛物线的对称轴
为y轴或在y轴的右侧，且图象开口向下，由此可以确定函数解析式不唯一．
【详解】解：∵二次函数的图像经过点 ，且在 轴左侧部分是上升的，
若二次函数的顶点坐标为 ，且图象开口向下，
∴二次函数解析式的二次项系数 ，
∴二次函数解析式不唯一，如：
故答案为： （答案不唯一）
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是会利用函数的性质确定解析式的各项系数．
16. 公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的离地高度 （米）关于水珠与喷
头的水平距离 （米）的函数解析式是 ．那么水珠的最大离地高度是________
米．
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据二次函数的顶点式即可求解．
【详解】∵ ，
∴ 时，y取最大值 ，
即水珠的高度达到最大 米时，水珠与喷头的水平距离是2米，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握把二次函数的解析式化为顶点式．
17. 已知 ， 是边 上一点， 、 的重心分别为 、 ，那么 的值为
________．
【答案】
【解析】
【分析】由重心可知线段 ，得到 ，从而得出面积比，再利用中线的性
质得到最后的面积之比．
【详解】解： 是 ， 的重心，
，
，
，
，
分别是 的中点，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查重心的性质以及线段比与面积的关系，熟练掌握重心的性质以及利用线段比求面积
比是解决本题的关键．
18. 如图，已知 中， ， ，将 绕点 旋转至 ，如果直线
，垂足记为点 ，那么 的值为________．
【答案】 或
【解析】
【分析】设 ，则 ， ，分两种情况讨论，画出图形，利用相似三角形的判定和
性质，列式计算即可求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵ 中， ， ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∵将 绕点 旋转至 ，
∴ ，则 ， ， ， ，
如图， ， ， ，
∴ ，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正弦函数，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运
用所学知识解决问题．
三、解答题（本大题共7题）
19. 如图，已知 中，点 、 分别在边 、 上， ， ．
（1）如果 ，求 的长；
（2）设 ， ，用 、 表示 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明 得到 ，再根据已知条件推出 ，得到
，由此即可得到答案；
（2）先求出 ，再由 进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，向量的线性运算，证明 推出
是解题的关键．
20. 已知二次函数 ．
（1）用配方法求这个二次函数的顶点坐标；
（2）在所给的平面直角坐标系 中（如图），画出这个二次函数的图像；
（3）请描述这个二次函数图像的变化趋势．
【答案】（1）顶点坐标
（2）见解析 （3）这个二次函数图像在对称轴直线 左侧部分是下降的，右侧部分是上升的
【解析】
【分析】（1）将函数解析式化为顶点式，即可得出答案；
（2）先求出几个特殊的点，然后描点连线即可；
（3）根据（2）函数图像，即可得出结果．
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
解：（1）
∴二次函数的顶点坐标 ；
【小问2详解】
解：当 时， ，
当 时， ，
经过点 ， ，
顶点坐标为：
图像如图所示：
【小问3详解】
解：这个二次函数图像在对称轴直线 左侧部分是下降的，右侧部分是上升的．
【点睛】本题主要考查二次函数 的基本性质及作图方法，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
21. 如图，已知 中， ， ， 是 的中点， 于点 ， 、
的延长线交于点 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求 的正切值；
（2）求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）过点 作 于点 ，由 得到 是等腰三角形，由三线合一得
到 ，由勾股定理求得 ，根据正切的定义即可得到答案；
（2）由 ， 得到 ，则 ，由 是 的中点，得到 是
的中位线，求得 ，进一步得到 ，求得 ，得到 ，即可得到
答案．
【小问1详解】
解：过点 作 于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ 是等腰三角形，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 中， ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ 是 的中位线， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、三角函数
的定义、勾股定理等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键．
22. 小明想利用测角仪测量操场上旗杆 的高度．如图，他先在点 处放置一个高为 米的测角仪（图
中 ），测得旗杆顶部 的仰角为 ，再沿 的方向后退 米到点 处，用同一个测角仪（图中
），又测得旗杆顶部 的仰角为 ．试求旗杆 的高度．（参考数据： ，
， ）
【答案】旗杆的高度 约为 米
【解析】
【分析】如图所示，延长 ，交 于点 ，则 ，设 ，则 ，
，在 中，根据三角函数值的计算方法即可求解．
【详解】解：如图所示，延长 ，交 于点 ，则 ，
由题意得， ， ， ， ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，解得 ，即 （米），
∴ （米）．
∴旗杆的高度 约为 米．
【点睛】本题主要考查仰俯角测量高度，理解图示中角与线的关系，掌握仰俯角测量高度的方法，三角函
数值的计算方法是解题的关键．
23. 如图，已知梯形 中， ． 是边 上一点， 与对角线 交于点 ，且
．
求证：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由 可证 ，得到 ，再由 得到
，即可证明 ；
（ 2 ） 由 得 到 ， 得 到 ， 进 而 得 到
，即可得到 ．
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴
∵ ，
∴
∴
∵ ，
∴
∴ ；
【小问2详解】
∵ ，
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∴ ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形判定方法是解题的关键．
24. 在平面直角坐标系 中（如图），已知抛物线 经过点 和点 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求该抛物线的表达式；
（2）平移这条抛物线，所得新抛物线的顶点为 ．
①如果 ，且新抛物线的顶点在 的内部，求 的取值范围；
②如果新抛物线经过原点，且 ，求点 的坐标．
【答案】（1）抛物线的表达式
（2）① 的取值范围是 ；②
【解析】
【分析】（1）根据抛物线 经过点 和点 ，待定系数法求解析式即可求
解；
（2）①新抛物线的顶点为 ， ，由 得出 ，待定系数法求解析式得直线
的解析式： ，根据题意，当 时， ，新抛物线的顶点在 的内部，得出 ，
继而即可求解；
②新抛物线的顶点为 ，设抛物线解析式为 ，由新抛物线经过原点，得出
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学科网（北京）股份有限公司，根据 ，得出 ，即可求解．
【小问1详解】
∵抛物线 经过点 和点 ，
∴ ，∴
∴抛物线的表达式
【小问2详解】
①新抛物线的顶点为 ，
∵ ，
∴
∵ 、 ，
设直线 的解析式为 ，
则
解得：
∴直线 的解析式：
当 时， ，新抛物线的顶点在 的内部，
∴
∴ 的取值范围是
②∵新抛物线的顶点为 ，
∴
∵新抛物线经过原点，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，即
可知点 在第一象限，
作 于点 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，平移问题，角度问题，正切的定义，掌握二次函数图象的性质是
解题的关键．
25. 已知梯形 中， ， ， ， ， 是线段 上一点，连接
．
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学科网（北京）股份有限公司（1）如图1，如果 ，且 ，求 的正切值；
（2）如图2，如果 ，且 ，求 的长；
（3）如果 ，且 是等腰三角形，求 的面积．
【答案】（1）
（2）
（3） 的面积是 、 或
【解析】
【分析】（1）延长 、 ，交于点 ，根据 求出 ，最后根据 求
解即可；
（2）延长 、 ，交于点 ，过点 作 于点 ，根据 求出 ，
再由 可得 ，设 ，则 ，
代入后列方程求解即可；
（3）分 、 、 三种情况分别求解即可．
【小问1详解】
延长 、 ，交于点
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴
∵ ， ，
∴
中，
【小问2详解】
延长 、 ，交于点 ，过点 作 于点 ，则
∵ ， ， ，
∴
∵ ， ，
∴
∴ ，
设 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
解得 （负值舍去），
∴
【小问3详解】
时，过点 作 于点 ，则 是 中点，
∴ 是 的中点，
∵ ，∴ ，
中，
时， ， ，
过点 作 于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
时，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ 的面积是 、 或 ．
【点睛】本题考查梯形、锐角三角函数、平行线分线段成比例，熟记常用的梯形辅助线是解题的关键．
第31页/共32页
学科网（北京）股份有限公司第32页/共32页
学科网（北京）股份有限公司
