文档内容
2022 学年度第二学期初三练习卷
数学学科
（测试时间：100分钟，满分：150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，
在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 下列函数中，二次函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可．
【详解】 中，未知数的次数为1次，故A不是二次函数，不符合题意；
，满足二次函数的定义，故B是二次函数，符合题意；
，未知数的次数为1次，故C不是二次函数，不符合题意；
，分母中有未知数，故D不是二次函数，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的定义．掌握二次函数的定义“一般地，形如 （a、b、c是常
数， ）的函数，叫作二次函数．”是解题关键．
2. 已知点 在平面直角坐标系 中，射线 与x轴正半轴的夹角为α，那么 的值为
（ ）
第1页/共36页
学科网（北京）股份有限公司A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作 轴于H．利用勾股定理求出 ，利用余弦的定义即可解决问题．
【详解】解：如图，作 轴于H．
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直
角三角形解决问题．
3. 已知一个单位向量 ，设 、 是非零向量，下列等式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．
第2页/共36页
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：A、 与 的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．
B、 ，计算正确，故本选项符合题意．
C、 和 的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．
D、 和 的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4. 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为 ，它把物体从地面点 处送到离地面3米高的 处，则物体
从 到 所经过的路程为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 9米
【答案】A
【解析】
【分析】根据坡比定义求出AC的长度，再根据勾股定理求出AB长度即可.
【详解】解：设BC⊥AC,垂足为C，
∵i=BC：AC=1：3
∴3：AC=1:3,
∴AC=9,
在Rt△ACB中，由勾股定理得，
∴AB= 米.
故选：A.
【点睛】本题考查解直角三角形，明确坡比的概念是解答此题的关键.
5. 如图，在 中， ， ，垂足为点D，下列结论中，错误的是（ ）
第3页/共36页
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质和相似三角形的判定可知 ，利用相似三角形
的性质：对应边的比值相等即可得到问题的答案．
【详解】解： ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
同理： ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
故A，B，D正确，C错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两
个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
6. 如图，在 中， 平分 ，点D在边 上，线段 与 交于点E，且 ，
下列结论中，错误的是（ ）
第4页/共36页
学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由 ， ，可直接证明 ，即可判断A；由角平分
线的定义得出 ，再结合三角形外角的性质即可得出 ，从而可证
，即可判断B；由 ， ，可直接证明 ，即
可判断C；没有条件证明 ，即可判断D．
【详解】∵ ， ，
∴ ，故A正确，不符合题意；
∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故B正确，不符合题意；
∵ ， ，
第5页/共36页
学科网（北京）股份有限公司∴ ， 故C正确，不符合题意；
在 和 中只有 ，不能证明 ，故D错误，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查三角形相似的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质．掌握三角形相似的判定定理
是解题关键．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 计算： ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值直接写出即可．
【详解】解：根据特殊角的三角函数值知： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题时牢记特殊角的三角函数值是关键．
8. 计算： ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量的线性运算法则计算即可．
【详解】解： ．
故答案 ：为．
【点睛】本题考查了向量的线性运算．解题的关键在于理解向量的数乘与加减运算．
9. 如果函数 ，那么 ___________．
【答案】3
第6页/共36页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】将 代入 ，求值即可．
【详解】由题意可知 ．
故答案为：3．
【点睛】本题考查求二次函数的值．正确计算是解题关键．
10. 如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比可求得其相似比，再根据对应高线的比等于相似比可得到答
案．
【详解】∵两个相似三角形的周长比为 ，
∴两个相似三角形的相似比为 ，
∴对应高线的比为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比、对应高线比等于相似比是解题的关
键．
11. 已知点P是线段 的黄金分割点 ，如果 ，那么线段 ___________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据黄金分割点的概念列式求解即可．
【详解】解：∵点P是线段 的黄金分割点， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了黄金分割点的概念，解题的关键是熟练掌握黄金分割点的概念．把一条线段分成两部
分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值
叫做黄金比．
第7页/共36页
学科网（北京）股份有限公司12. 已知在 中， ， ， ，那么 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】过A作 于点D，利用正切的定义结合勾股定理求得 ，进而可求出 ，最
后再次根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，过点A作 于点D，
∴ ．
∴可设 ，则 ．
在 中， ，
∴ ，
解得： （舍去负值），
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理．画出图形并正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
13. 已知抛物线 在对称轴左侧的部分是下降的，那么a的取值范围是___________．
第8页/共36页
学科网（北京）股份有限公司【答案】 ##
【解析】
【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，则可得 ．
【详解】解：∵抛物线 在对称轴左侧的部分是下降的，
∴抛物线开口向上，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当
时，抛物线开口向上；当 时，抛物线开口向下．
14. 将抛物线 向下平移m个单位后，它的顶点恰好落在x轴上，那么 ___________．
【答案】2
【解析】
【分析】将抛物线解析式改为顶点式，即可求出平移后的解析式，进而可求出平移后的顶点坐标，最后根
据它的顶点恰好落在x轴上，即顶点的纵坐标为0，可求出答案．
【详解】解：∵ ，
∴该抛物线向下平移m个单位后的解析式为 ，
∴此时顶点坐标为 ．
∵此时它的顶点恰好落在x轴上，
∴ ，
解得： ．
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的图象和性质．掌握二次函数图象的平移规律“上加下
减，左加右减”是解题关键．
15. 广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷
第9页/共36页
学科网（北京）股份有限公司头的水平距离x（米）的函数解析式是 ，那么水珠达到的最大高度为
___________米．
【答案】6
【解析】
【分析】根据二次函数的顶点式即可求解．
【详解】解：∵
= ，
∵
∴抛物线开口向下，有最大值，
又
∴ 时，y取最大值6，
即水珠的高度达到最大6米，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握把二次函数的解析式化为顶点式．
16. 如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动，已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左
右两个最高位置时，细绳相应所成的角为 ，那么小球在最高和最低位置时的高度差为___________厘
米．（参考数据： ， ， ．）
【答案】10
【解析】
第10页/共36页
学科网（北京）股份有限公司【分析】过点A作 于点F，在 中，根据 ，可得 厘米，即
可求解．
【详解】解：如图，过点A作 于点F，
根据题意得： ， ， 厘米，
在 中， ，
∴ ，
解得： 厘米，
∴ 厘米，
即小球在最高和最低位置时的高度差为10厘米．
故答案为：10
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
17. 如图，已知在四边形ABCD中， ， ， ，点E、F分别在线段
AB、AD上．如果 ，那么 的值为___________．
第11页/共36页
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】过点 作 于点 ．设 交 于点 ．证明 ，推出 ，
可得结论．
【详解】解：过点 作 于点 ，设 交 于点 ．
，
，
，
，
，
，
，
又 ，
，
，
第12页/共36页
学科网（北京）股份有限公司， ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造
相似三角形解决问题．
18. 如图，已知在矩形 中， ， ，将矩形 绕点C旋转，使点B恰好落在对角线
上的点 处，点A、D分别落在点 、 处，边 、 分别与边 交于点M、N，那么线段
的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】过点 作 ，利用勾股定理求出 ，根据旋转的性质得到相应结论，求出 证明
， 求 出 ， ， 证 明 ， 求 出 ，
，设 ，最后证明 ，得到 ，求出 ，从而可得
．
【详解】解：如图，过点 作 ，
在矩形 中， ， ，
第13页/共36页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
由旋转可知： ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
第14页/共36页
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是添加
辅助线，充分运用相似三角形的性质求出相应线段的长．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 在平面直角坐标系 中，点 、 在抛物线 上．
（1）如果 ，那么抛物线的对称轴为直线___________；
（2）如果点A、B在直线 上，求抛物线的表达式和顶点坐标．
【答案】（1）
（2） ，
【解析】
【分析】（1）根据抛物线关于其对称轴对称即可解答；
（2）由直线解析式可求出 、 ，进而可利用待定系数法求出抛物线的表达式，再改为顶点
式，即得出其顶点坐标．
【小问1详解】
∵ ，
∴点A和点B的纵坐标相等，
∴抛物线的对称轴为直线 ．
故答案为： ；
【小问2详解】
∵点A、B在直线 上，
∴ ， ，
第15页/共36页
学科网（北京）股份有限公司∴ 、 ．
∵点A和点B在抛物线 上，
∴ ，解得： ，
∴抛物线的表达式为 ．
∵ ，
∴顶点坐标为 ．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，利用待定系数法求出抛物线的表达式，将二次函数一般式改为
顶点式，一次函数的性质．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
20. 如图，已知 中，点D、E分别在边 和 上， ，且DE经过 的重心G．
（1）设 ， ___________（用向量 表示）
的
（2）如果 ， ，求边 长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
第16页/共36页
学科网（北京）股份有限公司【分析】连接 并延长交 于点F，由 ， 可得 ，由重
心的性质可得 ，进而可求出 ；
（2）利用（1）求出 的长，再根据 即可求出AC的长．
【小问1详解】
连接 并延长交 于点F．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
∵G是 的重心，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
．
故答案为： ．
第17页/共36页
学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
∵ ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形重心的性质，以及向量的线性运算，综合运用各知
识点是解答本题的关键．
21. 如图，某条道路上通行车辆限速为60千米/小时，在离道路50米的点P处建一个监测点，道路的
段为监测区．在 中，已知 ， ，车辆通过 段的时间在多少秒以内时，可认
定为超速？（精确到0.1秒）（参考数据： ）
【答案】车辆通过 段的时间在8.2秒以内时，可认定为超速．
【解析】
【分析】过点 P 作 于点 Q，由题意可得 米．再根据正切的定义可求出
第18页/共36页
学科网（北京）股份有限公司米，进而可求出 米．最后由限定速度求出限定时间
即可．
【详解】如图，过点P作 于点Q，
∵点P距离道路50米，
∴ 米．
∵ ，
∴ 米．
∵ ，
∴ 米，
∴ 米．
60千米/小时= 米/秒，
秒．
答：车辆通过 段的时间在8.2秒以内时，可认定为超速．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用．正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
22. 新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在
的网格图形中， 的顶点A、B、C都在格点上．请按要求完成下列问题：
第19页/共36页
学科网（北京）股份有限公司（1） ___________； ___________；
（2）请仅用无刻度的直尺在线段AB上求作一点P，使 ．（不要求写作法，但保留作图
痕迹，写出结论）
【答案】（1）4，
（2）作图见解析
【解析】
【分析】（1）由正方形面积减去三个小三角形面积即可求出 ；过点A作 于点D．根据勾
股定理可求出 ．再根据三角形面积公式可求出 ，最后由正弦的定义求解即可；
（2）如图，取格点 M 和 N，连接 交 于点 P，连接 ，则 ，即可证
，得出 ．再根据 和 同高，即得出 ，进而
得出 ，即说明点P即为所作．
【小问1详解】
；
第20页/共36页
学科网（北京）股份有限公司如图，过点A作 于点D．
由图可知 ．
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ．
故答案为：4， ；
【小问2详解】
如图，点P即为所作．
【点睛】本题考查利用网格求三角形的面积，求角的正弦值，三角形相似的判定和性质等知识．利用数形
结合的思想是解题关键．
23. 已知：如图，在 中，点D、E、F分别在边 上， ，
第21页/共36页
学科网（北京）股份有限公司．
（1）求证： ；
（2）连接 ，如果 ，求证： ．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意得 ，再根据 ，即证明 ，得出
，从而又可证明 ；
（2）连接 ．由题意易得出 ，由 得出 ，即可证明
，得出 ．再根据 ，得出 ，从而推出 ，进
而得出 ，最后由三角形中位线定理即可证明 ．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
第22页/共36页
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
∵ ，
∴ ．
【小问2详解】
如图，连接 ．
∵ ，
∴ ，即 ．
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴由三角形中位线定理得出： ．
第23页/共36页
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查三角形相似 的判定和性质，三角形中位线定理．熟练掌握三角形相似的判定定理及其性
质是解题关键．
24. 已知在平面直角坐标系 中，抛物线 与x轴交于点 和点B，与y轴交于
点 ，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线 上方抛物线上一点，过点P作 轴，垂足为点G， 与直线 交于点H．
如果 ，求点P的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，连接 ，试问点B关于直线 对称的点E是否恰好落在直线 上？
请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）点B关于直线 对称的点E恰好落在直线 上，理由见解析
【解析】
【分析】（1）直接利用待定系数法即可求解；
（2）根据题意可求出直线 的解析式为 ．设点P的坐标为 ，
第24页/共36页
学科网（北京）股份有限公司则 ，进而可求出 ，
．最后由 ，可列出关于t的等式，解出t的值，再
舍去不合题意的值，即可求出P点坐标；
的
（3）连接 ，与直线 交于点F．根据题意可得出D点和B点坐标，进而可求出直线直线 解析
式为 ，直线 的解析式为 ．设点E的坐标为 ，由轴对称的性质可得出
．再根据点F在直线 上，即可求出 ，即得出 ，最后即可确定点
E是否恰好落在直线 上．
【小问1详解】
解：∵抛物线 与x轴交于点 ，与y轴交于点 ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的表达式为 ；
【小问2详解】
如图，
第25页/共36页
学科网（北京）股份有限公司设直线 的解析式为 ，
则 ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ．
∵点P是直线 上方抛物线上一点，
∴设点P的坐标为 ，则 ，
∴ ，
．
∵ ，
∴ ，
解得： ．
∵ ，
∴ ，
第26页/共36页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：点E恰好落在直线 上，理由如下：
如图，连接 ，与直线 交于点F．
根据抛物线解析式可知其对称轴为直线 ，
∴ ， ．
设直线 的解析式为 ，
则 ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ．
设点E的坐标为 ，
∵点B关于直线 对称的点为点E，
∴ ．
第27页/共36页
学科网（北京）股份有限公司∵点F在直线 上，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
设直线 的解析式为 ，
则 ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ．
∵对于 ，当 时， ，
∴点B关于直线 对称的点E恰好落在直线 上．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数
的图象和性质，两点的距离公式等知识，为中考压轴题．正确求出二次函数解析式是解题关键．
25. 已知在正方形 中，对角线 ，点E、F分别在边 上， ．
（1）如图，如果 ，求线段 的长
（2）过点E作 ，垂足为点G，与 交于点H．
①求证： ；
第28页/共36页
学科网（北京）股份有限公司②设 的中点为点O，如果 ，求 的值．
【答案】（1） ；
（2）①见解析，② 或 ．
【解析】
【分析】（1）如图，连接 交 于点M．易证 ，得 垂直平分 ，可得
，由 可得 ，由勾股定理求出 ，依据
，求解即可；
（2）①如图1，过点H作 交 于点N，延长 交 于点M，易证 ，
可得 ，易证 得到 ，由 ，可证 ，
，即 ， ，代入即可；
②过F作 交 于P，过E作 交 于I、交 于Q，连接 ，易证
，得到 ，由（1）可知 垂直平分 ，得 ，如图，当H在 上
时， ，由①可知， ，设 ,则 ， ，可得
，设 ，由 ，解得 ，在
中， ，解得 ，从而可求得 ；如图，当H在 上时，
第29页/共36页
学科网（北京）股份有限公司，由①可知， ，设 ,则 ， ，
，设 ，由 ，解得 ，在
中， ，解得 ，代入可得 ．
【小问1详解】
解：如图，连接 交 于点M．
由题意可知 ，
∴在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
，
，
，
∴ ，
第30页/共36页
学科网（北京）股份有限公司解得： ，
；
【小问2详解】
①如图1，过点H作 交 于点N，延长 交 于点M，
在正方形 中， ，
，
∴在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
第31页/共36页
学科网（北京）股份有限公司∴ ；
②过F作 交 于P，过E作 交 于I、交 于Q，连接 ，
， ，
，
，
，
在正方形 中 ，
易证 是正方形，
，
，
，
，
由（1）可知 垂直平分 ，
，
如图，当H在 上时，
，
由①可知，
第32页/共36页
学科网（北京）股份有限公司，
设 ,则 ， ，
，
，
，
，
，
在 与 中，
，
设 ，
，
∴ ，
解得 ，
在 中，
，
∴ ，
解得 或 （不合题意，舍去），
第33页/共36页
学科网（北京）股份有限公司∴ ；
如图，当H在 上时，
，
，
由①可知，
，
设 ,则 ， ，
在 与 中，
，
设 ，
，
，
，
∴ ，
解得 ，
在 中，
第34页/共36页
学科网（北京）股份有限公司，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （不合题意，舍去），
∴ ，
综上所述： 或 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明和性质的应用，相似三角形的判定和性质的应用、勾股定理和三角
函数解直角三角形；解题的关键是构建相似三角形，运用相似的性质建立等量关系．
第35页/共36页
学科网（北京）股份有限公司第36页/共36页
学科网（北京）股份有限公司
