精品解析：2023年上海市杨浦区中考二模数学试卷（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_九年级_下学期_4：模拟卷多

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2023 年上海市杨浦区中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共 6题，每题 4分，满分 24 分） 1. 下列单项式中，xy2的同类项是（ ） A. x3y2 B. x2y C. 2xy2 D. 2x2y3 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类项：所含字母相同，相同字母的指数相同进行判断即可． 【详解】解：A．x3y2与xy2所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意； B．x2y与xy2所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意； C．2xy2与xy2所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故此选项符合题意； D．2x2y3与﹣3xy2所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了同类项的知识，属于基础题，理解同类项的定义是解题关键 2. 下列正确的是（ ） A. 49 23 B. 49 23 C. 94 32 D. 4.9 0.7 【答案】B 【解析】 【分析】根据 49  13判断A选项；根据 ab  a （b a0，b0）判断B选项；根据 a2  a 判断C选项；根据算术平方根的定义判断D选项． 【详解】解：A、原式 13，故该选项不符合题意； B、原式 4 9 23，故该选项符合题意； C、原式 （92）2 92，故该选项不符合题意； D、0.72 0.49，故该选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握 ab  a （b a0，b0）是解题的关键． 3. 下列检测中，适宜采用普查方式的是（ ） A. 检测一批充电宝的使用寿命 B. 检测一批电灯的使用寿命 第1页/共24页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) C. 检测一批家用汽车的抗撞击能力 D. 检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量 【答案】D 【解析】 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果 比较近似判断即可． 【详解】解：A．检测一批充电宝的使用寿命，适宜采用抽样调查，故本选项不符合题意； B．检测一批电灯的使用寿命，适宜采用抽样调查，故本选项不符合题意； C．检测一批家用汽车的抗撞击能力，适宜采用抽样调查，故本选项不符合题意适； D．检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，适宜普查方式，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，熟练掌握选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对 象的特征灵活选用是解题的关键．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值 不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 4. 下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（ ） x x 2 2 A y  B. y  C. y  D. y  . 2 2 x x 【答案】A 【解析】 【分析】分别对各项的函数解析式进行分析判断即可. x 1 【详解】A： y  为一次函数，x取所有实数，∵ 0，∴函数值y随自变量x的值增大而增大，故选 2 2 项正确； x 1 B：y  为一次函数，x取所有实数，∵- 0，∴函数值y随自变量x的值增大而减小，故选项错 2 2 误； 2 C：y  为反比例函数，x≠0，在x0内，函数值y随自变量x的值增大而减小，并且在x0内，函 x 数值y随自变量x的值增大而减小，故选项错误； 2 D：y  为反比例函数，x≠0，在x0内，函数值y随自变量x的值增大而增大，并且在x0内，函 x 数值y随自变量x的值增大而增大，但在x从x0左侧到x0右侧时不满足条件“函数值y随自变量x 的值增大而增大”，故选项错误； 故选：A. 第2页/共24页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题主要考查了一次函数图像与反比例函数图像的性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 5. 已知两圆相交，它们的圆心距为3，一个圆的半径是2，那么另一个圆的半径长可以是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】两圆相交时，两半径之差<圆心距<两半径之和，故选B. 6. 下列命题中，正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形以及正方形的判定方法，对选项逐个判断即可． 【详解】A．对角线互相平分的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意； C．对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，符合题意； D．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了平行四边形、矩形、菱形以及正方形的判定，掌握它们的判定方法是解题的关键． 二、填空题（本大题共 12题，每题 4分，满分 48 分） 7. ﹣|﹣2|＝____． 【答案】﹣2． 【解析】 【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解 2 ，然后根据相反数的性质得出结果. 【详解】﹣|﹣2|表示﹣2的绝对值的相反数，|﹣2|＝2，所以﹣|﹣2|＝﹣2． 【点睛】相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0； 绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0. 8. 分解因式：a2 4a= _______． 【答案】aa4 第3页/共24页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】 【分析】根据提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式=a2 4a=aa4 ； 故答案为：aa4 ． 【点睛】本题主要考查提公因式进行因式分解，找出多项式中各项的公因式是解题的关键． 9. 方程 x =- x的根是______． 【答案】x0 【解析】 【分析】根据算术平方根的性质进行解答即可． 【详解】解：∵ x =- x，即x的算术平方根等于它的相反数， 又∵0的算术平方根等于它的相反数， ∴x0． 故答案为：x0． 【点睛】本题考查了算术平方根的性质，掌握算术平方根的性质是解题的关键． 10. 掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为素数的概率是______． 1 【答案】 2 【解析】 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发 生的概率． 【详解】掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数可能是1、2、3、4、5、6中的任意一个数， 共有六种可能，其中2、3、5是素数， 3 1 所以概率为 = ， 6 2 1 故答案为 ． 2 【点睛】本题主要考查概率的求法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 11. 如果抛物线y ax2 3的顶点是它的最高点，那么a的取值范围是______ ． 【答案】a<0 【解析】 【分析】根据题意可得抛物线开口向下，即可求解． 第4页/共24页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【详解】解：∵顶点是抛物线y ax2 3的最高点， ∴抛物线开口向下， ∴a<0． 故答案为：a<0． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 12. 如果关于x的二次三项式x2 5xk在实数范围内不能因式分解，那么k的取值范围是________． 25 【答案】k  4 【解析】 【分析】关于x的二次三项式x2 5xk在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程x2 5xk 0 无实数根，根据判别式 0，计算求解即可．  【详解】解：由题意知， 52 4k 254k 0，  25 解得k  ． 4 25 故答案为：k  ． 4 【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式．解题的关键在于理解题意．        13. 在  ABC中，点D是AC的中点，AB，BCn，那么BD _______ ．（用、n表示）． 1  【答案】 n 2 【解析】 【分析】根据  A  B   ，  B  C  n，可得  A  C    n  ，从而得到  A  D   1 A  C   1   n  ，即可求解． 2 2 【详解】解：在 ABC中，  ∵  A  B   ，  B  C  n，      ∴AC ABBCn． ∵点D是AC的中点， 第5页/共24页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  1 1  ∴AD AC n ． 2 2    1   1  ∴BD ADAB n  n ． 2 2 1  故答案为： n ． 2 【点睛】本题主要考查了平面向量，熟练掌握三角形法则是解题的关键． 14. 某校初三（1）班40名同学的体育成绩如表所示，则这40名同学成绩的中位数是__． 成绩 25 26 27 28 29 30 （分） 人数 2 5 6 8 12 7 【答案】28分 【解析】 【分析】根据中位数的定义求解即可． 【详解】将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是28分，28分，它们的平均数是28分， 那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是28分． 故答案为：28分． 【点睛】本题考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据 奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位 数的平均数． 15. 《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1 万，1兆＝1万×1万×1亿，那么2兆＝________．（用科学记数法表示） 【答案】21016 【解析】 【分析】2兆＝2×1万×1万×1亿＝2×1万×1万×1万×1万，根据同底数幂的乘法法则计算，结果表示成a10n 的形式即可． 【详解】解：2兆＝2×1万×1万×1亿＝2×1万×1万×1万×1万2104104104104 21016， 故答案为：21016． 【点睛】本题考查科学记数法、同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则，以及科学记数 法的表示方法． 第6页/共24页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 16. 如图，某地下停车库入口的设计示意图，已知AC CD，坡道AB的坡比i 1:2.4，AC的长为7.2 米，CD的长为0.4米．按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人车辆是否能安全驶入， 根据所给数据，确定该车库入口的限高，即点D到AB的距离DH 的值为________米． 12 【答案】2.4## 5 【解析】 【分析】由题意延长CD交AB于E，并根据坡度和坡角可得CE 3，DE 2.6，过点D作DH  AB于 H，根据锐角三角函数即可求出 DH 的长． 【详解】解：如图： 延长CD交AB于E， i 1:2.4，  1 5 tanCAE   ， 2.4 12 CE 5 ∴  ， AC 12 AC 7.2，  CE 3， CD0.4，  DE 2.6， 过点D作DH  AB于H， EDH CAB， 5  tanCAB ， 12 12 cosEDH cosCAB ， 13 12 DH  DEcosEDA2.6 2.4（米）． 13 答：点D到AB的距离DH 的值为2.4米． 故答案为：2.4． 第7页/共24页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义． 17. 如图，正五边形形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F， 则BF 的长为__．（结果保留） 8 【答案】  15 【解析】 【分析】连接CF，DF，则△CFD是等边三角形，求出∠BCF，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接CF，DF， 则△CFD是等边三角形， ∴∠FCD=60°， ∵在正五边形ABCDE中，∠BCD=108°， ∴∠BCF=48°， 482 8 ∴BF 的长=  ． 180 15 8 故答案为 ． 15 【点睛】本题考查了弧长公式，正五边形性质，等边三角形性质，熟知相关公式、定理是解题关键．． 18. 如图，已知在扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径OA＝8，点P在弧AB上，过点P作PC⊥OA于点C， PD⊥OB于点D，那么线段CD的长为________． 第8页/共24页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】4 3 【解析】 【分析】作辅助线：接PO，取PO的中点E，连接CE，DE，通过COPD共圆求出等腰三角形CDE的钝 角为120°，从而求出CD的长度． 【详解】解：如图，连接PO，取PO的中点E，连接 CE，DE， 在Rt△PCO和Rt△PDO中，点E是斜边PO的中点， 1 CE  DE  PE OE  PO4， 2 根据圆的定义可知，点P，C，O，D四点均在同一个圆，即⊙E上， 又 COD60，  CED120， CDE DCE 30， 过点H作EH CD，垂足为点H， 1 由垂径定理得，CH  DH  CD， 2 1 在Rt DEH 中， EH  DE 2，DH 2 3，  2 CD2DH 4 3． 故答案为：4 3． 【点睛】本题考查辅助线的添加、直角三角形斜边上的中线、对角互补的四边形共圆；掌握这些是本题关 键． 第9页/共24页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 三、解答题（本大题共 7题，满分 78分）  a1 1  3 19. 先化简再求值：   ，其中a  3． a2 4 a2 a2 1 【答案】 ，2 3 a2 【解析】 【分析】先根据分式的乘除法法则进行化简，最后把 a 的值代入计算即可． a1a2 a2 【详解】解：原式＝  a2a2 3 3 a2 ＝  a2a2 3 1 ＝ ， a2 1 当a  3时，原式＝ 2 3． 32 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是通分、约分，以及分子、分母的因式分解．  x2 1 1  x   3 6 20. 解不等式组 ，并求出它的正整数解． 1x   x  2 1 10 【答案】  x ，不等式组的正整数解为1，2，3 3 3 【解析】 【分析】分别求出不等式的解集，从而得到整个不等式组的解集，进而求出正整数解． 10 【详解】解：解不等式①得：x  ， 3 1 解不等式②得：x ， 3 1 所以不等式组的解集为  x3， 3 则不等式组的正整数解为1，2，3． 【点睛】本题考查解不等式组的解集及正整数解．正确求出不等式组的解集是解题的关键． 4 21. 已知一次函数ykxb的图象与反比例函数y  的图象相交于点A(1,m)，B(n,2)． x 第10页/共24页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （1）求一次函数的解析式； （2）过点A作直线AC，交y轴于点D，交第三象限内的反比例函数图象于点C，连接BC，如果 CD2AD，求线段BC的长． 【答案】（1）y 2x6 （2）4 2 【解析】 【分析】（1）先求出点A、B的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式； AE AD ED （2）过点A作AE y轴于E，过点C作CF  y轴于F，得到 AED∽ CFD，从而得到   ，   CF CD FD 由CD2AD得到CF 2AE2，进而得到点C的坐标，利用两点间的距离公式可得线段BC的长． 【小问1详解】 4 ∵反比例函数y  的图象过点A(1,m)，B(n,2) x m2n4， 解得m4，n2 A(1,4)，B(2,2)， ∵一次函数y kxbk 0 的图象过A点和B点， kb4 ∴ ， 2kb2 k 2 解得 ， b6 ∴一次函数的解析式为y 2x6； 第11页/共24页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【小问2详解】 如图，过点A作AE y轴于E，过点C作CF  y轴于F， AE∥CF ，  AED∽ CFD，   AE AD ED    ， CF CD FD CD2AD，  CF 2AE 2， ∴点C 2，2 ， BC  (22)2 (22)2 4 2． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，通过相似求边长，两点间的距离公式．掌握数形结合的思想 是解题的关键． 22. 如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线MN∥AB，小明在A处测得点B处小 树的顶端C的仰角为14，已知小树的高为1.75米． （1）求直径AB的长； （2）如果要使最大水深为2.8米，那么此时水面的宽度MN 约为多少米．（结果精确到0.1米，参考数 第12页/共24页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 据：tan764， 6 2.4） 【答案】（1）7米 （2）6.7米 【解析】 【分析】（1）由题意知ACB90CAB76，根据AB BCtanACB，求AB的值即可； （2）如图，过点O作ODMN 于D，并延长OD交  O于H，连接OM ，则MD DN，DH 2.8米， OM OH 3.5米， ODOH DH 0.7米，在 Rt ODM 中，由勾股定理求 MD的值，根据  MN 2MD，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，CAB14，CBA90， ∴ACB90CAB76， ∴AB BCtanACB1.7547， 答：直径AB的长为7米； 【小问2详解】 解：如图，过点O作ODMN 于D，并延长OD交  O于H，连接OM ， ∴MD DN，DH 2.8米， ∵  O的直径为7米， ∴OM OH 3.5米 ∴ODOH DH 0.7米， 在Rt  ODM 中，由勾股定理得MD OM2 OD2 1.4 6 3.36， ∴MN 2MD23.366.726.7， 答：水面的宽度MN 约为6.7米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，垂径定理，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌 握与灵活运用． 23. 已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，A90，△ABD沿直线BD翻折，点A恰好落在腰CD 上的点E处． 第13页/共24页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （1）如图，当点E是腰CD的中点时，求证：△BCD是等边三角形； （2）延长BE 交线段AD的延长线于点F，连接CF ，如果CE2  DEDC，求证：四边形ABCF 是矩 形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由垂直平分线的性质得到 DB BC，通过折叠、等边对等角、平行线的性质得到 BDE C ADB60，从而证明△BCD是等边三角形； （2）过点D作DH  BC于H，得到四边形ABHD是矩形，从而AD  BH ，AB  DH ，再由折叠得 到 角 之 间 的 关 系 从 而 证 明 BCE≌ DCH ， 得 到 DC  BC， CE CH ； 由 AD∥BC得 到   CE BC FDE∽ BCE，进而  ，结合已知条件CE2  DEDC得到 DF CE CH ，进一步得到   DE DF AF  BC，所以四边形ABCF 是平行四边形，又A90，所以证明得到四边形ABCF 是矩形． 【小问1详解】 由折叠得：ADBBDE，ADEB90 ∵点E是腰CD的中点 ∴BE 是DC 的垂直平分线 DB BC BDE C BDE C ADB AD∥BC  ADCC 180 :BDECADB180 BDE C ADB60 △BCD是等边三角形 【小问2详解】 过点D作DH  BC，垂足为H， 第14页/共24页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) DHBDHC 90， AD∥BC，A90，  ABC 180 A90， ∴四边形ABHD是矩形， AD BH ，AB  DH ， 由折叠得：ADEB90，AB BE， BEC 180 DEB90，DH  BE， BEC DHC 90，BCE DCH ，    BCE≌  DCH(AAS)， DCBC，CE CH ， AD∥BC，  DFE EBC，FDE ECB，  FDE∽ BCE，   CE BC ∴  ， DE DF CE2  DEDC，  CE DC   ， DE CE BC DC   ， DF CE DF CE， CH DF ， ADDF  BH CH ， AF BC， ∴四边形ABCF 是平行四边形， A90，  ∴四边形ABCF 是矩形． 第15页/共24页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等边三角形的判定，矩形的判定．相似三角形的判定与性质，图中 角和线段的转化是解题的关键． 24. 已知抛物线C ：y ax2 b与x轴相交于点A2，0 和点B，与y轴交于点C0，2 ． 1 （1）求抛物线C 的表达式； 1 （2）把抛物线C 沿射线CA方向平移得到抛物线C ，此时点A、C分别平移到点D、E处，且都在直线 1 2 AC上，设点F在抛物线 C 上，如果 DEF 是以EF 为底的等腰直角三角形，求点F的坐标； 1  （3）在第（2）小题的条件下，设点M为线段BC上的一点，EN  EM ，交直线BF 于点N，求 tanENM 的值． 1 【答案】（1）y  x2 2 2 （2）F4,6 （3）2 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）理由待定系数法求出直线AC的解析式为 y  x2，根据 DEF 是以EF 为底的等腰直角三角形，   1  得 出 DEF 45， 求 出 EF  2DE 4， 设 F  m, m2 2 ， 则 Em,m2 ， 得 出  2   1  m2   m2 2  4，求出m的值即可；  2  （3）根据抛物线解析式求出点 B2,0 ，作 EG  AC，交 BF 于 G，证明 ENG∽ EMC ，得出   EM EC EM 4 2  ，求出EC  42 222 4 2 ，得出  2，即可得出答案． EN EG EN 2 2 【小问1详解】 第16页/共24页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 解：∵抛物线C ：y ax2 b经过点A2，0 和C0，2 ， 1 4ab0 ∴ ， b2  1 a 解得： 2 ，  b2 1 ∴抛物线C 的解析式为y  x2 2； 1 2 【小问2详解】 解：如图1， ∵A2，0 、C0，2 ， ∴AC  22 22 2 2， 设直线AC的解析式为y kxc， 2kc0 ∴ ， c2 k 1 解得 ， c2 ∴直线AC的解析式为y  x2， ∵ DEF 是以EF 为底的等腰直角三角形，  ∴DEF 45， 由平移得DE  AC 2 2， ∴EF  2DE 4，  1  设F  m, m2 2 ，则Em,m2 ，  2  第17页/共24页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  1  ∴ m2   m2 2  4，  2  解得m  2（舍）或m4， ∴F4,6 ； 【小问3详解】 解：如图2， 1 1 ∵抛物线C 的解析式为y  x2 2，令y0，则0 x2 2， 1 2 2 解得x2或2， ∴B2,0 ， ∵点A2，0 和C0，2 ， ∴BCA90，AC  BC 2 2 ， ∴BC  AC， ∵DFAC， ∴DF∥BC， ∵DF  DE  BC  AC， ∴四边形DFBC是矩形， 作EG  AC，交BF 于G， ∴EG  BC  AC 2 2， ∵EN  EM ， ∴MEN 90， ∵CEG 90， 第18页/共24页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴CEM NEG， ∴ ENG∽ EMC ，   EM EC ∴  ， EN EG ∵F4,6 ，EF 4， ∴E4,2 ， ∵C0，2 ， ∴EC  42 222 4 2 ， EM 4 2 ∴  2， EN 2 2 EM ∴tanENM  2． EN 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，等腰直角三角形 的性质，三角形相似的判定和性质，求角的正切值，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅 助线，数形结合． 25. 已知AB是  O的直径，弦CD AB，垂足为点H ，点E在直径AB上（与A、B不重合），EH  AH ， 连接CE并延长与  O交于点F ． （1）如图1，当点E与点O重合时，求AOC 的度数； CE 4 DP （2）连接AF 交弦CD于点P，如果  ，求 的值； EF 3 CP （3）当四边形ACOF是梯形时，且AB6，求AE的长． 【答案】（1）60 4 （2） 7 93 5 （3）63 2 或 2 【解析】 第19页/共24页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【分析】（1）如图1，连接AC、AD、OD， 先证四边形ACOD是菱形，再证 OAC是等边三角形，  即可得解； （2）先证 ECH≌ ADH （SAS），得CE  AD，C D，进而证明 APD∽ FPC，CE 4a，     则AD4a，EF 3a，利用相似三角形的性质即可得解； （3）分OC∥AF 与AC∥OF 两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，连接AC、AD、OD， ∵CD AB，垂足为点H ，OC OD， ∴CH  DH ， ∵EH  AH ， ∴四边形ACOD是平行四边形， ∵CD AO， ∴四边形ACOD是菱形， ∴AC OC， ∵OAOC， ∴OAOC  AC， ∴ OAC是等边三角形，  ∴AOC 60； 【小问2详解】 解：如图， 第20页/共24页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵EH  AH ，CH  DH ，AHDEHC 90， ∴ ECH≌ ADH （SAS），   ∴CE  AD，C D， ∴CE∥AD， ∴PADF， ∴ APD∽ FPC，   DP AD ∴  ， CP CF CE 4 ∵  ， EF 3 设CE 4a，则AD4a，EF 3a， ∴CF CEEF 7a， DP AD 4a 4 ∴    ； CP CF 7a 7 【小问3详解】 解：当OC∥AF ，如图，连接AD， 由（2）知， ECH≌ ADH ，   ∴DDCE， 在梯形ACOF中，OC∥AF ， ∴OCF AFC ， ∵OC OF ， ∴OCF OFC ， ∴OCF AFC OFC， ∵DAFC， ∴DCE OFC， ∴CD∥OF ， ∴FOE CHE， 第21页/共24页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵CD AB， ∴CHE 90， ∴FOE 90， 1 在Rt AOF 中，OAOF  AB3，  2 ∴AF  OA2 OF2 3 2， ∵OCF AFC ，CEOFEA， ∴ CEO∽ FEA，   OE OC ∴  ， AE AF OE 3 2 ∴   ， AE 3 2 2 设OE  2 𝑥，则AE 2x， ∴OA 2 x2x3， 3 ∴x3 2， 2 ∴AE 2x63 2 ； 当AC∥OF 时，如下图，连接AD， ∵CD AB，EH  EA， ∴AC CE ， ∴CAE CEA， ∵OC OA， ∴CEAOCA， ∴CEAOAC CEAOCA， ∴ CAE∽ OAC，   AC AE ∴  ， OA AC 第22页/共24页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴AC2 OAAE 3AE， ∵AC∥OF ， ∴CAE FOE，ACE OFE， ∴ ACE∽ OFE，   AC AE AC AE ∴  即  ， OF OE 3 3AE 3AE ∴AC  ， 3AE ∵AC2 3AE ， 2  3AE  ∴   3AE， 3AE 93 5 93 5 解得AE  （舍去）或AE  ， 2 2 93 5 综上AE的长为63 2 或 ． 2 【点睛】本题主要考查了菱形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、平行 线的性质、相似三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质以及圆周角定理，熟练掌握菱形的判定及性 质、全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质是解题的关键． 第23页/共24页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 第24页/共24页 学科网（北京）股份有限公司