文档内容
2022 学年度第二次学生学习能力诊断练习
初三数学
（满分150分，时间100分钟）
注意：
1.本练习卷含三个大题，共25题．答题时，请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，
在草稿纸、本练习卷上答题一律无效．
2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有
一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．]
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“只有符号不同的两个数互为相反数”，即可得出结果．
【详解】解： 的相反数是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查实数的性质．熟练掌握“只有符号不同的两个数互为相反数”，是解题的关键．
2. 方程 的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将等式两边同时平方得到一元一次方程 ，解方程并检验即可解题.
【详解】解：将方程两边平方得 ，
解得：
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学科网（北京）股份有限公司经检验： 是原无理方程的解；
故选C．
【点睛】本题考查了无理方程及一元一次方程的解法，解本题的关键是注意解出方程之后一定要进行检验，
确保式子有意义．
3. 已知正比例函数 的图像经过第二、四象限，那么a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正比例函数的性质，可得 ，即可求解．
【详解】解：∵正比例函数 的图像经过第二、四象限，
∴ ，
解得： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了正比例函数图像的性质，熟练掌握正比例函数图像的性质是解题的关键．
4. 某地统计部门公布最近5年居民消费价格指数年增长率分别为 和 ，业内人
士评论说：“这5年居民消费价格指数年增长率相当平稳．”从统计角度看，“年增长率相当平稳”说明
这组数据比较小的量是（ ）
A. 方差 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数
【答案】A
【解析】
【分析】根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量，方差越大，表明这组数据偏离平均
数越大，即波动越大，反之也成立，故从统计角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据方差比较小．
【详解】解：根据方差的意义可知，数据越稳定，说明方差越小，
故选：A．
【点睛】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平
均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均
数越小，即波动越小，数据越稳定．
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学科网（北京）股份有限公司5. 在下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可．
【详解】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
D．既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别，轴对称图形指的是延某条直线折叠，两边的图形能
够完全重合；将图形旋转 ，能够与原图形重合的图形叫做中心对称图形，掌握定义是解题的关键．
6. 如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 ， ， ．分别以点 、 为圆心
画圆，如果 与直线 相交、与直线 相离，且 与 内切，那么 的半径长 的取值范围
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点 作 ，勾股定理求得 ，进而根据平行线分线段成比例得出
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学科网（北京）股份有限公司，根据题意，画出相应的图形，即可求解．
【详解】解：如图所示，当圆O与 相切时，过点 作 ，
∵矩形 中，对角线 与 相交于点 ， ， ．
∴ ， ， ， ，
∴
∴ ，
则 ；
当圆O与 相切时，过点 作 于点 ，如图所示，
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学科网（北京）股份有限公司则
则
∴ 与直线 相交、与直线 相离，且 与 内切时， ，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置
关系，根据题意画出图形是解题的关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位
置]
7. 计算： =____________．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据积的乘方运算法则进行计算即可．
【详解】 ．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了积的乘方，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
8. 计算： ________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质求解即可．
【详解】解析 解：原式 ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了二次根式的双重非负性，无理数的大小比较，掌握二次根式的性质是解题的关键．
9. 如果关于x的一元二次方程x2－4x+k=0有实数根，那么k的取值范围是_______．
【答案】k≤4
【解析】
【分析】根据判别式的意义得到 ，然后解不等式即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2－4x+k=0有实数根，
∴ =16－4k≥0，
解得：k≤4．
故答案为：k≤4．
【点睛】本题考查了一元二次方程 的根的判别式 ：当 ，方程有
两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数．
10. 已知抛物线 的对称轴为直线 ，点 、 都在该抛物线上，那么
______ ．(填“ ”或“ ”或“ ”)．
【答案】
【解析】
【分析】因为抛物线的对称轴为直线 ，根据二次函数的性质即可判断 ．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：抛物线 的图象的对称轴为直线 ，
∴当 时，y随x的增大而减小，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
11. 如图，已知点 ，连接 ，将线段 绕点O顺时针旋转 得到线段 ，如果点B在反比例
函数 的图像上，那么k的值是______．
【答案】2
【解析】
【分析】分别过A、B向x轴作垂线，根据旋转的性质，证明两三角形全等，求出点B的坐标，即可求k的
值．
【详解】解：分别过A、B向x轴作垂线交x轴于点C和点D，
由题意可知： ，
，
在 和 中，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、求反比例函数中比例系数k的值，解题的
关键是添加辅助线证明三角形全等，求出反比例函数图像上点的坐标．
12. 在一个不透明的袋子中装有5个仅颜色不同的小球，其中红球3个，黑球2个，从袋子中随机摸出1个
球．那么“摸出黑球”的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】用黑球的个数除以球的总数计算即可．
【详解】解： 有5个仅颜色不同的小球，黑球2个，
摸出黑球的概率： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求简单事件的概率，熟记概率的计算公式：事件发生的个数 总个数是解题的关键．
13. 某校抽取部分学生参与“大阅读”学习问卷，并对其得分情况进行了统计，绘制了如图所示的频率分
布直方图，得分在60分到70分(含60分，不含70分)的频率是______．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】根据频数分布直方图可知组距为10，求得得分在60分到70分(含60分，不含70分)的值，进而
即可求解．
【详解】设 的频率/组距为： ，
由题意得 ，
解得： ，
∴频率为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了频数分布直方图，掌握频数、频率的关系是解题的关键．
14. 如果正六边形的边心距为3，那么它的半径是______．
【答案】
【解析】
【分析】连接 ，作 于 ，由正六边形的性质得出 ， ，
得出 ，由勾股定理求出 ，得出 即可．
【详解】解：如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司连接 、 ，作 于 ，
则 ， ， ，
∴ ，
∴设 ，则 ，
由勾股定理可得， ，
解得： ，
∴ ，
即它的半径为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正六边形的性质，运用
勾股定理求出 是解决问题的关键．
15. 如图，在 中，点 在边 上，且 ， 交 于点 ，如果 ， ，
用向量 、 表示向量 ＝______．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得出 ， ，证明 ，根据已知得出
， ,进而根据三角形法则表示出 ，进而即可求解．
【详解】∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，向量的线性运算，熟练掌握以上知识
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学科网（北京）股份有限公司是解题的关键．
16. 如图，在 中，点D、E分别在边 上， ， ，如果 ，
，那么 的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知证明 ，得出 ，进而得出 ，根据 ，根据平行线
分线段成比例，得出 ，即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的性质与判定
是解题的关键．
17. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱
三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是
3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批
椽的数量为x株，则可列分式方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可知：x株需要6210文， 株的运费 一株椽的价钱，从而可以列出相应的方程．
【详解】解：设这批椽的数量为x株，
由题意可得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
18. 如图，在矩形ABCD中， ，点E在边AB上， ，联结DE，将 沿着DE翻折，点
A的对应点为P，联结EP、DP，分别交边BC于点F、G，如果 ，那么CG的长是______．
【答案】 ##
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】延长 交 于点 ，根据已知得出 ，证明 ，求得 ，根据折
叠的性质以及平行线的性质得出 ，在 中， ，
进而得出 ，证明 ，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，延长 交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ， ， ，
则 ，
又∵ ，
∴
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
第15页/共32页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
故答案 ：为．
【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，相似三角形的性质与判定，熟练掌握折叠的性质以及相似三角形的
性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】
【解析】
【分析】对分母 进行分解因式，再利用除法法则变形，约分计算后利用同分母分式的加法法
则计算得到最简结果，将m的值代入计算并进行分母有理化即可求解．
【详解】解：原式
当 时，
原式 ．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则及二次根式的分母有理化是解本题的关键．
20. 解方程组：
【答案】 或
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】先将 分解因式为： ，则 ，与 组合成两个方程组，
解出即可．
【详解】解：由 ，得 ，
∴ ，
∴原方程组可转化为： 或
解得： 或
∴原方程组的解为： 或 ．
【点睛】本题主要考查二元二次方程组的解，解题关键在于掌握运算法则，准确计算．
21. 某商店以20元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价
x（元/千克）之间为一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？
【答案】（1） ；（2）40元或60元．
【解析】
【详解】试题分析：（1）当20≤x≤80时，利用待定系数法即可得到y与x的函数表达式；
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学科网（北京）股份有限公司（2）根据销售利润达到800元，可得方程（x﹣20）（﹣x+80）=800，解方程即可得到销售单价．
试题解析：解：（1）当0＜x＜20时，y=60；
当20≤x≤80时，设y与x的函数表达式为y=kx+b，把（20，60），（80，0）代入，可得： ，
解得： ，∴y=﹣x+80，∴y与x的函数表达式为 ；
（2）若销售利润达到800元，则（x﹣20）（﹣x+80）=800，解得x=40，x=60，∴要使销售利润达到800
1 2
元，销售单价应定为每千克40元或60元．
22. 如图，在 中， ， ， ．小明根据下列步骤作图：
①以点 为圆心， 的长为半径作弧，交 的延长线于点 ；
②以点 为圆心，取定长 为半径作弧分别交 的两边于点 、 ；
③以点 为圆心， 为半径作弧，交 于点 ；
④以点 为圆心， 的长为半径作弧，交前弧于点 ，连接 并延长交 的延长线于点 ．
（1）填空：
由作图步骤①可得 ；
由作图步骤②③④可得______ ______；
又因为 ：
所以 ，理由是______．
（2）连接 ，求 的值．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据基本作图可知 ，以及全等三角形的判定完成填空即可求解；
（2）连接 ，过点 作 于点 ， ， ， ，设 ，
则 ，在 中，求得 ，进而得出 ， ，根据（1）
证明四边形 是平行四边形，得出 ，进而根据正切的定义即可求解．
【小问1详解】
由作图步骤①可得 ；
由作图步骤②③④可得 ；
又因为 ：
所以 ，理由是 ．
故答案为： ， ．
【小问2详解】
解：如图所示，连接 ，过点 作 于点 ，
∵ ， ， ，设 ，则 ，
在 中， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
解得： ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
在 中， ．
【点睛】本题考查了作角平分线，全等三角形的判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，求角的正切，
熟练掌握以上知识是解题的关键．
23. 如图，在梯形 中， ， ，点E为 延长线上一点， ，点
F在 上，联结 ．
（1）求证： ；
（2）如果 ，求证：四边形 为梯形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意得四边形 是等腰梯形，由等腰梯形的性质和已知条件可证明
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学科网（北京）股份有限公司，根据相似比及等量替换即可求解；
（2）由（1）中相似三角形可得对应边的相似比，根据给定条件和等腰梯形的性质，可证明
，可得对应角相等，根据平行的性质和相似的性质，对相关角度进行等量替换，即可证
明 ，即可证明结论成立．
【小问1详解】
证明： ，
四边形 是等腰梯形
又
，即
又
【小问2详解】
，即
，即 ，
又
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学科网（北京）股份有限公司四边形 为梯形．
【点睛】本题主要考查等腰梯形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据等腰梯形的
性质证明三角形相似，得出对应边成比例，由对应边成比例及夹角相等亦可得出三角形相似．
24. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线 的顶点为A，与y轴相交于点B，
异于顶点A的点 在该抛物线上．
（1）如图，点B的坐标为
①求点A的坐标和n的值；
②将抛物线向上平移后的新抛物线与x轴的一个交点为D，顶点A移至点 ，如果四边形 为平行
四边形，求平移后新抛物线的表达式；
（2）直线 与y轴相交于点E，如果 且点B在线段 上，求m的值．
【答案】（1）① ， ；②
（2）
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）①把 代入 得 ，即可求出答案；②根据平行四边形
的性质得出 ，可知抛物线向上平移了7个单位，即可直接写出平移后的新抛物线的解析式；
（2）先求出 ， ， ，然后利用待定系数法求出直线 的解
析式，根据 表示出直线 的解析式，将 代入，求出 的值，再检验点B是否
在线段 上即可．
【小问1详解】
解：①把 代入 ，得： ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为 ，
∴ ，
把 代入 ，得： ，
故答案是 ， ；
②如图1，
∵四边形 为平行四边形， ，新抛物线与x轴的一个交点为D，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴抛物线向上平移后的新抛物线的解析式为 ；
【小问2详解】
如图2，
∵ ，
∴ ， ， ，
设直线 的解析式为 ，把 代入，得：
，
∵ ，
∴可设直线 的解析式为 ，把 代入，得：
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学科网（北京）股份有限公司，
解得： ，
当 时， ， ， ，
设直线 解析式为 ，把 ， 代入，得：
的
，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴点B在线段 上，符合题意；
当 时， ， ， ，
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入，得：
，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
第25页/共32页
学科网（北京）股份有限公司∴点B不在线段 上，不符合题意，舍去；
故 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象平移，互相平行的两
条一次函数图象间的关系是解题的关键，对求出的值进行检验是解题的难点和易错点．
25. 如图1，在菱形 中， ，点 在对角线 上， ， 是 的外接
圆，点 与点 之间的距离记为 ．
（1）如图2，当 时，联结 ，求证： ；
的
（2）延长 交射线 于点 ，如果 是直角三角形，求 长；
（3）当圆心 在菱形 外部时，用含 的代数式表示 的半径，并直接写出 的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2） 或 ；
（3）
【解析】
【分析】（1）连接 、 ， 交 于 ，由 ，得出 ，根据垂径定理得出
， ，则 ．由 ，得出 ．根据菱
形的性质得出 ，则 ，
（2）分当 时，当 时，如图所示，设 交于点 ，分别画出图形，解直
角三角形，即可求解；
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学科网（北京）股份有限公司（3）分点 在 ， 上，以及 与点 重合时，与点 重合时，分别求得 的值，结合图形即可求
解．
【
小问1详解】
解：连接 、 ， 交 于 ，如图，
，
，
， ，
．
，
，
．
四边形 为菱形，
，
，
；
【小问2详解】
解：当 时，如图所示，
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学科网（北京）股份有限公司∵
∴ 是 的直径，
∵菱形 中， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，则 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
∴ ，
∴ ，
第28页/共32页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
当 时，如图所示，设 交于点
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，则
∴
综上所述， 或 ；
【小问3详解】
解：由（2）可知，当 时，
此时点 在 上， 则
第29页/共32页
学科网（北京）股份有限公司当 在 上时，如图所示，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ,
∵
设
则
∴
∴ ,
∴ ，
当 与 重合时，如图所示，
第30页/共32页
学科网（北京）股份有限公司∵
∴
∴
∴
即
∴
∴ ，
当点 与 点重合时，同理可得 ，
则 时，圆心 在菱形 外部时，
综上所述，当 时或 时，即 圆心 在菱形 外部．
【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握解直角三角形，与圆
的相关性质是解题的关键．
第31页/共32页
学科网（北京）股份有限公司第32页/共32页
学科网（北京）股份有限公司
