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2022 年上海市金山区中考数学一模试卷
答案解析版
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正
确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1. 已知 ，那么下列等式中成立的是（ ）
A. B. C. D. ．
【答案】C
【解析】
【分析】比例的性质为两内项之积等于两外项之积，据此可进行解答．
【详解】解：∵a：b=2：3的两内项是b、2，两外项是a、3，
∴3a=2b，
A：由以上解释易知A选项错误，不符题意；
B： ，即 ，故错误，不符题意；
C： ，即 ，故正确，符合题意；
D： ，即3a=4b，故错误，不符题意；
故选C．
【点睛】本题考查了比例的基本性质，掌握基本性质是解题关键．
2. 在比例尺是 的地图上，两地的距离是 ，那么这两地的实际距离为（ ）
A. B. C. D. ．
【答案】B
【解析】
【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离．根据比例尺关系即可直接得出实际的距离．
【详解】解：根据比例尺＝图上距离：实际距离，
得：两地的实际距离为6×200000＝1200000（cm）＝12（km）．
故选：B．
【点睛】本题考查了比例线段，解题关键是能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．
3. 如果点 是线段AB的黄金分割点，且 ，那么 的值等于（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据黄金分割点的定义，知 是较长线段；则 ．
【详解】解：由于 为线段 的黄金分割点，
且 ，
则 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了黄金分割点，解题的关键是理解黄金分割点的概念，熟记黄金比的值进行计算．
4. 在 中， ， ， ，那么 的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数的比值即可得出答案．
【详解】
如图， ．
故选：A．
【点睛】本题考查锐角三角函数， ， ， ， ，掌握
三角函数的比值是解题的关键．
5. 如图， 是平行四边形ABCD的对角线BD上一点，AM的延长线交BC于点 ，交DC的延长线于点
，图中相似三角形有（ ）A. 6对 B. 5对 C. 4对 D. 3对
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到 ， ， ，根据相似三角形的判定
定理解答即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
则图中相似三角形有6对，它们分别是： ，
， ，
故选：A．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
6. 点 是 的重心，设 ， ，那么 关于 和 的分解式是（ ）
A. B. C. D. ．
【答案】C
【解析】
【分析】连接AG并延长，交BC于点D．由重心的性质可知，D为BC中点，且 ．再根据题意可
求出 ，即可由 求出结果．
【详解】如图，连接AG并延长，交BC于点D．
∵点G为重心，
∴点D 为BC中点．又∵ ， ，
∴ ，即 ，
∵重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形重心的性质，向量的线性运算．掌握重心的性质是解答本题的关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请直接将结果填入答题纸的相应位置】
7. 计算： ______．
【答案】
【解析】
【分析】先去括号，然后合并同类项即可．
【详解】解：
故答案为： ．
【点睛】本题考查了向量的线性运算．解题的关键在于理解向量的数乘与加减运算．
8. 如果两个相似三角形的面积比为1:4，其中较大三角形的周长为18，那么较小三角形的周长是______．【答案】9
【解析】
【分析】根据面积之比得出相似比，然后利用周长之比等于相似比即可得出答案．
【详解】∵两个相似三角形的面积比为 ，
∴两个相似三角形的相似比为 ，
∴两个相似三角形的周长也比为 ，
∵较大的三角形的周长为18，
∴较小的三角形的周长为 ．
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
9. 抛物线 经过点 ，那么这个抛物线的开口向______．
【答案】下
【解析】
【分析】把点 代入 ，可得 ，即可求解．
【详解】解：∵抛物线 经过点 ，
∴ ，
∵ ，
∴这个抛物线的开口向下．
故答案为：下
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数 的图象和性质是解题
的关键．
10. 抛物线 的对称轴是____．
【答案】直线 .
【解析】
【详解】试题分析：先把一般式配成顶点式，根据二次函数的性质即可得到抛物线的对称轴．
y=x2+2x=（x+1）2-1，
抛物线的对称轴为直线x=-1．
故答案为直线x=-1．
考点：二次函数的性质．11. 抛物线 位于 轴左侧的部分是______的．（填“上升”或“下降”）
【答案】上升
【解析】
【分析】根据二次函数图象的性质解答即可．
【详解】解：∵二次项系数-1<0，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴是直线y=0，
∴抛物线 位于 轴左侧的部分是上升的．
故答案为：上升．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数y=ax2+k的性质是解答本题的关键．对于二
次函数y=ax2+k (a，k为常数，a≠0)，当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，
在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，
在对称轴的右侧y随x的增大而减小．
12. 在直角坐标平面内有一点 ，点 与原点 的连线与 轴的正半轴的夹角为 ，那么 的值
为______．
【答案】 ##0.5
【解析】
【分析】如图所示，过点A作AB⊥x轴于B，根据 进行求解即可．
【详解】解：如图所示，过点A作AB⊥x轴于B，
∵A点坐标为（1，2），
∴OB=1，AB=2，
∴ ，
故答案为： ．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角函数，解题的关键在于能够根据题意得到 ．
13. 如图，某传送带与地面所成斜坡的坡度为 ，它把物品从地面 送到离地面5米高的 处，则
物体从 到 所经过的路程为______．
【答案】13m##13米
【解析】
【分析】根据坡度的概念求出AF，然后根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，过B作BF⊥AF于F，
由题意得，BF＝5米，
∵斜坡的坡度i＝1∶2.4，
∴ ＝ ，即 ，
解得：AF＝12（米），
由勾股定理得，AB＝ （米）．
故答案是：13米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形、坡比的计算、勾股定理等知识点，将坡度问题转化为解直角三角
形的问题成为解答本题的关键．14. 如图， 是 的边BA延长线上一点，CE与AD相交于点 ， ， ， ，
那么 ______．
【答案】1
【解析】
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到AD//BC，推出△EAF∽△EBC，然后根据相似三角形 的性质列
比例式，即可得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴△EAF∽△EBC，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴BE=3，
∴ ，
∴AF=1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是
解题的关键．
15. 如图， ， ， ， ，那么 ______．
【答案】5
【解析】
【分析】如图所示，过点A作AH∥CD交EF于G，交BC于H，先证明四边形ADCH是平行四边形，得到
CH=AD=2，同理得到 GF=AD=2，再证明 △AEG∽△ABH，得到 ，由 AE=2BE，得到AB=AE+BE=3BE，则 ，由此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点A作AH∥CD交EF于G，交BC于H，
∵AD∥CH，AH∥CD，
∴四边形ADCH是平行四边形，
∴CH=AD=2，
同理可证四边形ADFG是平行四边形，
∴GF=AD=2，
∴EG=EF-GF=2，
∵EF∥BC，
∴△AEG∽△ABH，
∴ ，
∵AE=2BE，
∴AB=AE+BE=3BE，
∴ ，
∴BH=3，
∴BC=BH+CH=5，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了相似三角形 的性质与判定，平行四边形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关
键．
16. 如图，AD是 的中线， 是AD的中点，BE的延长线交AC于点 ，那么 ______．【答案】 ##1:2
【解析】
【分析】根据题意先过 D作BF的平行线，交 AC边于G，得出DG∥BF，再根据D为BC中点可得出
△CDG∽△CBF，即 ，CG= FC=FG；同理得出△AEF∽△ADG，AF= AG=FG，从而得出
AF=FG=GC，即可得出 的值．
【详解】解：过D作BF的平行线，交AC边于G，如下图所示：
∵D为BC中点，DG∥BF，
∴∠CGD=∠CFB，
又∵∠C=∠C，
∴△CDG∽△CBF，
∴ ，即：CG= CF=FG，
又E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，DG∥BF，
同理可得：△AEF∽△ADG，
∴ ，即：AF= AG=FG，
∴AF=FG=GC，
∴ .
故答案为： ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例，用到的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键在于找出
条件判断两个三角形相似，再运用相似三角形的性质求解．
17. 如图， 中， ，矩形DEFG的边DE在边AB上，顶点F、G分别在边BC、AC上，
如果 、 、 的面积分别是1、2、3，那么矩形DEFG的面积等于______．
【答案】6
【解析】
【分析】过点 C作 ，交AB、GF于点H，M，由矩形的性质及相似三角形的判定定理可得
，利用相似三角形的性质可得 ，根据 与 的面积分别为1和2，且高相
等，可得 ，设 ， ， ，则 ， 的高为 ， ，
将其代入 ，求解即可得．
【详解】解：如图所示，过点C作 ，交AB、GF于点H，M，
∵ ，
∴ ，
∵四边形DEFG为矩形，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ 与 的面积分别为1和2，且高相等，
∴ ，
设 ， ， ，则 ， 的高为 ， ，
，
整理得： ①，
，
∴ ②，
将②代入①可得： ，
∴ 或 （舍去），
∴矩形的面积为6，
故答案为：6．
【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等，理解题意，熟练运用相似三角形的性质
是解题关键．
18. 在 中， ， ， 是BC上一点，把 沿直线AE翻折后，点 落
在点 处，如果 ，那么 ______．
【答案】2
【解析】
【分析】如图， ， ，知 是等腰三角形， ；
沿 翻折，有 ， ， ，由 得 ，
和 均为等腰三角形， ， ， ， ，可求得
的值．
【详解】解：如图是等腰三角形
沿 翻折
， ，
，
和 均为等腰三角形
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，翻折对称等知识．解题的关键在于确定翻折线的位置．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先代入特殊角的三角函数值，再根据二次根式的运算法则计算．【详解】解：
．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，以及二次根式的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解答本
题的关键．
20. 如图，已知：四边形ABCD中，点 、 分别在边BC、CD上， ，设 ，
．
求向量 关于 、 的分解式．
【答案】
【解析】
【分析】连接BD，先证明 ，由 可得向量 关于 、 的分解式．
【详解】解：连接BD．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握平行向量与向量的模的定义是解此题的关
键．
21. 如图， 中， ， 是 的中点， 交AC于点 ， ．
求 的正切值．
【答案】
【解析】
【分析】由 ，设 ， ，则 ，根据 D 是 的中点，
，得出 ，即 ，再在 中即可求出．
【详解】解： 中， ，
∴ ．
设 ， ，则 ．
∵D是 的中点， ，
∴ ，
∴ ， ，
中， ，
∴ ．∴ 的正切值为 ．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，利用正切值求边长，解题的关键是得出 ．
22. 如图，某校无人机兴趣小组利用无人机测量旗杆的高度，无人机在位于 点时距离地面MN的高度CH
为30米，测得旗杆顶部 点的俯角为 ，测得旗杆底部 点的俯角为 ，求旗杆的高度。
【答案】旗杆高度为 米．
【解析】
【分析】作 ，垂足为点D．根据题意易判断 米，再根据 ，
即可利用正切求出CD的值，最后根据 ，即可求出旗杆高度．
【详解】解：如图，作 ，垂足为点D．
根据题意，得： ， ，
在 中， ， ，
∴ 米．
∵ ，
∴四边形ABHD是矩形，
∴ 米， ．
在中， ， ，∴ 米，
∴ 米．
故旗杆高度为 米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用．作出常用的辅助线是解答本题的关键．
23. 已知：如图，梯形ABCD中， ， ， 是对角线BD上一点， ，
．
（1）求证: ；
（2）如果 ，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）由平行线的性质可得 ，再由 ，即可证明 ；
（2）先由等腰梯形的性质得到 ，从而推出 ，即可证明
，得到 ，从而求出 ， ．再由 ，得到
，设 ， ，则 ，由此求解即可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．（2）∵梯形ABCD中， ， ，
∴
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
设 ， ，
∴ ，
解得 （舍去负值），
∴ ，即 ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰梯形的性质，相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的
性质与判定条件是解题的关键．
24. 已知：抛物线 经过点 和 ，顶点为点 ，抛物线的对称轴与 轴相交于
点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 的度数；
（3）把抛物线向上或者向下平移，点 平移到点 的位置，如果 ，求平移后的抛物线解析式．【答案】（1） ；（2） ；（3） 或 ．
【解析】
【分析】（1）将 两点的坐标代入解析式，解二元一次方组程，求出 即可求解；
（2）求出 的长度，根据勾股定理的逆定理求解即可；
（3）分情况讨论，点C在点B的上方或下方两种情况，根据平移特征结合图形求解即可．
【详解】解：（1）根据题意
解得： ， ，
∴抛物线的表达式是
（2） ，
∴顶点P的坐标是 ．对称轴是直线 ，点Q的坐标为 ．
∴ ， ， ；
∴ ，
∴ 是
∴ ，
（3）根据题意， ∥
如果点C在点B的上方， ∥ ， ∥ 时，四边形BCPQ是平行四边形，
∴ ， ，
即抛物线向上平移5个单位，平移后的抛物线解析式是 ．
如果点C在点B的下方，四边形BCQP是等腰梯形时 ，
作 ， ，垂足分别为E、F．根据题意可得， ， ， ，
即抛物线向下平移3个单位，平移后的抛物线解析式是 ．
综上所述，平移后的抛物线解析式是 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，坐标系中求两点的距离，勾股定理的
逆定理，图像的平移规律，正确理解平移的规律是解本题的关键．
25. 已知：如图， 直线MN，垂足为 ， ，点 是射线DM上的一个动点， ，
边AC交射线DN于点 ， 的平分线分别与AD、AC相交于点E、F．
（1）求证： ；
（2）如果 ， ，求 关于 的函数关系式；
（3）联结DF，如果以点D、E、F为顶点的三角形与 相似，求AE的长．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3） ．
【解析】
【分析】（1）根据 直线MN， ，可得 ，再由BF平分 ，可得
，即可求证；
（2）作 垂足为点H，根据 ，可得 ，从而得到
，进而得到 ，再由角平分线的性质定理，可得 ．再证得
，可得 ，即可求解；
（3）根据题意可得：点D、E、F为顶点的三角形与 相似，即以点D、E、F为顶点的三角形与
相似．然后分两种情况讨论即可求解．
【详解】解：（1）∵ 直线MN， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵BF平分 ，∴ ，
∴ ；
（2）作 垂足为点H，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵BF平分 ， ， ，
∴ ．
∵ ， 直线MN，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ；
（3）如图，连接DF，
设 ，由 ，如果以点D、E、F为顶点的三角形与 相似，即以点D、E、F
为顶点的三角形与 相似．
∵ ，
若 ，则 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
由（2）得： ，
∴ ，
解得： （舍去负值），∴ ．
若 ，则 ，
∴ ，即 ，
∵∠BED=∠AEF，
∴△AEF∽△BED，
∴∠AFE=∠BDE，
由（2）得： ，
∴ 是锐角，而 是直角，所以这种情况不成立．
综上所述，如果以点D、E、F为顶点的三角形与 相似，AE的长为 ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，熟练掌握相似三角形的判定和
性质，角平分线的性质定理，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．
