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2023 年上海市宝山区中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有只
有一个选项是正确的．
1. 已知线段a、b，如果 ，那么下列各式中一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据比例的性质进行判断即可．
【详解】解：A、由 ，得 ，故本选项错误，不符合题意；
B、当 ， 时， ，但 是，故本选项错误，不符合题意；
C、由 ，得 ，故本选项正确，符合题意；
D、当 ， 时， ，但是 ，故本选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质及式子的变形，用到的知识点：在比例里，两外项的积等于两内项的积，
比较简单．
2. 在 中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD： ：3，那么下列条件中能够判断
的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题解析：∵AD：BD=1：3，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴当 时， ，
∴DE∥BC，故C选项能够判断DE∥BC；
而A，B，D选项不能判断DE∥BC；
故选C．
3. 已知非零向量 、 、 ，下列条件中，能判定向量 与向量 方向相同的是（ ）
A. ， B. C. D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】由 ， ，可得 ，则 与 的方向相同或相反；由 可知， 与 的方
向相同或相反；由 ，可得 ，则 与 的方向相反，由 ， ，可得
，则 与 的方向相同，即可得出答案．
【详解】解：对于 选项，由 ， ，可得 ，
与 的方向相同或相反，
故 选项不符合题意；
对于 选项， 与 的方向相同或相反，
故 选项不符合题意；
对于 选项，由 ，可得 ，
与 的方向相反，
故 选项不符合题意；
对于 选项，由 ， ，可得 ，
与 的方向相同，
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学科网（北京）股份有限公司故 选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的性质是解答本题的关键．
4. 在平面直角坐标系 中，已知点 与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为 ，那么 的
值是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，由题意易得 ，然后问题可求解．
【详解】解：过点A作 轴于点B，如图所示：
由题意得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
【点睛】本题主要考查三角函数及坐标与图形，熟练掌握求一个角的正切值是解题的关键．
5. 将抛物线 向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的平移可进行求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：将抛物线 向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为 ；
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键．
6. 已知 中， ， 、 ．以C为圆心作 ，如果圆C与斜边 有两个公
共点，那么圆C的半径长R的取值范围是（ ）
.
A B. C. D. ．
【答案】C
【解析】
【分析】作 于 ，由勾股定理求出 ，由三角形的面积求出 ，由 ，可得以 为
圆心， 为半径所作的圆与斜边 只有一个公共点；若 与斜边 有两个公共点，即可得出
的取值范围．
【详解】解：作 于 ，如图所示：
， ， ，
，
∵ 的面积 ，
，
即圆心 到 的距离 ，
，
以 为圆心， 为半径所作的圆与斜边 只有一个公共点，
若 与斜边 有两个公共点，则 的取值范围是 ．
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学科网（北京）股份有限公司故选：C．
【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数
形结合思想的应用．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 已知线段 ， ，如果线段 是 、 的比例中项，那么 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据成比例线段列出比例式即可求解．
【详解】解：∵线段 是 、 的比例中项，
∴ ， ，
∴ ，
∴ （负值舍去）
故答案为： ．
【点睛】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题的关键．
8. 已知一个三角形的三边之比为 ，与它相似的另一个三角形 的最小边长为4厘米，那么三角
形 的周长为 _____厘米．
【答案】18
【解析】
【分析】相似三角形的对应边的比相等，因而与已知三角形相似的三角形的三边的比也是 ，即可求
得三角形的三边，从而求得周长．
【详解】解：所求三角形的三边的比是 ，
设最短边是 厘米，则 ，
解得 ，
因而另外两边的长是 厘米， 厘米．
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学科网（北京）股份有限公司则三角形的周长是 （厘米）．
故答案为：18．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边的比相等，由此得到所求三角形的三边的比也
是 ，是解题关键．
9. 计算： ＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据加减运算及乘法运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式
故答案为： ．
【点睛】本题考查了向量的线性运算，熟练掌握平面的加减运算及乘法运算法则是正确计算本题的关键．
10. 如果抛物线 的开口方向向下，那么a的取值范围是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的图象可进行求解．
【详解】解：由抛物线 的开口方向向下，则有 ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
11. 抛物线 的对称轴是_____．
【答案】直线
【解析】
【分析】由二次函数顶点式可得抛物线顶点坐标，进而求解．
【详解】解： ，
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学科网（北京）股份有限公司抛物线顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，
故答案为：直线 ．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式．
12. 正六边形一个外角的度数为____________．
【答案】 ##60度
【解析】
的
【分析】根据正多边形 每一个外角都相等和多边形的外角和等于 解答即可．
【详解】∵正六边形的外角和是 ，
∴正六边形的一个外角的度数为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查多边形的外角和及正多边形外角度数的计算，掌握多边形外角和等于 是解答
本题的关键．
13. 已知圆O的半径为1，A是圆O内一点，如果将线段 的长记为d，那么d的取值范围是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据点在圆内， ，可得结论．
【详解】解： 点 在圆内，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是记住：点与圆的位置关系有3种．设 的半径为 ，
点 到圆心的距离 ，则有：①点 在圆外 ②点 在圆上 ．③点 在圆内
．
14. 如图，用长为12米的篱笆围成一个矩形花圃，花圃一面靠墙（墙的长度超过12米），设花圃垂直于
墙的一边长为x米，花圃面积为y平方米，那么y关于x的函数解析式为 _____．（不要求写出定义域）
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】由篱笆的总长及花圃垂直于墙的一边长度，可得出花圃平行于墙的一边长为 米，再利用
矩形的面积公式，即可得出 关于 的函数解析式．
【详解】解： 篱笆的总长为12米，花圃垂直于墙的一边长为 米，
花圃平行于墙的一边长为 米．
根据题意得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出 关于 的函数解析
式是解题的关键．
15. 如图，在 中，已知线段 经过三角形的重心 ， ，四边形 的面积为 ，
那么 的面积为_____ ．
【答案】27
【解析】
【分析】连接 并延长交 于 ，由 为 的重心，可得 ，而 ，有
， ，故 ，设 ，有 ，即可解得答
案．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：连接 并延长交 于 ，如图：
为 的重心，
，
，
，
， ，
，
，
设 ，则 ，
，
解得 ，
故答案为：27．
【点睛】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握三角形重心的性质．
16. 已知内切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径长等于2，那么另一个圆的半径长等于 _____．
【答案】7
【解析】
【分析】设另一个圆的半径长为 ，根据两圆内切得出 或 ，再求出 即可．
【详解】解：设另一个圆的半径长为 ，
内切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径长等于2，
或 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得： 或 （半径不能为负，舍去），
所以另一个圆的半径长是7．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，能熟练掌握圆与圆的位置关系的内容是解此题的关键，已知两圆
的半径分别为 ， ，两圆的圆心距为 ，那么当 时，两圆的位置关系是内切．
17. 已知相交两圆的半径长分别为13和20，公共弦的长为24，那么这两个圆的圆心距为 _____．
【答案】11或21
【解析】
【分析】设半径长分别为 13和20的 、 相交于点 、点 ， ，连接 、 ，则
， ，再分两种情况讨论，一是点 、点 在直线 的同侧，延长 交 于点 ，
根据“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”得 ， ，可由勾股定理求得 ，
，则 ；二是点 、点 在直线 的异侧， 交 于点 ，则 ，
， ．
【详解】解：半径长分别为13和20的 、 相交于点 、点 ， ，
连接 、 ，则 ， ，
如图1，点 、点 在直线 的同侧，延长 交 于点 ，
垂直平分 ，
， ，
， ，
；
如图2，点 、点 在直线 的异侧， 交 于点 ，
， ，
， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
综上所述，这两个圆的圆心距为11或21，
故答案为：11或21．
【点睛】此题重点考查圆与圆的位置关系、线段的垂直平分线的性质、勾股定理以及数形结合与分类讨论
数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
18. 如图，已知 中， ， ．
按下列步骤作图：
步骤1：以点B为圆心，小于 的长为半径作弧分别交 、 于点 、 ；
步骤2：分别以点 、 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ；
步骤3：作射线 交 于点 ．
那么线段 的长为 _____．
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由题意得， 为 的平分线，可得 ，进而可得 ，设
，则 ，结合已知条件证明 ，则 ，即 ，求出
的值，即可得出答案．
【详解】解：由题意得， 为 的平分线，
，
， ，
，
，
， ，
，
，
设 ，则 ，
， ，
，
，即 ，
解得 或 （舍去），
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图方
法、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算： ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】分别把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【详解】解：
【点睛】本题考查了三角函数值的混合运算，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．
20. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线 经过点 、 、 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D的横坐标为 ，试求点E的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数图象上的点的坐标以及待定系数法解决此题．
（2）根据二次函数图象的对称性求得 的横坐标，再将其代入函数解析式，进而求得 的坐标．
【小问1详解】
解：由题意得， ， ， ．
， ．
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学科网（北京）股份有限公司这个抛物线的表达式为 ．
【小问2详解】
由（1）得， ．
该抛物线的对称轴是直线 ．
点 与点 是抛物线上关于对称轴对称的两点，点 的横坐标为 ，
的横坐标是4．
当 时， ．
．
【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数图象
上点的坐标特征是解决本题的关键．
21. 如图，已知圆O的弦 与直径 交于点 ，且 平分 ．
（1）已知 ， ，求圆O的半径；
（2）如果 ，求弦 所对的圆心角的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，如图，设 的半径为 ，则 ， ，先根据垂径定理得到
， ，在 中利用勾股定理得到 ，然后解方程即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）连接 ，如图，先利用 得到 ，即 ，再利用正弦的定义得到
，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算 即可．
【小问1详解】
解：连接 ，如图，设 的半径为 ，则 ， ，
平分 ，
， ，
在 中， ，
解得 ，
即 的半径为 ；
【小问2详解】
解：连接 ，如图，
，
，
即 ，
，
，
在 中， ，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
即弦 所对的圆心角的度数为 ．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一
组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和勾股定理．
22. 如图，某小区车库顶部 是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯 ．已知平台斜坡
的坡度 ，坡长为6米．在坡底D处测得灯的顶端A的仰角为 ，在坡顶C处测得灯的顶端A的
仰角为 ，求灯的顶端A与地面 的距离．（结果保留根号）
【答案】 米
【解析】
【分析】过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，由坡度的定义及斜坡 的坡长为6
米，可得 米， 米，设 米，则 米，在 中，
，解得 ，则 米，在 中， ，可得
，即 ，求出 的值，进而可得答案．
【详解】解：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司由题意得， 米， ， ， ， ，
斜坡 的坡度 ，
，
即 ，
在 中，由勾股定理得 ，
解得 ，
米， 米，
设 米，则 米，
在 中， ，
解得 ，
米，
在 中， ，
，
即 ，
解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司米．
灯的顶端 与地面 的距离为 米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用 仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是
解答本题的关键．
23. 已知：如图，四边形 、 都是平行四边形， 是边 的中点，联结 并延长，分别
交 、 于点 、 ．
（1）求证： ；
（2）联结 ，如果 ，求证： ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到 ， ，则 ， ，再
证 明 ， 利 用 相 似 比 得 到 ， 同 理 方 法 证 明 ， 则
，所以 ，然后利用 ， 可得到结论；
（2）先利用 得到 ， ，则 ，加上 ，则
可判断 ，所以 ，然后利用平行线的性质得到 ，
从而得到结论．
【小问1详解】
解：证明： 四边形 为平行四边形，
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学科网（北京）股份有限公司， ，
是边 的中点，
， ，
，
，
，
四边形 为平行四边形，
，
，
，
，
， ，
；
【小问2详解】
， ，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
第19页/共28页
学科网（北京）股份有限公司，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共
角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计
算．也考查了平行四边形的性质．
24. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线 经过点 、 ，将该抛物线位于
轴上方的部分沿 轴翻折，得到的新图象记为“图象 ”，“图象 ”与 轴交于点 ．
（1）写出“图像U”对应的函数解析式及定义域；
（2）求 的正切值；
（3）点 在 轴正半轴上，过点 作 轴的平行线，交直线 于点 ，交“图象 ”于点 ，如果
与 相似，求点 的坐标．
【答案】（1）
（2）3 （3） ， 或 ， 或 ， 或 ，
【解析】
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由 ，求出 ，进而求解；
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学科网（北京）股份有限公司（ 3 ） 因 为 ， 故 当 与 相 似 时 ， 或 ， ① 当
时，设： ，则 ，则 且 或 ，
即可求解；②当 时，同理可解．
【小问1详解】
解：由题意得： ，
则翻折后的函数表达式为： ，
即 ；
【小问2详解】
过点 作 于点 ，
则 ，
即 ，
解得： ，
则 ，
则 ；
【小问3详解】
由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ，
设点 ，在点 ，点 或 ，
第21页/共28页
学科网（北京）股份有限公司则 ， 或 ，
如下图 ，
故当 与 相似时， 或 ，
①当 时，即 ，
在 中，过点 作 于点 ，
设： ，则 ，
则 且 或 ，
解得： 或 （不合题意的值已舍去）；
②当 时，则 ，
同理可得： 且 或 ，
解得： 或 （不合题意的值已舍去）；
综上，点 的坐标为： ， 或 ， 或 ， 或 ， ．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析
式、解直角三角形等，分类求解是本题解题的关键．
25. 如图1，在 中， ， ， ．点D、E分别在边 、 上（不
与端点重合）， 和 交于点 ，满足 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： ；
（2）如图2，当 时，求 的长；
（3）当 是等腰三角形时，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3） 或4
【解析】
【分析】（1）作 于 ，解直角三角形 ，求得 和 ，进而解直角三角形 ，求
得 ，从而得出 ，进一步得出 ，从而 ，进一步得出结论；
（2）作 于 ，解直角三角形 ，求得 ， ，解 ，
得出 ，进而设 ， ， ，从而 ，进而由
得， ，进一步得出结果；
（3）有两种情形：当 时，可推出 ，作 于 ，作 于 ，进
而证明 ，从而 ， ，进而求得 ，根据（1）：
第23页/共28页
学科网（北京）股份有限公司，求得 ，进而求得 ，进一步得出结果；当 时，可推出 ，作
于 ，可得出 ，同样根据（1） 求得 ，进一步得出结果．
【小问1详解】
解：证明：如图1，
作 于 ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
第24页/共28页
学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
如图2，
作 于 ，
，
，
，
，
，
，
在 中，
，
设 ， ， ，
，
由 得，
，
，
；
【小问3详解】
第25页/共28页
学科网（北京）股份有限公司如图3，
当 时， ，
，
，
，
作 于 ，作 于 ，
，
，
，
， ，
，
，
由（1）知： ，
，
，
；
如图4，
第26页/共28页
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，
，
作 于 ，
， ， ，
，
由（1）知： ，
，
，
，
，
综上所述： 或4．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质及分类，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定性质，
解直角三角形等知识，解决问题的关键是理清线段之间的关系．
第27页/共28页
学科网（北京）股份有限公司第28页/共28页
学科网（北京）股份有限公司
