文档内容
2022 学年初三数学练习卷
（完卷时间100分钟，满分150分）
考生注意：
1.本试卷含三个大题，共 25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，
在草稿纸、本试卷上答题一律无效，
2、除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤、一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而减小的是（ ）
.
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正比例函数的性质及反比例函数性质直接判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
A选项为正比例函数：∵ ，∴y随自变量x的值增大而增大，故A选项不符合题意；
B选项正比例函数：∵ ，∴y随自变量x的值增大而减小，故B选项符合题意；
C选项反比例函数， ：∵ ，∴在 与 上，y随自变量x的值增大而减小，但 ，
故C选项不符合题意；
D选项反比例函数， ： ，∴在 与 上，y随自变量x的值增大而增大，故D选项
不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查正比例函数的性质与反比例函数性质，解题的关键是熟练掌握两种函数的性质．
2. 已知抛物线 ，如果点 与点 B 关于该抛物线的对称轴对称，那么点 B 的坐标是
（ ）
A. B. C. D.
第1页/共26页
学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【解析】
【分析】先根据抛物线解析式求得对称轴为 轴，然后根据关于 轴对称 点的的纵坐标不变，横坐标互为
相反数即可求解．
【详解】解：∵抛物线 ，对称轴为直线 ，即 轴，
∴点 与点B关于该抛物线的对称轴对称，则点B的坐标是
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，关于坐标轴对称的点的坐标特征，得出抛物线的对称轴是解题的关
键．
3. 在 中，点D、E分别在边 、 上，下列条件不能判定 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质作答即可．
【详解】假设 ，
， ，
， ，
故选项C错误，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的性质、平行线分线段成比例定理，找准相似三角形的对应边是解题的关键．
4. 如果C是线段 的中点，那么下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的定义逐个判断即可得到答案；
第2页/共26页
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵C是线段 的中点，
∴ ， ， ， 故A、C、D选项错误，B选项正确，
故选B．
【点睛】本题考查向量相关定义，解题的关键是分清向量方向．
5. 在直角坐标平面内有一点 ，设 与x轴正半轴的夹角为 ，那么下各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意画出图形，结合三角函数逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意得，如图所示，
∴ ，
∴ ， ， ， ，
故选C．
【点睛】本题考查三角函数及勾股定理，解题的关键是熟练掌握几个三角函数的定义．
6. 如图，以 为斜边作等腰直角三角形 ，再以 为圆心， 长为半径作弧，交线段 于点 ，
那么 等于（ ）
第3页/共26页
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可知 是等腰直角三角形，设 ，可用含 的式子表示 的长，再根
据以 为圆心， 长为半径作弧，可知 的长，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得， 是等腰直角三角形，设 ，
∴ ，
∵以 为圆心， 长为半径作弧，交线段 于点 ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查作图求线段的比值，理解题意，找出线段之间的大小关系是解题的关键．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 已知线段a＝4，b＝16，线段c是a，b的比例中项，那么c等于___．
【答案】8
【解析】
【分析】根据线段比例中项的概念a：c＝c：b，可得c2＝ab＝64，即可求出c的值．
【详解】解：∵线段c是a、b的比例中项，
∴c2＝ab＝64，
解得：c＝±8，
又∵线段是正数，
∴c＝8．
故答案为：8．
【点睛】此题主要考查线段的比，解题的关键是熟知线段比例中项的概念．
8. 已知 ，那么 的值是____________．
【答案】
第4页/共26页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】将 代入关系式即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴当 时， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求函数值，代入 是解题的关键．
9. 一次函数 的图像不经过的象限是____________．
【答案】第四象限
【解析】
【分析】根据一次函数的性质直接判断即可得到答案；
【详解】解：∵ ， ，
∴一次函数 的图像经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故答案为：第四象限．
【点睛】本题考查一次函数图像的性质，解题的关键是熟练掌握所过象限与系数的关系．
10. 如果两个等边三角形的边长的比是 ，那么它们的周长比是____________．
【答案】
【解析】
【分析】由两个等边三角形相似，然后根据相似三角形的性质，相似三角形的周长比等于相似比即可求解．
【详解】解：∵两个等边三角形相似，两个等边三角形的边长的比是 ，
∴它们的周长比是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
第5页/共26页
学科网（北京）股份有限公司11. 如图 2，已知 ，它们依次交直线 、 于点 、 、 和点 、 、 ．如果
， ， ，那么 ____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论，
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，找准对应线段是解题的关键．
12. 在 中，如果 ， ，那么 的值是____________．
【答案】
【解析】
第6页/共26页
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据题意可知， 是等腰三角形，可知等腰三角形的三线合一，如图所示，过点 作
于 ，在 中，根据余弦的计算方法即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ 是等腰三角形，
如图所示，过点 作 于 ， ，
∴ ，
在 中， ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查等腰三角形，余弦的计算方法，掌握等腰三角形的性质，构造直角三角形，余弦的
计算方法是解题的关键．
13. 在 中， 是 边上的中线， 是重心．如果 ，那么线段 的长是____________．
【答案】
【解析】
【分析】 是重心， 是 边上的中线，则点 在中线 上，根据重心的性质“重心到顶点的距离
与重心到对边中点的距离之比为 ”即可求解．
【详解】解：根据题意，如图所示，
第7页/共26页
学科网（北京）股份有限公司是重心， 是 边上的中线，
∴点 在中线 上，
根据三角形重心的性质得， ， ，
∴ ，即 ．
∴线段 的长是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查三角形重心的性质，掌握三角形重心的性质是解题的关键．
14. 如图，在 中，点 D、E、F 分别在边 、 、 上， ， ，如果
，那么 的值是____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据 得到 ，根据比例的性质可得 ，再根据 ，即可
得到答案；
第8页/共26页
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查平行线截线段对应成比例，解题的关键是根据比例性质求得 ．
15. 如图，在梯形 中， ， 与 相交于点 O，如果 ，那么
的值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】分别过点 作 ，过点 作 ．因为 ，所以 ，可得到三
角形 和三角形 的高相等，从而可得到答案．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点
第9页/共26页
学科网（北京）股份有限公司∵
∴
∵ ， ， ，
∴
，
∵
∴
故填： ．
【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质：两平行线之间的距离相等，和三角形的面积相
结合，将面积的问题转化为线段的问题是解决此题的关键．
16. 已知一斜坡 坡的度 ，高度为20米，那么这一斜坡的坡长约____________米．
【答案】
【解析】
【分析】设斜坡的水平宽度为 米，根据坡度的定义可求出 ，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：设斜坡的水平宽度为 ，斜坡的坡度 ，高度为20米，
∴ ，
∴这斜坡的坡长为 （米），
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握坡度的概念是解题的关键．
第10页/共26页
学科网（北京）股份有限公司17. 如图，在 ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点
D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】先求解 再利用线段的和差可得答案．
【详解】解：由题意可得：
同理：
故答案为：
【点睛】本题考查的是锐角的正切的应用，二次根式的减法运算，掌握“利用锐角的正切求解三角形的边
长”是解本题的关键．
18. 我们知道四边形具有不稳定性，容易变形（给定四边形各边的长，其形状和大小不确定）．如图，一
个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形中较小的内角为 ，我们把 的值叫做这
个平行四边形的“变形系数”．如果矩形的面积为 ，其变形后的平行四边形的面积为 ，那么这个平行
第11页/共26页
学科网（北京）股份有限公司四边形的“变形系数”是____________．
【答案】 ##0.6
【解析】
【分析】根据题意，如图所示（见详解），设矩形的长为 ，宽为 ，过点 作 于 ，设
，构造直角三角形，可用含 的式子表示斜边，直角边，由此正弦的计算公式即可求解．
【详解】解：如图所示，设矩形的长为 ，宽为 ，过点 作 于 ，设 ，
∴ ， ，
∴ ， ，则 ， ，
在 中， ，
∴ ，即“变形系数”为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查矩形，平行四边形，正弦的综合，掌握矩形的性质，平行四边形的性质，正弦的计
算方法，构造直角三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19. 计算： ．
第12页/共26页
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值，分母有理化，实数的混合运算即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查三角函数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值及其混合运算是解题的关键．
20. 已知抛物线 ，将这条抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位．
（1）求平移后新抛物线的表达式和它的开口方向、顶点坐标、对称轴，并说明它的变化情况；
（2）在如图所示的平面直角坐标系内画出平移后的抛物线．
【答案】（1）平移后函数关系式为：
第13页/共26页
学科网（北京）股份有限公司所以其开口向下，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，当 时，y随x的增大而增大，当
时，y随x的增大而减小；
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）先将 化为顶点式，再求平移后的函数关系式，再回答问题即可；
（2）画出平移后的二次函数图像即可；
【小问1详解】
，
将这条抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位后函数关系式为：
所以其开口向下，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，当 时，y随x的增大而增大，当
时，y随x的增大而减小；
【小问2详解】
第14页/共26页
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题结合图象考查了二次函数的平移及性质，关键是掌握函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及
单调性与最值．
21. 如图，在 中，点D在边 上， ，E是 的中点．
（1）求证： ；
（2）设 ， ，用向量 、 表示向量 ．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据题目条件，证明 ，即可求证；
（2）利用平面向量线性运算的三角形法则即可求解．
【小问1详解】
∵E是 的中点，
∴ ，
∴ ,
又 ,
∴ ，
∴
第15页/共26页
学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
∵ ， ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平面向量的线性运算，解题关键是找出相似三角形．
22. 九（1）班同学在学习了“解直角三角形”的知识后，开展了“测量学校教学大楼高度”的活动中，在
这个活动中他们设计了以下两种测量的方案：
课
测量教学大楼的高度
题
方
方案一 方案二
案
测
量
示
意
图
测 甲楼和乙楼之间的距离 米，乙楼顶 甲楼和乙楼之间的距离 米，甲楼顶端
得
端D测得甲楼顶端B的仰角 ，测得甲 B测得乙楼顶端D的俯角 ，测得乙
数
据 楼底端A的俯角 楼底端C的俯角，
参
考 ， ， ， ， ，
数 ， ， ， ．
据
请你选择其中一种方案，求甲楼和乙楼的高度．（结果精确到1米）
【答案】见详解．
【解析】
第16页/共26页
学科网（北京）股份有限公司【分析】用方案一，过 D 作 于点 E，构建出直角三角形，再求出 ，
，即可得解．
【详解】过D作 于点E，如图所示：
∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ 米， ，
∵ ，
∴ 米， 米，
∵ ，
∴ 米，
∴ 米．
甲楼和乙楼的高度分别为17米和21米．
【点睛】考查锐角三角函数的性质运用，准确掌握正切、正弦、余弦的概念并准确运用是解题的关键．
23. 已知：如图，在梯形 中， ，点 在对角线 上， ．
（1）求证： ；
（2）如果点F在边DC上，且 ，求证： ．
【答案】（1）证明过程见详解
第17页/共26页
学科网（北京）股份有限公司（2）证明过程见详解
【解析】
【分析】（1）根据 ，可得 ， ，可证明 即可
求解；
（2）由（1）可知 ，可得 ，可证 ，根据相似三角形的性质可
知对应角相等，根据平行线的判定即可求解．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
证明：由（1）可知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
第18页/共26页
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查相似三角形的知识，理解图示，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 的对称轴为直线 ，顶点为A，与x轴分
别交于点B和点C（点B在点C的左边），与y轴交于点D，其中点C的坐标为 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E，联结DE．
①如果 ，求四边形 的面积；
②如果点E在直线 上，点Q在平移后抛物线的对称轴上，当 时，求点Q的坐标．
【答案】（1）
（2）① ，② 或 ．
【解析】
【分析】（1）根据对称性求出点B坐标 ，利用待定系数法求解析式即可；
（2）①根据 ，求出直线 解析式，根据平移性质求出点E的坐标，再求四边形面积即可；
②根据点E在直线 上，求出点E的坐标，利用 ，得出 ，求出点Q的坐标
即可．
【小问1详解】
解：抛物线 的对称轴为直线 ，与x轴分别交于点B和点C（点B在点C的左边），
点C的坐标为 ，
第19页/共26页
学科网（北京）股份有限公司根据对称性可知点B坐标为 ，代入 得，
，
解得， ，
抛物线解析式为 ．
【小问2详解】
①解：抛物线 的对称轴为直线 ，
所以顶点A的坐标为 ，与y轴交于点D的坐标为 ，
设 的解析式为 ，把A ，C 代入得，
，
解得 ，
的解析式为 ，
因为 ，点D的坐标为 ，
所以 的解析式为 ，
将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E，
所以点E的纵坐标为 ，代入 ，
解得， ，点E的坐标为 ，
设 与x轴交于点G，则点G的坐标为 ，同时G也是平移后抛物线与x轴的交点，
，
第20页/共26页
学科网（北京）股份有限公司，
四边形 的面积为 ；
②设 的解析式为 ，把D ，C 代入得，
，
解得 ，
的解析式为 ，
点E的纵坐标为 ，代入 ，
解得， ，点E的坐标为 ，
当 时， ，
因为点E的坐标为 ，点D的坐标为 ，
所以 ，
点Q在平移后抛物线的对称轴上，点Q的坐标为 或 ．
第21页/共26页
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了求二次函数解析式和二次函数平移，解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式，
根据平移求出平移后的二次函数的顶点坐标．
25. 如图，在平行四边形 中，点E在边 上， 对角线 于点F， ．
（1）求证： ；
（2）如果 ．
①求 的长；
②如果 ，求 值．
【答案】（1）证明见详解
（2） ，
【解析】
第22页/共26页
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据平行四边形 可得 ，即可得到 ， ，
结合 可得， ，即可得到答案；
（2）①根据 可得 ，从而得到 与 的关系，结合 即可得到
答案；
②过D作 交延长线与点G，设 ，根据①中三角形相似得到 ，在 与
中根据勾股定理列方程求出m，即可得到答案
【小问1详解】
解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：①∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
第23页/共26页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ ，
解得： ， （舍去），
∴ ；
②∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
过D作 交延长线与点G，
设 ， 与 中由勾股定理可得，
，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
第24页/共26页
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
【点睛】本题考查平行四边形性质，相似三角形性质与判定，三角函数，解题 的关键是根据平行四边形得
到相似三角形的条件．
第25页/共26页
学科网（北京）股份有限公司第26页/共26页
学科网（北京）股份有限公司
