文档内容
2022 学年九年级数学练习卷
（完卷时间100分钟，满分150分）
考生注意：
1.本试卷含三个大题，共 25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，
在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 下列实数中，有理数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据有理数以及无理数的定义判断即可．
【详解】解：∵ 是无理数，不是有理数，
∴A不合题意．
∵ 是整数，是有理数，
∴B符合题意．
是无理数，不是有理数，
∴C不合题意．
∵ 是无理数，不是有理数，
∴D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了实数的分类，特别指出，无理数是包括：无限不循环小数、含π的代数式、开方开不
尽的数．
2. 下列计算正确的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】由合并同类项、同底数幂乘法、同底数幂除法的运算法则，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、 不能合并，故A错误；
B、 不能合并，故B错误；
C、 ，故C错误；
D、 ，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂乘法、同底数幂除法的运算法则，解题的关键是熟练掌握运算
法则进行判断．
3. 下列函数图像中，可能是反比例函数 的图像的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据反比例函数的图象性质进行判断．
【详解】解：由 ，可知反比例函数 的图象在一、三象限．
A. 反比例函数的图象在一、二象限．故选项A不符合题意；
B. 反比例函数的图象与坐标轴相交，错误．故选项B不符合题意；
C. 反比例函数的图象在一、三象限．正确，故选项C符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司D. 反比例函数的图象在二、四象限．错误，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．反比例函数 的图
象是双曲线，当 时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当 时，它的两个分支分别位于第二、
四象限．
4. “红色小讲解员”演讲比赛中，7位评委分别给出某位选手的原始评分．评定该选手成绩时，从7个原
始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，这两组
数据一定不变的是（ ）．
A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案．
【详解】根据题意，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分，
7个有效评分与5个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变．
故选:A
【点睛】此题考查中位数的定义，解题关键在于掌握其定义．
5. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）．
A. 对角线互相垂直 B. 对角线平分一组对角
C. 对角线相等 D. 对角线互相平分
【答案】C
【解析】
【详解】正方形具有而菱形不一定具有的性质是：①正方形的对角线相等，而菱形不一定对角线相等，②
正方形的四个角是直角，而菱形的四个角不一定是直角，
故选C．
6. 如图，矩形 中， ， ，点 在对角线 上，圆 经过点 ．如果矩形
有两个顶点在圆O内，那么圆O的半径长r的取值范围是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由勾股定理求出 ，连接 ，交 于点F，作 于点E，求得 ，再
根据圆的运动过程，判断出r的取值范围即可．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴
∵ ，
∴
∴
由勾股定理得， ，
连接 ，交 于点F，作 于点E，
∵
∴
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学科网（北京）股份有限公司点O从点D开始向B移动，移到E时， 的长度从1减到 ，再移到点F，此时 ，在
这一范围内， ， ,
∴当 时，A，B都在圆外，不满足条件；
当点O从点F移到点B时， ，此时， ， ，
∴当 时，满足两点在圆内的条件；
当 ，即 ，点O在点F的位置， ，此时四点都在圆上，不满足条件；
当 ，即 ，点O在点B的位置，此时 ， ，A和B在圆内，点
D在圆外，满足条件，
故r的取值范围是： ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，正确进行分类讨论是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 计算： ________．
【答案】
【解析】
【分析】用积的乘方的计算方法解答即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】此题重点考查学生对积的乘方的理解，掌握积的乘方的计算方法是解题的关键．
8. 化简分式 的结果为________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】直接分子分母同时除以b即可得到答案．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了分式的约分，正确计算是解题的关键．
9. 如果关于 的方程 有两个相等的实数根，那么 的值是________．
【答案】1
【解析】
【分析】利用一元二次方程根 的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程 ，若
，则方程有两个不相等的实数根，若 ，则方程有两个相等的实数根，若
，则方程没有实数根．
10. 如果一个二次函数的图像顶点是原点，且它经过平移后能与 的图像重合，那么这个二
次函数的解析式是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数平移前后的形状和开口方向不变，即二次项系数不变进行求解即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵平移后的二次函数解析式为 ，
∴原二次函数解析式为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数的图像与几何变换，熟知二次函数图像平移中不变的性质是解答的关键．
11. 如果正比例函数 （ 是常数， 的图像经过点 ，那么 的值随 的增大而________．
（填“增大”或“减小”）
【答案】减小
【解析】
【分析】根据点的坐标利用正比例函数图象上点的坐标特征可求出 值，再利用正比例函数的性质即可得
出结论．
【详解】∵正比例函数 （ 是常数， ）的图象经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值随 的增大而减小，
故答案为：减小．
【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法以及正比例函数的增减性与正比例函
数的比例系数 之间的关系是解题的关键 ．
12. 布袋里有4个小球，分别标注了数字 ，这些小球除了标注数字不同外，其它都相同．从布袋
里任意摸出一个球，这个球上标注数字恰好是正数的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】直接由概率公式求解即可．
【详解】解：∵共有4个数字 ，其中正数有2和3，共2个，
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学科网（北京）股份有限公司∴摸到小球上标注数字恰好是正数的概率为 ；
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率 事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的
结果数．
13. 如图是某商场2022年四个季度的营业额绘制成的扇形统计图，其中二季度的营业额为 100万元，那么
该商场全年的营业额为________万元．
【答案】500
【解析】
【分析】用二季度的营业额除以其占比即可得到答案．
【详解】解： 万元，
∴该商场全年的营业额为500万元，
故答案为：500．
【点睛】本题主要考查了扇形统计图，正确读懂统计图是解题的关键．
14. 如图，在平行四边形 中， 为对角线，E是边 的中点，联结 ．如果设 ，
，那么 ________（含 的式子表示）．
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由 ，可得 ，由E是边 的中点，可得 ，
从而可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵E是边 的中点，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是向量的加减法运算，理解运算法则是解本题的关键．
15. 在 中， ，如果 ， ，那么 的重心到底边的距离为________．
【答案】4
【解析】
【详解】解：如下图所示，设点D为 的中点，点E为三角形的重心，
∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵点E为三角形的重心，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 的重心到底边的距离为4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查解直角三角形、三角形重心的性质和勾股定理，解题的关键是熟知重心到顶点的距离与
重心到对边中点的距离之比为 ．
16. 如果四边形有一组邻边相等，且一条对角线平分这组邻边的夹角，我们把这样的四边形称为“准菱
形”．有一个四边形是“准菱形”，它相等的邻边长为 2，这两条边的夹角是 ，那么这个“准菱形”
的另外一组邻边的中点间的距离是________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，由勾股定理求出 ，再根据三角形中位线定理求出 的长即可．
【详解】解：如图所示，四边形 是“准菱形”，且 ,连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司在 中，由勾股定理得，
∵点E，F分别是 边的中点，
∴ 是 的中位线，
,
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及三角形中位线定理，正确理解“准菱形”的概念是解答本题的关键．
17. 如图，某电信公司提供了A、B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系．如
果通讯费用为60元，那么A方案与B方案的通话时间相差________分钟．
【答案】35
【解析】
【分析】用待定系数法分别求出A、B方案的函数解析式，把 代入解析式求得A、B方案所用的时
间，即可求出结果．
【详解】解：A方案：把 、 代入 得：
，解得： ，
∴ ，
∴A方案移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）函数关系式为： ，
∴ 时， ，解得： ，
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学科网（北京）股份有限公司∴A方案通话190分钟，
B方案：把 、 代入 得：
，解得： ，
∴ ，
∴B方案移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）函数关系式为：
，
∴ 时， ，解得： ，
∴B方案通话225分钟，
∴ （分），
故答案为：35．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，明确题意，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
18. 如图，在正方形 中，点E、F分别在边 上， ．将 沿直线CE翻折，
如果点D的对应点恰好落在线段 上，那么 的正切值是________．
【答案】2
【解析】
【分析】过点 作 于点M，由折叠得 再证明 从而证明
设 ，则 求出 再证明 得 ，
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学科网（北京）股份有限公司由勾股定理求出 ，进一步可求出 的正切值．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴
过点 作 于点M，
∵
∴
∴
由折叠得，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
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学科网（北京）股份有限公司设 ，则
在 中，由勾股定理得，
∵
∴
又
∴
∴
∴ ，
在 中，
在 中，
∴ ，
故答案为2
【点睛】本题主要考查了正方形的折叠问题，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及求
正切值等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19. 计算： ．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】原式分别运用有理数的乘方、化简绝对值、分母有理化以及负整数指数幂运算法则化简各项后，
再进行加减运算即可．
【详解】解：
=
=
=
【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20. 解不等式组 将其解集在数轴上表示出米，并写出这个不等式组的整数解．
【答案】 ，图见解析，整数解为0，1，2
【解析】
【分析】分别对不等式组中的不等式进行求解，取两个不等式的交集即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得 ，
解不等式②得 ，
取①和②的交集得 ，
故不等式组的解集为： ，
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学科网（北京）股份有限公司将解集表示在数轴上如图：
∴该不等式组的整数解为：0，1，2．
【点睛】本题考查不等式组 的解集，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法．
21. 如图，在平面直角坐标系 中，直线l上有一点 ，将点A先向左平移3个单位，再向下平移
4个单位得到点B，点B恰好在直线l上．
（1）写出点B的坐标，并求出直线l的表达式；
（2）如果点C在y轴上，且 ，求点C的坐标．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平移的性质即可得到点B的坐标，根据A、B两点的坐标，利用待定系数法即可求出直
线l的表达式；
（2）根据等腰三角形的性质，得到 ，根据点O的坐标和 的长度，即可求出点C的坐标．
【小问1详解】
解：设
∵ ，且点A先向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到点B，
∴ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ,
设直线l的表达式为： ，
∵ ， 在直线l上，
∴ ，
解方程组得： ，
故直线l的表达式为： ；
【小问2详解】
解：如下图所示，过点A作 轴，垂足为O，
∵ 在y轴上，点C在y轴上， 轴，
∴ ， ,
∵
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查直角坐标系中的点坐标、点的平移、一次函数的解析式和等腰三角形的性质，解题的关
键是根据平移的性质求出点B的坐标．
22. 图1是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，图2是它的示意
图．经过测量，支架的立柱 与地面垂直（ ）， 米，点A、C、M在同一水平线
上，斜杆 与水平线 的夹角 ，支撑杆 ，垂足为 ，该支架的边 与
的夹角 ，又测得 米．
（1）求该支架的边 的长；
（2）求支架的边 的顶端D到地面 的距离．（结果精确到 米）
（参考数据： ， ， ， ， ，
）
【答案】（1）该支架的边 的长为7米；
（2）支架的边 的顶端D到地面 的距离为 米
【解析】
【分析】（1）先解 求出 米，进而求出 米，再解 求出 的长即可；
（2）如图所示，过点D作 于H，过点B作 于G，则四边形 是矩形，即可
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学科网（北京）股份有限公司证明 米， ，求出 ，即可解 ，求出 米，则
米，
【小问1详解】
解：在 中， 米，
∴ 米，
∵ 米，
∴ 米，
∵ ，
∴ ，
在 中， 米，
∴ 米，
∴该支架的边 的长为7米；
【小问2详解】
解：如图所示，过点D作 于H，过点B作 于G，则四边形 是矩形，
∴ 米， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， 米，
∴ 米，
∴支架的边 的顶端D到地面 的距离为 米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形
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学科网（北京）股份有限公司是解题的关键．
23. 已知：如图，在菱形 中， ， ，垂足分别为 、 ，射线 交 的延长
线于点 ．
（1）求证： ；
（2）如果 ，求证： ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质证明 ，即可得证；
（2）根据已知可得出 ，根据（1）的结论得出 ，根据对顶角相等，平行
线的性质得出 ，可得 ，根据相似三角形的性质得出 ，进而得出
，根据互余关系得出 ，根据正切的定义得出 ，即可得证．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ， ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
【小问2详解】
证明：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
第21页/共29页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，菱形的性质，正切的定义，熟
练掌握相似三角形的性质与判定，正切的定义是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与x轴交于点 和点B，与y轴交于
点C．
（1）求该抛物线的表达式和对称轴；
（2）连接 ，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果 的面积与 的面
积相等，求点D的坐标；
（3）设点 ，点E在抛物线的对称轴上（点E在顶点上方），当 ，且
时，求点E的坐标．
【答案】（1） ，对称轴为直线
（2）
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学科网（北京）股份有限公司（3）
【解析】
【分析】（1）把 代入抛物线解析式求出抛物线解析式，再把抛物线解析式化 为顶点式即可求出对
称轴；
（2）先求出 ，再根据 ，推出 ，则点C和点D关于抛物线对称轴对称，
由此利用二次函数的对称形求解即可；
（3）设抛物线顶点为M，由（1）可知 ，则P、M都在直线 上，即可得到 ，即
，如图所示，过点A作 于N，则 ，证明 ，得到
，进而求出 ，得到 ，由此求出 ，则 ．
【小问1详解】
解：把 代入到 中得： ，
∴ ，
∴抛物线表达式为 ，
∴抛物线对称轴为直线 ；
【小问2详解】
解：在 中，当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴点C和点D关于抛物线对称轴对称，
∵抛物线对称轴为直线 ，
∴ ；
【小问3详解】
解：设抛物线顶点为M，
由（1）可知 ，
∵ ，
∴P、M都在直线 上，
∴ ，即 ，
如图所示，过点A作 于N，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
第24页/共29页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，相似三角形 的性质与判定，待定系数法求二次函数解析式
等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
25. 在梯形 中， ， ， ， ，过点C作对角线 的垂线，
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学科网（北京）股份有限公司垂足为E，交射线 于点F．
（1）如图1，当点F在边 上时，求证： ；
（2）如图2，如果F是 的中点，求 的值；
（3）联结 ，如果 是等腰三角形，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）8
【解析】
【分析】（1）要证明 根据已知条件有一组相等的边长，只需要找到两个角相等即可；题
目中已知平行关系，可以找到一组内错角相等，再根据 可以得出 ，又因为垂直
关系那么另外一组相等的角就找到了，题目得以求证；
（2）根据已知条件和（1）中的全等关系，可知要求 的值即求 的值，即如果找到 与
的关系即可；这两边均在 中，直接根据勾股定理无法求知，可以猜想到 和
相似关系，进行证明，再得到一组 与 即 的关系，进而得出所求的比值；
（3）根据 是等腰三角形，且F在 上，可知 ，又因为 ，可得 ，
而根据（1）中可知 所以 可以求出来等于8，而已知条件 所以
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
在 和 中，
∵ ， ， ，
，
【小问2详解】
在 和 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
，
，
∴ ，
∴ ，
又∵F是 的中点，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
解得， 或 （舍去）
第27页/共29页
学科网（北京）股份有限公司∴ ；
【小问3详解】
如图，
∵ 是等腰三角形，且 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定
与性质，熟练运用相关知识是解答本题的关键
第28页/共29页
学科网（北京）股份有限公司第29页/共29页
学科网（北京）股份有限公司
