文档内容
专题 2022 年上海各区分类汇编-25
题
专题一 动点函数下的三角形
【知识梳理】
【历年真题】
1、（2023•宝山区二模）如图，已知半圆O的直径AB=4，C是圆外一点，∠ABC的平分线
交半圆O于点D，
且∠BCD=90°，联结OC交BD于点E.（1）当∠ABC=45°时，求 的长；
（2）当∠ABC=60°时，求 的值；
（3）当△BOE为直角三角形时，求sin∠OCB的值.
C
D
E
A O B A O B A O B
（图10） （备用图） （备用图）
2、（2023•崇明区二模）如图，在 中， ，AC=6，BC=3．点D是边
AC上一动点（不与A、C重合），联结BD，过点C作CF⊥BD，分别交BD、AB于点
E、F．
（1）当CD=2时，求∠ACF的正切值；
（2）设AC=6， ，求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域；
（3）联结FD并延长，与边BC的延长线相交于点G，若△DGC与△BAC相似，求 的
值．
3、（2023•奉贤区二模）在梯形ABCD中，AD//BC，AD=4，∠ABC=90°，BD=BC，过点C作对角线BD的垂线，垂足为E，交射线BA于点F.
（1）如图1，当点F在边AB上时，求证：△ABD≌△ECB；
（2）如图2，如果F是AB的中点，求FE:EC的值；
（3）联结DF，如果△BFD是等腰三角形，求BC的长．
A D A D
F
F
E
E
B C B C
图1 图2
4、（2023•闵行区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，BC = 1，以BC为边作
△DBC（点D、A在直线BC的异侧），且满足BD = BC，∠BCD =∠ABC + 45°．
（1）求证：∠A =∠ABD；
（2）设点E为边BC的中点，联结DE并延长交边AB于点F，当△BEF为直角三角形时，
求边AC的长；
（3）设AB = x，CD = y，求y关于x的函数解析式并写出定义域．
D
C
A B
（ 第 25 题
图）
5、（2023•浦东新区二模）已知：⊙O的直径
AB10
，C是
AB的中点，
D是⊙O上的一
个动点（不与点A、B、C重合），射线CD交射线AB于点E．
（1）如图1，当BE AB时，求线段CD的长；
（2）如图2，当点D在BC上运动时，联结BC、BD，△BCD中是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出这个角并求其度数；如果不存在，请说明理由；
（3）联结OD，当△ODE是以DE为腰的等腰三角形时，求△ODE与△CBE面积的比值．
C C C
D D
A O B E A O B E A O B
（ 图
（ 备 用
1）（图
图）
2）
专题二 动点函数背景下的四边形问题
【知识梳理】
【历年真题】
1、（2023•杨浦区二模）已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点H，点E在直径
AB上（与A、B不重合），EH=AH，联结CE并延长与⊙O交于点F.
（1）如图1，当点E与点O重合时，求∠AOC的度数；
（2）联结AF交弦CD于点P，如果 ，求 的值；（3）当四边形ACOF是梯形时，且AB=6，求AE的长.
C
O（E O
A H ） B A B
D F
第25题图1 备用图
专题三 二次函数与线段
【知识梳理】
【历年真题】1、（2023•嘉定区二模）在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，点 P 在线段 BC 上，
，PD交BA于点D，过点B作BE⊥PD，垂足为E，交CA的延长线于
点F．
（1）如果∠ACB=45°，
①如图1，当点P与点C重合时，求证： ；
②如图2，当点P在线段BC上，且不与点B、点C重合时，问：①中的“ ”
仍成立吗？请说明你的理由；
（2）如果 ，如图3，已知 （n为常数），当点P在线段BC上，
且不与点B、点C重合时，请探究 的值（用含n的式子表示），并写出你的探究过程．
【考点】相似形综合题．
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【专题】几何综合题；推理能力．
图1 图2 图11
2、（2023•徐汇区二模）已知：如图1，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠B＝∠C＜
90°．
(1) 求证：四边形ABCD是等腰梯形；
(2) 边CD的垂直平分线EF交CD于点E，交对角线AC于点P，交射线AB于点F．
① 当AF＝AP时，设AD长为x，试用x表示AC的长；
② 当BF＝DE时，求 的值。专题四 二次函数与圆
【知识梳理】
【历年真题】
2 5
1、（2023•虹口区二模）如图，在菱形 ABCD 中，AB= ，点 P 在对角线 BD 上，
1
tan∠DBC=2 ，⊙O是△PAB的外接圆，点B与点P之间的距离记为m．（1）如图，当PA=PB时，联结OB，求证：OB⊥BC；
（2）延长AP交射线BC于点Q，如果△ABQ是直角三角形，求PQ的长；
（3）当圆心O在菱形ABCD外部时，用含m的代数式表示⊙O的半径，并直接写出m的
取值范围．
A
D
A
O D A D
O
P
P
B C
图11 B C B C
图12 备用图
2．（2023•黄浦区二模）如图，在菱形ABCD中，BC=10，E是边BC上一点，过点E作
EH⊥BD，垂足为点H，点G在边AD上，且GD=CE，联结GE，分别交BD、CH于点
M、N．
（1）已知 ，
①当EC=4时，求△BCH的面积；
②以点H为圆心，HM为半径作圆H，以点C为圆心，半径为1作圆C，圆H与圆C有且
仅有一个公共点，求CE的值；
（2）延长AH交边BC于点P，当设CE=x，请用含x的代数式表示 的值.
A G D A G D
M M
H H
N N
C C
B E B E
图6 备用图
3．（2023•金山区二模）如图，已知在ABC中，AB=AC，点D是边BC中点，在边AB上取一点E，使得DE=DB，延长ED交AC延长线于点F．
（1）求证：∠A=∠CDF；
（2）设AC的中点为点O，
① 如果CD为经过A、C、D三点的圆的一条弦，当弦CD恰好是正十边形的一条边时，
求CF：AC的值；
② ⊙M经过C、D两点，联结OM、MF，当∠OFM=90°，AC=10， 时，求⊙M
的半径长．
B
E
D
A C F
4、（2023•静安区二模）如图25-①，扇形MON的半径为r，圆心角∠MON=90°，点A是
M N 上的动点（点 A不与点M、N重合），点B、C分别在半径OM、ON上，四边形
ABOC为矩形，点G在线段BC上，且CG=2BG．
（1）求证：CG ；
（2）如图25-②，以A为顶点、AC为一边，作∠CAP=∠BCO，射线AP交射线ON于点
P，联结AN、OG．
①当∠BGO=∠ANP时，求△OBG与△ANP的面积之比；
②把△OGB沿直线OG翻折后记作△OGB，当OB⊥BC时，求∠P的正切值．
M
M
A
B
A
B
G
G
O C N O C N P
图25-① 图25-②5、（2023•普陀区二模）如图1，半圆O的直径AB=4，点C是 上一点（不与点A、B
重合），点D是 的中点，分别联结AC、BD．
（1）当AC是圆O的内接正六边形的一边时，求BD的长；
（2）设AC=x，BD=y，求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）定义：三角形一边上的中线把这个三角形分成两个小三角形，如果其中有一个小三角
形是等腰三角形，且这条中线是这个小三角形的腰，那么这条中线就称为这个三角形的中
腰线．分别延长AC、BD相交于点P，联结PO．PO是△ 的中腰线，求AC的长．
PAB
C
D
A O B A O B
图1 备用图
6、（2023•青浦区二模）如图，半圆 O 的直径 AB=10，点 C 在半圆 O 上，BC=6，
CH⊥AB，垂足为点H，点D是弧AC上一点．
（1）若点D是弧AB的中点，求tan∠DOC的值；
（2）联结BD交半径OC于点E，交CH于点F，设OE=m．
①用含m的代数式表示线段CF的长；
②分别以点O为圆心OE为半径、点C为圆心CF为半径作圆，当这两个圆相交时，求m
取值范围．
C
A B
O H
图1
7、（2023•松江区二模）如图7，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，点O与点O关于直线AC对称，射线AO交半圆O于点D，弦AC交 于点E、交OD于点F．
（1）如图8，如果点O′恰好落在半圆O上，求证： ；
（2）如果∠DAB=30°，求 的值；
（3）如果OA=3，OD1，求OF的长.
D O′
C
O′ C
E
F
E
A O B A O B A O B
（图7） （图8） （备用图）
8、（2023•长宁区二模）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心、AC为半径的
⊙A交边AB于点D，点E在边BC上，满足CE=BD，过点E作EF⊥CD交AB于点F，
垂足为点G.
（1）求证：△BCD∽△BFE；
CM DF
+
AC AD
（2）延长EF与CA的延长线交于点M，如图2所示，求 的值；
（3）以点B为圆心、BE为半径作⊙B，当BC=8，AF=2时，请判断⊙A与⊙B的位置关
系，并说明理由.
C C
C
（
E E
E
G G
G
A A
B B
A B F D F D
F D
M M图1） （图2） （备用图）
