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专题 2022 年上海二模各区分类汇编-24 题
专题一 二次函数与角度问题
【知识梳理】
【历年真题】
1、（2023•金山区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 经过点
A(-2，0)和点 ，直线AB与y轴交于点C，与抛物线的对称轴直线l交于点D．
（1）求抛物线的表达式及对称轴；
（2）如果该抛物线平移后经过点C，其顶点P在原抛物线上，且点P在直线l的右侧，求
点P的坐标；
（3）点E在直线l上，若 ，求点E的坐标．
y
O x【考点】二次函数综合题．
版权所有
【专题】代数几何综合题；分类讨论；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；创
新意识．
【答案】（1）y＝ x2﹣x﹣4，抛物线的对称轴为x＝1；（2）P的坐标为：（3，﹣
）；（3）点E的坐标为：（1， ）或（1，﹣2）．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）设抛物线的表达式为：y＝ x2+tx+2，得到P坐标为：（﹣t，2﹣ t2），进而求
解；
（3）当点E在AB上方时，在△ENB中，∠ENH＝45°，tan∠ABE＝ ，BN＝5 ，求
出EN＝ x＝ ，即可求解；当点E′在AB下方时，同理可解．
【解答】解：（1）由题意得： ，
解得： ，
则抛物线的表达式为：y＝ x2﹣x﹣4，
则抛物线的对称轴为x＝1；
（2）由题意得，新抛物线的表达式为：y＝ x2+tx+2，
则顶点P坐标为：（﹣t，2﹣ t2），
将该点坐标代入y＝ x2﹣x﹣4得：2﹣ t2＝ t2+t﹣4，
解得：t＝2（舍去）或﹣3，
即P的坐标为：（3，﹣ ）；（3）由A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝x+2，
当点E在AB上方时，
过点E作EH⊥AB于点H，设AB交抛物线对称轴于点N，
当x＝1时，y＝x+2＝3，即点N（1，3），
由点B、N的坐标得，BN＝5 ，
由直线AB的表达式知，其与x轴坐标轴的夹角为45°，
即∠NAD＝45°＝∠AND＝∠ENH，
在△ENB中，∠ENH＝45°，tan∠ABE＝ ，BN＝5 ，
设EH＝x＝NH，则BH＝3x，
则BN＝NH+BH＝x+3x＝4x＝5 ，则x＝ ，
则EN＝ x＝ ，
则点E的坐标为：（1， ）；
当点E′在AB下方时，
同理可得：NE′＝5，
则点E′的坐标为：（1，﹣2）；
综上，点E的坐标为：（1， ）或（1，﹣2）．
【点评】本题为二次函数综合题，涉及到一次函数的基本性质、解直角三角形、图象的平移等，有一定的综合性，难度适中．
y x+2
2、（2023•松江区二模）在平面直角坐标系xOy中（如图6），已知直线 与y轴
y xt2 1t 0
交于点A，抛物线 的顶点为B.
（1）若抛物线经过点A，求抛物线解析式；
（2）将线段OB绕点B顺时针旋转90°，点O落在点C处，如果点C在抛物线上，求点C
的坐标；
yx+2
（3）设抛物线的对称轴与直线 交于点 D，且点 D 位于 x 轴上方，如果
BOD45
，求t的值.
y
3
2 A
1
-1 O 1 2 3 x
-1
（图6）
【考点】二次函数综合题．
版权所有
【专题】代数几何综合题；图形的全等；推理能力．
【答案】（1）y＝（x﹣ ）2﹣1；（2）C的坐标为：（2，0）；（3）t＝ ．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）证明△BOM≌△CBN（AAS），得到点C的坐标为：（t+1，﹣1+t），即可求解；
（3）△HGO≌△BNH（AAS），得到GH＝m＝BN＝ m+1且OG＝ m＝HN＝t﹣
m，即可求解．【解答】解：（1）对于y＝﹣x+2，当x＝0时，y＝2，即点A（0，2），
将点A的坐标代入抛物线表达式得：2＝（0﹣t）2﹣1，
解得：t＝ （不合题意的值已舍去），
故抛物线的表达式为：y＝（x﹣ ）2﹣1；
（2）如图，过点B作x轴的平行线交过点C和y轴的平行线于点N，交y轴于点M，
∵将线段OB绕点B顺时针旋转90°，点O落在点C处，
则OB＝BC，∠OBC＝90°，
∴∠OBM+∠CBN＝90°，∠CBN+∠BCN＝90°，
∴∠OBM＝∠BCN，
∵∠BOM＝∠CBN＝90°，BC＝OB，
∴△BOM≌△CBN（AAS），
∴BN＝OM＝1，CN＝BM＝t，
则点C的坐标为：（t+1，﹣1+t），
将点C的坐标代入抛物线表达式得：﹣1+t＝（t+1﹣t）2﹣1，
解得：t＝1，
则点C的坐标为：（2，0）；
（3）设点D（t，2﹣t），
则直线OD的表达式为：y＝ x，
过点B作BH⊥OD交OD于点H，过点H作x轴的平行线交抛物线对称轴于点N，交y
轴于点G，设点H（m， m），
∵∠BOD＝45°，即△BOH为等腰直角三角形，
则OH＝BH，∠OHB＝90°，
由（2）知，△HGO≌△BNH（AAS），
则GH＝m＝BN＝ m+1且OG＝ m＝HN＝t﹣m，
整理得：t2﹣t﹣1＝0，
解得：t＝ （负值已舍去）．
【点评】本题为二次函数综合题，涉及到三角形全等、解分式方程等，正确处理 45°角
是本题解题的关键．
3、（2023•杨浦区二模）已知抛物线C1： 与x轴相交于点A（-2，0）和点B，
与y轴交于点C（0，2）.
（1）求抛物线C 的表达式；
1
（2）把抛物线C 沿射线CA方向平移得到抛物线C2，此时点A、C分别平移到点D、E处，
1
且都在直线AC上，设点F在抛物线C1上，如果△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，
求点F的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，设点M为线段BC上的一点，EN⊥EM，交直线BF于点
N，求 的值.
y
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1O 1 2 3 x
-1-
【考点】二次函数综合题．
版权所有
【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y＝﹣ x2+2；
（2）F（﹣4，﹣6）；
（3）tan∠ENM＝2．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得解析式；
（2）根据A、C的坐标求得直线AC的解析式为y＝x+2，根据题意求得EF＝4，求得
EF∥y轴，设 F（m，﹣ m2+2），则 E（m，m+2），从而得出（m+2）﹣（﹣
m2+2）＝4，解方程即可求得F的坐标；
（3）先求得四边形 DFBC 是矩形，作 EG⊥AC，交 BF 于 G，然后根据
△EGN∽△EMC，对应边成比例即可求得tan∠ENM＝ ＝2．
【解答】解：（1）∵抛物线C ：y＝ax2+b经过点A（﹣2，0）和C（0，2），
1
∴ ，解得 ，
∴抛物线C 的解析式为y＝﹣ x2+2；
1
（2）如图1，∵A（﹣2，0），C（0，2），
∴AC＝ ＝2 ，
设直线AC的解析式为y＝kx+c，
∴ ，解得 ，
∴直线AC的解析式为y＝x+2，
∵△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，
∴∠DEF＝45°，
由平移得DE＝AC＝2 ，
∴EF＝ DE＝4，
设F（m，﹣ m2+2），则E（m，m+2），
∴（m+2）﹣（﹣ m2+2）＝4，
解得m＝2（舍）或m＝﹣4，
∴F（﹣4，﹣6）；
（3）如图2，∵抛物线C 的解析式为y＝﹣ x2+2，令y＝0，则0＝﹣ x2+2，
1
解得x＝2或﹣2，
∴B（2，0），
∵点A（﹣2，0）和C（0，2），
∴∠BCA＝90°，AC＝BC＝2 ，
∴BC⊥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF∥BC，
∵DF＝DE＝BC＝AC，
∴四边形DFBC是矩形，
作EG⊥AC，交BF于G，
∴EG＝BC＝AC＝2 ，
∵EN⊥EM，
∴∠MEN＝90°，
∵∠CEG＝90°，
∴∠CEM＝∠NEG，
∴△ENG∽△EMC，
∴ ，∵F（﹣4，﹣6），EF＝4，
∴E（﹣4，﹣2），
∵C（0，2），
∴EC＝ ＝4 ，
∴ ＝ ＝2，
∴tan∠ENM＝ ＝2．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的
解析式，等腰直角三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，
解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决
问题，属于中考压轴题．
y=ax2 +2x+6
4、（2023•长宁区二模）已知抛物线 与x轴交于点A、点B（点A在点B
的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且OB=OC.
（1）求抛物线的表达式.
（2）如图1，点D是抛物线上一点，直线BD恰好平分△ABC的面积，求点D的坐标；
（3）如图2，点E坐标为（0，-2），在抛物线上存在点P，满足∠OBP=2∠OBE，请直接
写出直线BP的表达式.
【考点】二次函数综合题．
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【专题】代数几何综合题；二次函数的应用．
【答案】（1）y＝﹣ x2+2x+6；（2）D（﹣ ， ）；
（3）y＝﹣ x+ 或y＝ x﹣ ．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）记直线BD交AC于点G，由直线BD恰好平分△ABC的面积，那么点G为AC的中点，
过点G、D分别作x轴的垂线，垂足分别为点N、T，设D（t，﹣ +2t+6），故DT＝﹣
t2+2t+6，OT＝﹣t，得出 ，解方程求出t的值即可；
（3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）由题意可知C（0，6），
∵OB＝OC＝6，∴B（6，0），
∴36a+12+6＝0，
解得a＝﹣ ，∴y＝﹣ x2+2x+6；
（2）由（1）知抛物线的表达式为y＝﹣ x2+2x+6，
故令y＝0得：0＝﹣ x2+2x+6，
解得：x＝﹣2，x ＝6，
2
∴点A的坐标为（﹣2，0）．
即OA＝2，
记直线BD交AC于点G，由直线BD恰好平分△ABC的面积，那么点G为AC的中点，
过点G、D分别作x轴的垂线，垂足分别为点N、T，在△OCA中，GN∥CO，
故由三角形中位线定理可得：GN＝3，ON＝1，
故在Rt△BGN中，tan∠GBN＝ ，
设D（t，﹣ +2t+6），故DT＝﹣ t2+2t+6，OT＝﹣t，
在Rt△BDT中，tan∠DBT＝ ＝ ，
∵tan∠DBT＝tan∠GBN，∴ ，
解得：t ＝﹣ ，t ＝6（舍），
1 2
∴D（﹣ ， ）；
（3）①当点P在x轴上方时，
在y轴上取点G（0，2），连接BG，则∠OBG＝∠OBE，过点B作直线PB交抛物线于点
P，交y轴于点M，使∠GBM＝∠GBO，则∠OBP＝2∠OBE，过点G作GH⊥BM，
∵E（0，﹣2），∴OE＝OG＝GH＝2，
设MH＝x，则MG＝ ，
在Rt△OBM中，OB2+OM2＝MB2，
∴（ +2）2+62＝（x+6）2，解得：x＝ ，
故MG＝ ＝ ，∴OM＝OG+MG＝2+ ＝ ，
∴点M（0， ），
将点B（6，0）、M（0， ）的坐标代入一次函数表达式y＝mx+n，
，解得： ，
∴直线BP的表达式为：y＝﹣ x+ ；
②当点P在x轴下方时，
作点M（0， ）关于x轴的对称点N（0，﹣ ），
求得直线BN的解析式为y＝ x﹣ ，综上所述，直线BP的表达式为y＝﹣ x+ 或y＝ x﹣ ．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，三角形面积
直角三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是熟练运用分类讨论思想和方程的思想解决
问题．
专题二 二次函数与三角形
【知识梳理】
【历年真题】
y=x2 +bx+c
1．（2023•徐汇区二模）如图，已知抛物线 经过点A（-2，7），与x轴
交于点B、C（5，0）.
（1）求抛物线的顶点M的坐标；
（2）点E在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCE沿直线BE翻折，如果点C的对应点F恰好落在抛物线的对称轴上，求点E的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，点Q是抛物线上位于第四象限内的点，当△CPQ
为等边三角形时，求直线BQ的表达式.
第24题图
【考点】二次函数综合题．
版权所有
【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）M（2，﹣9）；
（2）E（2， ）；
（3）y＝﹣ x﹣ ．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式为y＝x2﹣4x﹣5，再运用配方法
化为顶点式即可得出抛物线的顶点M的坐标为（2，﹣9）；
（2）设E（2，t），且t＞0，连接CF，设抛物线的对称轴交x轴于D，利用抛物线的
对称性可得 B（﹣1，0），由翻折的性质可得：BF＝BC＝6，∠FBE＝∠CBE＝
∠CBF，推出△BCF是等边三角形，得出∠CBF＝60°，∠CBE＝30°，再运用解直角三
角形即可求得答案；
（3）取（2）中的点F，连接BF，CF，设直线BQ交y轴于点H，可得△FCB为等边三
角形，再证得△CFP≌△CBQ（SAS），得出∠CBQ＝∠CFP＝30°，利用解直角三角形
求得H（0，﹣ ），再运用待定系数法即可求得直线BQ的表达式．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣2，7），点C（5，0），∴ ，
解得： ，
∵y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
∴抛物线的顶点M的坐标为（2，﹣9）；
（2）设E（2，t），且t＞0，如图，连接CF，设抛物线的对称轴交x轴于D，
则D（2，0），
∵点B、C关于直线x＝2对称，
∴B（﹣1，0），
∴BC＝6，BD＝CD＝3，DE＝t，
由翻折得：BF＝BC＝6，∠FBE＝∠CBE＝ ∠CBF，
∵点F在抛物线的对称轴上，
∴CF＝BF＝6，
∴CF＝BF＝BC，
∴△BCF是等边三角形，
∴∠CBF＝60°，
∴∠CBE＝30°，
∴ ＝tan∠CBE＝tan30°＝ ，
∴ ＝ ，
∴t＝ ，∴E（2， ）；
（3）取（2）中的点F，连接BF，CF，设直线BQ交y轴于点H，
∵BF＝BC＝CF＝6，
∴△FCB为等边三角形，
∴∠BCF＝∠BFC＝60°，
∵FM⊥BC，
∴∠CFP＝ ∠BFC＝30°，
∵点P在抛物线的对称轴上，点Q是抛物线上位于第四象限内的点，△CPQ为等边三
角形，
∴CP＝CQ，∠PCQ＝60°，
∴∠BCF+∠BCP＝∠PCQ+∠BCP，即∠FCP＝∠BCQ，
∴△CFP≌△CBQ（SAS），
∴∠CBQ＝∠CFP＝30°，
在Rt△BOH中，OB＝1，∠BOH＝90°，∠HBO＝30°，
∴ ＝tan∠HBO＝tan30°＝ ，
∴OH＝ ，
∴H（0，﹣ ），
设直线BQ的函数表达式为y＝mx+n，把B（﹣1，0）、H（0，﹣ ）代入，得：，
解得： ，
∴直线BQ的表达式为y＝﹣ x﹣ ．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数和二次函
数的应用，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等，解
本题的关键，熟练掌握代入法求二次函数解析式，添加辅助线构造全等三角形．
专题三 二次函数与四边形
【知识梳理】
【历年真题】
y=−x2 +bx+c
1.（2023•宝山区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 经过点
A(-3,0)、B(1,0)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D.
（1）求二次函数的解析式和顶点D的坐标；
（2）联结AC，试判断△ACD与△BOC是否相似，并说明理由；
（3）将抛物线平移，使新抛物线的顶点E落在线段OC上，新抛物线与原抛物线的对称轴
交于点F，联结EF，如果四边形CEFD的面积为3，求新抛物线的表达式.y y
1 1
-1 O 1 x -1 O 1 x
-1 -1
（备用图）
【考点】二次函数综合题．
版权所有
【专题】方程思想；待定系数法；二次函数图象及其性质；梯形；图形的相似；应用意
识．
【答案】（1）二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；顶点D的坐标为（﹣1，4）；
（2）△ACD∽△COB，理由见解答过程；
（3）新抛物线解析式为y＝﹣x2+1．
【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的解析式为 y＝﹣x2﹣2x+3；化为顶点式即知
顶点D的坐标为（﹣1，4）；
（2）在y＝﹣x2﹣2x+3中，求出C（0，3），即可得AC＝3 ，AD＝2 ，CD＝
，OB＝1，OC＝3，BC＝ ，由三边对应成比例的三角形相似可得答案；
（3）由新抛物线的顶点E落在线段OC，设新抛物线表达式为y＝﹣x2+m，即可得CE
＝3﹣m，DF＝4﹣（﹣1+m）＝5﹣m，根据四边形CEFD的面积为3，有 ×1×（3﹣
m+5﹣m）＝3，解出m的值即可得新抛物线解析式为y＝﹣x2+1．
【解答】解：（1）把A（﹣3，0）、B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得 ，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；
（2）△ACD∽△COB，理由如下：
在y＝﹣x2﹣2x+3中，令x＝0得y＝3，
∴C（0，3），
∵A（﹣3，0）、B（1，0），D（﹣1，4），O（0，0），
∴AC＝3 ，AD＝2 ，CD＝ ，OB＝1，OC＝3，BC＝ ，
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴△ACD∽△COB；
（3）如图：
由新抛物线的顶点E落在线段OC，设新抛物线表达式为 y＝﹣x2+m，则顶点E（0，
m），
∵原抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴F（﹣1，﹣1+m），
∴CE＝3﹣m，DF＝4﹣（﹣1+m）＝5﹣m，∵四边形CEFD的面积为3，
∴ ×1×（3﹣m+5﹣m）＝3，
解得m＝1，
∴新抛物线解析式为y＝﹣x2+1．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形相似的判定，平移变
换等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和利用梯形面积公式列方程．
y x4
2（2023•黄浦区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 与x轴、y轴分别
y x2 bxc
交于点A、B，抛物线 经过点A、B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是△ABC的外接圆的圆心，求点P坐标；
（3）点D坐标是(0，4)，点M、N在抛物线上，且四边形MBND是平行四边形，求线段
MN的长．
y
A O x
B
图【考点】二次函数综合题．
版权所有
【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y＝x2+3x﹣4；
（2）点P坐标为（﹣ ，﹣ ）；
（3）4 ．
【分析】（1）根据一次函数y＝﹣x﹣4可以求出A点和B点坐标，把A点和B点坐标
代入y＝x2+bx+c即可求出抛物线的表达式；
（2）求出抛物线与x轴的另一个交点为C，由点P是△ABC的外接圆的圆心，可得点P
在AB的垂直平分线上，设P（a，a），根据PA＝PC即可求解；
（3）画出图形，设M（m，m2+3m﹣4），N（n，n2+3n﹣4），根据平行四边形的性质
求出点M、N的坐标，即可求解．
【解答】解：（1）在y＝﹣x﹣4中，
x＝0时，y＝﹣4，
y＝0时，x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0，﹣4），
把A（﹣4，0），B（0，﹣4）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得 ，
∴抛物线的表达式为y＝x2+3x﹣4；
（2）在y＝x2+3x﹣4中令y＝0得x ＝1，x ＝﹣4，
1 2
∴C（1，0），
∵点P是△ABC的外接圆的圆心，
∴点P在AB的垂直平分线上，
∵A（﹣4，0），B（0，﹣4），
∴OA＝OB，
∴AB的垂直平分线过点O，
∴直线OP的解析式为y＝x，
设P（a，a），∵点P是△ABC的外接圆的圆心，
∴PA＝PC，
∴a2+（a+4）2＝a2+（1﹣a）2，
∴a＝﹣ ，
∴点P坐标为（﹣ ，﹣ ）；
（3）如图，
设M（m，m2+3m﹣4），N（n，n2+3n﹣4），
∵点D坐标是（0，4），B（0，﹣4），四边形MBND是平行四边形，
∴ ，
解得 或 ，
∴点M、N的坐标为（2，6），（﹣2，﹣6），
∴MN＝ ＝4 ．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法
求二次函数解析式、勾股定理、三角形的外接圆、平行四边形的性质，灵活运用相关知
识和方法是解决问题的关键．yax2 4xc
3.（2023•静安区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 （a≠0）
与x轴分别交于点A（1，0）、点B（3，0），与y轴交于点C，联结BC，点P在线段BC
上，设点P的横坐标为m．
（1）求直线BC的表达式；
（2）如果以P为顶点的新抛物线经过原点，且与x轴的另一个交点为D：
①求新抛物线的表达式（用含m的式子表示），并写出m的取值范围；
②过点P向x轴作垂线，交原抛物线于点E，当四边形AEDP是一个轴对称图形时，求新
抛物线的表达式．
y
C
O A B x
第24题图
【考点】二次函数综合题．
版权所有
【专题】代数几何综合题；分类讨论；运算能力；推理能力．
【答案】（1）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3；（2）①y＝ （x﹣m）2﹣m+3，（0＜
m＜3）；②y＝﹣ （x﹣2）2+1．【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）①设点P（m，﹣m+3）（0＜m＜3），设新抛物线的表达式为：y＝t（x﹣m）2﹣
m+3，再用待定系数法即可求解；
②当点D在y轴左侧时，此时，点P不可能在BC上，故点D只能在y轴右侧，当PE垂直
平分AD时，则m﹣1＝2m﹣m，即可求解；当AD垂直平分PE时，则y ＝|y |，进而求解．
P E
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），
则﹣4a＝﹣4，则a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，则点C（0，3），
设直线BC的表达式为：y＝kx+3，
将点B的坐标代入上式得：0＝3k+3，
解得：k＝﹣1，
即直线BC的表达式为：y＝﹣x+3；
（2）①设点P（m，﹣m+3）（0＜m＜3），
则设新抛物线的表达式为：y＝t（x﹣m）2﹣m+3，
将点O的坐标为（0，0）代入上式得：0＝t（0﹣m）2﹣m+3，
解得：t＝ ，
则新抛物线的表达式为：y＝ （x﹣m）2﹣m+3，（0＜m＜3）；
②当点D在y轴左侧时，此时，点P不可能在BC上，故点D只能在y轴右侧，
由新抛物线的表达式知，其对称轴为x＝m，则点D（2m，0），当PE垂直平分AD时，则m﹣1＝2m﹣m，
此方程无解，即此种情况不存在；
当AD垂直平分PE时，则y ＝|y |，即﹣m+3＝﹣（m2﹣4m+3），
P E
解得：m＝3（舍去）或2，
故新抛物线的表达式为：y＝﹣ （x﹣2）2+1．
【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及到待定系数求函数解析式、垂直平分线的性质
图象的平移等，有一定的综合性，难度适中．
3.（2023•浦东新区二模）如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物
线 经过A、C两点，且与x轴的另一个交点为B，抛物线的顶点为P．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如果抛物线的对称轴与直线BC交于点D，求tan∠ACD的值；
（3）平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于点E，顶点Q在原抛物线上．
当四边形BPQE是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式．
y
5
4
3
2
1
– – – – – O 1 2 3 4 5 x
5 4 3 2 1 –
1
–
2
–
3
–
4
【考点】二次–函数综合题．
5 版权所有
（图）
【专题】代数几何综合题；分类讨论；多边形与平行四边形；数据分析观念；推理能力．
【答案】（1）y＝ x2+ x﹣2；（2）3；（3）y＝ （x+3）2﹣ ．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）过点H作HN⊥BC于点N，HN＝DN＝ DH＝ ，CN＝CD﹣ND＝＝ ，则tan∠ACD＝ ＝ ＝3；
（3）PB是平行四边形的边，则当点P向右平移3个单位向上平移 个单位得到B，同
样点Q（E）向右平移3个单位向上平移 个单位得到E（Q），进而求解．
【解答】解：（1）对于 ，当x＝0时，y＝﹣2，即点C（0，﹣2），
令 ＝0，则x＝﹣4，即点A（﹣4，0），
将点A、C的坐标代入抛物线表达式得： ，
解得： ，
则抛物线的表达式为：y＝ x2+ x﹣2；
（2）设AC交抛物线对称轴于点H，
当x＝﹣1时， ＝﹣ ，则点H（﹣1，﹣ ），
由抛物线的表达式知，点B（2，0），点P（﹣1，﹣ ），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x﹣2，
当x＝﹣1时，y＝x﹣2＝﹣3，即点D（﹣1，﹣3），则HD＝ ，
由C、D的坐标得，CD＝ ，
∵OB＝OC＝2，
则直线BC和x轴正半轴的夹角为45°，则∠HDC＝45°，
过点H作HN⊥BC于点N，则HN＝DN＝ DH＝ ，
则CN＝CD﹣ND＝ ＝ ，
则tan∠ACD＝ ＝ ＝3；
（3）设点E（0，t），点Q（m， m2+ m﹣2），
∵PB是平行四边形的边，
∴当点P向右平移3个单位向上平移 个单位得到B，同样点Q（E）向右平移3个单位
向上平移 个单位得到E（Q），
即m±3＝0且 m2+ m﹣2± ＝t，
解得： 或 ，
即点Q、E的坐标分别为：（﹣3，﹣ ）、（0，1）或（3， ）、（0，﹣ ）；
当点Q、E的坐标为（﹣3，﹣ ）、（0，1）时，
则抛物线的表达式为：y＝ （x+3）2﹣ ，
当x＝0时，y＝ （x+3）2﹣ ＝1，即当点Q是抛物线顶点时，该抛物线与y轴的交点为E，符合题设条件；
当点Q、E的坐标为（3， ）、（0，﹣ ）时，
则抛物线的表达式为：y＝ （x﹣3）2+ ，
当x＝0时，y＝ （x﹣3）2+ ，
即当点Q是抛物线顶点时，该抛物线与y轴的交点不为E，不符合题设条件，
综上，平移后抛物线的表达式为：y＝ （x+3）2﹣ ．
【点评】此题为二次函数综合题，重点考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与
性质、图象的平移、平行四边形的性质等，数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识
与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
专题四 二次函数与其他
【知识梳理】
【历年真题】
1．（2023•崇明区二模）如图，在直角坐标平面xOy中，直线 分别与x轴、y轴
交于A、B两点，抛物线 经过A、B两点，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）抛物线与x轴的另一个交点为C，点 在抛物线对称轴左侧的图像上，将抛
物线向上平移m个单位（ ），使点M落在△ABC内，求m的取值范围；
（3）对称轴与直线AB交于点E，P是线段AB上的一个动点（P不与E重合），过P作y轴的平行线交原抛物线于点Q，当 时，求点Q的坐标．
【考点】二次函数综合题．
版权所有
【专题】代数几何综合题；应用意识．
【答案】（1）抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5，顶点D的坐标是（3，﹣4）；
（2）m的取值范围是得 ＜m＜ ；
（3）点Q的坐标为（2，﹣3）或（4，﹣3）．
【分析】（1）由直线y＝﹣x+5分别与x轴、y轴交于A、B两点，求得A（5，0），B
（0，5），再将A（5，0），B（0，5）代入y＝x2+bx+c，列方程组并且解该方程组，
即可求得抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5，再将该解析式配方成顶点式，可求得抛物线
的顶点D的坐标是（3，﹣4）；（2）抛物线的对称轴为直线x＝3，则a＜3，将（a，﹣ ）代入y＝x2﹣6x+5，得﹣
＝a2﹣6a+5，求得符合题意的a值为 ，则M（ ，﹣ ），过点M作MF⊥x轴于点
F，交AB于点G，则F（ ，0），直线y＝﹣x+5，当x＝ 时，y＝ ，则G（ ，
），由抛物线向上平移m个单位，点M落在△ABC内，得0＜﹣ +m＜ ，即可求得m
的取值范围是得 ＜m＜ ；
（3）作PH⊥DE于点H，QL⊥DE于点L，可求得E（3，2），则DE＝2+4＝6，设Q
（x，x2﹣6x+5），则P（x，﹣x+5），所以PQ＝﹣x2+5x，当点P在直线DE的左侧，
可证明Rt△PHE≌Rt△QLD，得∠PEH＝∠QDL，则PE∥QD，所以四边形PQDE是平
行四边形，则PQ＝DE＝6，于是得﹣x2+5x＝6，求得符合题意的得x值为2，则Q（2，
﹣3）；当点P在直线DE的右侧，可证明∠HPE＝∠HEP＝45°，则EH＝DL＝PH＝x﹣
3，所以PQ＝6﹣2（x﹣3）＝12﹣2x，于是得﹣x2+5x＝12﹣2x，求得符合题意的x值为
4，则Q（4，﹣3）．
【解答】解：（1）直线y＝﹣x+5，当x＝0时，y＝5；
当y＝0时，则0＝﹣x+5，解得x＝5，
∴A（5，0），B（0，5），
∵抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5；
∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线的顶点D的坐标是（3，﹣4）．
（2）∵抛物线的顶点D的坐标是（3，﹣4），
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
∵M（a，﹣ ）在抛物线对称轴左侧的图象上，
∴a＜3，将（a，﹣ ）代入y＝x2﹣6x+5，得﹣ ＝a2﹣6a+5，
解得a ＝ ，a ＝ （不符合题意，舍去），
1 2
∴M（ ，﹣ ），
如图1，过点M作MF⊥x轴于点F，交AB于点G，则F（ ，0），
直线y＝﹣x+5，当x＝ 时，y＝﹣ +5＝ ，
∴G（ ， ），
∵点C与点A（5，0）关于直线x＝3对称，
∴C（1，0），
∵抛物线向上平移m个单位（m＞0），点M落在△ABC内，
∴0＜﹣ +m＜ ，解得 ＜m＜ ，
∴m的取值范围是得 ＜m＜ ．
（3）作PH⊥DE于点H，QL⊥DE于点L，
直线y＝﹣x+5，当x＝3时，y＝2，
∴E（3，2），
∴DE＝2+4＝6，
设Q（x，x2﹣6x+5），则P（x，﹣x+5），
∴PQ＝﹣x+5﹣（x2﹣6x+5）＝﹣x2+5x，
当点P在直线DE的左侧，如图2，
∵PQ∥DE，
∴PH＝QL，
∵∠PHE＝∠QLD＝90°，PE＝QD，
∴Rt△PHE≌Rt△QLD（HL），
∴∠PEH＝∠QDL，
∴PE∥QD，
∴四边形PQDE是平行四边形，
∴PQ＝DE＝6，∴﹣x2+5x＝6，解得x ＝2，x ＝3（不符合题意，舍去），
1 2
∴Q（2，﹣3）；
当点P在直线DE的右侧，如图3，
∵∠PHE＝∠QLD＝90°，PE＝QD，PH＝QL，
∴Rt△PHE≌Rt△QLD（HL），
∴EH＝DL，
∵OA＝OB＝5，∠AOB＝90°，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
∴∠HEP＝∠OBA＝45°，
∴∠HPE＝∠HEP＝45°，
∴EH＝DL＝PH＝x﹣3，
∴PQ＝6﹣2（x﹣3）＝12﹣2x，
∴﹣x2+5x＝12﹣2x，解得x ＝4，x ＝3（不符合题意，舍去），
1 2
∴Q（4，﹣3），
综上所述，点Q的坐标为（2，﹣3）或（4，﹣3）．【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法
求函数的解析式、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、一元二次方程
的解法等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
y=−x2 +bx+3
2、（2023•奉贤区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与x
轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式和对称轴；（2）联结AC、BC，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果△ABD的面积
与△ABC的面积相等，求点D的坐标；
（3）设点P（m，4）（m >0），点E在抛物线的对称轴上（点E在顶点上方），当
EP 5
=
AP 4
∠APE=90°，且 时，求点E的坐标．
y
O
x
【考点】二次函数综合题．
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图9
【专题】代数几何综合题；图形的相似；数据分析观念；推理能力．
【答案】（1）抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3，抛物线的对称轴为x＝﹣1；（2）点D
（﹣2，3）；（3）点E的坐标为：（﹣1， ）．
【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣1+b+3，解得：b＝﹣2，即可求
解；
（2）D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），△ABD的面积与△ABC的面积相等，
则y ＝y ＝3，进而求解；
D C
（3）证明△EMP∽△PNA，得到 ，即可求解．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣1+b+3，解得：b＝﹣2，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3，
则抛物线的对称轴为x＝﹣ ＝﹣1；
（2）∵D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），△ABD的面积与△ABC的面积相
等，
则y ＝y ＝3，
D C
则点C、D关于抛物线的对称轴对称，故点D（﹣2，3）；
（3）设点E（﹣1，t），过点P作x轴的垂线，交x轴于点N，交过点E和x轴的平行线于点M，
∵∠APE＝90°，则∠EPM+∠APN＝90°，
∵∠PAN+∠APN＝90°，∴∠EPM＝∠PAN，
∵∠EMP＝∠PNA＝90°，∴△EMP∽△PNA，
∴ ，
则 ，
解得：t＝ ，
即点E的坐标为：（﹣1， ）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、三角形相似、面积的计算
等，有一定的综合性，难度适中．
3．（2023•普陀区二模）在平面直角坐标系 xOy 中（如图 1），已知抛物线
与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．抛物线
的顶点为点D．
（1）求抛物线的表达式，并写出点D的坐标；
（2）将直线BC绕点B顺时针旋转，交y轴于点E．此时旋转角∠EBC等于∠ABD．
①求点E的坐标；
②二次函数 的图像始终有一部分落在△ECB的内部，求实数b的取值
范围．
y
1【考点】二次函数综合题．
版权所有
【专题】数形结合；待定系数法；二次函数图象及其性质；平移、旋转与对称；应用意识．
【答案】（1）抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；顶点D坐标为（1，﹣4）；
（2）①点E的坐标为（0，1）；
②当﹣4＜b＜ 时，二次函数y＝x2+2bx+b2﹣1的图象始终有一部分落在△ECB的内部．
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的表达式，配成顶点式可得D的坐标；
（2）由①∠EBC＝∠ABD，得∠EBO＝∠CBD，根据C（0，﹣3），B（3，0），D（1，
﹣4），得tan∠CBD＝ ＝ ，即可得 ＝ ，OE＝1，故点E的坐标为（0，1）；
②将所给的抛物线解析式化为顶点式，可得：y＝（x+b）2﹣1，由于b值不确定，因此该
函数的顶点在直线y＝﹣1上左右移动；图象始终有一部分落在△ECB的内部可考虑两种情
况：①当对称轴右侧的抛物线经过点E时，求出b的值；②当对称轴左侧的抛物线经过
点B时，求出b的值；根据上述两种情况下b的取值即可求得实数b的取值范围．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2﹣2x+c得： ，
解得： ，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线顶点D坐标为（1，﹣4）；
（2）①如图：
∵∠EBC＝∠ABD，∴∠EBO＝∠CBD，
在y＝x2﹣2x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），
∵B（3，0），D（1，﹣4），∴BC2＝18，CD2＝2，BD2＝20，
∴BC2+CD2＝BD2，∴∠BCD＝90°，
∴tan∠CBD＝ ＝ ＝ ，
∴tan∠EBO＝ ，∴ ＝ ，
∵OB＝3，∴OE＝1，
∴点E的坐标为（0，1）；
②∵y＝x2+2bx+b2﹣1＝（x+b）2﹣1，
∴二次函数y＝x2+2bx+b2﹣1图象的顶点为（﹣b，﹣1），
∴二次函数y＝x2+2bx+b2﹣1图象的顶点在直线y＝﹣1上左右移动，如图：
当对称轴右侧的抛物线过E（0，1）时，b2﹣1＝1，解得：b＝﹣ （舍去）或b＝ ；
当对称轴左侧的抛物线过B（3，0）时，（3+b）2﹣1＝0，
解得：b＝﹣4或b＝﹣2（舍去），
由图象可得，当﹣4＜b＜ 时，二次函数 y＝x2+2bx+b2﹣1的图象始终有一部分落在
△ECB的内部．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，旋转变换，锐角三角函数等知
识，解题的关键是数形结合数形的应用．
4 ． （ 2023• 虹 口 区 二 模 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 抛 物 线
的顶点为A，与y轴相交于点B，异于顶点A的点C（2，n）
在该抛物线上．
（1）如图，点B的坐标为（0，1）．
①求点A的坐标和n的值；
②将抛物线向上平移后的新抛物线与x轴的一个交点为D，顶点A移至点A ，如果四边形
1
DCAA 为平行四边形，求平移后新抛物线的表达式；
1
（2）直线AC与y轴相交于点E，如果BC∥AO且点B在线段OE上，求m的值．【考点】二次函数综合题．
版权所有
【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）①A（3，﹣8），n＝﹣7；
②y＝（x﹣3）2﹣1；
（2）m的值为﹣1+ ．
【分析】（1）①将B（0，1）代入y＝x2﹣2（m+1）x+2m﹣3，得2m﹣3＝1，则m＝2，
由y＝x2﹣6x+1＝（x﹣3）2﹣8，得A（3，﹣8）；将C（2，n）代入y＝x2﹣6x+1，可求得
n＝﹣7；
②由平行四边形的性质得DC∥AA ，DC＝AA ，因为AA ⊥x轴，所以DC⊥x轴，则AA
1 1 1 1
＝DC＝7，可知抛物线y＝（x﹣3）2﹣8向上平移了7个单位，所以平移后新抛物线的表达
式为y＝（x﹣3）2﹣1；
（2）先求得B（0，2m﹣3），C（2，﹣2m﹣3），A（m+1，﹣m2﹣4），可求得直线AC
的表达式为y＝（1﹣m）x﹣5，则E（0，﹣5）；设直线OA的表达式为y＝px，则﹣m2﹣4
＝p（m+1），得 p＝ ；设直线 BC 的表达式为 y＝qx+r，则 ，得
，由BC∥AO得﹣2m＝ ，即可求得符合题意的m值为﹣1+ ．
【解答】解：（1）①∵点B（0，1）在抛物线y＝x2﹣2（m+1）x+2m﹣3上，
∴2m﹣3＝1，解得m＝2，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣6x+1，
∵y＝x2﹣6x+1＝（x﹣3）2﹣8，点A是该抛物线的顶点，
∴A（3，﹣8）；
∵点C（2，n）在抛物线y＝x2﹣6x+1上，
∴n＝22﹣6×2+1＝﹣7．
②如图1，∵四边形DCAA 为平行四边形，
1
∴DC∥AA ，DC＝AA ，
1 1
∵将抛物线向上平移，∴AA ⊥x轴，
1
∴DC⊥x轴，
∵C（2，﹣7），∴AA ＝DC＝7，
1
∴抛物线y＝（x﹣3）2﹣8向上平移7个单位，
∵﹣8+7＝﹣1，
∴平移后新抛物线的表达式为y＝（x﹣3）2﹣1．
（2）如图2，抛物线y＝x2﹣2（m+1）x+2m﹣3，当x＝0时，y＝2m﹣3；
当x＝2时，y＝﹣2m﹣3，
∴B（0，2m﹣3），C（2，﹣2m﹣3）；
∵y＝x2﹣2（m+1）x+2m﹣3＝（x﹣m﹣1）2﹣m2﹣4，
∴A（m+1，﹣m2﹣4），
设直线AC的表达式为y＝sx+t，则 ，
∴ ，∴y＝（1﹣m）x﹣5，
当x＝0时，y＝﹣5，
∴E（0，﹣5）；
设直线OA的表达式为y＝px，则﹣m2﹣4＝p（m+1），
∴p＝ ；
直线BC的表达式为y＝qx+r，则 ，
∴ ，∵BC∥OA，∴q＝p，
∴﹣2m＝ ，
解得m ＝﹣1+ ，m ＝﹣1﹣ ，
1 2
当m＝﹣1+ 时，则2m﹣3＝2（﹣1+ ）﹣3＝﹣5+2 ，
∴B（0，﹣5+2 ）在线段OE上；
当m＝﹣1﹣ 时，则2m﹣3＝2（﹣1﹣ ）﹣3＝﹣5﹣2 ，
∴B（0，﹣5﹣2 ）不在线段OE上，
∴m ＝﹣1﹣ 不符合题意，舍去，
2
∴m的值为﹣1+ ．【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求
函数表达式、平行四边形的判定与性质、一元二次方程的解法等知识与方法，此题综合性
强，难度较大，属于考试压轴题．
5．（2023•嘉定区二模）如图8，在直角坐标平面xOy中，点A在y轴的负半轴上，点C
在x轴的正半轴上，AB//OC，抛物线 经过在A、B、C三点．
（1）求点A、B的坐标；
联结AC、OB、BC，当AC⊥OB时，
① 求抛物线表达式；
②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得 ？如果存在，求出所有符合
条件的点P坐标；如果不存在，请说明理由．
图8【考点】二次函数综合题．
版权所有
【专题】代数几何综合题；一次函数及其应用；推理能力．
【答案】（1）点A、B的坐标分别为：（0，﹣4）、（2，﹣4）；（2）①y＝ x2﹣
x﹣4；②存在，P 点坐标为：（1， ）或（1，﹣ ）．
【分析】（1）抛物线的对称轴为：x＝﹣ ＝1，对于y＝ax2﹣2ax﹣4，令x＝0，则y
＝﹣4，即点A（0，﹣4），根据抛物线的对称性，则点B（2，﹣4），即可求解；
（2）①求出直线AC的表达式为：y＝ x﹣4，得到点C（8，0），即可求解；
②过点B作直线n∥AC交y轴于点N，在点A的上方取点M，使AM＝4AN，则S△PAC ＝
4S△ABC ，即可求解．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为：x＝﹣ ＝1，
对于y＝ax2﹣2ax﹣4，令x＝0，则y＝﹣4，即点A（0，﹣4），
根据抛物线的对称性，则点B（2，﹣4），
即点A、B的坐标分别为：（0，﹣4）、（2，﹣4）；
（2）①由点B的坐标得，tan∠AOB＝
∵AC⊥OB，
则tan∠OAC＝2，∵OA＝4，则OC＝8，即点C（8，0），
将点C的坐标代入抛物线表达式得：64a﹣16a﹣4＝0，
解得：a＝ ，
则抛物线的表达式为：y＝ x2﹣ x﹣4①；
②存在，理由：
过点B作直线n∥AC交y轴于点N，在点A的上方取点M，使AM＝4AN，
则S△PAC ＝4S△ABC ，过点M作直线m∥AC，
则直线m的表达式为：y＝ （x﹣2）﹣4，
当x＝1时，y＝ ，即点P（1， ），
则AN＝1，则AM＝4，
即点M（0，0），
则直线m的表达式为：y＝ x﹣8②，
当x＝1时，y＝﹣ ，
即点P（1，﹣ ）；
故P 点坐标为：（1， ）或（1，﹣ ）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数和二次函数的图象和性质、
平行线的性质等，有一定能够的综合性，难度适中．6．（2023•青浦区二模）如图，抛物线 经过点B(6，0)和C(0，3)，与x
轴的另一个交点为点A．
（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）将该抛物线向右平移 m 个单位（m>0），点 C 移到点 D，点 A 移到点 E，若
∠DEC=90°的值；
（3）在（2）的条件下，设新抛物线的顶点为 G，新抛物线在对称轴右侧的部分与x轴交
于点F，求点C到直线GF的距离．
y
C
A O B x
图8
【考点】二次函数综合题．
版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；应用意
识．
【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣ x2+x+3；点A的坐标为（﹣2，0）；
（2） ；
（3）点C到直线GF的距离是 ．
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝﹣ x2+x+3；令y＝0可解得点A的
坐标为（﹣2，0）；
（2）由平移得AC∥DE，平移距离m＝AE，证明∠CAO＝∠OCE，可得 ，故 ，即可得 ；
（3）过点C作CH⊥GF，垂足为点H，过点G作GP⊥x轴，垂足为点P，设直线GF与y
轴交于点M，将抛物线y＝﹣ x2+x+3向右平移 得到新抛物线y＝﹣ （x﹣ ）2+4，
得G（ ，4），P（ ，0），令y＝0得F（ ，0），从而PG＝PF，△GPF是等腰
直角三角形，可得△MOF是等腰直角三角形，△CMH是等腰直角三角形，可求得CH＝
＝ ，即点C到直线GF的距离是 ．
【解答】解：（1）将B（6，0）、C（0，3）代入 得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+x+3；
令y＝0得0＝﹣ x2+x+3，
解得：x＝6或x＝﹣2，
∴点A的坐标为（﹣2，0）；
（2）如图：
由平移得AC∥DE，平移距离m＝AE，
∴∠ACE＝∠DEC＝90°，
∵∠ACO+∠OCE＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°，
∴∠CAO＝∠OCE，∴tan∠CAO＝tan∠OCE，
在Rt△ACO中， ；在Rt△ECO中， ，∴ ，
解得 ，∴ ，
∴ ；
（3）过点C作CH⊥GF，垂足为点H，过点G作GP⊥x轴，垂足为点P，设直线GF与y
轴交于点M，如图：
∵y＝﹣ x2+x+3＝﹣ （x﹣2）2+4，
∴将抛物线y＝﹣ x2+x+3向右平移 得到新抛物线y＝﹣ （x﹣ ）2+4，
∴G（ ，4），P（ ，0），∴PG＝4，
在y＝﹣ （x﹣ ）2+4中，令y＝0得x＝ 或x＝ ，
∴F（ ，0），∴PF＝4，OF＝ ，∴PG＝PF，
∴△GPF是等腰直角三角形，
∴∠GFP＝45°，
∴△MOF是等腰直角三角形，
∴∠CMH＝45°，OM＝OF＝ ，∴△CMH是等腰直角三角形，CM＝OF﹣OC＝ ﹣3＝ ，
∴CH＝ ＝ ，
∴点C到直线GF的距离是 ．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，平移变换，等腰直角三角形的
判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造等腰直角三角形解决问题．
专题四 二次函数与圆的位置关系
【知识梳理】
【历年真题】
1．（2023•闵行区二模）在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 经过点A
（3，0）、B（0，3），与x轴的负半轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）设点D在该抛物线上（位于对称轴右侧部分），联结CD．
①如果CD与线段AB交于点E，且 BE = 2AE，求∠ACD的正切值；
②如果CD与y轴交于点F，以CF为半径的⊙C，与以DB为半径的⊙D外切， 求点D的
坐标．y y
B B
C A C A
O x O x
【考点】二次（函第数24综题合图题）． （备用图）
版权所有
【专题】待定系数法；函数的综合应用；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；
应用意识．
【答案】（1）抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，点C的坐标是（﹣1，0）；
（2）①∠ACD的正切值是 ；
②D（ ， ）．
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，令y＝0得点C的坐
标是（﹣1，0）；
（2）①过E作EK⊥OA于K，由A（3，0）、B（0，3），得直线AB解析式为y＝﹣
x+3，OA＝OB＝3，根据BE＝2AE得KO＝2AK，故K（2，0），可得E（2，1），即得
tan∠ECK＝ ＝ ，∠ACD的正切值是 ；
②过D作DT⊥y轴于T，设D（t，﹣t2+2t+3），则T（0，﹣t2+2t+3），可得直线CD
解析式为y＝（﹣t+3）x﹣t+3，F（0，﹣t+3），根据以CF为半径的 C与以DB为半
径的 D外切，可求出DB＝DF，从而BT＝FT，有3﹣（﹣t2+2t+3）＝⊙﹣t2+2t+3﹣（﹣
⊙
t+3），即可解得D（ ， ）．
【解答】解：（1）把A（3，0）、B（0，3）代入y＝﹣x2+mx+n得：
，
解得： ，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0得：0＝﹣x2+2x+3，
解得：x＝﹣1或x＝3，
∴点C的坐标是（﹣1，0）；
（2）①过E作EK⊥OA于K，如图：
∵A（3，0）、B（0，3），
∴直线AB解析式为y＝﹣x+3，OA＝OB＝3，
∵EK∥OB，
∴ ＝ ＝ ，
∴KO＝2AK，
∴KO＝ OA＝2，
∴K（2，0），
在y＝﹣x+3中，令x＝2得y＝1，
∴E（2，1），
∵C（﹣1，0），
∴EK＝1，CK＝3，
∴tan∠ECK＝ ＝ ，
∴∠ACD的正切值是 ；
②过D作DT⊥y轴于T，如图：设D（t，﹣t2+2t+3），则T（0，﹣t2+2t+3），
∵C（﹣1，0），
∴直线CD解析式为y＝（﹣t+3）x﹣t+3，
令x＝0得y＝﹣t+3，
∴F（0，﹣t+3），
∵以CF为半径的 C与以DB为半径的 D外切，
∴CF+DB＝CD，⊙ ⊙
∵CD＝CF+DF，
∴DB＝DF，
∵DT⊥y轴，
∴BT＝FT，
∵B（0，3），
∴3﹣（﹣t2+2t+3）＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3），
解得：t＝0（舍去）或t＝ ，
∴D（ ， ）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，
锐角三角函数，圆与圆的位置关系等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解
决问题．
