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专题 1 实数与运算
【课堂例题】
1.1 实 数 的 概 念
1．（2023•奉贤区二模）下列实数中，有理数是（ ）
A． B． C． D．
【考点】实数．
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【专题】实数；数感．
【分析】根据有理数和无理数的意义，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵ ＝2 ，∴ 是无理数，故A不符合题意；
B、∵ ＝3，∴ 是有理数，故B符合题意；
C、 是无理数，故C不符合题意；
D、∵ ＝2 ，∴ 是无理数，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．
2．（2023•虹口区二模） 的相反数是（ ）
B．﹣ C．﹣ D．
A．
【考点】实数的性质．
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【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解答】解： 的相反数是﹣ ．
故选：B．
【点评】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
3．（2023•徐汇区二模）下列互为倒数的是（ ）B．﹣2和2 C．3和 D．﹣2和
A．3和
【考点】倒数．
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【专题】实数；数感．
【答案】A
【分析】根据倒数的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵3× ＝1，
∴3和 互为倒数，符合题意；
B、∵（﹣2）×2＝﹣4，
∴﹣2和2不互为倒数，不符合题意；
C、∵3×（﹣ ）＝﹣1，
∴3和﹣ 不互为倒数，不符合题意；
D、∵（﹣2）× ＝﹣1，
∴﹣2和 不互为倒数，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是倒数的定义，熟知乘积是1的两个数叫互为倒数是解题的关键．
4．（2023•崇明区二模）﹣6的绝对值是（ ）
A．﹣6 B．﹣ C． D．6
【考点】绝对值．
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【答案】D
【分析】根据绝对值的定义求解．
【解答】解：|﹣6|＝6．
故选：D．
【点评】本题考查了绝对值的定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是
它的相反数；0的绝对值是0．5．（2023•静安区二模）下列无理数中，在﹣2与0之间的数是（ ）
A． B． C． D．
【考点】估算无理数的大小．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】运用算术平方根的知识进行估算、辨别．
【解答】解：∵1＜ ＜2，2﹣＜﹣ ＜﹣1，
∴﹣3＜﹣1﹣ ＜﹣2，﹣1＜1﹣ ＜0，0＜﹣1+ ＜1，2＜1+ ＜3，
∴1﹣ 在﹣2与0之间，
故选：B．
【点评】此题考查了对无理数大小的估算能力，关键是能准确理解并运用该方法
6．（2023•静安区二模）下列关于9的算术平方根的说法正确的是（ ）
A．9的算术平方根是3与﹣3 B．9的算术平方根是﹣3
C．9的算术平方根是3 D．9的算术平方根不存在
【考点】算术平方根．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】C
【分析】根据算术平方根的意义求解．
【解答】解：9的算术平方根是3，
故选：C．
【点评】本题考查算术平方根的意义，理解算术平方根的意义是解题的关键．
7．（2023•金山区二模）﹣6的相反数为（ ）
B．6 C．±6 D．﹣
A．
【考点】相反数．
版权所有【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：﹣（﹣6）＝6，则﹣6的相反数是6．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正
数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义
与倒数的意义混淆．
8．（2023•松江区二模）﹣3的倒数是（ ）
A．3 B．﹣ C． D．±3
【考点】倒数．
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【答案】B
【分析】根据倒数的定义求解即可．
【解答】解：﹣3得到数是﹣ ，
故选：B．
【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一数的倒数的关键．
9．（2023•宝山区二模）无理数 在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【考点】估算无理数的大小．
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【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】先估计7的范围，再估算 的范围．
【解答】解：∵4＜7＜9，
∴2＜ ＜3，
故选：B．
【点评】本题考查了无理数的估算，常用夹逼法，用相邻的两个整数夹逼无理数是解题
的关键．10．（2023•长宁区二模）下列实数中，比3大的有理数是（ ）
A．|﹣3| B． C． D．
【考点】估算无理数的大小．π
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【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】根据|﹣3|＝3， ＞3， ＝3 ＞3， ＞3，即可得出比3大的数．
π
【解答】解：∵|﹣3|＝3， ＞3， ＝3 ＞3， ＞3，
π
∴各数中，比3大的数是 ，
故选：C．
【点评】本题主要考查了实数大小的比较，解题时注意：利用数轴也可以比较任意两个实
数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的
反而小．
11．（2023•浦东新区二模）下列分数中，能化成有限小数的是（ ）
B． C． D．
A．
【考点】分数的互化；小数的互化．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数
就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小
数．
【解答】解：A、 ＝0.333…，不能化成有限小数，故此选项不符合题意；
B、 ＝0.166…，不能化成有限小数，故此选项不符合题意；
C、 ＝0.125，能化成有限小数，故此选项符合题意；D、 ＝0.111…，不能化成有限小数，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查什么样的分数可以化成有限小数，一个最简分数，如果分母中除
了2与5以外，不含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数．
12．（2023•黄浦区二模）下列实数中，最小的数是（ ）
A．0 B．﹣2 C． D．1
【考点】实数大小比较；算术平方根．
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【专题】应用题；数感．
【答案】B
【分析】根据正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数比较即可．
【解答】解：∵1 ，
∴ ，
∴最小的数是﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了实数的大小比较，比较实数大小的方法：1、数轴法：在数轴上表
示的两个数，右边的总比左边的数大；2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负
数；3、绝对值法：①两个正数比较大小，绝对值大的数大；②两个负数比较大小，绝
对值大的数反而小．
13．（2023•徐汇区二模）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B
对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A．a+b＜0 B．b﹣a＜0 C．﹣2a＞﹣2b D．|a|＞|b|
【考点】实数与数轴；绝对值．
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【专题】计算题；运算能力．
【答案】C
【分析】首先利用数轴上的信息确定a、b的正负性，然后利用不等式的性质即可解决问题．
【解答】解：根据数轴可知a＜0＜b，|a|＜|b|，
A：依题意a+b＞0，故结论错误，该选项不符合题意；
B：依题意b﹣a＞0，故结论错误，该选项不符合题意；
C：依题意﹣2a＞﹣2b，故结论正确，该选项符合题意；
D：依题意|a|＜|b|，故结论错误，该选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，同时也利用了不等式的性质．
14．（2023•徐汇区二模）计算： ＝ ．
【考点】算术平方根．
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【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据算术平方根的定义，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正
数x叫做a的算术平方根，解答出即可；
【解答】解：根据算术平方根的定义，
得， ＝ ＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了算术平方根的定义，一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互
为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
15．（2023•崇明区二模）﹣8的立方根是 ．
【考点】方根．
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【专题】实数；数感．
【答案】2．
【分析】立方根就是开立方的．
【解答】解：﹣8的立方根是-2．
故答案为：-2．
【点评】本题考查倒数，关键是掌握立方根的定义．16．（2023•静安区二模） 的倒数是 ．
【考点】倒数．
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【专题】实数；数感．
【答案】5．
【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．
【解答】解： 的倒数是5．
故答案为：5．
【点评】本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．
17．（2023•黄浦区二模）计算： ＝ ．
【考点】立方根．
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【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．
【解答】解：∵﹣ 的立方为﹣ ，
∴﹣ 的立方根为﹣ ，
故答案为﹣ ．
【点评】此题主要考查了求一个数的立方根，解题时应先找出所要求的这个数是哪一个
数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数
的立方根与原数的性质符号相同．
18．（2023•杨浦区二模）﹣|﹣2|＝ ．
【考点】绝对值．
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【答案】见试题解答内容
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解|﹣2|，然后根据相反数的性质得出结果．
【解答】解：﹣|﹣2|表示﹣2的绝对值的相反数，|﹣2|＝2，所以﹣|﹣2|＝﹣2．
【点评】相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的
绝对值是0．
19．（2023•黄浦区二模）冬季某日中午 12时的气温是3℃，经过10小时后气温下降
8℃，
那么该时刻的气温是 ℃．
【考点】正数和负数；数学常识．
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【专题】实数；符号意识．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：如果将零下2℃记作﹣2℃，那么3℃表示零上3℃．
故选：A．
【点评】本题考查了正数与负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确
定一对具有相反意义的量．
1.2 科学计数法
1．（2023•徐汇区二模）根据电影发行方的数据，电影《满江红》截至2023年3月17日
以4535000000元的票房高居春节档前列，数据 4535000000用科学记数法表示为
．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【专题】实数；数感．
【答案】4.535×109．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：4535000000＝4.535×109．
故答案为：4.535×109．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其
中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．2．（2023•嘉定区二模）已知1纳米＝0.000000001米，那么2.5纳米用科学记数法表示为
米．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
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【专题】实数；数感．
【答案】2.5×10﹣9米．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大
数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数
字前面的0的个数所决定．
【解答】解：∵1纳米＝0.000000001米，
∴2.5纳米＝2.5×0.000000001米＝2.5×10﹣9米．
故答案为：2.5×10﹣9米．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，
n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
1.3 实 数 的 运 算
1．（2023•奉贤区二模）计算： ．
【考点】分母有理化；负整数指数幂．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣7．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
＝﹣1+ ﹣1﹣ ﹣4
＝﹣1+ ﹣1﹣ ﹣1﹣4
＝﹣7．【点评】本题考查了负整数指数幂，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
2．（2023•普陀区二模）计算： ．
【考点】分数指数幂；零指数幂；负整数指数幂；实数的运算．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】 ．
【分析】先算分数指数幂、负整数指数幂、零指数幂、分母有理化，然后算加减．
【解答】解：原式＝16+1+ ﹣1﹣3
＝ ．
【点评】本题考查分数指数幂、负整数指数幂、零指数幂、分母有理化，掌握这几种运
算的法则和性质的应用是解题关键．
3．（2023•青浦区二模）计算： ．
【考点】分数指数幂；负整数指数幂；实数的运算．
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【专题】计算题；运算能力．
【答案】2．
【分析】直接利用二次根式的性质以及分数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝ ﹣1+4+ ﹣1﹣2
＝2．
【点评】此题主要考查了分数指数幂的性质以及二次根式的性质，正确化简各数是解题
关键．5．（2023•宝山区二模）计算： ．
【考点】分数指数幂；特殊角的三角函数值；实数的运算．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】2 ﹣ ．
【分析】先算分数指数幂、绝对值、三角函数，再算加减．
【解答】解：原式＝ ﹣（3﹣ ）+
＝ ﹣3+ + +1
＝2 ﹣ ．
【点评】本题考查分数指数幂、实数运算、三角函数，掌握幂的运算是解题关键．
6．（2023•长宁区二模）计算： ．
【考点】分数指数幂；零指数幂；实数的运算．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】1﹣ ．
【分析】根据实数的混合运算法则，先计算分数指数幂、分母有理化、零指数幂、算术
平方根，再计算乘法，最后计算加减．
【解答】解：
＝2+ ﹣1×
＝
＝1﹣ ．
【点评】本题主要考查实数的混合运算、分数指数幂、分母有理化、零指数幂、算术平方根，熟练掌握实数的混合运算法则、分数指数幂、分母有理化、零指数幂、算术平方
根是解决本题的关键．
7．（2023•金山区二模）计算： ．
【考点】分数指数幂；零指数幂；负整数指数幂；实数的运算．
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【答案】﹣1．
【分析】先算分数指数幂、零指数幂、负整数指数幂，最后算加减．
【解答】解：原式＝1+ ﹣1﹣3+2﹣
＝﹣1．
【点评】本题考查分数指数幂、实数的运算、零指数幂、负整数指数幂，掌握运算法则
是解题关键．
8．（2023•崇明区二模）计算： ．
【考点】分数指数幂；零指数幂；负整数指数幂；实数的运算．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】5．
【分析】先算负整数指数幂、零指数幂、分母有理化、分数指数幂，最后算加减．
【解答】解：原式＝4﹣1+2（ +1）﹣2
＝4﹣1+2 +2﹣2
＝5．
【点评】本题考查负整数指数幂、零指数幂、分母有理化、分数指数幂，掌握运算法则
是解题关键．9．（2023•松江区二模）计算：π0﹣ +（2﹣ ）﹣1+|3 ﹣1|．
【考点】分数指数幂；零指数幂；负整数指数幂；实数的运算．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】2+ ．
【分析】根据实数的运算法则，先计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值、算术平方根，
再计算加减．
【解答】解： 0﹣ +（2﹣ ）﹣1+|3 ﹣1|
π
＝1﹣ + + ﹣1
＝1﹣ +2+ + ﹣1
＝2+ ．
【点评】本题主要考查实数的运算、绝对值、零指数幂、负整数指数幂、算术平方根，
熟练掌握实数的运算法则、绝对值、零指数幂、负整数指数幂、算术平方根的定义是解
决本题的关键．
10．（2023•闵行区二模）计算： ．
【考点】分数指数幂；负整数指数幂；实数的运算．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】0．
【分析】先分别计算绝对值，幂的乘方的逆运算与幂的乘方，负整数指数幂，分母有理
化，然后进行加减运算即可．
【解答】解：
＝＝
＝0．
【点评】本题主要考查了绝对值，幂的乘方的逆运算与幂的乘方，负整数指数幂，分母
有理化．解题的关键在于正确的运算．
11．（2023•浦东新区二模）计算：（ ）﹣2+| |﹣（π﹣3）0+ ．
【考点】分母有理化；特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂．
版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】4+ ．
【分析】分别根据零指数幂及负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值及绝对值
的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝4+| ﹣ |﹣1+
＝4+ ﹣ ﹣1+ +1
＝4+ ．
【点评】本题考查的是分母有理化，熟知零指数幂及负整数指数幂的运算法则、特殊角
的三角函数值及绝对值的性质是解题的关键．
12．（2023•嘉定区二模）计算： ．
【考点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂；分母
有理化．
版权所有
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】1．
【分析】根据负整数指数幂的运算法则可得 ＝ ，再将其分母有理化得 ＝ ，由特殊角的三角函数值可得sin45°＝ ，
由绝对值的代数意义可得 ，由零指数幂的（1﹣ ）0＝1，以此进行计
π
算即可．
【解答】解：原式＝ ﹣ +2﹣ ﹣1
＝ ﹣ +2﹣ ﹣1
＝
＝1．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，涉及的知识点有负整数指数幂、分母有理
化、特殊角的三角函数值、绝对值的代数意义、零指数幂，熟练掌握相应的运算法则是
解题关键．
