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2020 年上海市宝山区中考数学一模试卷
2019.12
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 符号sinA表示（ ）
A. ∠A的正弦 B. ∠A的余弦 C. ∠A的正切 D. ∠A的余切
a
2. 如果2a 3b ，那么 =（ ）
b
2 3
A. B. C. 5 D. 1
3 2
3. 二次函数 y 1 2x2 的图像的开口方向（ ）
A. 向左 B. 向右 C. 向上 D. 向下
4. 直角梯形ABCD如图放置，AB、CD为水平线，BC⊥AB，如果∠BCA=67°，从低处A处
看高处C处，那么点C在点A的（ ）
A. 俯角 67°方向 B. 俯角 23°方向
C. 仰角 67°方向 D. 仰角 23°方向
5. 已知 ⃗a，⃗b为非零向量，如 ⃗b 5⃗a，那么向量 ⃗a与⃗b 的方向关系
是（ ）
A. ⃗a // ⃗b，并且⃗a和⃗b方向一致 B. ⃗a // ⃗b，并且⃗a和⃗b方向相反
C. ⃗a和⃗b方向互相垂直 D. ⃗a 和⃗b之间夹角的正切值为 5
6. 如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以其边长为半径画弧，得到的封闭图
形是莱洛三角形，如果AB=2，那么此莱洛三角形（即阴影部分）的面积（ ）
A. π + √3 B. π √3 C. 2π 2√3 D. 2π √3
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 已知1: 2 3 : x，那么x __________
8. 如果两个相似三角形的周长比为1 : 2，那么它们某一对对应边上的高之比为
__________
9. 如图，△ABC中∠C=90°，如果CD⊥AB于D，那么AC是AD和_________的比例中项
10. 在△ABC 中， __________
⃗AB ⃗BC ⃗CA11. 点A和点B在同一平面上，如果从A观察B，B在A的北偏东14°方向，那么从B观察
A，A在B的__________方向
12. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，如果⃗ AC ⃗x，那
么
⃗CD =__________（用⃗x表示）
13. 如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，联结BE，如果BE=9，
BC=12，那么cosC =__________
2
14. 若抛物线 y x m m 1 的顶点在第二象限，则m的取值范围为__________
15. 二次函数y x2 √2x √3的图像与y轴的交点坐标是__________
16. 如图，已知正方形ABCD的各个顶点A、B、C、D都在○O上，如果P是AB的中点，
PE
PD与AB交于E点， =__________
DE
17. 如图，点C是长度为8的线段 AB上一动点，如果AC<BC，分别以AC、BC为边在线
段AB的同侧作等边△ACD、△BCE，联结DE，当△CDE的面积为3√3时，线段AC的长度
是__________
3
18. 如图，点A在直线y x上，如果把抛物线 y x 2 沿⃗ OA 方向平移5个单位，那么
4
平移后的抛物线的表达式为__________
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19. （本题满分10分）√6 1
计算：
tan60°-2cos45°
22
20. （本题满分10分，每小题5分）
已知：抛物线y x2 2x m与y轴交于点C 0, 2 ，点D和点C关于抛物线对称
轴对称.
（1）求此抛物线的解析式和点 D 的坐标；
（2）如果点 M 是抛物线的对称轴与 x 轴的交点，求△MCD的周长.
21. （本题满分10分，每小题5分）
某仓储中心有一个坡度为 i=1:2 的斜坡AB，顶部 A 处的高 AC 为4米，B、C在同
一水平地面上，其横截面如图.
（1）求该斜坡的坡面 AB 的长度；
（2）现有一个侧面图为矩形DEFG的长方体货柜，其中长 DE=2.5米，高 EF=2米，该货
柜沿斜坡向下时，点 D 离 BC 所在水平面的高度不断变化，求当 BF=3.5 米时，点 D
离 BC 所在水平面的高度 DH.
22. （本题满分10分，每小题5分）
如图，直线 l : y = √3x，点 A 1 坐标为（1,0），过点 A 1 作 x 轴的垂线交直线 l 于
点 B 1 ，以原点 O 为圆心，OB 1 为半径画弧交 x 轴于点 A 2；再过点 A 2 作 x 的垂线交
直线 l 于点 B 2，以原点 O 为圆心，OB 2 长为半径画弧交 x 轴于点 A 3，… 按此做法进行下去.
求：（1）点 B 1 的坐标和A 1 OB 1的度数；
（2）弦 A
4
B
3
的弦心距的长度.
23. （本题满分12分，每小题6分）
如图，△ABC中，AB = AC，AM为 BC 边的中线，点D在边 AC 上，联结 BD 交
BD AD
AM 于点 F，延长 BD至点 E，使得 = ，联结 CE.
DE DC
求证：（1）∠ECD=2∠BAM；
（2）BF是 DF和EF 的比例中项。
24. （本题满分12分，每小题4分）
在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数 y a x2 x 1 的图像交于点
A 1, a 和点 B 1, a .
（1）求直线 AB 与 y 轴的交点坐标；
（2）要使上述反比例函数和二次函数在某一区域都是 y 随着 x 的增大而增大，求 a 应
满足的条件以及 x 的取值范围；
（3）设二次函数的图像的顶点为 Q，当 Q 在以 AB 为直径的圆上时，求 a 的值.25. （本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）
如图，OC 是△ABC 中 AB 边的中线，∠ABC=36°，点 D 为 OC 上一点，如果OD
k OC ，过 D 作DE // CA 交于 BA 点 E，点 M 是 DE 的中点，将△ODE绕点 O
顺时针旋转 度（其中0 180）后，射线 OM 交直线 BC 于点 N.
（1）如果△ABC 的面积为 26，求△ODE的面积（用 k 的代数式表示）；
（2）当 N 和 B 不重合时，请探究∠ONB 的度数 y 与旋转角 的度数之间的函数关系
式；
（3）写出当△ONB 为等腰三角形时，旋转角 的度数.
