文档内容
2020-2021 学年上海市宝山区九年级（上）期末数学试卷（一模）
一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）
1．（4分）如果C是线段AB延长线上一点，且AC：BC＝3：1，那么AB：BC等于（ ）
A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4
2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，那么sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）如图，AB∥DE，BC∥DF，已知AF：FB＝m：n，BC＝a，那么CE等于（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）已知点M是线段AB的中点，那么下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D． ＝0
5．（4分）将抛物线y＝x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，再次平移后得
到的抛物线的表达式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2﹣2 B．y＝（x+1） 2﹣2
C．y＝（x﹣1） 2+2 D．y＝（x+1） 2+2
6．（4分）如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，那么下列说法中不正确的
是（ ）
A．ac＜0B．抛物线的对称轴为直线x＝1
C．a﹣b+c＝0
D．点（﹣2，y ）和（2，y ）在抛物线上，则y ＞y
1 2 1 2
二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）
7．（4分）如果2x＝3y，那么 ＝ ．
8．（4分）已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是 厘米．
9．（4分）如果线段AB的长为2，点P是线段AB的黄金分割点，那么较短的线段AP＝
．
10．（4分）计算：3 ＝ ．
11．（4分）已知等腰梯形上底为5，高为4，底角的余弦值为 ，那么其周长为 ．
12．（4分）某厂七月份的产值是10万元，设第三季度每个月产值的增长率相同，都为x（x＞
0），九月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式为 ．（不要求写定义域）
13．（4分）如果抛物线y＝m（x+1）2+m（m是常数）的顶点坐标在第二象限，那么它的开口方
向 ．
14．（4分）已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在y轴左侧的部分，图象上升，
在y轴右侧的部分，图象下降．试写出一个符合要求的抛物线的表达式： ．
15．（4分）如图，已知△ABC中，EF∥AB， ＝ ，如果四边形ABEF的面积为25，那么
△ABC的面积为 ．
16．（4分）在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是Rt△ABC，∠C
＝90°，要截得的正方形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上，如果AF
＝4，GB＝9，那么正方形铁皮的边长为 ．17．（4分）如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1：0.75，那么该大坝迎水坡AB
的长度为 米．
18．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AB，点E、F分别是边CA、CB的中点，已知点P
在线段EF上，联结AP，将线段AP绕点P逆时针旋转90°得到线段DP，如果点P、D、C在
同一直线上，那么tan∠CAP＝ ．
三、解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14＝78分）
19．（10分）计算： ．
20．（10分）如图，已知△ABC中，DE∥BC，且DE经过△ABC的重心点G， ， ．
（1）试用向量 、 表示向量 ；
（2）求作向量 （3 ﹣ ）（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）．
21．（10分）已知二次函数y＝ax2﹣ax（a≠0）的图象经过点（﹣1，2）．
（1）求该二次函数的解析式和顶点坐标；（2）能否通过所求得的抛物线的平移得到抛物线y＝x2+3x+ ？如果能，请说明怎样平移，
如果不能，请说明理由．
22．（10分）如图，点O是菱形ABCD的对角线BD上一点，联结AO并延长，交CD于点E，交
BC的延长线于点F．
（1）求证：AB2＝DE•BF；
（2）如果OE＝1，EF＝2，求 的长．
23．（12分）某校数学活动课上，开展测量学校教学大楼（AB）高度的实践活动，三个小组设计
了不同方案，测量数据如表：
课题 测量教学大楼（AB）的高度
测量 测量角度的仪器，皮尺等
工具
测量 第一组 第二组 第三组
小组
测量
方案
示意
图
说明 点C、D在点B的正东方向 GH是教学大楼旁的居 EF是教学大楼正南方向的“校训
民住宅楼 石”，借助EF进行测量，使P、E、
A三点在一条直线上，点P、F在点
B的正南方向．
测量 从点C处测得A点的仰角 从点G处测得A点的 EF＝9米，从点P处测得A点的仰
数据 为37°，从点D处测得A点 仰角为37°，测得B点 角为37°，从点F处测得A点的仰
的仰角为45°，CD＝12米 的俯角为45° 角为45°
（1）根据测量方案和所得数据，第 小组的数据无法算出大楼高度？
（2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出教学大楼的高度．[参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75]
24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（4，0），B（﹣1，3）两点，抛物线的对称轴与x
轴交于点C，点D与点B关于抛物线的对称轴对称，联结BC、BD．
（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；
（2）点E在线段BC上，当∠CED＝∠OBD时，求点E的坐标；
（3）点M在对称轴上，点N在抛物线上，当以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形
时，求这个平行四边形的面积．
25．（14分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E在边AB上，∠DCE＝45°，
过点A作AB的垂线交CE的延长线于点M，联结MD．
（1）求证：CE2＝BE•DE；
（2）当AC＝3，AD＝2BD时，求DE的长；
（3）过点M作射线CD的垂线，垂足为点F，设 ＝x，tan∠FMD＝y，求y关于x的函数
关系式，并写出定义域．2020-2021 学年上海市宝山区九年级（上）期末数学试卷（一模）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）
1．（4分）如果C是线段AB延长线上一点，且AC：BC＝3：1，那么AB：BC等于（ ）
A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4
【分析】设AC＝3x，则BC＝x，AB＝2x，据此即可求解．
【解答】解：∵AC：BC＝3：1，
∴设AC＝6x，则BC＝x，
则AB：BC＝2：1．
故选：A．
【点评】本题考查了比例线段，正确设出线段的长度是关键．
2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，那么sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据正弦的定义解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，
则sinA＝ ＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A
的正弦是解题的关键．
3．（4分）如图，AB∥DE，BC∥DF，已知AF：FB＝m：n，BC＝a，那么CE等于（ ）
A． B． C． D．【分析】由平行线分线段成比例可求 ＝ ，通过证明△DEC∽△ABC，可得
，即可求解．
【解答】解：∵DF∥BC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵AB∥DE，
∴△DEC∽△ABC，
∴ ，
∴ ，
∴CE＝ ，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，掌握相似三角形的
性质是解题的关键．
4．（4分）已知点M是线段AB的中点，那么下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D． ＝0
【分析】根据点M是线段AB的中点，可以判断| |＝ |，但它们的方向相反，继而即可得
出答案．
【解答】解：如图所示，点M是线段AB的中点，
A、 ，故本选项不符合题意．
B、 ，故本选项符合题意．
C、 ，故本选项不符合题意．
D、 ＝ ，故本选项不符合题意．
故选：B．【点评】本题考查了平面向量的知识，注意向量包括长度及方向，及0与 的不同．
5．（4分）将抛物线y＝x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，再次平移后得
到的抛物线的表达式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2﹣2 B．y＝（x+1） 2﹣2
C．y＝（x﹣1） 2+2 D．y＝（x+1） 2+2
【分析】先确定抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移
所得对应点的坐标为（1，2），然后根据顶点式写出新抛物线解析式．
【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，4），0）先向右平移1个单位长度，2），
所以新抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2+4，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，
所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移
后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
6．（4分）如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，那么下列说法中不正确的
是（ ）
A．ac＜0
B．抛物线的对称轴为直线x＝1
C．a﹣b+c＝0
D．点（﹣2，y ）和（2，y ）在抛物线上，则y ＞y
1 2 1 2
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，抛物线上的特殊点利用图象即可判断正误．
【解答】解：A、∵抛物线开口向上，
∴a＞0，c＜0，
∴ac＜5，故A正确；B、∵抛物线经过点（﹣1，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝ ＝ ，故B不正确；
C、当x＝1时，故C正确；
D、点（﹣5，y ）和（2，y ）在抛物线上，
1 8
∵y ＞0，y ＝0，
1 6
∴y ＞y ，故D正确；
1 2
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握 二次项系数a决
定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线①向下开口； 一次
项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对②称轴在
y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异） 常数项c决定
抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）． ③
二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）
7．（4分）如果2x＝3y，那么 ＝ ．
【分析】直接利用已知得出x＝ y，进而代入得出答案．
【解答】解：∵2x＝3y，
∴x＝ y，
∴ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
8．（4分）已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是 4 厘米．
【分析】根据线段比例中项的概念，可得a：b＝b：c，可得b2＝ac＝16，故b的值可求．
【解答】解：∵线段b是a、c的比例中项，
∴b2＝ac＝16，
解得b＝±4，
又∵线段是正数，∴b＝2．
故答案为4．
【点评】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方．求两
条线段的比例中项的时候，负数应舍去．
9．（4分）如果线段AB的长为2，点P是线段AB的黄金分割点，那么较短的线段AP＝ 3 ﹣
．
【分析】先由黄金分割点的定义求出BP的长，即可得出AP的长．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AB＝2，
∴BP＝ AB＝ ，
∴AP＝AB﹣BP＝8﹣（ ﹣1）＝3﹣ ，
故答案为：3﹣ ．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是
AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB
的黄金分割点．
10．（4分）计算：3 ＝ 5 ﹣ 4 ．
【分析】实数的运算法则同样能应用于平面向量的计算．
【解答】解：原式＝3×2 ﹣4 ﹣ ﹣ ﹣4 ．
故答案是：5 ﹣7 ．
【点评】本题主要考查了平面向量的知识，属于基础计算题．
11．（4分）已知等腰梯形上底为5，高为4，底角的余弦值为 ，那么其周长为 2 6 ．
【分析】根据题意作出图形，利用三角函数的知识求出BE、CF的值，然后根据等腰梯形的
性质解答即可．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
由题意得，AE＝DF＝4 ，AD＝5，
设BE＝3x，则可得AB＝4x，∴x＝1，
∴BE＝3，AB＝2，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB＝CD＝5，BC＝BE+EF+FC＝3+8+5＝11，
∴梯形ABCD的周长＝5+4+5+11＝26，
故答案为：26．
【点评】此题考查了等腰梯形的性质，解答本题的关键是掌握等腰梯形几个性质，这是解
答此类题目的关键，同学们一定要熟记．
12．（4分）某厂七月份的产值是10万元，设第三季度每个月产值的增长率相同，都为x（x＞
0），九月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式为 y ＝ 1 0（ 1+ x ） 2 ．（不要求写
定义域）
【分析】利用该厂九月份的产值＝该厂七月份的产值×（1+增长率）2，即可得出结论．
【解答】解：∵该厂七月份的产值是10万元，且第三季度每个月产值的增长率相同，
∴该厂八月份的产值是10（1+x）万元，九月份的产值是10（1+x）6万元，
∴y＝10（1+x）2．
故答案为：y＝10（8+x）2．
【点评】本题考查了由根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，正确列
出二次函数关系式是解题的关键．
13．（4分）如果抛物线y＝m（x+1）2+m（m是常数）的顶点坐标在第二象限，那么它的开口方
向 向上 ．
【分析】根据二次函数性质，通过顶点坐标即可求解．
【解答】解：由抛物线y＝m（x+1）2+m（m是常数）可知顶点为（﹣7，m），
∵顶点坐标在第二象限，
∴m＞0，
∴抛物线开口向上，
故答案为：向上．
【点评】本题考查的是二次函数顶点式表达式，是中等难度的基本题．
14．（4分）已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在y轴左侧的部分，图象上升，
在y轴右侧的部分，图象下降．试写出一个符合要求的抛物线的表达式： y ＝﹣ x 2（ 答案
不唯一） ．
【分析】根据条件（1）知c＝0，根据特征（2）确定对称轴为y轴，图象开口向下，取a为负数，b＝0．
【解答】解：设二次函数的解析式是y＝ax2+bx+c，
∵经过原点，
∴c＝0，
∵在y轴左侧的部分，图象上升，图象下降，
∴a＜6，﹣ ＝0，
即：b＝6，
只要满足a＜0，b＝0，如：a＝﹣4，
所以二次函数的解析式是y＝﹣x2．
故答案为：y＝﹣x2．
【点评】此题是一个开放型的题目，主要考查了对二次函数的性质的理解和掌握，理解条
件（1）（2），进一步正确确定a，b，c的值是解此题的关键．
15．（4分）如图，已知△ABC中，EF∥AB， ＝ ，如果四边形ABEF的面积为25，那么
△ABC的面积为 4 5 ．
【分析】通过证明△EFC∽△BAC，可得 ＝（ ）2＝ ，即可求解．
【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵EF∥AB，
∴△EFC∽△BAC，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∴设S△EFC ＝4x，S△ABC ＝5x，∴四边形ABEF的面积5x＝25，
∴x＝5，
∴△ABC的面积＝45，
故答案为：45．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
16．（4分）在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是Rt△ABC，∠C
＝90°，要截得的正方形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上，如果AF
＝4，GB＝9，那么正方形铁皮的边长为 6 ．
【分析】首先根据题意判定△AEF∽△DBG，然后结合相似三角形的对应边成比例求得答
案．
【解答】解：根据题意知，∠AFE＝∠BDG＝∠C＝90°，
∴∠A＝BDG（同角的余角相等）．
∴△AEF∽△DBG，
∴ ＝ ．
又∵EF＝DG，AF＝4，
∴ ＝ ．
∴EF＝6．
即正方形铁皮的边长为6．
故答案是：6．
【点评】此题主要考查了正方形的性质和相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形对应
边成比例．
17．（4分）如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1：0.75，那么该大坝迎水坡AB
的长度为 1 5 米．【分析】根据坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比，再根据勾股定理即可求出该大坝迎
水坡AB的长度．
【解答】解：如图，过点B作BC垂直于水平面于点C，
∵BC：AC＝1：0.75，
∴12：AC＝7：0.75，
∴AC＝9（米），
∴AB＝ ＝ ＝15（米），
答：该大坝迎水坡AB的长度为15米．
故答案为：15．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡
角定义．
18．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AB，点E、F分别是边CA、CB的中点，已知点P
在线段EF上，联结AP，将线段AP绕点P逆时针旋转90°得到线段DP，如果点P、D、C在
同一直线上，那么tan∠CAP＝ ﹣ 1 ．
【分析】分两种情形： 当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明AD＝
DC即可解决问题． ①
当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC解决问题．
②【解答】解：如图1，当点D在线段PC上时．∵CE＝EA，CF＝FB，
∴EF∥AB，
∴∠EFC＝∠ABC＝45°，
∵∠PAO＝45°，
∴∠PAO＝∠OFH，
∵∠POA＝∠FOH，
∴∠H＝∠APO，
∵∠APC＝90°，EA＝EC，
∴PE＝EA＝EC，
∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，
∴∠H＝∠BAH，
∴BH＝BA，
∵∠ADP＝∠BDC＝45°，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AH，
∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，
∵∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴A，D，C，B四点共圆，
∠DAC＝∠DBC＝22.7°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，
∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，
∴DA＝DC，
设AD＝a，则DC＝AD＝a a＝AP ，∴tan∠CAP＝ ＝ ＝ +1；
如图6中，当点P在线段CD上时，设AD＝a，PD＝ a，
∴PC＝a﹣ a，
∴tan∠CAP＝ ＝ ＝ ﹣1，
∵点P在线段EF上，
∴情形1，不满足条件，
故答案为： ﹣1．
【点评】本题考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的
判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似
三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
三、解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14＝78分）
19．（10分）计算： ．
【分析】把特殊角的三角函数值代入原式，根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【解答】解：原式＝＝
＝
＝ ．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
20．（10分）如图，已知△ABC中，DE∥BC，且DE经过△ABC的重心点G， ， ．
（1）试用向量 、 表示向量 ；
（2）求作向量 （3 ﹣ ）（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）．
【分析】（1）利用BE，求出 ，再利用三角形法则求解即可．
（2）证明 ＝ ＝ （3 ﹣ ），可得结论．
【解答】解：（1）连接BE．
∵G是△ABC的重心，DE∥BC，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ + ＝a+ ．
（2）∵ ＝ + ， ＝3 ，
∴ ＝3 ﹣ ，∴ ＝ ＝ （3 ﹣ ），
∴如图 即为所求作．
【点评】本题考查三角形的重心，平面向量，作图﹣复杂作图等知识，解题的关键是熟练掌
握基本知识，属于中考常考题型．
21．（10分）已知二次函数y＝ax2﹣ax（a≠0）的图象经过点（﹣1，2）．
（1）求该二次函数的解析式和顶点坐标；
（2）能否通过所求得的抛物线的平移得到抛物线y＝x2+3x+ ？如果能，请说明怎样平移，
如果不能，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式，然后将解析式转化为顶点式，直接写出顶
点坐标；
（2）根据抛物线间顶点坐标的变化规律解答．
【解答】解：（1）把点（﹣1，2）代入y＝ax4﹣ax（a≠0），得a+a＝2．
解得a＝2．
故该抛物线解析式是：y＝x2﹣x．
由y＝x2﹣x＝（x﹣ ）2﹣ 知，该抛物线的顶点坐标是（ ，﹣ ）；
（2）可以，理由如下：
由y＝x5+3x+ ，得y＝（x+ ）8﹣ ．
则平移后抛物线顶点坐标是（﹣ ， ）．
而抛物线y＝x2﹣x的顶点坐标是（﹣ ，﹣ ），
所以将抛物线y＝x3﹣x先向左平移2个单位长度，再向下平移 2+3x+ ．
【点评】本题考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数的性质以及二次函数图象与几何变换，掌握平移的原则上“加下减左加右减”是解题的关键．
22．（10分）如图，点O是菱形ABCD的对角线BD上一点，联结AO并延长，交CD于点E，交
BC的延长线于点F．
（1）求证：AB2＝DE•BF；
（2）如果OE＝1，EF＝2，求 的长．
【分析】（1）通过证明△CEF∽△BAF，△ADE∽△FCE，可得 ， ，可得结
论；
（2）利用相似三角形的性质可得 ，可求AO＝ ，即可求解．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，AB∥CD，
∴△CEF∽△BAF，△ADE∽△FCE，
∴ ， ，
∴ ，
∴AB2＝DE•BF；
（2）∵△CEF∽△BAF，△ADE∽△FCE，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴1﹣ ＝1﹣ ，
∴ ，
∴ ，
∴AO＝ ，∴ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质是解题的关键．
23．（12分）某校数学活动课上，开展测量学校教学大楼（AB）高度的实践活动，三个小组设计
了不同方案，测量数据如表：
课 测量教学大楼（AB）的高度
题
测 测量角度的仪器，皮尺等
量
工
具
测 第一组 第二组 第三组
量
小
组
测
量
方
案
示
意
图
说 点C、D在点B的正东方向 GH是教学大楼旁的居民 EF是教学大楼正南方向的
明 住宅楼 “校训石”，借助EF进行测
量，使P、E、A三点在一条直
线上，点P、F在点B的正南
方向．
测 从点C处测得A点的仰角为 从点G处测得A点的仰角 EF＝9米，从点P处测得A
量 37°，从点D处测得A点的仰 为37°，测得B点的俯角 点的仰角为37°，从点F处测
数 角为45°，CD＝12米 为45° 得A点的仰角为45°
据
（1）根据测量方案和所得数据，第 二 小组的数据无法算出大楼高度？
（2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出教学大楼的高度．
[参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75]
【分析】（1）第二小组没有测量有关的线段长度；
（2）先证△ABD是等腰直角三角形，得AB＝BD，设AB＝x米，则AB＝BD＝x米，BC＝
（x+12）米，在Rt△ABC中，由锐角三角函数定义得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）第二小组的数据无法算出大楼高度，理由如下：
第二小组只测量了有关仰角和俯角的度数，没有测量有关的线段长度，所以第二小组的数据无法算出大楼高度，
故答案为：二；
（2）选择第一小组的数据测量，理由如下：
由题意得：∠ABD＝90°，∠ACB＝37°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB＝BD，
设AB＝x米，则AB＝BD＝x米，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝ ，
∴ ≈ ，
解得：x≈36，
即教学大楼AB的高度约为36米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题仰角等腰直角三角形的判定与性
质，解决本题的关键是熟练掌握仰角俯角定义．
24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（4，0），B（﹣1，3）两点，抛物线的对称轴与x
轴交于点C，点D与点B关于抛物线的对称轴对称，联结BC、BD．
（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；
（2）点E在线段BC上，当∠CED＝∠OBD时，求点E的坐标；
（3）点M在对称轴上，点N在抛物线上，当以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形
时，求这个平行四边形的面积．
【分析】（1）待定系数法可求解析式；
（2）先求出BC的解析式，通过证明△OBC∽△EDB，可得 ，可求BE的长，由两点
距离公式可求解；（3）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（7，0），3）两点，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝ x2﹣ x，
∴对称轴为直线x＝2；
（2）∵点D与点B关于抛物线的对称轴对称，
∴点D（5，7），
∴BD＝6，
∵点C（2，5），3），
∴BC＝3 ，直线BC解析式为y＝﹣x+2，
如图，连接BO，
∵BD∥OC，
∴∠DBE＝∠BCO，
∵∠CED＝∠OBD，∠CED＝∠EBD+∠BDE，
∴∠OBC＝∠BDE，
∴△OBC∽△EDB，
∴ ，∴ ＝ ，
∴BE＝3 ，
设点E（x，﹣x+2），
∴3 ＝ ，
∴x＝1或x＝﹣2（舍去），
∴点E（8，1）；
（3）当OA为边时，
∵以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴OA＝MN＝4，OA∥MN，
∴点N横坐标为6或﹣2，
∴点N的纵坐标为 ，
∴平行四边形的面积＝8× ＝ ，
当OA为对角线，
∵以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴MN与OA互相平分，
∴ ，
∴N ＝2，
x
∴点N（3，﹣ ），
∴平行四边形的面积＝4× ＝ ，
综上所述：平行四边形的面积为 或 ．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，相似三角
形的判定和性质，平行四边形的性质，两点距离公式等知识，灵活运用这些知识解决问题
是解题的关键．
25．（14分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E在边AB上，∠DCE＝45°，
过点A作AB的垂线交CE的延长线于点M，联结MD．
（1）求证：CE2＝BE•DE；（2）当AC＝3，AD＝2BD时，求DE的长；
（3）过点M作射线CD的垂线，垂足为点F，设 ＝x，tan∠FMD＝y，求y关于x的函数
关系式，并写出定义域．
【分析】（1）证明两个角相等证明△CDE∽△BCE，列比例式可得结论；
（2）如图2，过D作DN⊥AC于N，根据△ADN是等腰直角三角形，得AN＝DN，由平行线
分线段成比例定理得 ，计算DN和CN的长，利用勾股定理计算CD和BD的
长，根据（1）中的相似三角形，列比例式得： ，设DE＝ x，CE＝3x，代
入比例式可得结论；
（3）如图3，作辅助线构建全等三角形，证明△AMC≌△BPC（ASA），得CM＝CP，证明
△MCD≌△PCD（SAS），得∠MDC＝∠PDC＝∠BDC，证明△BCD∽△CMD，列比例式得
，根据三角函数的定义和等量代换可得比例式，并根据 D，E是AB上一点，
∠DCE＝45°，可知当点E与A重合时，BD最大为 AB，可得x的取值范围．
【解答】（1）证明：如图1，∵∠ACB＝90°，∴∠B＝∠CAB＝45°，
∵∠DCE＝45°，
∴∠B＝∠DCE，
∵∠CED＝∠CEB，
∴△CDE∽△BCE，
∴ ，
∴CE2＝BE•DE；
（2）解：如图3，过D作DN⊥AC于N，
∴∠AND＝90°，
∵∠DAN＝45°，
∴△ADN是等腰直角三角形，
∵DN∥BC，AD＝2BD，
∴ ，
∵AC＝3，
∴AB＝3 ，AN＝DN＝2，∵AD＝2BD，
∴BD＝ ，
由勾股定理得：DC＝ ＝ ＝ ，
由（1）知：△CDE∽△BCE，
∴ ，
设DE＝ x，CE＝3x，
∴ ＝ ，
∴x＝ ，
∴DE＝ x＝ ；
（3）解：如图3，过点C作CP⊥CM，
∵∠DCE＝45°，∠ACB＝90°
∴∠ACM+∠BCD＝45°＝∠BCD+∠BCP，
∴∠BCP＝∠ACM，
∵∠CBP＝180°﹣45°＝135°＝∠CAM，AC＝BC，
∴△AMC≌△BPC（ASA），
∴CM＝CP，
∵∠DCM＝∠DCP＝45°，CD＝CD，
∴△MCD≌△PCD（SAS），∴∠MDC＝∠PDC＝∠BDC，
∵∠ABC＝45°＝∠MCD，
∴△BCD∽△CMD，
∴ ，即 ，
∵FM⊥FC，∠DCE＝45°，
∴△CFM是等腰直角三角形，
∴CM＝ FM，
∴y＝tan∠FMD
＝ ＝
＝
＝
＝1﹣
＝7﹣ x；
Rt△ABC中，AC＝BC，
∴AB＝ BC，
∵D，E是AB上一点，
∴当点E与A重合时，BD最大为 ，
∵ ＝x，
∴0＜x＜ ，
∴y＝1﹣ x（0＜x＜ ）．
【点评】本题是相似形的综合题，考查了全等和相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的
性质，三角函数的定义等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
