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2019 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、选择题：（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分）
1.
已知集合A,3 、B  2,
，则AB________.
1
2. 已知zC且满足 5i，求z________.
z
 
3. 已知向量a(1,0,2)，b(2,1,0)，则a与b的夹角为________.
4. 已知二项式  2x1 5 ，则展开式中含x2项的系数为________.
 x0

5. 已知x、y满足 y0 ，求z 2x3y 的最小值为________.

x y2
3
6. 已知函数 f  x  周期为1，且当0 x1， f  x log x，则 f( )________.
2 2
1 y
7. 若x、yR ，且 2y 3，则 的最大值为________.
x x
8. 已知数列  a  前n项和为S ，且满足S a 2，则S ______.
n n n n 5
9. 过y2 4x的焦点F 并垂直于x轴的直线分别与y2 4x交于A、B，A在B上方，M
为抛物线上一点，OM OA 2  OB，则______.
10. 某三位数密码锁，每位数字在09数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是
_______.
11. 已知数列  a  满足a a （nN），P  n,a  在双曲线
x2

y2
1上，则
n n n1 n n
6 2
lim PP 
n n1 _______.
n
2
12. 已知 f  x  a  x1,a0  ，若aa ， f  x  与x轴交点为A， f  x  为曲
x1 0
线L，在L上任意一点P，总存在一点Q（P异于A）使得AP  AQ且 AP  AQ ，则
a __________.
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二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 已知直线方程2x yc0的一个方向向量d 可以是（ ）
A. (2,1) B. (2,1) C. (1,2) D. (1,2)
14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得
到的两个圆锥的体积之比为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
15. 已知R，函数 f  x  x6 2sin x  ，存在常数aR，使得 f  xa  为偶函

数，则 可能的值为（ ）
   
A. B. C. D.
2 3 4 5
16. 已知tantantan().
①存在在第一象限，角在第三象限；
②存在在第二象限，角在第四象限；
A. ①②均正确； B. ①②均错误； C. ①对，②错； D. ①错，②对；
三.解答题（本大题共5题，共76分）
17. （本题满分 14 分）如图，在长方体 ABCDABC D 中，M 为BB 上一点，已知
1 1 1 1 1
BM 2，AD4，CD3，AA 5.
1
（1）求直线AC与平面ABCD的夹角；
1
（2）求点A到平面AMC的距离.
1
1
18.（本题满分14分）已知 f  x ax (aR).
x1
（1）当a1时，求不等式 f  x 1 f  x1  的解集；
（2）若x 1,2  时， f  x  有零点，求a的范围.
19.（本题满分14分）如图， ABC为海岸线， AB为线段，B  C为四分之一圆弧，
BD39.2km，BDC  22，CBD68，BDA58.

（1）求BC长度；上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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（2）若AB40km，求D到海岸线ABC的最短距离.（精确到0.001km）
20.（本题满分16分）
x2 y2
已知椭圆  1，F,F 为左、右焦点，直线l过F 交椭圆于A、B两点.
1 2 2
8 4
（1）若AB垂直于x轴时，求 AB ；
（2）当FAB 90时，A在x轴上方时，求A,B的坐标；
1
（3）若直线AF 交 y轴于M，直线BF 交y轴于N，是否存在直线l，使S S ，
1 1 △F 1 AB △F 1 MN
若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
21.（本题满分18分）
数列  a  有100项，a a，对任意n 2,100  ，存在a a d,i 1,n1  ，若a
n 1 n i k
与前n项中某一项相等，则称a 具有性质P.
k
（1）若a 1，求a 可能的值；
1 4
（2）若  a  不为等差数列，求证：  a  中存在满足性质P；
n n
（3）若  a  中恰有三项具有性质P，这三项和为C，使用a,d,c表示a a a .
n 1 2 100