2019年上海高考数学真题试题及答案_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_高中_高考真题_2.上海高考数学2023-2014

上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 绝密★启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一 律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、选择题：（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分） 1. 已知集合A,3 、B  2, ，则AB________. 1 2. 已知zC且满足 5i，求z________. z   3. 已知向量a(1,0,2)，b(2,1,0)，则a与b的夹角为________. 4. 已知二项式  2x1 5 ，则展开式中含x2项的系数为________.  x0  5. 已知x、y满足 y0 ，求z 2x3y 的最小值为________.  x y2 3 6. 已知函数 f  x  周期为1，且当0 x1， f  x log x，则 f( )________. 2 2 1 y 7. 若x、yR ，且 2y 3，则 的最大值为________. x x 8. 已知数列  a  前n项和为S ，且满足S a 2，则S ______. n n n n 5 9. 过y2 4x的焦点F 并垂直于x轴的直线分别与y2 4x交于A、B，A在B上方，M 为抛物线上一点，OM OA 2  OB，则______. 10. 某三位数密码锁，每位数字在09数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是 _______. 11. 已知数列  a  满足a a （nN），P  n,a  在双曲线 x2  y2 1上，则 n n n1 n n 6 2 lim PP  n n1 _______. n 2 12. 已知 f  x  a  x1,a0  ，若aa ， f  x  与x轴交点为A， f  x  为曲 x1 0 线L，在L上任意一点P，总存在一点Q（P异于A）使得AP  AQ且 AP  AQ ，则 a __________. 0上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知直线方程2x yc0的一个方向向量d 可以是（ ） A. (2,1) B. (2,1) C. (1,2) D. (1,2) 14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得 到的两个圆锥的体积之比为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 15. 已知R，函数 f  x  x6 2sin x  ，存在常数aR，使得 f  xa  为偶函  数，则 可能的值为（ ）     A. B. C. D. 2 3 4 5 16. 已知tantantan(). ①存在在第一象限，角在第三象限； ②存在在第二象限，角在第四象限； A. ①②均正确； B. ①②均错误； C. ①对，②错； D. ①错，②对； 三.解答题（本大题共5题，共76分） 17. （本题满分 14 分）如图，在长方体 ABCDABC D 中，M 为BB 上一点，已知 1 1 1 1 1 BM 2，AD4，CD3，AA 5. 1 （1）求直线AC与平面ABCD的夹角； 1 （2）求点A到平面AMC的距离. 1 1 18.（本题满分14分）已知 f  x ax (aR). x1 （1）当a1时，求不等式 f  x 1 f  x1  的解集； （2）若x 1,2  时， f  x  有零点，求a的范围. 19.（本题满分14分）如图， ABC为海岸线， AB为线段，B  C为四分之一圆弧， BD39.2km，BDC  22，CBD68，BDA58.  （1）求BC长度；上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） （2）若AB40km，求D到海岸线ABC的最短距离.（精确到0.001km） 20.（本题满分16分） x2 y2 已知椭圆  1，F,F 为左、右焦点，直线l过F 交椭圆于A、B两点. 1 2 2 8 4 （1）若AB垂直于x轴时，求 AB ； （2）当FAB 90时，A在x轴上方时，求A,B的坐标； 1 （3）若直线AF 交 y轴于M，直线BF 交y轴于N，是否存在直线l，使S S ， 1 1 △F 1 AB △F 1 MN 若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 21.（本题满分18分） 数列  a  有100项，a a，对任意n 2,100  ，存在a a d,i 1,n1  ，若a n 1 n i k 与前n项中某一项相等，则称a 具有性质P. k （1）若a 1，求a 可能的值； 1 4 （2）若  a  不为等差数列，求证：  a  中存在满足性质P； n n （3）若  a  中恰有三项具有性质P，这三项和为C，使用a,d,c表示a a a . n 1 2 100上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 上海市 2019 届秋季高考数学考试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分） 1.已知集合A,3 、B  2, ，则AB________. 【思路分析】然后根据交集定义得结果． 【解析】：根据交集概念，得出：(2,3). 【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 1 2.已知zC且满足 5i，求z________. z 【思路分析】解复数方程即可求解结果． 1 1 5i 5 1 【解析】： 5i，z    i. z 5i (5i)(5i) 26 26 【归纳与总结】本题主要考查复数的基本运算，比较基础．   3.已知向量a(1,0,2)，b(2,1,0)，则a与b的夹角为________. ab 【思路分析】根据夹角运算公式cos 求解． a b ab 2 2 【解析】：cos   . a  b 5 5 5 【归纳与总结】本题主要考查空间向量数量积，比较基础． 4.已知二项式  2x1 5 ，则展开式中含x2项的系数为________. x2 【思路分析】根据二项式展开式通项公式求出取得含 项的的项，再求系数． 【解析】：T C r (2x)5r 1r C r 25r x5r r1 5 5 令5r 2，则r 3，x2系数为C322 40. 5 【归纳与总结】本题主要考查项式展开式通项公式的应用，比较基础．  x0  5.已知x、y满足 y0 ，求z 2x3y 的最小值为________.  x y2 【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截 式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【解析】：线性规划作图：后求出边界点代入求最值，当x0，y2时， z 6. min 【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 3 6.已知函数 f  x  周期为1，且当0 x1， f  x log x，则 f( ) ________. 2 2 3 【思路分析】直接利用函数周期为1，将转 到已知范围0 x1内，代入函数解析式即 2上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 可． 3 1 1 【解析】： f( ) f( )log 1. 2 2 2 2 【归纳与总结】本题考查函数图像与性质，是中档题． 1 y 7.若x、yR ，且 2y 3，则 的最大值为________. x x y 【思路分析】利用已知等式转化为一个变量或者转化为函有 的式子求解 x 2 1 1 y  3  9 【解析】：法一：3 2y2 2y ，∴       ； x x x 2 2 8 1 y 3  y 9 法二：由 32y， (32y)y2y2 3y（0 y ），求二次最值   . x x 2  x 8 max 【归纳与总结】本题考查基本不等式的应用，是中档题． 8.已知数列  a  前n项和为S ，且满足S a 2，则S ______. n n n n 5 【思路分析】将和的关系转化为项的递推关系，得到数列为等比数列. S a 2 1 【解析】：由 n n 得：a  a （n2） S n1 a n1 2(n2) n 2 n1 1 1[1( )5] ∴  a  为等比数列，且a 1，q 1 ，∴ S  2  31 . n 1 2 5 1 16 1 2 9.过 y2 4x的焦点F 并垂直于x轴的直线分别与 y2 4x交于A、B，A在B上方，M 为 抛物线上一点，OM OA 2  OB，则______. 【思路分析】根据等式建立坐标方程求解 【解析】：依题意求得：A(1,2)，B(1,2)，设M坐标M(x,y) 有：(x,y)(1,2)(2)(1,2)(22,4)，代入y2 4x有：164(22) 即：3. 【归纳与总结】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档 题． 10某三位数密码锁，每位数字在09数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_______. 【思路分析】分别计算出总的排列数和恰有两位数字相同的种类求解. C1 C2C1 27 【解析】：法一：P 10 3 9  （分子含义：选相同数字×选位置×选第三个数字） 103 100 C1 P3 27 法二：P1 10 10  （分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同） 103 100 【归纳与总结】本题考查古典概型的求解，是中档题． 11.已知数列  a  满足a a （nN），P  n,a  在双曲线 x2  y2 1上，则 n n n1 n n 6 2 lim PP  n n1 _______. n上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 【思路分析】利用点在曲线上得到 PP 关于n的表达式，再求极限. n n1 n2 a 2 n2 n2 【解析】：法一：由  n 1得：a  2( 1)，∴P (n, 2( 1))， n n 8 2 6 6 (n1)2 2 P (n1, 2( 1))，利用两点间距离公式求解极限。lim PP  3 n1 6 n n n1 3 法二（极限法）：当n时，P P 与渐近线平行，P P 在x轴投影为1，渐近线倾斜 n n1 n n1 1 2 3 3 P P   角满足：tan ，所以 n n1  3 . 3 cos 6 【归纳与总结】本题考查数列极限的求解，是中档题． 2 12.已知 f  x  a  x1,a0  ，若aa ，f  x  与x轴交点为A，f  x  为曲线 x1 0 L，在L上任意一点P，总存在一点Q（P异于A）使得 AP  AQ且 AP  AQ ，则 a __________. 0 【思路分析】 【解析】： 【归纳与总结】 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13.已知直线方程2x yc0的一个方向向量d 可以是（ ） B. (2,1) B. (2,1) C. (1,2) D. (1,2) 【思路分析】根据直线的斜率求解. 【解析】：依题意：(2,1)为直线的一个法向量，∴ 方向向量为(1,2)，选D. 【归纳与总结】本题考查直线方向向量的概念，是基础题． 14.一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得 到的两个圆锥的体积之比为（ ） B. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【思路分析】根据直线的斜率求解. 1 4 1 2 【解析】：依题意：V  221 ，V  122 ，选B. 1 2 3 3 3 3 15.已知R，函数 f  x  x6 2sin x  ，存在常数aR，使得 f  xa  为偶函数，  则 可能的值为（ ）     B. B. C. D. 2 3 4 5 【思路分析】根据选择项代入检验或者根据函数性质求解. 【解析】：法一（推荐）：依次代入选项的值，检验 f  xa  的奇偶性，选C； 法二：f(xa)(xa6)2sin[(xa)]，若 f(xa)为偶函数，则a6，且sin[w(x6)]   也为偶函数（偶函数×偶函数=偶函数），∴ 6 k，当k 1时， ，选C. 2 4上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 16.已知tantantan(). ①存在在第一象限，角在第三象限； ②存在在第二象限，角在第四象限； B. ①②均正确； B. ①②均错误； C. ①对，②错； D. ①错，②对； 【思路分析】根据选择项代入检验或者根据函数性质求解. 1 1 【解析】：法一：（推荐）取特殊值检验法：例如：令tan 和tan ，求tan看 3 3 是否存在.(考试中，若有解时则认为存在，取多组解时发现没有解，则可认为不存在)，选 D. tantan 法二：解：tantan ……① 1tantan x y 设tan x,tan y，则原式可化为xy  ，整理得x2y2  y  1 x  x  0， 1 xy 以 y为主元，则要使方程有解，需使  1 x 2 4x3  4x3  x2 2x1 0有解， 令 f  x  4x3  x2 2x1，则 f x  12x2 2x20恒成立 ∴函数 f  x  4x3  x2 2x1在R上单调递减，又∵ f  0 10, f  1  40 ∴存在x  0,1  使 f  x 0，当x x 时  f  x 0 0 0 0 设方程x2y2  y  1 x  x 0的两根分别为 y ,y ， 1 2 x1 1 当x0时， y  y  0,y y  0，故必有一负根，②对； 1 2 x2 1 2 x x1 1 当0 x x 时， y  y  0,y y  0，故两根均为负根，①错；选D. 0 1 2 x2 1 2 x 三. 解答题（本大题共5题，共76分） 17.（本题满分14分）如图，在长方体ABCDABC D 中，M 为 1 1 1 1 BB 上一点，已知BM 2，AD4，CD3，AA 5. 1 1 （1）求直线AC与平面ABCD的夹角； 1 （2）求点A到平面AMC的距离. 1 【思路分析】根据几何图形作出线面角度求解；建立坐标系计算平 面的法向量求解.. 【解析】：（1）依题意：A A面ABCD，连接AC，则AC与平面ABCD所成夹角为ACA； 1 1 1  ∵ A A5，AC  32 42 5，∴△ACA为等腰直角△，ACA ； 1 1 1 4  ∴ 直线AC与平面ABCD的夹角为 . 1 4 （2）法一（空间向量）：如图建立坐标系： 则：A(0,0,0)，C(3,4,0)，A(0,0,5)，M(3,0,2) 1 AC (3,4,0)，AC (3,4,5)，MC (0,4,2) 1上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） ∴求平面AMC的法向量n(x,y,z)： 1   nAC 3x4y5z0 1  ，得：n(2,1,2)  nMC 4y2z0 ACn 3241 10 A到平面AMC的距离为：d    1 n 22 12 22 3 法二（等体积法）：利用V AAMC V CAAM 求解，求S △AMC 时，需要求出三边长（不是特殊 1 1 1 1 三角形），利用S  absinC 求解. △ 2 【归纳与总结】本题考查点到平面的距离的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考 查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程 思想，是基础题． 1 18.（本题满分14分）已知 f  x ax (aR). x1 （1）当a1时，求不等式 f  x 1 f  x1  的解集； （2）若x 1,2  时， f  x  有零点，求a的范围. 【思路分析】将不等式具体化，直接解不等式；分离参数得到新函数，研究新函数的最值与 值域. 1 【解析】：（1）当a1时， f(x) x ； x1 1 1 1 1 代入原不等式：x 1 x1 ；即：  x1 x2 x1 x2 1 移项通分： 0，得：2 x1； (x1)(x2) 1 （2）依题意： f(x)ax 0在x[1,2]上有解 x1 1 1 参编分离：a ，即求g(x) 在x[1,2]值域， x(x1) x(x1) x(x1)在x[1,2]单调递增，x(x1)[2,6]； 1 1 1 1 1  [ , ]，故：a[ , ]. x(x1) 6 2 6 2 【归纳与总结】本题考查了分式不等式的解法、分式函数最值与值域的求解，也考查了转化 与划归思想的应用． 19.（本题满分14分）如图， ABC为海岸线， AB为线段，B  C为四分之一圆弧， BD39.2km，BDC  22，CBD68，BDA58.  （1）求BC长度； （2）若AB 40km，求D到海岸线ABC的最短距离.（精 确到0.001km） 【思路分析】根据弧长公式求解；利用正弦定理解三角形.上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师）  【解析】：（1）依题意：BC BDsin22，弧BC所在圆的半径RBCsin 4   2 2 弧BC长度为： R BC  3.14139.2sin22 16.310km 2 2 2 4 BD AB 39.2 （2）根据正弦定理：  ，求得：sinA sin58 0.831，A56.2 sinA sin58 40 ∴ABD18056.25865.8 DH BDsinABD35.752km