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梅河口市第五中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题
一、单选题
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．命题 的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．“ 成立”是“ 成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 的定义域和值域均为 ，则函数 的定义域和值域分别为（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
6．若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知 ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．8．已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列各组函数是相等函数的是（ ）
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
10．若“ ”为真命题，“ ”为假命题，则集合 可以是（ ）
A． B．
C． D．
11．当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，
但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合 ， ，若
与B构成“全食”或“偏食”，则实数 的取值可以是（ ）
A．-2 B． C．0 D．1
三、填空题
12．已知不等式 的解集是 ，若不等式 的解集为 ，则
．13．已知 是定义在 上的函数，若函数 为偶函数，函数 为奇函数，则 .
14．函数 的定义域为 ．
四、解答题
15．已知全集 ，不等式 的解集是 ，集合 ．
(1)求实数 ， 的值；
(2)求 ．
16．已知集合 ，集合 为整数集，令 .
(1)求集合 ；
(2)若集合 ， ，求实数 的值.
17．用配方法求出下列函数图象的对称轴及函数的最值：
（1）
（2）
18．解下列不等式：
（1）
（2）
19．对任意给定的不小于3的正整数n，n元集合（含有n个元素的集合） ，
均为正整数集的子集，若集合A和集合B满足① ，②
，③ ，则称集合A，B互为不交双等集．(1)分别判断集合 与 和集合 与 是否互为不交双等集，请说
明理由．
(2)若集合 与集合 互为不交双等集，求 的值．
(3)证明：对任意给定的正整数 ，存在两个n元正整数集M，N互为不交双等集．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B B C C A B BD AB
题号 11
答案 BCD
1．D
根据常见数集，结合交集运算，可得答案.
【详解】因为集合 是所有非正整数组成的集合，所以 ．
故选：D.
2．A
利用全称量词命题的否定直接判断即可.
【详解】命题 是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以所求否定是 .
故选：A.
3．B
先求出两个不等式的解集，然后根据充分、必要条件的定义进行判断即可.
【详解】因为 ，所以 ，
解得 .
因为 ，所以解得 .
由此可以看出，“ 成立”推不出“ 成立”，
而“ 成立”能推出“ 成立”.
所以“ 成立”是“ 成立”的必要不充分条件.
故选：B
4．B
由不等式的性质分析B，举反例可得ACD错误.
【详解】 ，当 时，有 ，A选项错误；，有 ，所以 ，B选项正确；
当 ，满足 ， ， ，
有 ，C选项错误；
满足 ， ， ，有 ，D选项错误.
故选：B.
5．C
根据给定条件，利用抽象函数的定义域及值域求解判断即可.
【详解】函数 的定义域为 ，则在函数 中， ，解得 ，
因此函数 的定义域为 ；
由函数 的值域为 ，得函数 的值域为 ，即 ，
则 ，故函数 的值域为 .
故选：C
6．C
解法一：由 化简得到 即可判断；解法二：证明充分性可由 得到 ，代入
化简即可，证明必要性可由 去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由
通分后用配凑法得到完全平方公式，再把 代入即可，证明必要性可由 通分后用配凑法
得到完全平方公式，再把 代入，解方程即可.
【详解】解法一：
因为 ，且 ，
所以 ，即 ，即 ，所以 .所以“ ”是“ ”的充要条件.
解法二：
充分性：因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，
所以充分性成立；
必要性：因为 ，且 ，
所以 ，即 ，即 ，所以 .
所以必要性成立.
所以“ ”是“ ”的充要条件.
解法三：
充分性：因为 ，且 ，
所以 ，
所以充分性成立；
必要性：因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以必要性成立.
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
7．A由基本不等式知识即可求解.
【详解】由题意 ，且 ，
则 ，所以 ，解得
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
又因为 ，
且根据对勾函数性质 在 上单调递减，
所以 ，故A正确.
故选：A.
8．B
根据二次函数以及幂函数的单调性，结合分界点处两函数的单调性与整体保持一致列不等式求解即可.
【详解】函数 在 上单调递增，
当 时， 单调递增，当 时， 也需要单调递增，
所以 ，解得 ，故B正确.
故选：B.
9．BD
根据函数的定义域、值域和对应关系，对选项中的函数逐一分析，由此得出正确选项.
【详解】A： 定义域为 ， 定义域为 ，
即 和 定义域不同，不是相等函数，故A错误；
B： 定义域为 ， 定义域为 ，即 和 定义域和对应关系都相等，是相等函数，故B正确；
C： 定义域为 或 ， 定义域为 ，
即 和 定义域不同，不是相等函数，故C错误；
D： 定义域为 ， 定义域为
，
即 和 定义域和对应关系都相等，是相等函数，故D正确；
故选：BD.
10．AB
根据题意，得到 且 ，进而求得 ，结合选项，即可求解.
【详解】由命题“ ”为假命题，可得 ，
又由命题“ ”为真命题，可得 ，
所以 ，结合选项，可得AB符合题意.
故选：AB.
11．BCD
考虑 时， ， 时， ，依次将各个选项中的数据带入，计算集合 ，再判断 和
之间的关系得到答案.
【详解】当 时， ，
当 时， ，
对选项A：若 ， ，此时 ，不满足；对选项B：若 ， ，此时 ，满足；
对选项C：若 ， ，此时 ，满足；
对选项D：若 ， ，此时 ，满足；
故选：BCD.
12．7
根据三个二次之间的关系以及根与系数关系求 的值，进而可得 的值.
【详解】因为不等式 的解集是 ，
可知方程 有且仅有一个解 ，则 ，
又因为不等式 ，即 的解集为 ，
可知方程 的解为 ，
则 ，解得 ，
由 可得 ，则 ，所以 .
故答案为：7.
13．0
根据给定条件可得函数 是周期为 的函数，进而求出 ，再利用周期性求出目标
值.
【详解】由函数 为偶函数，得 ，即 ，
由函数 为奇函数，得 ，即 ，
则 ，即 ，因此 ，
即函数 的一个周期为4，由 ，得 ，则 ，由 ，令 得 ，则 ，
所以 .
故答案为：0
14．
根据定义域是使得式子有意义，即 ，解出即可求解.
【详解】由题意有 且 且 ，
所以 .
故答案为： .
15．(1) ，
(2) 或
（1）根据题意，结合三个二次式的关系，列出方程组，即可求解.
（2）求得 ，结合集合并集与补集的运算，即可求解.
【详解】（1）由不等式 的解集是 ，可得 ，解得 .
（2）由不等式 ，可得 ，解得 ，即 ，
因为 ，所以 或 ，
所以 或 .
16．(1)(2)
（1）求出集合 ，利用交集的定义可求得集合 ；
（2）利用并集的结果可求得实数 的值.
【详解】（1）解：因为 ， ，
所以， ；
（2）解：因为 ， 且 ，故 .
17．（1）对称轴为 ， ，无最大值；（2）对称轴为 ， ，无最小值；
对函数进行配方，即可得答案；
【详解】（1）
对称轴为 ， ，无最大值；
（2） ，
对称轴为 ， ，无最小值；
18．（1） ；（2）当 时原不等式的解集为 ，当 时原不等式的解集为 ，
或 ，当 时原不等式的解集为 ，或 ．
【详解】解：（1）因为 ，所以 ，即 ，所以 ，即原不等式的
解集为
（2） 的不等式： ，即 ，
此不等式所对应的一元二次方程 的两个根为 和1．
当 ，即 时，此时不等式即 ，它的解集为 ；
当 ，即 时，它的解集为 或 ；
当 ，即 时，它的解集为 或 ．
综上可得：当 时原不等式的解集为 ，当 时原不等式的解集为 或 ，当时原不等式的解集为 或 ．
19．(1) ， 不互为不交双等集，集合 ， 互为不交双等集，理由见解析
(2) 或
(3)证明见解析
【详解】（1）因为 ， ，所以集合 ， 不满足条件②，
则集合 ， 不互为不交双等集．
因为 ， ， ， ，
且 ，所以集合 ， 互为不交双等集．
（2）由不交双等集的定义可得 ，
解得 或 ，则 或 ．
（3）引理1：设m元不交双等集对 和n元不交双等集对
，可由此构造 元不交双等集对．
引理1证明：必有 ， ， ，
， ， ，
对于任意的正整数, 为 元不交双等集对，
显然存在足够大得正整数,使得 ，
满足 ,
所以 ，，
，
,则 互为 元不交双等集．
引理2：由引理1中得已知得两个不交双等集对可由此构造 元不交双等集对.
引理2证明：当 时由引理1中得构造方法可知存在 元不交双等集对，
再对此 元不交双等集对和 元不交双等集对重复使用引理1可构造 元不交双等集对.
再对此 元不交双等集对和 元子集对，
使用引理1，可构造 元不交双等子集对.
现在来证明对任意给定的正整数 ，存在两个n元正整数集M，N互为不交双等集．
证明：由（1）（2）可知 和 互为4元不交双等集，
为三元不交双等集对；
易证 和 互为4元不交双等集，
和 互为3元不交双等集，
进而得到 和 互为5元不交双等集．
当 时，由引理2可得结论正确；
当 时，由引理2可构造 元不交双等集对，
再和1个4元不交双等集利用引理2构造得到；
当 ，由引理2可构造 元不交双等集对，
再和1个5元不交双等集利用引理2构造得到．
