文档内容
2020-2021 学年上海市崇明区九年级（上）期末数学试卷（一模）
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选
项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]
1．（4分）已知线段a、b、c、d的长度满足等式ab＝cd，如果某班四位学生分别将该等式改写
成了如下四个比例式，那么其中错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）已知点G是△ABC的重心，如果联结AG，并延长AG交边BC于点D，那么下列说
法中错误的是（ ）
A．BD＝CD B．AG＝GD C．AG＝2GD D．BC＝2BD
3．（4分）已知 和 都是单位向量，那么下列结论中正确的是（ ）
A． ＝ B． + ＝2 C． ﹣ ＝0 D．| |+| |＝2
4．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，BC＝6，那么∠A的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）抛物线y＝a（x﹣k）2+k的顶点总在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．直线y＝x上 D．直线y＝﹣x上
6．（4分）如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的 倍，那么这个正多边形的边数
是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．无法确定
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置
上】
7．（4分）已知 ，则 ＝ ．
8．（4分）已知线段AB＝6cm，点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么线段AC的长为
．
9．（4分）如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为1：4，那么这两个三角形的面积比
为 ．
10．（4分）计算：2（ ﹣2 ）+3（2 + ）＝ ．
11．（4分）如果一段斜坡的水平宽度为12米，坡度i＝1：3，那么这段斜坡的铅垂高度为
米．12．（4分）已知锐角△ABC中，AB＝5，BC＝7，sinB＝ ，那么∠C＝ 度．
13．（4分）函数y＝2x2+4x﹣5的图象与y轴的交点的坐标为 ．
14．（4分）如果将抛物线y＝（x﹣1）2先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得
的新抛物线的解析式为 ．
15．（4分）如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的弧与x轴交于A、B两点，已知点P的坐标
为（1，y），点A的坐标为（﹣1，0），那么点B的坐标为 ．
16．（4分）如果大小不同的两个圆外切时的圆心距为5厘米，并且它们内切时的圆心距为1
厘米，那么其中较大圆的半径为 厘米．
17．（4分）我们约定：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的
比例中项，那么就称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线为“闪亮对角线，”相关
两边为“闪亮边”．例如：图1中的四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，则AC2＝AB•AD，所
以四边形ABCD是闪亮四边形，AC是闪亮对角线，AB、AD是对应的闪亮边．如图2，已知
闪亮四边形ABCD中，AC是闪亮对角线，AD、CD是对应的闪亮边，且∠ABC＝90°，∠D
＝60°，AB＝4，BC＝2，那么线段AD的长为 ．
18．（4分）在△ABC中，AB＝4 ，∠B＝45°，∠C＝60°．点D为线段AB的中点，点E在边
AC上，连结DE，沿直线DE将△ADE折叠得到△A′DE．连结AA′，当A′E⊥AC时，则
线段AA′的长为 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：tan60°+ ﹣sin245°．
20．（10分）如图，已知△ABC中，DE∥BC，AD＝2，DB＝4，AC＝8．
（1）求线段AE的长；
（2）设 ＝ ， ＝ ．
请直接写出向量 关于 、 的分解式， ＝ ；
①联结BE，在图中作出向量 分别在 、 方向上的分向量．
②[可以不写作法，但必须写出结论]
21．（10分）如图，已知 O的半径为 ，在 O中，OA、OB是圆的半径，且OA⊥OB，点C在
线段AB的延长线上⊙，且OC＝AB． ⊙
（1）求线段BC的长；
（2）求∠BOC的正弦值．
22．（10分）为了维护国家主权和海洋权益，海监部门对我领海实施常态化巡航管理．如图，
一艘正在执行巡航任务的海监船接到固定监测点P处的值守人员报告；在P处南偏东30°
方向上，距离P处14海里的Q处有一可疑船只滞留，海监船以每小时28里的速度向正东
方向航行，在A处测得监测点P在其北偏东60°方向上，继续航行半小时到达了B处，此
时测得监测点P在其北偏东30°方向上．
（1）B、P两处间的距离为 海里；如果联结图中的B、Q两点，那么△BPQ是
三角形；如果海监船保持原航向继续航行，那么它 [填“能”或“不能”]到达Q
处；
（2）如果监测点P处周围12海里内有暗礁，那么海监船继续向正东方向航行是否安全？23．（12分）已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且∠AED＝∠ABC，联结
BE、CD相交于点F．
（1）求证：∠ABE＝∠ACD；
（2）如果ED＝EC，求证： ．
24．（12分）如图，已知对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，与
y轴交于点C，其中点A的坐标为（1，0）．
（1）求点B的坐标及抛物线的表达式；
（2）记抛物线的顶点为P，对称轴与线段BC的交点为Q，将线段PQ绕点Q，按顺时针方
向旋转120°，请判断旋转后点P的对应点P′是否还在抛物线上，并说明理由；
（3）在x轴上是否存在点M，使△MOC与△BCP相似？若不存在，请说明理由；若存在，
请直接写出点M的坐标【不必书写求解过程】．
25．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点D为斜边AB的中点，
ED⊥AB，交边BC于点E，点P为射线AC上的动点，点Q为边BC上的动点，且运动过程中始终保持PD⊥QD．
（1）求证：△ADP∼△EDQ；
（2）设AP＝x，BQ＝y．求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；
（3）联结PQ，交线段ED于点F．当△PDF为等腰三角形时，求线段AP的长．2020-2021 学年上海市崇明区九年级（上）期末数学试卷（一模）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选
项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]
1．（4分）已知线段a、b、c、d的长度满足等式ab＝cd，如果某班四位学生分别将该等式改写
成了如下四个比例式，那么其中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．对选项一一分析，选出正确答
案．
【解答】解：A、 ＝ ad＝bc；
⇒
B、 ＝ ab＝cd；
⇒
C、 ＝ ab＝cd；
⇒
D、 ＝ ab＝cd．
⇒
故选：A．
【点评】考查了比例线段，掌握比例的基本性质，根据比例的基本性质实现比例式和等积
式的互相转换．
2．（4分）已知点G是△ABC的重心，如果联结AG，并延长AG交边BC于点D，那么下列说
法中错误的是（ ）
A．BD＝CD B．AG＝GD C．AG＝2GD D．BC＝2BD
【分析】根据三角形重心的定义可判断AD为BC边上的中线，则可对A、D选项进行判断；
根据三角形重心的性质可对B、C选项进行判断．
【解答】解：如图，
∵点G是△ABC的重心，
∴AD为BC边上的中线，
∴BD＝CD，BC＝2BD、D选项的说法正确；
∵点G是△ABC的重心，∴AG＝2GD，所以B选项的说法错误．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点
的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
3．（4分）已知 和 都是单位向量，那么下列结论中正确的是（ ）
A． ＝ B． + ＝2 C． ﹣ ＝0 D．| |+| |＝2
【分析】根据平面向量的性质进行一一分析判断．
【解答】解：A、向量 与 ，该等式才成立．
B、当向量 与 ， + ＝ ，故本选项不符合题意．
C、当向量 与 ， ﹣ ＝ ，故本选项不符合题意．
D、由题意知，| |＝4．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．
4．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，BC＝6，那么∠A的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的定义求出答案．
【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝6，
∴AB＝ ＝ ＝10，
∴sinA＝ ＝ ＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理，理解锐角三角函数的意义和勾股定理
是解决问题的关键．
5．（4分）抛物线y＝a（x﹣k）2+k的顶点总在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．直线y＝x上 D．直线y＝﹣x上
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可求出顶点坐标，再确定顶点所在的直线解析式．【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣k）2+k的顶点坐标为（k，k），
∴顶点坐标满足直线y＝x，故顶点总在直线y＝x上，
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线的顶点坐标的求法以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌
握二次函数的性质是解题的关键．
6．（4分）如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的 倍，那么这个正多边形的边数
是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．无法确定
【分析】设AB是正多边形的一边，OC⊥AB，在直角△AOC中，利用三角函数求得∠AOC
的度数，从而求得中心角的度数，然后利用360度除以中心角的度数，即可求得边数．
【解答】解：设AB是正多边形的一边，OC⊥AB，
因为正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的 倍，
所以OA＝ OC，
即 ＝ ，
在直角△AOC中，sin∠AOC＝ ＝ ，
∴∠AOC＝45°，
∴∠AOB＝90°，
则正多边形边数是： ＝4．
故选：B．
【点评】本题考查正多边形和圆，解决本题的关键是掌握正多边形和圆的性质．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置
上】
7．（4分）已知 ，则 ＝ ．
【分析】根据题意，设x＝5k，y＝3k，代入即可求得 的值．【解答】解：由题意，设x＝5k，
∴ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了比例的基本性质，是基础题．已知几个量的比值时，常用的解法是：设
一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
8．（4分）已知线段AB＝6cm，点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么线段AC的长为
（ 3 ﹣ 3 ） cm ．
【分析】根据黄金分割的概念得到AC＝ AB，把AB＝6cm代入计算即可．
【解答】解：∵线段AB＝6cm，点C是线段AB的黄金分割点，
∴AC＝ AB＝ ﹣4）cm，
故答案为：（3 ﹣2）cm．
【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线
段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这
条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的 倍．
9．（4分）如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为1：4，那么这两个三角形的面积比
为 1 ： 1 6 ．
【分析】根据对应高的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．
【解答】解：∵相似三角形对应高的比等于相似比，
∴两三角形的相似比为1：4，
∴两三角形的面积比为2：16．
故答案为：1：16．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形对应高的比等于相似比．
10．（4分）计算：2（ ﹣2 ）+3（2 + ）＝ 8 ﹣ ．
【分析】利用乘法结合律去括号，然后计算加减法．
【解答】解：原式＝2 ﹣4 +8 ﹣ ．
故答案是：8 ﹣ ．
【点评】本题主要考查了平面向量的计算，注意：实数的运算法则同样应用于平面向量的计算．
11．（4分）如果一段斜坡的水平宽度为12米，坡度i＝1：3，那么这段斜坡的铅垂高度为 4
米．
【分析】直接利用坡度的定义进行解答即可．
【解答】解：∵斜坡的坡度i＝ ＝1：3，
∴铅垂高度＝ ×水平宽度＝ ，
故答案为：4．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度问题，熟练掌握坡度的定义是解题的关键．
12．（4分）已知锐角△ABC中，AB＝5，BC＝7，sinB＝ ，那么∠C＝ 4 5 度．
【分析】过A作AD⊥BC，则∠ADB＝∠ADC＝90°，解直角三角形求出AD和BD，求出CD
＝AD＝4，再求出答案即可．
【解答】解：过A作AD⊥BC，则∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵sinB＝ ＝ ，AB＝6，
∴AD＝4，
由勾股定理得：BD＝ ＝ ＝3，
∵BC＝6，
∴CD＝BC﹣BD＝7﹣3＝3，
∴AD＝CD，
∴∠C＝∠CAD＝45°，
故答案为：45．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，解直角三角形和勾股
定理等知识点，能求出AD的长度是解此题的关键．
13．（4分）函数y＝2x2+4x﹣5的图象与y轴的交点的坐标为 （ 0 ，﹣ 5 ） ．
【分析】根据题目中的函数解析式，令x＝0，求出相应的y的值，即可解答本题．【解答】解：∵y＝2x2+2x﹣5，
∴当x＝0时，y＝﹣2，
故答案为：（0，﹣5）．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求
问题需要的条件，知道抛物线与y轴的交点，横坐标为0．
14．（4分）如果将抛物线y＝（x﹣1）2先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得
的新抛物线的解析式为 y ＝（ x + 1 ） 2 + 1 ．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2先向左平移6个单位，再向上平移1个单位2+6，即y＝
（x+1）2+8．
故答案为y＝（x+1）2+4．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答
此题的关键．
15．（4分）如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的弧与x轴交于A、B两点，已知点P的坐标
为（1，y），点A的坐标为（﹣1，0），那么点B的坐标为 （ 3 ， 0 ） ．
【分析】利用垂径定理，根据P点坐标，求出C点坐标，从而求出B点坐标．
【解答】解：∵P点坐标为（1，y），
∴C点坐标为（1，4），
∵AC＝1﹣（﹣1）＝8，
∴BC＝AC＝2，
∴OB＝2+5＝3，
∴B（3，4）．
故答案为：（3，0）．【点评】本题考查了垂径定理和坐标与图形，知道AC＝BC是解题的关键步骤．
16．（4分）如果大小不同的两个圆外切时的圆心距为5厘米，并且它们内切时的圆心距为1
厘米，那么其中较大圆的半径为 3 厘米．
【分析】根据两圆位置关系是内切，则圆心距＝两圆半径之差，外切，则圆心距＝两圆半径
之和，列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：设大圆半径为x厘米，小圆的半径为y厘米，
∵两个圆外切时的圆心距为5厘米，并且它们内切时的圆心距为1厘米，
∴ ，
解得x＝3，
∴大圆半径为7厘米，
故答案为3．
【点评】此题主要考查了两圆的位置关系，用到的知识点为：两圆内切，圆心距＝两圆半径
之差，外切时，r+R＝d．
17．（4分）我们约定：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的
比例中项，那么就称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线为“闪亮对角线，”相关
两边为“闪亮边”．例如：图1中的四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，则AC2＝AB•AD，所
以四边形ABCD是闪亮四边形，AC是闪亮对角线，AB、AD是对应的闪亮边．如图2，已知
闪亮四边形ABCD中，AC是闪亮对角线，AD、CD是对应的闪亮边，且∠ABC＝90°，∠D
＝60°，AB＝4，BC＝2，那么线段AD的长为 2 ．
【分析】如图，作CH⊥AD于H．想办法证明△ACD是等边三角形，即可解决问题．【解答】解，如图．
∵AC2＝DA•DC时
∵DH＝CD•cos∠D，CH＝CD•sin∠D，
∴AC2＝AH8+CH2＝（AD﹣CD•cos∠D）2+（CD•sin∠D）6
＝AD2+CD2﹣6AD•CD•cos∠D
＝AD2+CD2﹣AD•CD，
∵AC5＝AD•CD，
∴AD2﹣2AD•CD+CD6＝0，
∴（AD﹣CD）2＝2，
∴AD＝CD，
∵∠D＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AD＝AC＝ ＝ ＝2 ．
故答案为：2 ．
【点评】本题考查解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明
△ACD是等边三角形，属于中考常考题型．
18．（4分）在△ABC中，AB＝4 ，∠B＝45°，∠C＝60°．点D为线段AB的中点，点E在边
AC上，连结DE，沿直线DE将△ADE折叠得到△A′DE．连结AA′，当A′E⊥AC时，则
线段AA′的长为 2 ．
【分析】画出相应的图形，结合图形通过作高构造直角三角形，求出AM＝BM＝4，进而求
出AC，再利用相似三角形的性质和判定求出AE，根据对称在Rt△AEF中求出AF即可．
【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC，
在Rt△ABM中，∠B＝45° ，
∴AM＝BM＝AB•sin∠B＝4，在Rt△ACM中，AM＝6，
∴AC＝ ＝ ＝ ，
又∵A′E⊥AC，
∴∠A′EC＝90°，
由折叠得∠AED＝∠A′ED＝ （180°﹣90°）＝45°，
∵∠AED＝45°＝∠B，∠DAE＝∠CAB，
∴△DAE∽△CAB，
∴ ＝ ，
∵点D为线段AB的中点，
∴AD＝BD＝ AB＝7 ，
∴ ＝ ，
∴AE＝4 ，
在Rt△AEF中，AF＝EF＝AE•sin∠AED＝2 × ＝ ，
∴AA′＝2AF＝2 ，
故答案为：2 ．
【点评】本题考查轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握轴对称、
相似三角形的性质以及解直角三角形是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：tan60°+ ﹣sin245°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案．【解答】解：原式＝ + ﹣（ ）2
＝ + +1﹣
＝2 + ．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
20．（10分）如图，已知△ABC中，DE∥BC，AD＝2，DB＝4，AC＝8．
（1）求线段AE的长；
（2）设 ＝ ， ＝ ．
请直接写出向量 关于 、 的分解式， ＝ ﹣ + ；
①
联结BE，在图中作出向量 分别在 、 方向上的分向量．
②[可以不写作法，但必须写出结论]
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理解决问题即可．
（2） 利用三角形法则求出 ，再根据AE＝ AC，求解即可．
①
利用平行四边形法则画出图形即可．
②【解答】解：（1）∵DE∥BC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AE＝ ．
（2） ∵ ＝ + ，
∴ ＝①﹣ + ，∵AE＝ AC，
∴ ＝﹣ + ．
故答案为：﹣ + ．
向量 分别在 、 ， ：如图所示：
②
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属
于中考常考题型．
21．（10分）如图，已知 O的半径为 ，在 O中，OA、OB是圆的半径，且OA⊥OB，点C在
线段AB的延长线上⊙，且OC＝AB． ⊙
（1）求线段BC的长；
（2）求∠BOC的正弦值．
【分析】（1）过点O作OD⊥AB于点D，根据已知条件可得∠C＝30°，进而可得结论；
（2）过点B作BE⊥OC于点E，根据锐角三角函数定义即可求出结果．
【解答】解：（1）如图，过点O作OD⊥AB于点D，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴AB＝OC＝2，OD＝BD＝1，
∴∠C＝30°，
∴CD＝ ，
∴BC＝ ﹣1；
（2）如图，过点B作BE⊥OC于点E，
∵∠C＝30°，
∴BE＝ BC，
∴sin∠BOC＝ ＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查了垂径定理，解直角三角形，解决本题的关键是掌握垂径定理，解直角三
角形．
22．（10分）为了维护国家主权和海洋权益，海监部门对我领海实施常态化巡航管理．如图，
一艘正在执行巡航任务的海监船接到固定监测点P处的值守人员报告；在P处南偏东30°
方向上，距离P处14海里的Q处有一可疑船只滞留，海监船以每小时28里的速度向正东
方向航行，在A处测得监测点P在其北偏东60°方向上，继续航行半小时到达了B处，此
时测得监测点P在其北偏东30°方向上．
（1）B、P两处间的距离为 1 4 海里；如果联结图中的B、Q两点，那么△BPQ是 等边
三角形；如果海监船保持原航向继续航行，那么它 能 [填“能”或“不能”]到达Q处；
（2）如果监测点P处周围12海里内有暗礁，那么海监船继续向正东方向航行是否安全？
【分析】（1）先由题意得AB＝14（海里），∠PAB＝30°，∠ABP＝120°，再由三角形内角和
定理得∠APB＝30°＝∠PAB，则PB＝AB＝14（海里），然后证△BPQ是等边三角形，进而
得A、B、Q三点共线，即可得出结论
（2）过点P作PH⊥AB于H，由（1）得∠PBH＝60°，再求出PH＝7 ，然后由7 ＞12即
可得出结论．
【解答】解：（1）如图1所示：由题意得：AB＝28× ＝14（海里），∠ABP＝90°+30°＝120°，
∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝30°，∴∠APB＝∠PAB，
∴PB＝AB＝14（海里），
∵BC∥PD，
∴∠BPD＝∠PBC＝30°，
∴∠BPQ＝∠BPD+∠QPD＝30°+30°＝60°，
∵PQ＝PB＝14，
∴△BPQ是等边三角形，
∴∠PBQ＝60°，
∴∠PBQ+∠ABP＝60°+120°＝180°，
∴A、B、Q三点共线，
∴如果海监船保持原航向继续航行，那么它到达Q处，
故答案为：14，等边，能；
（2）过点P作PH⊥AB于H，如图2所示：
由（1）得：∠PBH＝60°，
在Rt△BHP中，PH＝tan60°×PB＝ ，
∵7 ＞12，
∴海监船继续向正东方向航行是安全的．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题、等边三角形的判定与性质等知
识，熟练掌握锐角三角函数的概念和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
23．（12分）已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且∠AED＝∠ABC，联结
BE、CD相交于点F．
（1）求证：∠ABE＝∠ACD；
（2）如果ED＝EC，求证： ．
【分析】（1）根据已知条件证明△ADE∽△ACB，可得 ＝ ，根据∠A＝∠A，证明
△ADC∽△AEB，即可得结论；
（2）根据已知条件证明△EDF∽△EBD，可得 ＝ ＝ ，进而可得结论．
【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴ ＝ ，
∵∠A＝∠A，
∴△ADC∽△AEB，
∴∠ABE＝∠ACD；
（2）证明：∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴∠EDC＝∠EBD，
∵∠DEF＝∠DEB，
∴△EDF∽△EBD，
∴ ＝ ＝ ，（ ）2＝ • ，
∴ ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题
的关键．
24．（12分）如图，已知对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，与
y轴交于点C，其中点A的坐标为（1，0）．
（1）求点B的坐标及抛物线的表达式；
（2）记抛物线的顶点为P，对称轴与线段BC的交点为Q，将线段PQ绕点Q，按顺时针方
向旋转120°，请判断旋转后点P的对应点P′是否还在抛物线上，并说明理由；
（3）在x轴上是否存在点M，使△MOC与△BCP相似？若不存在，请说明理由；若存在，
请直接写出点M的坐标【不必书写求解过程】．
【分析】（1）构建方程组求解即可．
（2）如图1中，过点P′作P′H⊥PQ于H．求出点P′的坐标，即可判断．
（3）首先证明∠CBP＝90°，由PC：BC＝1：3，推出OM：OC＝1：3或OC：OM＝1：3，推出
OM＝1或9，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意， ，
解得 ，
∴抛物线的解析式y＝﹣x2﹣2x+5，
令y＝0，则﹣x2﹣3x＝3＝0，解得x＝2或﹣3，
∴B（﹣3，3）．（2）如图1中，过点P′作P′H⊥PQ于H．
∵y＝﹣x2﹣5x+3＝﹣（x+1）4+4，
∴顶点P（﹣1，5），
∵B（﹣3，0），7），
∴直线BC的解析式为y＝x+3，
∵PQ∥y轴，
∴Q（﹣1，3），
∴PQ＝2，
在Rt△P′QH中，∠P′HQ＝90°，P′Q＝PQ＝2，
∴PH＝P′Q•sin60′＝ ，PH＝P′Q•cos60°＝1，
∴P′（ ﹣4，
当x＝ ﹣1时 ﹣1）2﹣4（ ﹣1）+7＝1，
∴点P′在抛物线上．
（3）存在．如图2中，PC．
∵B（﹣8，0），4），3），
∴BC＝3 ，PC＝ ，
∴PB2＝PC8+CB2，∴∠PCB＝90°，PC：BC＝ ＝1：3，
当MO：OC＝4：3或OC：MO＝1：8时，△COM与△BCP相似，
∴OM＝1或9，
∴满足条件的点M的坐标为（3，0）或（﹣1，3）或（﹣9．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，相似三角形
的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，
学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
25．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点D为斜边AB的中点，
ED⊥AB，交边BC于点E，点P为射线AC上的动点，点Q为边BC上的动点，且运动过程
中始终保持PD⊥QD．
（1）求证：△ADP∼△EDQ；
（2）设AP＝x，BQ＝y．求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；
（3）联结PQ，交线段ED于点F．当△PDF为等腰三角形时，求线段AP的长．
【分析】（1）证∠A＝∠DEQ，∠EDQ＝∠ADP，即可得出△ADP∽△EDQ；
（2）证△EDB∽△ACB，求出ED＝ ，EB＝ ，由（1）得：△ADP∽△EDQ，得 ＝ ，
解得：EQ＝ x，进而得出结论；
（3）证tan∠QPD＝ ＝ ＝ ＝tanB，得∠QPD＝∠B，再证△PDF∽△BDQ，得
△PDF为等腰三角形时，△BDQ也为等腰三角形，再分三种情况： 若DQ＝BQ， BQ
＝BD， DQ＝DB，分别求解即可． ① ②
【解答】③（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∵ED⊥AB，
∴∠EDB＝90°，
∴∠DEQ+∠B＝90°，
∴∠A＝∠DEQ，
又∵PD⊥QD，
∴∠PDQ＝90°，
∴∠EDQ+∠PDE＝∠ADP+∠PDE＝90°，
∴∠EDQ＝∠ADP，
∴△ADP∽△EDQ；
（2）解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，
∴AB＝ ＝10，
∵点D为斜边AB的中点，
∴AD＝BD＝ AB＝5，
∵∠EDB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，
∴△EDB∽△ACB，
∴ ＝ ＝ ，
即 ＝ ＝ ，
解得：ED＝ ，EB＝ ，
由（1）得：△ADP∽△EDQ，
∴ ＝ ，
即 ＝ ＝ ，
解得：EQ＝ x，
∴BQ＝BE﹣EQ＝ ﹣ x，
即y＝ ﹣ x，∵AP≥0，
∴x≥6，
∵BQ≥0，
∴ ﹣ x≥0，
∴x≤ ，
∴y＝ ﹣ x（0≤x≤ ）；
（3）解：由（1）得：△ADP∼△EDQ，
∴ ＝ ＝ ，
∵PD⊥QD，
∴∠PDQ＝90°，
∴tan∠QPD＝ ＝ ＝ ＝tanB，
∴∠QPD＝∠B，
又∵∠PDQ＝∠BDE＝90°，
∴∠PDF＝∠BDQ，
∴△PDF∽△BDQ，
∴△PDF为等腰三角形时，△BDQ也为等腰三角形，
若DQ＝BQ，过Q作QG⊥BD于G
①
则DG＝BG＝ BD＝ ，
∵cosB＝ ＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得：x＝ ，
即AP＝ ；若BQ＝BD，则 ﹣ x＝5，
②
解得：x＝ ，
即AP＝ ；
若DQ＝DB，则∠B＝∠DQB，
③∵∠B+∠DQB+∠BDQ＝6∠B+∠BDQ＜180°，此种情况舍去；
综上所述，当△PDF为等腰三角形时 或 ．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰
三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形和
直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
