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2023 年上海市宝山区中考数学二模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷
上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列运算正确的是( )
A. a2+a3=a6 B. a2+a3=a5 C. a2 ⋅a3=a6 D. (a3 ) 2=a6
2. 无理数√7在( )
A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间
3. 如果一个三角形的两边长分别为5cm、10cm，那么这个三角形的第三边的长可以是
( )
A. 3cm B. 5cm C. 10cm D. 16cm
4. 已知点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，DE//BC，DE：BC=1：3，
⃗ ⃗
设 DA=a ，那么⃗CD用向量⃗a表示为( )
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
A. B. C. D.
3a −3a 4a −4a
5. 在研究反比例函数的图象时，小明想通过列表、描点的方法画出反比例函数的图象，但
是在作图时，小明发现计算有错误，四个点中有一个不在该函数图象上，那么这个点是( )
1
x … −2 − 1 2 …
2
y … −1 4 −2 −1 …
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学科网（北京）股份有限公司 1 11
A. (−2,−1) B. (− ,4) C. (1,−2) D. (2,−1)
2
6. 已知点A、B、C在圆O上，那么下列命题为真命题的是( )
A. 如果半径OB平分弦AC，那么四边形OABC是平行四边形
B. 如果弦AC平分半径OB，那么四边形OABC是平行四边形
C. 如果四边形OABC是平行四边形，那么∠AOC=120°
D. 如果∠AOC=120°，那么四边形OABC是平行四边形
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）
7. 计算：(−√2) 2=______．
8. 分解因式： ______ ．
1
9. 分式 中字母x的取值范围是______ ．
x−3
10. 如果关于x的方程x2+2x−k=0有两个相等的实数根，那么k= ______ ．
11. 在平面直角坐标系中，若点P(x−3,x)在第二象限，则x的取值范围为______ ．
12. 一个不透明的袋子里装有3个白球和1个红球，这些小球除颜色外无其他差别，如果从
袋子中随机摸出一个小球，那么摸出的小球是红球的概率是______ ．
13. 已知一次函数y=3x+m的图象经过点(−1,1)，那么m= ______ ．
14. 某长途汽车客运公司规定旅客可免费随身携带一定质量的行李，如果超过规定的质量，
则需购买行李票.行李费用y(元)是行李质量x(千克)的一次函数，其图象如图所示.旅客最多
可免费携带行李的质量是______ 千克．
15. 如图，在正五边形ABCDE中，F是边BC延长线上一点，
联结AC，那么∠ACF的度数为______ ．
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学科网（北京）股份有限公司 2 116. 如图，已知点E在矩形ABCD的边AD上，且
BC=EC=8，∠ABE=15°，那么AB的长等于______ ．
17. 如图，已知△ABC中，∠BAC=30°，∠B=70°，如果将
△ABC绕点C顺时针旋转到△A′B′C，使点B的对应点B′落在边AC
上，那么∠AA′B′的度数是______ ．
18. 如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“倍
角互余三角形”.已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AB=5，点D在边BC上，
且△ABD是“倍角互余三角形”，那么BD的长等于______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
计算： ．
20. (本小题10.0分)
解方程组： ．
21. (本小题10.0分)
某校开设了A、B、C、D、E五类兴趣课，为了解学生对这五类兴趣课的喜爱情况，从全
校500名学生中随机抽取了若干名学生进行“你最喜爱的兴趣课”问卷调查(每个学生从A、
B、C、D、E中选择一类).根据调查结果绘制出条形统计图(图1)和扇形统计图(图2)，两个
统计图都尚未完成．
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学科网（北京）股份有限公司 3 1(1)求本次问卷调查中最喜欢E类课程的学生人数，并在图1中补全相应的条形图；
(2)根据本次调查的结果，试估计该校全体学生中最喜欢D类兴趣课的人数是多少？
22. (本小题10.0分)
“小房子”是一种常见的牛奶包装盒(如图1)，图2是其一个侧面的示意图，由“盒身”矩形
BCDE和“房顶”等腰三角形ABE组成.已知BC=4.5厘米，CD=8厘米，AB=AE=5厘米．
(1)求“房顶”点A到盒底边CD的距离；
(2)现设计了牛奶盒的一个新造型，和原来相比较，折线段ABC的长度(即线段AB与BC的
和)及矩形BCDE的面积均不改变，且 ，BC>CD，求新造型“盒身”的高
度(即线段BC的长)．
23. (本小题12.0分)
如图，四边形ABCD中，AD//BC，AC、BD交于点O，OB=OC．
(1)求证：AB=CD；
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学科网（北京）股份有限公司 4 1(2)E是边BC上一点，联结DE交AC于点F，如果AO2=OF⋅OC，求证：四边形ABED
是平行四边形．
24. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=−x2+bx+c经过点A(−3,0)、B(1,0)，与y轴
交于点C，抛物线的顶点为D．
(1)求二次函数的解析式和顶点D的坐标；
(2)联结AC，试判断△ACD与△BOC是否相似，并说明理由；
(3)将抛物线平移，使新抛物线的顶点E落在线段OC上，新抛物线与原抛物线的对称轴交于
点F，联结EF，如果四边形CEFD的面积为3，求新抛物线的表达式．
25. (本小题14.0分)
如图，已知半圆O的直径AB=4，C是圆外一点，∠ABC的平分线交半圆O于点D，且
∠BCD=90°，联结OC交BD于点E．
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学科网（北京）股份有限公司 5 1(1)当∠ABC=45°时，求OC的长；
(2)当∠ABC=60°时，求 的值；
(3)当△BOE为直角三角形时，求sin∠OCB的值．
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学科网（北京）股份有限公司 6 1答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、a2与a3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、a2与a3不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；
C、a2 ⋅a3=a5，故C不符合题意；
D、(a3
)
2=a6，故D符合题意；
故选：D．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2.【答案】B
【解析】解：∵4<7<9，
∴2<√7<3，
故选：B．
先估计7的范围，再估算√7的范围．
本题考查了无理数的估算，常用夹逼法，用相邻的两个整数夹逼无理数是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：设第三边的长度为xcm，由题意得：
10−5<x<10+5，
即：5<x<15，只有10cm适合，
故选：C．
已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围，
再选出答案即可．
此题主要考查了三角形的三边关系，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不
等式即可．
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学科网（北京）股份有限公司 7 14.【答案】D
【解析】解：∵DE//BC，
∴∠D=∠C，∠B=∠E，
∴△ADE △ACB，
∽
DE AD 1
∴ = = ，
BC AC 3
∴AC=3AD，
，
，
．
故选：D．
由题意可得△ADE △ACB，则 ，可得AC=3AD，进而可得 ，根据
∽
⃗CD=⃗CA+⃗AD可得答案．
本题考查平面向量、相似三角形的判定与性质，熟练掌握平面向量的运算法则、相似三角形的判
定与性质是解答本题的关键．
5.【答案】A
【解析】解： ，
∴这个点是(−2,−1)．
故选：A．
根据反比例函数中k=xy的特点进行解答即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函
数的解析式是解答此题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、当半径OB平分弦AC，但弦AC不平分OB时，
四边形OABC不是平行四边形，故本选项说法是假命题；
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学科网（北京）股份有限公司 8 1B、当弦AC平分半径OB，但弦AC不垂直半径OB时，四边形OABC不是平行四边形，故本选项
说法是假命题；
C、如图，在优弧 上取点D，连接AD、CD，
AC
⏜
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠ABC=∠AOC，
1
由圆周角定理得：∠D= ∠AOC，
2
，
∵四边形OABC为圆O的内接四边形，
∴∠D+∠ABC=180°，
∴∠ABC=120°，
∴∠AOC=120°，故本选项说法是真命题，符合题意；
D、当∠AOC=120°，四边形OABC不一定是平行四边形，故本选项说法是假命题；
故选：C．
根据垂径定理、圆周角定理、平行四边形的判定和性质判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假
关键是要熟悉课本中的性质定理．
7.【答案】2
【解析】解：(−√2) 2=(−√2)(−√2)=2．
故答案为：2．
根据二次根式乘方的意义与二次根式乘法的运算法则，即可求得答案．
此题考查了二次根式乘法与乘方运算．此题比较简单，注意运算符号的确定．
8.【答案】−2
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学科网（北京）股份有限公司 9 1【解析】解：−2a2+8
=−2(a2−4)
=−2(a+2)(a−2)．
先提取公因式−2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其
他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
9.【答案】x≠3
【解析】解：根据题意得x−3≠0，
解得x≠3，
即x的取值范围为x≠3．
故答案为：x≠3．
故答案为：x≠3．
根据题意得x−3≠0，然后解不等式即可．
本题考查了分式有意义的条件：分式有意义的条件是分母不等于零．
10.【答案】−1
【解析】解：∵关于x的方程x2+2x−k=0有两个相等的实数根，
，
解得：k=−1，
∴k的值为−1．
故答案为：−1．
根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2−4ac=0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得
出k的值．
本题考查了根的判别式，牢记“当Δ=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
11.【答案】0<x<3
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学科网（北京）股份有限公司 10 1【解析】解：∵点P(x−3,x)在第二象限，
{x−3<0①
∴ ，
x>0②
解不等式①得，x<3，
所以不等式组的解集是0<x<3．
故答案为：0<x<3．
根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组，然后求解即可．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的
关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四
象限(+,−)．
1
12.【答案】
4
【解析】解：从袋子中随机摸出一个小球共有(3+1)种等可能结果，其中摸出的小球是红球的有
1种结果，
1 1
∴摸出的小球是红球的概率为 = ，
1+3 4
1
故答案为： ．
4
用红球的个数除以球的总个数即可．
本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结
果数．
13.【答案】4
【解析】解：∵一次函数y=3x+m的图象经过点(−1,1)，
，
解得：m=4．
故答案为：4．
利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
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学科网（北京）股份有限公司 11 1本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式
”是解题的关键．
14.【答案】25
【解析】解：设一次函数y=kx+b，
∵当x=40时，y=6，当x=50时，y=10，
，
解得： ，
∴所求函数关系式为 ；
当y=0时， ，
所以x=25，
故旅客最多可免费携带25千克行李．
故答案为：25．
由图，已知直线上两坐标，可根据待定系数法列方程，求函数关系式，旅客可免费携带行李，即
y=0，代入所求得的函数关系式，即可知质量为多少．
本题主要考查了函数的图象和用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，
具备在直角坐标系中的读图能力．注意自变量的取值范围不能遗漏．
15.【答案】144°
【解析】解：∵ABCDE是正五边形，
，AB=BC，
1
∴∠BCA=∠BAC= ×(180°−108°)=36°，
2
．
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学科网（北京）股份有限公司 12 1故答案为：144°．
根据正多边形的外角和是360°，求出这个正多边形的每个内角，再根据AB=BC，得出
∠BCA=∠BAC，最后根据∠ACF=180°−∠ACB，即可得出答案．
本题考查了多边形的内角与外角．根据正多边形的外角和求多边形的外角和内角的度数是常用的
一种方法．
16.【答案】4
【解析】解：作BF⊥EC于点F，则∠BFC=90°，
，
∴∠CEB=∠CBE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠A=90°，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠AEB=∠CEB，
，FB⊥EC，
∴AB=FB，
∵∠ABC=90°，∠ABE=15°，
，
，
，
故答案为：4．
作BF⊥EC于点F，由BC=EC，得∠CEB=∠CBE，由矩形的性质得AD//BC，则
∠AEB=∠CBE，所以∠AEB=∠CEB，则AB=FB，由∠ABC=90°，∠ABE=15°，得
，则∠BCF=30°，所以 ，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和
定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是
解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司 13 117.【答案】20°
【解析】解：在△ABC中，∠BAC=30°，∠B=70°，
，
由旋转变换的性质可知， ，CA=CA′，
，
．
故答案为：20°．
分别求出∠CA′ A，∠CA′B′可得结论．
本题考查旋转变换，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵
活运用所学知识解决问题．
5 7
18.【答案】 或
2 4
【解析】解：如图1，∵BC=4，AB=5，
∴AC=3，
作DH⊥AB于H，设∠BAD=α，∠ABD=β，
①当2α+β=90°时，
∵∠ACB=90°，
，
∴∠CAD=α，
∵DH⊥AB，
∴△ADC △ADH(AAS)，
∴AH=A≌C=3，
∴BH=5−3=2，设BD=x，
，
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学科网（北京）股份有限公司 14 1∴(4−x) 2+22=x2，
5
∴x= ，
2
5
即BD= ．
2
②当2β+α=90°时，
，
∴△CAD △CBA，
∴CD：A∽C=AC：CB，
即CD：3=3：4，
9
∴CD= ，
4
．
5 7
故答案为为： 或 ．
2 4
作DH⊥AB于H，根据定义规定分别得出∠CAD=α或∠CAD=β这两种情况，再分别根据全
等和相似计算即可．
本题考查了直角三角形的性质，熟练运用全等、相似、勾股定理是解题关键．
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学科网（北京）股份有限公司 15 119.【答案】解：原式
1
=2√2− ．
2
【解析】先算分数指数幂、绝对值、三角函数，再算加减．
本题考查分数指数幂、实数运算、三角函数，掌握幂的运算是解题关键．
20.【答案】解： ，
由②得：y=2x−5③，
把③代入①，得 ，
解得：x=2，
把x=2代入③，得y=−1，
{ x=2
所以方程组的解是 ．
y=−1
【解析】由②得出y=2x−5③，把③代入①得出 ，求出x，再把x=2代
入③求出y即可．
本题考查了解高次方程组，能把方程组转化成 是解此题的关键．
21.【答案】解：(1)调查的总人数=20÷40%=50(名)，
E：50×10%=5(名)，
B：50×12%=6(名)，
C：50×40%=20(名)，
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学科网（北京）股份有限公司 16 1最喜欢D类课程的人数为： 名)，
补全的条形统计图如下：
名)，
答：估计该校全体学生中最喜欢D类兴趣课的人数大约是140名．
【解析】(1)用C的人数除以40%比求出样本容量，再用样本容量乘10%可得E的人数，用样本
容量乘12%可得B的人数，进而得出D的人数，再补全相应的条形图即可；
(2)用该校全体学生人数乘样本中最喜欢D类兴趣课的人数所占百分比即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系是正
确解答的关键．
22.【答案】解：(1)作AH⊥CD，垂足为
H，交EB于点F，
∵四边形BCDE是矩形，
∴BE=CD=8厘米，BE//CD，
∴AH⊥BE．
∵AB=AE=5厘米， 厘米，
∴BF=EF=4厘米，
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学科网（北京）股份有限公司 17 1厘米)，
厘米)
答：房顶”点A到盒底边CD的距离为7.5厘米；
(2)在Rt△ABF中， ，
∴设AF=5x厘米，AB=13x厘米，
厘米)，
厘米，
厘米)，
厘米，
∵矩形BCDE的面积不改变，
，
1 3
解得x= 或x= ，
2 13
∴BC=3，CD=12或BC=6.5， ，
∵BC>CD，
∴BC=6.5．
答：新造型“盒身”的高度为6.5厘米．
【解析】(1)作AH⊥CD，垂足为H，交EB于点F，根据矩形的性质得到BE=CD=8厘米，
BE//CD，根据勾股定理即可得到结论；
(2)设AF=5x厘米，AB=13x厘米，根据勾股定理得到 厘米)，求
得 厘米，根据矩形的面积公式列方程即可得到结论．
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学科网（北京）股份有限公司 18 1本题考查的是直角三角形的应用，解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，要把实际问题抽
象到直角三角形中，利用三角函数求解．
23.【答案】证明：(1)∵OB=OC，
∴∠DBC=∠ACB．
∵AD//BC，
∴∠DAC=∠ACB，∠ADB=∠DBC．
∴∠DAC=∠ADB．
∴OA=DO．
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB △DOC(SAS)．
∴AB=CD≌．
，OA=OD，OC=OB，
，即 ．
∵∠AOB=∠DOC，
∴△AOB △FOD．
∽ ．
∴AB//DE．
又∵AD//BC，
∴四边形ABED是平行四边形．
【解析】(1)由等腰三角形的性质和判定及平行线的性质，说明△AOB和△DOC全等，利用全
等三角形的性质得结论；
(2)先说明△AOB △FOD，再说明AB//DE，结合已知由平行四边形的判定可得结论．
本题主要考查了三∽角形全等和相似，掌握全等三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、
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学科网（北京）股份有限公司 19 1平行线的性质、等腰三角形的判定和性质及平行四边形的判定是解决本题的关键．
24.【答案】解：(1)把A(−3,0)、B(1,0)代入y=−x2+bx+c得：
{−9−3b+c=0
，
−1+b+c=0
{b=−2
解得 ，
c=3
∴二次函数的解析式为y=−x2−2x+3；
∵y=−x2−2x+3=−(x+1) 2+4，
∴顶点D的坐标为(−1,4)；
(2)△ACD △COB，理由如下：
∽
在y=−x2−2x+3中，令x=0得y=3，
∴C(0,3)，
∵A(−3,0)、B(1,0)，D(−1,4)，O(0,0)，
∴AC=3√2，AD=2√5，CD=√2，OB=1，OC=3，BC=√10，
AC 3√2
， ， = =√2，
OC 3
，
∴△ACD △COB；
∽
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学科网（北京）股份有限公司 20 1(3)如图：
由新抛物线的顶点E落在线段OC，设新抛物线表达式为y=−x2+m，则顶点E(0,m)，
∵原抛物线对称轴为直线x=−1，
，
∴CE=3−m， ，
∵四边形CEFD的面积为3，
，
解得m=1，
∴新抛物线解析式为y=−x2+1．
【解析】(1)用待定系数法可得二次函数的解析式为y=−x2−2x+3；化为顶点式即知顶点D的
坐标为(−1,4)；
(2)在y=−x2−2x+3中，求出C(0,3)，即可得AC=3√2，AD=2√5，CD=√2，OB=1，
OC=3，BC=√10，由三边对应成比例的三角形相似可得答案；
(3)由新抛物线的顶点E落在线段OC，设新抛物线表达式为y=−x2+m，即可得CE=3−m，
，根据四边形CEFD的面积为3，有 ，
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学科网（北京）股份有限公司 21 1解出m的值即可得新抛物线解析式为y=−x2+1．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形相似的判定，平移变换等知识，解题的
关键是掌握相似三角形的判定定理和利用梯形面积公式列方程．
25.【答案】解：(1)过点O作OM⊥BC于点M，连接OD，
∵∠ABC=45°，∠OMB=90°，
∴∠MOB=45°，
∴OM=BM，
∵AB=4，
∴OA=OB=OD=2，
在Rt△OMB中，OM2+BM2=OB2，
，
负值已舍去)，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB，
∴∠CBD=∠ODB，
∴OD//BC，
∵∠BCD=90°，OM⊥BC，
，
∴OM//CD，
∴四边形OMCD是矩形，
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学科网（北京）股份有限公司 22 1∴CM=OD=2，
；
(2)过点O作OM⊥BC于点M，连接OD，
∵∠ABC=60°，∠OMB=90°，
∴∠MOB=30°，
1
∴BM= OB=1，
2
∵BD是∠ABC的平分线，∠ABC=60°，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∵OB=OD，
，
∴∠ODB=∠CBD，
∴∠AOD=60°，
，
∵∠BCD=90°，OM⊥BC，
∴四边形OMCD是矩形，
∴CM=OD=2，
，
， ，
∴△OED △CEB，
∽
；
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学科网（北京）股份有限公司 23 1(3)①当∠EOB=90°时，过点O作OM⊥BC于点M，连接OD，
∵∠EOB=90°，
∴∠COM+∠BOM=90°，
，
，
，
∴△OMB △COB，
∽
，
，
，
负值舍去)，
；
②当∠OEB=90°时，连接OD，
∵∠OEB=90°，OB=OD，
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学科网（北京）股份有限公司 24 1∴DE=BE，
∴CD=CB，
∵∠BCD=90°，
∴∠CBD=∠CDB=45°，
∵∠OEB=90°，
∴∠OCB=45°，
；
√5−1 √2
综上，sin∠OCB的值为 或 ．
2 2
【解析】(1)过点O作OM⊥BC于点M，连接OD，由∠ABC=45°可得 ，
证明四边形OMCD是矩形，则CM=OD=2，根据勾股定理即可求解；(2)
过点O作OM⊥BC于点M，连接OD，由含30°的直角三角形的性质可得BM=1，证明四边形
OMCD是矩形，则CM=OD=2，BC=3，再证△OED △CEB，根据相似三角形的性质即可
∽
得 ；(3)
过点O作OM⊥BC于点M，连接OD，分两种情况：①当∠EOB=90°时，②当∠OEB=90°
时，分别求解即可．
本题是相似综合题，考查了矩形的判定和性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，相似三
角形的判定和性质，锐角三角函数，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，需要利用参数
解决问题，属于中考压轴题．
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