文档内容
2016 年上海市虹口区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且
只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．
1．（4分）已知α为锐角，如果sinα= ，那么α等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．不确定
2．（4分）把二次函数y=x2﹣4x+1化成y=a（x﹣m）2+k的形式是（ ）
A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x﹣2）2﹣1 C．y=（x﹣2）2+3 D．y=（x﹣2）2﹣3
3．（4分）若将抛物线y=x2平移，得到新抛物线y=（x+3）2，则下列平移方法中，正
确的是（ ）
A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位
4．（4分）若坡面与水平面的夹角为α，则坡度i与坡角α之间的关系是（ ）
A．i=cosα B．i=sinα C．i=cotα D．i=tanα
5．（4分）如图， ▱ABCD对角线AC与BD相交于点O，如果 = ， = ，那么下列
选项中，与向量 （ + ）相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，1），若
△CDE与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
第1页（共27页）A．（4，2） B．（6，0） C．（6，4） D．（6，5）
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的
相应位置]
7．（4分）若x：y=5：2，则（x+y）：y的值是 ．
8．（4分）计算： ﹣3（ ﹣2 ）= ．
9．（4分）二次函数y=x2﹣2x的图象的对称轴是直线 ．
10．（4分）如果抛物线y=﹣x2+3x﹣1+m经过原点，那么m= ．
11．（4分）已知点A（x ，y ）、B（x ，y ）为二次函数y=（x﹣1）2图象上的两点，若x
1 1 2 2 1
＜x ＜1，则y y ．（填“＞”、“＜”或“=”）
2 1 2
12．（4分）用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 …
根据表格上的信息回答问题：当x=2时，y= ．
13．（4分）如果两个相似三角形的周长的比为1：4，那么周长较小的三角形与周
长较大的三角形对应角平分线的比为 ．
14．（4分）如图，在 ▱ABCD中，E是边BC上的点，分别连结AE、BD相交于点O，若
AD=5， = ，则EC= ．
第2页（共27页）15．（4分）如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边
AB、AC上．若△ABC的边BC长为40厘米，高AH为30厘米，则正方形DEFG的
边长为 厘米．
16．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，若点G是△ABC的重心，cos∠BCG= ，
BC=4，则CG= ．
17．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA= ，则CD=
．
18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，点E是边BC的中点，联结AE，若
将△ABE沿AE翻折，点B落在点F处，联结FC，则cos∠ECF= ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：cos245°+tan60°•cos30°﹣3cot260°．
20．（10分）已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣3）、B（2，﹣3）、C（﹣1，0）三点
第3页（共27页）（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将这个二次函数图象平移，使顶点移到点P（0，﹣3）的位置，求所得新抛物线
的表达式．
21．（10分）如图，DC∥EF∥GH∥AB，AB=12，CD=6，DE：EG：GA=3：4：5．求EF和
GH的长．
22．（10分）如图，已知楼AB高36米，从楼顶A处测得旗杆顶C的俯角为60°，又
从该楼离地面6米的一窗口E处测得旗杆顶C的仰角为45°，求该旗杆CD的
高．（结果保留根号）
23 ．（ 12 分）如图，点 E 是四边形 ABCD 的对角线 BD 上的一点，
∠BAE=∠CBD=∠DAC．
（1）求证：DE•AB=BC•AE；
（2）求证：∠AED+∠ADC=180°．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于点A
第4页（共27页）（2，0）、点B（点B在点A的右侧），与轴交于点C，tan∠CBA= ．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）设该抛物线的顶点为D，求四边形ACBD的面积；
（3）设抛物线上的点E在第一象限，△BCE是以BC为一条直角边的直角三角形，
请直接写出点E的坐标．
25．（14分）如图，在 ▱ABCD中，E为边BC的中点，F为线段AE上一点，联结BF并
延长交边AD于点G，过点G作AE的平行线，交射线DC于点H．设 = =x．
（1）当x=1时，求AG：AB的值；
（2）设 =y，求关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）当DH=3HC时，求x的值．
第5页（共27页）2016 年上海市虹口区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且
只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．
1．（4分）已知α为锐角，如果sinα= ，那么α等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．不确定
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】根据特殊角的三角函数值求解．
【解答】解：∵α为锐角，sinα= ，
∴α=45°．
故选：B．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的
三角函数值．
2．（4分）把二次函数y=x2﹣4x+1化成y=a（x﹣m）2+k的形式是（ ）
A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x﹣2）2﹣1 C．y=（x﹣2）2+3 D．y=（x﹣2）2﹣3
【考点】H9：二次函数的三种形式．
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【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．
【解答】解：y=x2﹣4x+1
=x2﹣4x+4﹣3
=（x﹣2）2﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般
式化为顶点式是解题的关键．
3．（4分）若将抛物线y=x2平移，得到新抛物线y=（x+3）2，则下列平移方法中，正
确的是（ ）
A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位
第6页（共27页）【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）2的顶点坐标为
（﹣3，0），然后利用顶点的平移情况确定抛物线的平移情况．
【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）2的顶点坐标为（﹣
3，0），
因为点（0，0）向左平移3个单位长度后得到（﹣3，0），
所以把抛物线y=x2向左平移3个单位得到抛物线y=（x+3）2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故
a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物
线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后
的顶点坐标，即可求出解析式．
4．（4分）若坡面与水平面的夹角为α，则坡度i与坡角α之间的关系是（ ）
A．i=cosα B．i=sinα C．i=cotα D．i=tanα
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】利用把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：
i= =tanα．
【解答】解：如图所示：i=tanα．
故选：D．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角的定义，正确把握坡角
的定义是解题关键．
5．（4分）如图， ▱ABCD对角线AC与BD相交于点O，如果 = ， = ，那么下列
选项中，与向量 （ + ）相等的向量是（ ）
第7页（共27页）A． B． C． D．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】由四边形ABCD是平行四边形根据平行四边形法则，可求得 = = ，然
后由三角形法则，求得 与 ，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ = = ，
∴ = + = + ， = ﹣ = ﹣ ，
∴ =﹣ =﹣ （ + ）， = = （ + ）， =﹣ =﹣ （ ﹣ ）， =
= （ ﹣ ）．
故选：C．
【点评】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法
则与平行四边形法则的应用是解此题的关键．
6．（4分）如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，1），若
△CDE与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
A．（4，2） B．（6，0） C．（6，4） D．（6，5）
【考点】D5：坐标与图形性质；S8：相似三角形的判定．
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第8页（共27页）【分析】根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即
可判断．
【解答】解：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．
A、当点E的坐标为（4，2）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，
△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，
△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；
C、当点E的坐标为（6，4）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=3，则AB：BC≠DE：CD，△EDC
与△ABC不相似，故本选项符合题意；
D、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=CD：DE，
△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，难度中等．牢记相似三角形的判定定理是
解题的关键．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的
相应位置]
7．（4分）若x：y=5：2，则（x+y）：y的值是 ．
【考点】S1：比例的性质．
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【分析】根据合比性质： = = ，可得答案．
⇒
【解答】解：由合比性质，得
= = ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了比例的性质，利用合比性质是解题关键．
8．（4分）计算： ﹣3（ ﹣2 ）= ﹣ + 6 ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．
第9页（共27页）【解答】解： ﹣3（ ﹣2 ）= ﹣3 +6 =﹣ +6 ．
故答案为：﹣ +6 ．
【点评】此题考查了平面向量的运算法则．注意掌握去括号时的符号变化是解此
题的关键．
9．（4分）二次函数y=x2﹣2x的图象的对称轴是直线 x=1 ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】先把二次函数y=x2﹣2x写成顶点坐标式y=（x﹣1）2﹣1，进而写出图象的
对称轴方程．
【解答】解：∵y=x2﹣2x，
∴y=（x﹣1）2﹣1，
∴二次函数的图象对称轴为x=1．
故答案为x=1．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是把二次函数写出顶
点坐标式，此题难度不大．
10．（4分）如果抛物线y=﹣x2+3x﹣1+m经过原点，那么m= 1 ．
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】11：计算题．
【分析】把原点坐标代入y=﹣x2+3x﹣1+m中得到关于m的一次方程，然后解一次
方程即可．
【解答】解：∵抛物线y=﹣x2+3x﹣1+m经过点（0，0），
∴﹣1+m=0，
∴m=1．
故答案为1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满
足其解析式．
11．（4分）已知点A（x ，y ）、B（x ，y ）为二次函数y=（x﹣1）2图象上的两点，若x
1 1 2 2 1
＜x ＜1，则y ＞ y ．（填“＞”、“＜”或“=”）
2 1 2
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】11：计算题．
第10页（共27页）【分析】先利用顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=1，由于抛物线开口向上，在
对称轴左侧，y随x的增大而减小，于是可判断y 与y 的大小．
1 2
【解答】解：∵二次函数y=（x﹣1）2图象的对称轴为直线x=1，
而x ＜x ＜1，
1 2
∴y ＞y ．
1 2
故答案为＞．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满
足其解析式．解决本题的关键是运用二次函数的性质比较y 与y 的大小．
1 2
12．（4分）用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 …
根据表格上的信息回答问题：当x=2时，y= ﹣ 1 1 ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】首先根据表格数据得到二次函数图象的对称轴为x=0，然后求出当x=2时
y的值．
【解答】解：由表格数据可知：
当x=﹣1，y=﹣2；x=1，y=﹣2，
则二次函数的图象对称轴为x=0，
又知x=﹣2和x=2关于x=0对称，
当x=﹣2时，y=﹣11，即当x=2时，y=﹣11．
故答案为﹣11．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质的知识，解答本题的关键是根据表格数
据得到二次函数图象的对称轴为x=0，此题难度不大．
13．（4分）如果两个相似三角形的周长的比为1：4，那么周长较小的三角形与周
长较大的三角形对应角平分线的比为 1 ： 4 ．
【考点】S7：相似三角形的性质．
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【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形对应角平分线的比等
于相似比解答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长的比为1：4，
∴两个相似三角形的相似比为1：4，
第11页（共27页）∴周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为1：4，
故答案为：1：4．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、
相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解
题的关键．
14．（4分）如图，在 ▱ABCD中，E是边BC上的点，分别连结AE、BD相交于点O，若
AD=5， = ，则EC= 2 ．
【考点】L5：平行四边形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，推出△BE0∽△DAO，根据相
似三角形的性质得到 ，求得BE=3，即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△BE0∽△DAO，
∴ ，
∵AD=5，
∴BE=3，
∴CE=5﹣3=2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．熟练掌握
相似三角形的判定和性质是解题的关键．
15．（4分）如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边
AB、AC上．若△ABC的边BC长为40厘米，高AH为30厘米，则正方形DEFG的
第12页（共27页）边长为 厘米．
【考点】LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】由DG∥BC得△ADG∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似
比，列方程求解．
【解答】解：设正方形的边长为x．
由正方形DEFG得，DG∥EF，即DG∥BC，
∵AH⊥BC，
∴AP⊥DG．
由DG∥BC得△ADG∽△ABC
∴ = ．
∵PH⊥BC，DE⊥BC
∴PH=ED，AP=AH﹣PH，
即 ，
由BC=40，AH=30，DE=DG=x，
得 ，
解得x= ．
故正方形DEFG的边长是 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得到相似三角形，
利用相似三角形的性质列方程．
第13页（共27页）16．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，若点G是△ABC的重心，cos∠BCG= ，
BC=4，则CG= 2 ．
【考点】K5：三角形的重心．
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【分析】延长CG交AB于D，作DE⊥BC于E，根据重心的概念得到点D为AB的中
点，根据直角三角形的性质得到 DC=DB，根据等腰三角形的三线合一得到
CE=2，根据余弦的概念求出CD，根据三角形的重心的概念得到答案．
【解答】解：延长CG交AB于D，作DE⊥BC于E，
∵点G是△ABC的重心，
∴点D为AB的中点，
∴DC=DB，又DE⊥BC，
∴CE=BE= BC=2，又cos∠BCG= ，
∴CD=3，
∵点G是△ABC的重心，
∴CG= CD=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质以及锐角三角函数的定义，掌
握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边
中点的距离的2倍是解题的关键．
17．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA= ，则CD=
第14页（共27页）．
【考点】T7：解直角三角形．
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【分析】延长AD和BC交于点E，在直角△ABE中利用三角函数求得BE的长，则EC
的长即可求得，然后在直角△CDE中利用三角函数的定义求解．
【解答】解：延长AD和BC交于点E．
∵在直角△ABE中，tanA= = ，AB=3，
∴BE=4，
∴EC=BE﹣BC=4﹣2=2，
∵△ABE和△CDE中，∠B=∠EDC=90°，∠E=∠E，
∴∠DCE=∠A，
∴直角△CDE中，tan∠DCE=tanA= = ，
∴设DE=4x，则DC=3x，
在直角△CDE中，EC2=DE2+DC2，
∴4=16x2+9x2，
解得：x= ，
则CD= ．
故答案是： ．
第15页（共27页）【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，熟练
掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，点E是边BC的中点，联结AE，若
将△ABE沿AE翻折，点B落在点F处，联结FC，则cos∠ECF= ．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；T7：解直角三角形．
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【分析】由矩形的性质得出∠B=90°，BC=AD=10，由勾股定理求出AE，由翻折变换
的性质得出△AFE≌△ABE，得出∠AEF=∠AEB，EF=BE=5，因此EF=CE，由等腰三
角形的性质得出∠EFC=∠ECF，由三角形的外角性质得出∠AEB=∠ECF，
cos∠ECF=cos∠AEB= ，即可得出结果．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，BC=AD=10，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE= BC=5，
∴AE= = = ，
由翻折变换的性质得：△AFE≌△ABE，
∴∠AEF=∠AEB，EF=BE=5，
∴EF=CE，
∴∠EFC=∠ECF，
∵∠BEF=∠EFC+∠ECF，
∴∠AEB=∠ECF，
∴cos∠ECF=cos∠AEB= = = ．
第16页（共27页）故答案为： ．
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、翻折变换的性质、等腰三角形的判定
与性质、三角形的外角性质、三角函数；熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性
质，证出∠AEB=∠ECF是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：cos245°+tan60°•cos30°﹣3cot260°．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【解答】解：原式=（ ）2+ × ﹣3×（ ）2
=1．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的
三角函数值．
20．（10分）已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣3）、B（2，﹣3）、C（﹣1，0）三点
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将这个二次函数图象平移，使顶点移到点P（0，﹣3）的位置，求所得新抛物线
的表达式．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换；H8：待定系数法求二次函数解析式．
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【专题】11：计算题．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用顶点式写出所得新抛物线的表达式．
【解答】解：（1）设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由题意得 ，
解得 ．
第17页（共27页）所以这个二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）因为新抛物线是由抛物线y=x2﹣2x﹣3平移得到，而新抛物线的顶点坐标是
（0，﹣3），
所以新抛物线的解析式为y=x2﹣3．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故
a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物
线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后
的顶点坐标，即可求出解析式．
21．（10分）如图，DC∥EF∥GH∥AB，AB=12，CD=6，DE：EG：GA=3：4：5．求EF和
GH的长．
【考点】S4：平行线分线段成比例．
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【专题】11：计算题．
【分析】过C作CQ∥AD，交GH于N，交EF于M，交AB于Q，则可判断四边形
AQCD为平行四边形，所以AQ=CD=6，同理可得EM=EM=CD=6，则BQ=AB﹣
AQ=6，再利用平行线分线段成比例定理得到DE：EG：GA=CF：HF：HB=3：4：5，然
后根据平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，
所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例得到MF：BQ=CF：CB=3：
（3+4+5），NH：BQ=CH：CB=（3+4）：（3+4+5），则可计算出MF和NH，从而得到
GH和EF的长
【解答】解：过C作CQ∥AD，交GH于N，交EF于M，交AB于Q，如图，
∵CD∥AB，
∴四边形AQCD为平行四边形，
∴AQ=CD=6，
同理可得GN=EM=CD=6，
∴BQ=AB﹣AQ=6，
第18页（共27页）∵DC∥EF∥GH∥AB，
∴DE：EG：GA=CF：HF：HB=3：4：5，
∵MF∥NH∥BQ，
∴MF：BQ=CF：CB=3：（3+4+5），NH：BQ=CH：CB=（3+4）：（3+4+5），
∴MF= ×6=1.5，NH= ×6=3.5，
∴EF=EM+MF=6+1.5=7.5，HG=GN+NH=6+3.5=9.5．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对
应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交
的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
22．（10分）如图，已知楼AB高36米，从楼顶A处测得旗杆顶C的俯角为60°，又
从该楼离地面6米的一窗口E处测得旗杆顶C的仰角为45°，求该旗杆CD的
高．（结果保留根号）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】过点C作CG⊥AE，垂足为点G，由题意得∠CEF=45°=∠CEG，∠ACG=60°，
设 CG=x ， 在 Rt△ ACG 中 ， AG=CG•tan∠ ACG= x ， 在 Rt△ ECG 中 ，
EG=CG•cot∠CEG=x，根据AG+EG=AE，列方程 =36﹣6，得到CF=EG=15
﹣15，于是得到结论．
【解答】解：过点C作CG⊥AE，垂足为点G，
第19页（共27页）由题意得∠CEF=45°=∠CEG，∠ACG=60°，
设CG=x，
在Rt△ACG中，AG=CG•tan∠ACG= x，
在Rt△ECG中，EG=CG•cot∠CEG=x，
∵AG+EG=AE，
∴ =36﹣6，
解得：x=15 ﹣15，
∴CF=EG=15 ﹣15，
∴CD=15 ﹣15+6=15 ﹣9．
答：该旗杆CD的高为（15 ﹣9）米．
【点评】此题主要考查了仰角与俯角问题，正确应用锐角三角函数关系是解题关
键．
23 ．（ 12 分）如图，点 E 是四边形 ABCD 的对角线 BD 上的一点，
∠BAE=∠CBD=∠DAC．
（1）求证：DE•AB=BC•AE；
（2）求证：∠AED+∠ADC=180°．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】14：证明题．
第20页（共27页）【分析】（1）根据已知条件得到∠BAC=∠EAD，根据三角形额外角的性质得到
∠ABC=∠AED，推出△ABC∽△AED，根据根据相似三角形对应边成比例得到结
论；
（2）根据相似三角形的性质得到 ，推出△ABE∽△ACD，根据相似三角形的
性质得到∠AEB=∠ADC，等量代换即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC，
即∠BAC=∠EAD，
∵∠ABC=∠ABE+∠CBD，
∠AED=∠ABE+∠BAE，
∵∠CBD=∠BAE，
∴∠ABC=∠AED，
∴△ABC∽△AED，
∴ ，
∴DE•AB=BC•AE；
（2）∵△ABC∽△AED，
∴ ，即 ，
∵∠BAE=∠DAC
∴△ABE∽△ACD，
∴∠AEB=∠ADC，
∵∠AED+∠AEB=180°，
∴∠AED+∠ADC=180°．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，邻补角的定义，三角形外角的性质，
熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于点A
（2，0）、点B（点B在点A的右侧），与轴交于点C，tan∠CBA= ．
第21页（共27页）（1）求该抛物线的表达式；
（2）设该抛物线的顶点为D，求四边形ACBD的面积；
（3）设抛物线上的点E在第一象限，△BCE是以BC为一条直角边的直角三角形，
请直接写出点E的坐标．
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；HA：抛物线与x轴的交点．
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【分析】（1）由抛物线解析式和已知条件得出C和B的坐标，（0，3），OC=3，
把A（2，0）、B（6，0）分别代入y=ax2+bx+3得出方程组，解方程即可；
（2）把抛物线解析式化成顶点式得出顶点坐标，四边形ACBD的面积=△ABC的面
积+△ABD的面积，即可得出结果；
（3）设点E的坐标为（x， x2﹣2x+3），分两种情况：①当∠CBE=90°时；②当
∠BCE=90°时；分别由三角函数得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵当x=0时，∴C（0，3），OC=3，
在Rt△COB中，∵tan∠CBA= ，
∴ = ，
∴OB=2OC=6，
∴点B（6，0），
把A（2，0）、B（6，0）分别代入y=ax2+bx+3，得： ，解得：
∴该抛物线表达式为y= x2﹣2x+3；
第22页（共27页）（2）∵y= x2﹣2x+3= （x﹣4）2﹣1
∴顶点D（4，﹣1），
∴四边形ACBD的面积=△ABC的面积+△ABD的面积= ×4×3+ ×4×1=8；
（3）设点E的坐标为（x， x2﹣2x+3），分两种情况：
①当∠CBE=90°时，
作EM⊥x轴于M，如图所示：
则∠BEM=∠CBA，
∴ =tan∠BEM=tan∠CBA= ，
∴EM=2BM，
即2（x﹣6）= x2﹣2x+3，
解得：x=10，或x=6（不合题意，舍去），
∴点E坐标为（10，8）；
②当∠BCE =90°时，作E N⊥y轴于N，
1 1
则∠E CN=∠CBA，
1
∴ =tan∠E CN=tan∠CBA= ，
1
∴CN=2E N，
1
即2x= x2﹣2x+3﹣3，
解得：x=16，或x=0（不合题意，舍去），
∴点E 坐标为（16，35）；
1
综上所述：点E坐标为（10，8）或（16，35）．
第23页（共27页）【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线解析式的求法、三角函数的应用
解方程等知识；本题综合性强，有一定难度，求出抛物线解析式是解决问题的
关键．
25．（14分）如图，在 ▱ABCD中，E为边BC的中点，F为线段AE上一点，联结BF并
延长交边AD于点G，过点G作AE的平行线，交射线DC于点H．设 = =x．
（1）当x=1时，求AG：AB的值；
（2）设 =y，求关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）当DH=3HC时，求x的值．
【考点】SO：相似形综合题．
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【专题】15：综合题；55D：图形的相似．
【分析】（1）由平行四边形ABCD，得到AD与BC平行且相等，由两直线平行得到
两对内错角相等，进而确定出三角形BEF与三角形AGF相似，由相似得比例，
把x=1代入已知等式，结合比例式得到AG=BE，AD=AB，即可求出所求式子的值；
第24页（共27页）（2）设AB=1，根据已知等式表示出AD与BE，由AD与BC平行，得到比例式，表示
出AG与DG，利用两角相等的三角形相似得到三角形GDH与三角形ABE相似
利用相似三角形面积之比等于相似比的平方列出y与x的函数解析式，并求出
x的范围即可；
（3）分两种情况考虑：①当点H在边DC上时，如图1所示；②当H在DC的延长线
上时，如图2所示，分别利用相似得比例列出关于x的方程，求出方程的解即
可得到x的值．
【解答】解：（1）在 ▱ABCD中，AD=BC，AD∥BC，
∴∠BEF=∠GAF，∠EBF=∠AGF，
∴△BEF∽△GAF，
∴ = ，
∵x=1，即 = =1，
∴ = =1，
∴AD=AB，AG=BE，
∵E为BC的中点，
∴BE= BC，
∴AG= AB，
则AG：AB= ；
（2）∵ = =x，
∴不妨设AB=1，则AD=x，BE= x，
∵AD∥BC，
∴ = =x，
∴AG= ，DG=x﹣ ，
第25页（共27页）∵GH∥AE，
∴∠DGH=∠DAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠DGH=∠AEB，
在 ▱ABCD中，∠D=∠ABE，
∴△GDH∽△EBA，
∴ =（ ）2，
∴y=（ ）2= （x＞ ）；
（3）分两种情况考虑：
①当点H在边DC上时，如图1所示：
∵DH=3HC，
∴ = ，
∴ = ，
∵△GDH∽△EBA，
∴ = = ，即 = ，
解得：x= ；
②当H在DC的延长线上时，如图2所示：
第26页（共27页）∵DH=3HC，
∴ = ，
∴ = ，
∵△GDH∽△EBA，
∴ = = ，即 = ，
解得：x=2，
综上所述，可知x的值为 或2．
【点评】此题属于相似型综合题，涉及的知识有：平行四边形的性质，相似三角形
的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本
题的关键．
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日期：2018/12/24 0:16:10；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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