2015年上海高考数学真题（文科）试题及答案_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_高中_高考真题_2.上海高考数学2023-2014

上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 绝密★启用前 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷(文史类) （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一 律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一．填空题（本大题共 14 小题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得 4分，否则一律零分） 1.函数 f(x)13sin2 x的最小正周期为 . 2. 设 全 集 U R . 若 集 合 A{1,2,3,4} ， B {x|2 x3} ， 则 A(C B) . U 3.若复数z满足3zz 1i，其中i是虚数单位，则z  . x 4.设 f 1(x)为 f(x) 的反函数，则 f 1(2) . 2x1 2 3 c  x3 5.若线性方程组的增广矩阵为   0 1 c 1    解为   y 5 ，则c 1 c 2  . 2 6.若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16 3，则a  . 7.抛物线 y2 2px(p 0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则 p  . 8. 方程log (9x15)log (3x12)2的解为 . 2 2 x y0  9.若x,y满足x y2，则目标函数z  x2y的最大值为 .  y0 10. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）. 1 11.在(2x )6的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）. x2 x2 12.已知双曲线C 、C 的顶点重合，C 的方程为  y2 1，若C 的一条渐近线的斜率 1 2 1 4 2 是C 的一条渐近线的斜率的2倍，则C 的方程为 . 1 2 13.已知平面向量a、b、c满足a b，且{|a|,|b|,|c|}{1,2,3}，则|abc|的最大 值是 . 14.已知函数 f(x)sinx.若存在x ，x ， ，x 满足0 x  x  x 6，且 1 2  m 1 2 m | f(x ) f(x )|| f(x ) f(x )|| f(x ) f(x )|12 (m2,mN)，则m的 1 2 2 3 m1 m 最小值为 . 二．选择题（本大题共 4 小题，满分20 分）每题有且只有一个正确答案案，考 生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一 律零分. 15. 设z 、z C，则“z 、z 均为实数”是“z z 是实数”的（ ）. 1 2 1 2 1 2 A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 x8 16. 下列不等式中，与不等式 2解集相同的是（ ）. x2 2x3 A. (x8)(x2 2x3)2 B. x82(x2 2x3) 1 2 x2 2x3 1 C.  D.  x2 2x3 x8 x8 2  17. 已知点 A的坐标为(4 3,1)，将OA绕坐标原点O逆时针旋转 至OB，则点B的纵 3 坐标为（ ）. 3 3 5 3 A. B. 2 2 11 13 C. D. 2 2上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） n 18. 设P (x ,y )是直线2x y  (nN)与圆x2  y2 2在第一象限的交点，则极 n n n n1 y 1 限lim n ( ). n x 1 n 1 A. 1 B.  2 C. 1 D. 2 三．解答题（本大题共 5题，满分74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号 的规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分） 如图，圆锥的顶点为P，底面的一条直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB 的中点.已知PO 2，OA1，求三棱锥P AOC的体积，并求异面直线PA 与OE所成 角的大小. 20.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 1 已知函数 f(x)ax2  ，其中a为实数. x （1）根据a的不同取值，判断函数 f(x)的奇偶性，并说明理由； （2）若a(1,3)，判断函数 f(x)在[1,2]上的单调性，并说明理由. 21.（本小题14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 如图，O,P,Q三地有直道相通，OQ5千米，OP3千米，PQ4千米.现甲、乙 两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为 f(t)（单位：千米）. 甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时.乙到达Q地 后原地等待.设t t 时乙到达P地；t t 时，乙到达Q地. 1 2上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） （1）求t 与 f(t )的值； 1 1 （2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当t t t 时，求 f(t)的表达式， 1 2 并判断 f(t)在[t ,t ]上得最大值是否超过3？说明理由. 1 2 22.（本题满分14分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. [ZXXK] 已知椭圆x2 2y2 1，过原点的两条直线l 和l 分别于椭圆交于A、B和C 、D， 1 2 设AOC 的面积为S . （1）设A(x ,y )，C(x ,y )，用A、C的坐标表示点C到直线l 的距离，并证明 1 1 2 2 1 S 2|x y x y |； 1 2 2 1 3 3 1 （2）设l : y kx，C( , )，S  ，求k的值； 1 3 3 3 （3）设l 与l 的斜率之积为m，求m的值，使得无论l 与l 如何变动，面积S 保持不变. 1 2 1 2 23.（本题满分16分）本题共3小题.第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. 已知数列{a }与{b }满足a a 2(b b )，nN. n n n1 n n1 n （1）若b 3n5，且a 1，求数列{a }的通项公式； n 1 n （2）设{a }的第n 项是最大项，即a a (nN)，求证：数列{b }的第n 项是 n 0 n n n 0 0 最大项； （3）设a 30，b n (nN)，求的取值范围，使得对任意m，nN， 1 n a 0，且 n a 1 m ( ,6). a 6 n上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 2015 年上海市文科试题 一．填空题（本大题共 14 小题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得 4分，否则一律零分） 1.函数 f(x)13sin2 x的最小正周期为 . 【答案】 3 1 3 【解析】因为2sin2 x1cos2x，所以 f(x)1 (1cos2x)  cos2x，所以 2 2 2 2 函数 f(x)的最小正周期为 . 2 【考点定位】函数的周期，二倍角的余弦公式. 2. 设 全 集 U R . 若 集 合 A{1,2,3,4} ， B {x|2 x3} ， 则 A(C B) . U 【答案】{1,4} 【考点定位】集合的运算. 3.若复数z满足3zz 1i，其中i是虚数单位，则z  . [ 1 1 【答案】  i 4 2 【考点定位】复数的概念，复数的运算. x 4.设 f 1(x)为 f(x) 的反函数，则 f 1(2) . 2x1上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 2 【答案】 3 x x 2 【解析】因为 f 1(x) 为 f(x) 的反函数， 2 ，解得 x ，所以 2x1 2x1 3 2 f 1(2) . 3 【考点定位】反函数，函数的值. 2 3 c  x3 5.若线性方程组的增广矩阵为   0 1 c 1    解为   y 5 ，则c 1 c 2  . 2 【答案】16 x3 2x3y c c 21 【解析】由题意，  是方程组  1 的解，所以  1 ，所以 y 5 y c c 5 2 2 c c 21516. 1 2 【考点定位】增广矩阵，线性方程组的解法. 6.若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16 3，则a  . 【答案】4 1 3 【解析】依题意， aa a 16 3，解得a 4. 2 2 【考点定位】等边三角形的性质，正三棱柱的性质. 7.抛物线 y2 2px(p 0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则 p  . 【答案】2 p 【解析】依题意，点Q为坐标原点，所以 1，即 p 2. 2 【考点定位】抛物线的性质，最值. 8. 方程log (9x15)log (3x12)2的解为 . 2 2 【答案】2上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 【考点定位】对数方程. x y0  9.若x,y满足x y2，则目标函数z  x2y的最大值为 .  y0 【答案】3 【考点定位】不等式组表示的平面区域，简单的线性规划. 10. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有， 则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）. 【答案】120上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 【考点定位】组合，分类计数原理. 1 11.在(2x )6的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）. x2 【答案】240 1 【解析】由T Cr (2x)6r ( )r Cr 26r x63r ，令63r 0，所以r 2，所以常 r1 6 x2 6 数项为C224 240. 6 【考点定位】二项式定理. [ x2 12.已知双曲线C 、C 的顶点重合，C 的方程为  y2 1，若C 的一条渐近线的斜率 1 2 1 4 2 是C 的一条渐近线的斜率的2倍，则C 的方程为 . 1 2 x2 y2 【答案】  1 4 4 【考点定位】双曲线的性质，直线的斜率. 13.已知平面向量a、b、c满足a b，且{|a|,|b|,|c|}{1,2,3}，则|abc|的最大 值是 . 【答案】3 5上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 【考点定位】平向量的模，向量垂直. 14.已知函数 f(x)sinx.若存在x ，x ， ，x 满足0 x  x  x 6，且 1 2  m 1 2 m | f(x ) f(x )|| f(x ) f(x )|| f(x ) f(x )|12 (m2,mN)，则m的 1 2 2 3 m1 m 最小值为 . 【答案】8 【 解 析 】 因 为 函 数 f(x)sinx 对 任 意 x ， x (i, j 1,2,3,,m) ， i j | f(x ) f(x )| f(x)  f(x) 2， i j max min 欲 使 m 取 得 最 小 值 ， 尽 可 能 多 的 让 x (i 1,2,3,,m) 取 得 最 高 点 ， 考 虑 i 0 x  x  x 6， 1 2 m | f(x ) f(x )|| f(x ) f(x )|| f(x ) f(x )|12 (m2,mN) 按下图 1 2 2 3 m1 m 取值满足条件， 所以m的最小值为8. 【考点定位】正弦函数的性质，最值. 二．选择题（本大题共 4 小题，满分20 分）每题有且只有一个正确答案案，考 生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 律零分. 15. 设z 、z C，则“z 、z 均为实数”是“z z 是实数”的（ ）. 1 2 1 2 1 2 A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 【答案】A 【考点定位】复数的概念，充分条件、必要条件的判定. x8 16. 下列不等式中，与不等式 2解集相同的是（ ）. x2 2x3 A. (x8)(x2 2x3)2 B. x82(x2 2x3) 1 2 x2 2x3 1 C.  D.  x2 2x3 x8 x8 2 【答案】B 【解析】因为 x2 2x3(x1)2 220， x8可能是正数、负数或零，所以由 x8 x8 x82(x2 2x3) 可得 2，所以不等式 2解集相同的是 x2 2x3 x2 2x3 x82(x2 2x3)，选B. 【考点定位】同解不等式的判断.  17. 已知点 A的坐标为(4 3,1)，将OA绕坐标原点O逆时针旋转 至OB，则点B的纵 3 坐标为（ ）. 3 3 5 3 A. B. 2 2 11 13 C. D. 2 2 【答案】D上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距离公式. n 18. 设P (x ,y )是直线2x y  (nN)与圆x2  y2 2在第一象限的交点，则极 n n n n1 y 1 限lim n ( ). n x 1 n 1 A. 1 B.  2 C. 1 D. 2 【答案】A n 【解析】因为P (x ,y )是直线2x y  (nN)与圆x2  y2 2在第一象限的交点， n n n n1 y 1 而 n 是经过点P (x ,y )与A(1,1)的直线的斜率，由于点A(1,1)在圆x2  y2 2上. x 1 n n n [网ZXXK] n y 1 1 因为k 1，所以lim n  1. OA n x 1 k n OA 【考点定位】圆的切线，极限. 三．解答题（本大题共 5题，满分74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号 的规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分）如图，圆锥的顶点为P，底面的一条直径为AB，C为半圆弧AB的 中点，E为劣弧CB的中点.已知PO 2，OA1，求三棱锥P AOC 的体积，并求异面 直线PA 与OE所成角的大小.上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 10 【答案】arccos 10 【考点定位】圆锥的性质，异面直线的夹角. 21.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 1 已知函数 f(x)ax2  ，其中a为实数. x （1）根据a的不同取值，判断函数 f(x)的奇偶性，并说明理由； （2）若a(1,3)，判断函数 f(x)在[1,2]上的单调性，并说明理由. 【答案】（1） f(x)是非奇非偶函数；（2）函数 f(x)在[1,2]上单调递增.上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 【考点定位】函数的奇偶性、单调性. 21.（本小题14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 如图，O,P,Q三地有直道相通，OQ5千米，OP3千米，PQ4千米.现甲、乙 两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为 f(t)（单位：千米）. 甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时.乙到达Q地 后原地等待.设t t 时乙到达P地；t t 时，乙到达Q地. 1 2 （1）求t 与 f(t )的值； 1 1 （2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当t t t 时，求 f(t)的表达式， 1 2 并判断 f(t)在[t ,t ]上得最大值是否超过3？说明理由. 1 2上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 3 3 41 【答案】（1） h， 千米；（2）不超过了3千米. 8 8 3 【解析】（1）根据条件知t  ，设此时甲到达 A 点，并连接 AP ，如图所示，则 1 8 3 15 OA5  ， 8 8 所以在OAP中， 由 余 弦 定 理 得 15 45 3 3 41 f(t ) AP  OA2 OP2 2OAOPcosAOP  ( )2 9   （ 千 1 8 4 5 8 米）. 7 3 7 （2）可求得t  ，设t小时后，且 t  ，甲到达了B点，乙到达了C点，如图所示， 2 8 8 8 所以BQ 55t ，CQ 78t， 所以在BCQ中， 4 由余弦定理 f(t) BC  (55t)2 (78t)2 2(55t)(78t)  25t2 42t18 ， 5 3 7 所以 f(t) 25t2 42t18， t  ， 8 8上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 3 7 设g(t)25t2 42t18， t  ， 8 8 21 3 7 3 369 7 25 因为函数g(t)的对称轴为t  [ , ]，且g( ) ，g( ) ， 25 8 8 8 64 8 64 369 3 41 所以g(t)得最大值为 ，此时 f(t)的最大值为 3， 64 8 所以 f(t)在[t ,t ]上得最大值不超过3. 1 2 【考点定位】余弦定理的实际运用，函数的值域. 22.（本题满分14分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. 已知椭圆x2 2y2 1，过原点的两条直线l 和l 分别于椭圆交于A、B和C、D， 1 2 设AOC的面积为S. （1）设A(x ,y )，C(x ,y )，用A、C的坐标表示点C到直线l 的距离，并证明 1 1 2 2 1 S 2|x y x y |； 1 2 2 1 3 3 1 （2）设l : y kx，C( , )，S  ，求k的值； 1 3 3 3 （3）设l 与l 的斜率之积为m，求m的值，使得无论l 与l 如何变动，面积S保持不 1 2 1 2 变. 1 1 【答案】（1）详见解析；（2）k 1或k  ；（3）m . 5 2上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） m （3）设l : y kx，则l : y  x，设A(x ,y )，C(x ,y )， 1 2 k 1 1 2 2 y kx 1 由 ，的x2  ， x2 2y2 1 1 12k2 1 k2 同理x2   ， 2 m k2 2m2 12( )2 k 1 1 x mx 1 |k2 m| 由（1）知，S  |x y x y | | 1 1 x kx |  |x x | 2 1 2 2 1 2 k 2 1 2 |k| 1 2 [ |k2 m|  ， 2 12k2  k2 2m2 整理得(8S2 1)k4 (4S2 16S2m2 2m)k2 (8S2 1)m2 0，上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 由题意知S 与k无关，  1 S2  8S2 10   8 则 ，解得 .  4S2 16S2m2 2m0  1 m   2 1 所以m . 2 【考点定位】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 23.（本题满分16分）本题共3小题.第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. 已知数列{a }与{b }满足a a 2(b b )，nN. n n n1 n n1 n （1）若b 3n5，且a 1，求数列{a }的通项公式； n 1 n （2）设{a }的第n 项是最大项，即a a (nN)，求证：数列{b }的第n 项是 n 0 n n n 0 0 最大项； （3）设a 30，b n (nN)，求的取值范围，使得对任意m，nN， 1 n a 0，且 n a 1 m ( ,6). a 6 n 1 【答案】（1）a 6n5；（2）详见解析；（3）( ,0). n 4 【解析】（1）因为a a 2(b b )，b 3n5， n1 n n1 n n 所以a a 2(b b ) 2(3n83n5)6， n1 n n1 n 所以{a }是等差数列，首项为a 1，公差为6，即a 6n5. n 1 n （2）由a a 2(b b )，得a 2b a 2b ， n1 n n1 n n1 n1 n n 所以{a 2b }为常数列，a 2b a 2b ，即a 2b a 2b ， n n n n 1 1 n n 1 1 因为a a ，nN， n n 0 所以2b a 2b 2b a 2b ，即b b ， n 1 1 n 1 1 n n 0 0上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 所以{b }的第n 项是最大项. n 0 【考点定位】数列的递推公式，等差数列的性质，常数列，数列的最大项，指数函数的单调 性.