2014年上海高考数学真题（理科）试题及答案_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_高中_高考真题_2.上海高考数学2023-2014

上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 绝密★启用前 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷（理工农医类） （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题 纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一 律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题(本大题满分56分)本大题共有 14题，考生必须在答题纸相应编号的 空格内直接填写结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分． 1． 函数 y 12cos2(2x)的最小正周期是 . 1 2. 若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则(z ) z=___________. z x2 y2 3. 若抛物线y2=2px的焦点与椭圆  1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 9 5 ___________. x,x(,a), 4. 设 f(x) 若 f(2)4，则a的取值范围为_____________. x2,x[a,], 5. 若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为______________. 6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数 值表示）. 7. 已知曲线C 的极坐标方程为 p(3cos4sin)1，则C 与极轴的交点到极点的距离 是 . 8. 设无穷等比数列{a }的公比为q，若a lim(a a )，则q= . n 1 3 4 n上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 2 1 9. 若 f(x) x3 x2，则满足 f(x)0的x取值范围是 . 10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则 选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）. 11. 已知互异的复数a,b满足ab≠0，集合{a,b}={a2,b2},则ab= . 12. 设常数 a 使方程sinx 3cosxa 在闭区间[0,2]上恰有三个解 x ,x ,x ，则 2 3 1 x x x  . 2 3 1 13. 某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量表示小白玩游戏的得分.若()=4.2，则小白得5 分的概率至少为 . 14. 已知曲线C：x 4 y2 ，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上    的点Q使得AP AQ 0，则m的取值范围为 . 二、选择题：本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 15. 设a,bR,则“ab4”是“a 2,且b2”的（ ） （A）充分条件 （B）必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件 16. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P (i 1,2,...)是上 i   底面上其余的八个点，则ABAP(i 1,2...)的不同值的个数为（ ） i （A）1 (B)2 (C)4 (D)8 17. 已知P(a ,b )与P (a ,b )是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y 1 1 1 2 2 2上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） a xb y 1 的方程组 1 1 的解的情况是（ ） a xb y 1 2 2 （A）无论k，P,P 如何，总是无解 （B)无论k，P,P 如何，总有唯一解 1 2 1 2 （C）存在k，P,P ，使之恰有两解 （D）存在k，P,P ，使之有无穷多解 1 2 1 2 (xa)2,x0,  18. f(x) 1 若 f(0)是 f(x)的最小值，则a的取值范围为（ ）. x a,x0,  x (A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D) [0,2] 三．解答题（本大题共5题，满分74分） 19、（本题满分12分） 底面边长为2 的正三棱锥P ABC,其表面学科网展开图是三角形 p p p ，如图，求△ 1 2 3 p p p 的各边长及此三棱锥的体积V . 1 2 3 zxxk 20.（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分。 2x a 设常数a0，函数 f(x) 2x a （1）若a=4，求函数 y  f(x)的反函数 y  f 1(x)； （2）根据a的不同取值，讨论函数 y  f(x)的奇偶性，并说明理由. 21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC 长35米，CB长80米，设A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为和. （1）设计中CD是铅垂方向，若要求zxxk2，问CD的长至多为多少（结果精 确到0.01米）？ （2）施 工 完 成 后 . CD 与 铅 垂 方 向 有 偏 差 ， 现 在 学 科 网 实 测 得 38.12，18.45，求CD的长（结果精确到0.01米）？上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 22（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题 满分8分. 在平面直角坐标系 xoy 中，对于直线l ：axbyc  0和点 P(x ,y ),P (x ,y ), 记 i 1 1 2 2 2 （ax by c)(ax by c).若<0，则称点P,P 被直线l分隔。若曲线C与直线 1 1 2 2 1 2 l没有公共点，且曲线C上存在点P，P 被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线. 1 2 ⑴ 求证：点A（1,2），B（1，0）被直线x y10分隔； ⑵若直线 y kx是曲线x2 4y2 1的分隔线，求实数k的取值范围； ⑶动点M到点Q（0,2）的距离与到 y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求证：通过 原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分割线. 23.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题 满分9分. 1 已知数列{a }满足 a a  3a ,nN*,a 1. n 3 n n1 n 1 （1）若a  2,a  x,a 9，求x的取值范围； 2 3 4 （2）若 {a } 是 公 比 为 q 等 比 数 列 ， S a a a ， n n 1 2 n 1 zxxk S  S  3S ,nN*,求q的取值范围； 3 n n1 n （3）若a ,a ,,a 成等差数列，且a a a 1000，学科网求正整数k 的最 1 2 k 1 2 k 大值，以及k 取最大值时相应数列a ,a ,,a 的公差. 1 2 k上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 上海数学（理）参考答案 一、  1 1 1. 2. 6 3. x2 4. (,2] 5. 2 2 6. arccos 7. 8. 2 3 3 51 2 1 7 9. (0,1) 10. 11.-1 12. 13. 0.2 14. [2,3] 15 3 二、 15.B 16.A 17.B 18.D 19.解：∵由题得，三棱锥P ABC 是正三棱锥 ∴侧棱与底边所成角相同且底面ABC是边长为2的正三角形  ∴由题得，ABC BCACAB ， 3 PBAPABPBC PCBPAC PCA 1 1 2 2 3 3 又∵A,B,C 三点恰好在P,P,P 构成的PPP 的三条边上 1 2 3 1 2 3  ∴PBAPABPBC PCBPAC PCA 1 1 2 2 3 3 3 ∴PA PB  PB  PC  PC  PA 2 1 1 2 2 3 3 ∴PP PP PP  4，三棱锥P ABC 是边长为2的正四面体 1 2 1 3 2 3 ∴如右图所示作图，设顶点P在底面 ABC 内的投影为O，连接 BO，并延长交AC 于D ∴D为AC 中点，O为ABC的重心，PO 底面ABC 2 2 3 2 6 1 1 3 2 6 2 2 ∴BO  BD  ，PO  ，V   22   3 3 3 3 2 2 3 3 2x 4 8 20.解：（1）由题得， f(x) 1 (,1) (1,) 2x 4 2x 4  x1 ∴ f 1(x)2log  ，x(,1)(1,) 2  x1 2x a （2）∵ f(x) 且a0 2x a ∴①当a 0时， f(x)1,xR ， ∴对任意的xR都有 f(x) f(x)，∴y  f (x)为偶函数 2x 1 2x 1 12x ②当a 1时， f(x) ,x 0， f(x)  ， 2x 1 2x 1 12x ∴对任意的x0且xR都有 f(x)f(x)，∴y  f (x)为奇函数  ③当a 0且a 1时，定义域为 x x log a,xR}， 2 ∴定义域不关于原定对称，∴ y  f (x)为非奇非偶函数上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师）  21.解：（1）由题得，∵2，且02 ，tan tan2 2 CD CD 40 即  ，解得， CD 20 2，∴ CD 28.28米 35 CD 2 1 6400 （2）由题得，ADC 18038.1218.45 123.43 ， 3580 AD ∵  ，∴ AD 43.61米 sin123.43 sin18.45 ∵ CD 2 352  AD 2 235 AD cos38.12，∴ CD 26.93米 22.证明：（1）由题得，2(2)0，∴A(1,2),B(1,0)被直线x y10分隔。 解：（2）由题得，直线 y kx与曲线x2 4y2 1无交点 x2 4y2 1 即 (14k2)x210无解  y kx  14k2 0 1 1 ∴14k2 0或 ，∴k(, ][ ,) 4(14k2)0 2 2 证明：（理科）（3）由题得，设M(x,y)，∴ x2 (y2)2  x 1， 1 化简得，点M 的轨迹方程为E:x2 (y2)2  ,x 0 。 x2 ①当过原点的直线斜率存在时，设方程为 y kx。  1 x2 (y2)2  1 联立方程， x2 (k21)x24kx4 。 x2   y kx 1 令F(x)(k2 1)x2 4kx4，G(x) ，显然 y  F(x)是开口朝上的二次函数 x2 ∴由二次函数与幂函数的图像可得，F(x)G(x)必定有解，不符合题意，舍去 ②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为x0。 1 显然x0与曲线E:x2 (y2)2  ,x 0 没有交点，在曲线E上找两点(1,2),(1,2)。 x2 ∴110，符合题意 综上所述，仅存在一条直线x0是E的分割线。 证明：（文科）（3）由题得，设M(x,y)，∴ x2 (y2)2  x 1， 1 化简得，点M 的轨迹方程为E:x2 (y2)2  ,x 0 。 x2 1 显然x0与曲线E:x2 (y2)2  ,x 0 没有交点，在曲线E上找两点(1,2),(1,2)。 x2 ∴110，符合题意。∴x0是E的分割线。上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师）  2  x6   3 23.解：（1）由题得，  x[3,6] x  93x 3 1 （理科）（2）由题得，∵ a a 3a ，且数列{a }是等比数列，a 1， 3 n n1 n n 1  1 1 qn1(q )0 1 ∴ qn1 qn 3qn1，∴ 3 ，∴q[ ,3]。 3 3  qn1(q3)0 1 n 又∵ S S 3S ，∴当q 1时， n13n对nN恒成立，满足题意。 3 n n1 n 3 1 1qn 1qn1 1qn 当q 1时，    3 3 1q 1q 1q 1 qn(q3)2 q1(q3)2 1 ∴①当q[ ,1)时， ，由单调性可得， ，解得，q[ ,1) 3 qn(3q1)2 q1(3q1)2 3 qn(q3)2 q1(q3)2 ②当q(1,3]时， ，由单调性可得， ，解得，q(1,2] qn(3q1)2 q1(3q1)2 1 （理科）（3）由题得，∵ a a 3a ，且数列a ,a ,a 成等差数列，a 1， 3 n n1 n 1 2 k 1 1 d(2n1)2 2 ∴ [1(n1)d]1nd 3[1(n1)d]，∴ ，∴d[ ,2] 3 d(2n3)2 2k1 d d d d 又∵a a a 1000，∴S  k2(a  )k  k2(1 )k 1000 1 2 k k 2 1 2 2 2 20002k 20002k 2 ∴d  ，∴ [ ,2]，解得，k[32,1999]，kN k2 k k2 k 2k 1 1 ∴k的最大值为1999，此时公差为d  1999上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 2014 年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷(理工农医类) 考生注意： 1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分. 考试时间120分钟. 2. 本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非 选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对 后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名. 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. （2014）函数 y12cos2(2x)的最小正周期是 . 2  【解析】：原式＝cos4x，T   4 2  1 2. （2014）若复数z12i，其中i是虚数单位，则z  z  .  z 【解析】：原式＝zz1 z 21516 x2 y2 3. （2014）若抛物线 y2 2px的焦点与椭圆  1的右焦点重合，则该抛物线的准 9 5 线方程为 . 【解析】：椭圆右焦点为(2,0)，即抛物线焦点，所以准线方程x2 x, x(,a), 4. （2014）设 f(x) 若 f(2)4，则a的取值范围为 . x2, x[a,). 【解析】：根据题意，2[a,)，∴a2 5. （2014）若实数x, y满足xy 1，则x2 2y2的最小值为 . 【解析】：x2 2y2 2x 2y 2 2 6.（2014）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为 （结 果用反三角函数值表示）. 【解析】：设圆锥母线长为R ，底面圆半径为r，∵S 3S ，∴rR3r2，即 侧 底 1 1 R 3r ，∴cos ，即母线与底面夹角大小为arccos 3 3 7. （2014）已知曲线C的极坐标方程为(3cos4sin)1，则C与极轴的交点到极点 的距离是 .上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 1 1 【解析】：曲线C的直角坐标方程为3x4y 1，与x轴的交点为( ,0)，到原点距离为 3 3 8. （2014）设无穷等比数列  a  的公比为 q ，若 a lim  a a a  ，则 n 1 3 4 n n q  . a aq2 1 5 51 【解析】：a  3  1 q2q1 0q  ，∵0 q 1，∴q  1 1q 1q 2 2 2 1  9. （2014）若 f(x) x3 x 2，则满足 f(x)0的x的取值范围是 . 2 1  【解析】： f(x)0 x3  x 2，结合幂函数图像，如下图，可得x的取值范围是(0,1) 10. （2014）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演 练，则 选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）. 8 1 【解析】：P   C3 15 10 11. （ 2014 ） 已 知 互 异 的 复 数 a,b 满 足 ab0 ， 集 合  a,b   a2 ,b2  ， 则 ab . 【解析】：第一种情况：a a2,bb2，∵ab0，∴a b1，与已知条件矛盾，不符； 第二种情况：a b2,ba2，∴a a4 a3 1，∴a2 a10，即ab1； 12.（2014）设常数a使方程sinx 3cosxa在闭区间[0,2]上恰有三个解x , x , x ， 1 2 3 则x x x  . 1 2 3  【解析】：化简得2sin(x ) a，根据下图，当且仅当a  3时，恰有三个交点， 3  7 即x x x  0 2 1 2 3 3 3上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 13. （2014）某游戏的得分为1,2,3,4,5 ，随机变量表示小白玩该游戏的得分. 若 E() 4.2，则小白得5分的概率至少为 . 【解析】：设得i分的概率为 p ，∴ p 2p 3p 4p 5p 4.2， i 1 2 3 4 5 且 p  p  p  p  p 1，∴4p 4p 4p 4p 4p 4 ，与前式相减得： 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3p 2p  p  p 0.2，∵ p 0，∴3p 2p  p  p  p ，即 p 0.2 1 2 3 5 i 1 2 3 5 5 5 14. （2014）已知曲线C:x 4 y2 ，直线l:x6. 若对于点A(m,0)，存在C 上的    点P和l 上的Q使得AP AQ 0，则m的取值范围为 . x x x 6 【解析】：根据题意，A是PQ中点，即m P Q  P ，∵2 x 0，∴m[2,3] 2 2 P 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸 的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. （2014）设a,bR，则“ab4”是“a2且b2”的 （ ） (A) 充分条件. (B) 必要条件. (C) 充分必要条件. (D) 既非充分又非必要条件. 【解析】：B 16. （2014）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四 棱柱，AB是一条侧棱，P (i1,2,,8) 是上底 i   面上其余的八个点，则ABAP (i 1, 2, , 8)的 i 不同值的个数为 （ ） (A) 1. (B) 2. (C) 4. (D) 8.      【解析】：根据向量数量积的几何意义，ABAP 等于 AB 乘以AP 在AB方向上的投影， i i      而AP 在AB方向上的投影是定值， AB 也是定值，∴ABAP 为定值1，∴选A i i 17. （2014）已知P(a ,b)与P(a ,b )是直线 y kx1（k为常数）上两个不同的点， 1 1 1 2 2 2上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） a xb y 1, 则关于x 和y的方程组 1 1 的解的情况是 （ ） a xb y 1 2 2 (A) 无论k ,P ,P 如何，总是无解. (B) 无论k ,P ,P 如何，总有唯一 1 2 1 2 解. (C) 存在k ,P ,P ，使之恰有两解. (D) 存在k ,P ,P ，使之有无穷多 1 2 1 2 解. 【解析】：由已知条件b ka 1，b ka 1， 1 1 2 2 a b D  1 1 ab a b a (ka 1)a (ka 1)a a 0，∴有唯一解，选B a b 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 (xa)2, x0,  18. （2014）设 f(x) 1 若 f (0)是 f(x)的最小值，则a的取值范围为 x a, x0.  x （ ） (A) [1,2]. (B) [1,0]. (C) [1,2]. (D) [0,2]. 【解析】：先分析x0的情况，是一个对称轴为xa的二次函数，当a0时， f(x)  f(a) f(0) ，不符合题意，排除AB选项；当a 0时，根据图像 f(x)  f(0)， min min 即a 0符合题意，排除C选项；∴选D； 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤. 19. （2014）(本题满分12分) 底面边长为2的正三棱锥P-ABC，其表面展开图是 三角形PPP ，如图. 求△PPP 的各边长及此三棱锥的 1 2 3 1 2 3 体积V . 【解析】：根据题意可得P,B,P 共线， 1 2 ∵ABP BAP CBP ，ABC 60， 1 1 2 ∴ABP BAP CBP  60，∴P 60，同理P P  60， 1 1 2 1 2 3 ∴△PPP 是等边三角形，P ABC 是正四面体，所以△PPP 边长为4； 1 2 3 1 2 3上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 2 2 2 ∴V  AB3  12 3 20.（2014） (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 2x a 设常数a0，函数 f(x) . 2x a (1) 若a 4，求函数 y  f(x)的反函数 y f 1(x)； (2) 根据a的不同取值，讨论函数 y  f(x)的奇偶性，并说明理由. 2x 4 4y4 4y4 【解析】：（1）∵a 4，∴ f(x)  y，∴2x  ，∴xlog ， 2x 4 y1 2 y1 4x4 ∴ y  f 1(x)log ，x(,1)(1,) 2 x1 2x a 2x a （2）若 f(x)为偶函数，则 f(x) f(x)，∴  ， 2x a 2x a 整理得a(2x 2x)0，∴a 0，此时为偶函数 2x a 2x a 若 f(x)为奇函数，则 f(x)f(x)，∴  ， 2x a 2x a 整理得a2 10，∵a0，∴a 1，此时为奇函数 当a(0,1)(1,)时，此时 f(x)既非奇函数也非偶函数 21.（2014） (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，某公司要在 A、B两地连线上的定点 D C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC 长35 米，CB长80米. 设点 A、B在同一水平面上， 从A和B看D的仰角分别为和.   A C B (1) 设 计 中 CD 是 铅 垂 方向 . 若 要 求 2，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？ (2) 施工完成后，CD与铅垂方向有偏差．现在实测得38.12，18.45， 求CD的长（结果精确到0.01米）. x x  【解析】：（1）设CD的长为x米，则tan ,tan ，∵  20， 35 80 2上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） x 2 2tan x 80 160x ∴tantan2，∴tan ，∴   ， 1tan2 35 x2 6400x2 1 6400 解得0 x20 2 28.28，∴CD的长至多为28.28米 （2）设DB a,DAb,DC m ，ADB180123.43 ， a AB 115sin38.12 则  ，解得a  85.06， sin sinADB sin123.43 ∴m 802a2160acos18.45 26.93，∴CD的长为26.93米 22. （2014）(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分， 第3小题满分8分. 在平面直角坐标系xOy中，对于直线l:axbyc0和点P(x , y ), P (x , y )， 1 1 1 2 2 2 记(ax by c)(ax by c). 若0，则称点P , P 被直线l分割. 若曲线C 与直 1 1 2 2 1 2 线l没有公共点，且曲线C上存在点P , P 被直线l分割，则称直线l为曲线C 的一条分割 1 2 线. (1) 求证：点A(1,2),B(1,0)被直线x y10分割； (2) 若直线 ykx是曲线x2 4y2 1的分割线，求实数k的取值范围； (3) 动点M 到点Q(0,2)的距离与到y轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E . 求证： 通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线. 【解析】：（1）将A(1,2),B(1,0)分别代入x y1，得(121)(11)40 ∴点A(1,2),B(1,0)被直线x y10分割 x2 4y2 1 （2）联立 ，得(14k2)x2 1，依题意，方程无解，  y kx 1 1 ∴14k2 0，∴k  或k  2 2 （3）设M(x,y)，则 x2 (y2)2 x 1， ∴曲线E的方程为[x2 (y2)2]x2 1 ① 当斜率不存在时，直线x0，显然与方程①联立无解， 又P(1,2),P(1,2)为E上两点，且代入x0，有10， 1 2 ∴x0是一条分割线； 当斜率存在时，设直线为 y kx，代入方程得：(k2 1)x4 4kx3 4x2 10 ，上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 令 f(x)(k2 1)x4 4kx34x2 1，则 f(0)1， f(1)k2 14k 3(k 2)2， f(1)k214k3(k2)2 ， 当k  2时， f(1)0，∴ f(0)f(1)0，即 f(x)0在(0,1)之间存在实根， ∴y kx 与曲线E有公共点 当k 2时， f(0)f(1)0，即 f(x)0在(1,0)之间存在实根， ∴y kx 与曲线E有公共点 ∴直线 y kx 与曲线E始终有公共点，∴不是分割线， 综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线x0是E的分割线 23. （2014）(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分， 第3小题满分8分. 1 已知数列 a 满足 a a 3a ，nN*，a 1. n 3 n n1 n 1 (1) 若a 2,a  x,a 9，求x的取值范围； 2 3 4 1 (2) 设 a 是公比为q的等比数列，S  a a a . 若 S S 3S ，nN*， n n 1 2 n 3 n n1 n 求q的取值范围； (3) 若a ,a ,,a 成等差数列，且a a a 1000，求正整数k的最大值，以及 1 2 k 1 2 k k取最大值时相应数列a ,a ,,a 的公差. 1 2 k 1 2 1 【解析】：（1）依题意， a a 3a ，∴  x6，又 a a 3a ，∴3 x27， 3 2 3 2 3 3 3 4 3 综上可得3 x6； 1 1 （2）由已知得a qn1，又 a a 3a ，∴ q3 n 3 1 2 1 3 1 n 当q 1时，S n， S S 3S ，即 n13n，成立 n 3 n n1 n 3 qn 1 1 1 qn 1 qn11 qn 1 当1q3时，S  ， S S 3S ，即  3 ， n q1 3 n n1 n 3 q1 q1 q1 1 qn11 3qn1qn 20 ∴  3，此不等式即 ，∵q 1， 3 qn 1 qn13qn 20 ∴3qn1qn 2qn(3q1)22qn 20 ， 对于不等式qn13qn 20，令n1，得q2 3q20，解得1q2， 又当1q2时，q30， ∴qn13qn 2qn(q3)2q(q3)2(q1)(q2)0 成立， ∴1q2上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 1 1qn 1 11qn 1qn1 1qn 当 q1时，S  ， S S 3S ，即  3 ， 3 n 1q 3 n n1 n 3 1q 1q 1q 3qn1qn 20 即 ，3q10,q30 qn13qn 20 ∵3qn1qn 2qn(3q1)22qn 20 qn13qn 2qn(q3)2q(q3)2(q1)(q2)0 1 ∴ q1时，不等式恒成立 3 1 综上，q的取值范围为 q 2 3 （3）设公差为d ，显然，当k 1000,d 0时，是一组符合题意的解， 1(k2)d ∴k 1000，则由已知得 1(k1)d 3[1(k2)d] ， max 3 (2k1)d 2 2 2 ∴ ，当k 1000时，不等式即d  ,d  ， (2k5)d 2 2k1 2k5 2 k(k 1)d ∴d  ，a a ...a k  1000， 2k1 1 2 k 2 20002k 2 ∴k 1000时，d   ， k(k 1) 2k 1 解得1000 999000  k1000 999000 ，∴k 1999， 20002k 1998 1 ∴k 的最大值为1999，此时公差d    k(k 1) 19991998 1999