2014年上海高考数学真题（文科）试题及答案_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_高中_高考真题_2.上海高考数学2023-2014

上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 绝密★启用前 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷(文史类) （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题 纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一 律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题(本大题满分56分)本大题共有 14题，考生必须在答题纸相应编号的 空格内直接填写结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分． 1． 函数 y 12cos2(2x)的最小正周期是 . 1 2. 若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则(z ) z=___________. z 3. 设常数aR，函数 f(x) x1 x2a ，若 f(2)1，则 f(1) . x2 y2 4. 若抛物线y2=2px的焦点与椭圆  1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 9 5 ___________. 5. 某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名，为了解该校高中学生的牙 齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共抽 取的学生数为 . 6.若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为______________. 7. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数 值表示）. 8. 在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体 积之和等于 .上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） xa,x0,  9. 设 f(x) 1 若 f(0)是 f(x)的最小值，则a的取值范围是 . x ,x0,  x 10.设无穷等比数列{a }的公比为q，若a lim(a a )，则q= . n 1 3 4 n 2 1 11．若 f(x) x3 x2，则满足 f(x)0的x取值范围是 . 12. 方程sinx 3cosx1在区间[0,2]上的所有解的和等于 . 13.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选 择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）. 14. 已知曲线C：x 4 y2 ，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上    的点Q使得AP AQ 0，则m的取值范围为 . 二、选择题：本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 15. 设a,bR,则“ab4”是“a 2,且b2”的（ ） （A）充分条件 （B）必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件 16. 已知互异的复数a,b满足ab0，集合{a,b}={a2,b2},则ab= （ ） （A）2 （B）1 （C）0 （D）1上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 17. 如图，四个边长为 1 的正方形排成一个大正方形，AB 是在正方形的一条边，   P(i 1,2,,7)是小正方形的其余各个顶点，则ABAP(i 1,2,,7)的不同值的个数为 i i （ ） （A）7 （B）5 （C）3 （D）1 18. 已知P(a ,b )与P (a ,b )是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y 1 1 1 2 2 2 a xb y 1 的方程组 1 1 的解的情况是（ ） a xb y 1 2 2 （A）无论k，P,P 如何，总是无解 （B)无论k，P,P 如何，总有唯一解 1 2 1 2 （C）存在k，P,P ，使之恰有两解 （D）存在k，P,P ，使之有无穷多解 1 2 1 2 三．解答题（本大题共5题，满分74分） 19、（本题满分12分） 底面边长为 2 的正三棱锥P ABC , zxxk 其表面展开图是三角形 p p p ，如图，求△ 1 2 3 p p p 的各边长及此三棱锥的体积V . 1 2 3 20.（本题满分14分）本题有2个小题，学科网第一小题满分6分，第二小题满分1分。 2x a 设常数a0，函数 f(x) 2x a （1）若a=4，求函数 y  f(x)的反函数 y  f 1(x)； （2）根据a的不同取值，讨论函数 y  f(x)的奇偶性，并说明理由. 21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC 长35米，CB长80米，设A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为和.上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） （1）设计中CD是铅垂方向，若要求2，问CD的长至多为多少学科网（结果 精确到0.01米）？ （2）施工完成后.CD与铅垂方向有偏差，现在实测得zxxk38.12，18.45， 求CD的长（结果精确到0.01米）？ 22（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题 满分8分. 在平面直角坐标系 xoy 中，对于直线l ：axbyc  0和点 P(x ,y ),P (x ,y ), 记 i 1 1 2 2 2 （ax by c)(ax by c).若<0，则称点P,P 被直线l分隔。若曲线C与直线 1 1 2 2 1 2 l没有公共点，且曲线C上存在点P，P 被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线. 1 2 ⑴ 求证：点A（1,2），B（1，0）被直线x y10分隔； ⑵若直线 y kx是曲线x2 4y2 1的分隔线，求实数k的取值范围； ⑶动点M到点Q（0,2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程， 并证明 y轴为曲线E的分隔线. 23.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题 满分9分. 1 已知数列{a }满足 a a  3a ,nN*,a 1. n 3 n n1 n 1 （1）若a  2,a  x,a 9，求x的取值范围；zxxk 2 3 4 1 （2）若{a }是等比数列，且a  ，求正整数m的最小值，学科网以及m取最小值 n m 1000 时相应{a }的公比； n （3）若a ,a ,,a 成等差数列，求数列a ,a ,,a 的公差的取值范围. 1 2 100 1 2 100上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 上海数学（文）参考答案 一、  1 1. 2. 6 3. 3 4. x2 5.70 6. 2 2 7. arccos 8.24 2 3 51 7 1 9. (,2] 10. 11. (0,1) 12. 13. 14. [2,3] 2 3 15 二、 15. B 16.D 17.C 18.B 19.解：∵由题得，三棱锥P ABC 是正三棱锥 ∴侧棱与底边所成角相同且底面ABC是边长为2的正三角形  ∴由题得，ABC BCACAB ， 3 PBAPABPBC PCBPAC PCA 1 1 2 2 3 3 又∵A,B,C 三点恰好在P,P,P 构成的PPP 的三条边上 1 2 3 1 2 3  ∴PBAPABPBC PCBPAC PCA 1 1 2 2 3 3 3 ∴PA PB  PB  PC  PC  PA 2 1 1 2 2 3 3 ∴PP PP PP  4，三棱锥P ABC 是边长为2的正四面体 1 2 1 3 2 3 ∴如右图所示作图，设顶点P在底面 ABC 内的投影为O，连接 BO，并延长交AC于D ∴D为AC 中点，O为ABC的重心，PO 底面ABC 2 2 3 2 6 1 1 3 2 6 2 2 ∴BO  BD  ，PO  ，V   22   3 3 3 3 2 2 3 3 2x 4 8 20.解：（1）由题得， f(x) 1 (,1) (1,) 2x 4 2x 4  x1 ∴ f 1(x)2log  ，x(,1)(1,) 2  x1 2x a （2）∵ f(x) 且a0 2x a ∴①当a 0时， f(x)1,xR ， ∴对任意的xR都有 f(x) f(x)，∴y  f (x)为偶函数 2x 1 2x 1 12x ②当a 1时， f(x) ,x 0， f(x)  ， 2x 1 2x 1 12x ∴对任意的x0且xR都有 f(x)f(x)，∴y  f (x)为奇函数  ③当a 0且a 1时，定义域为 x x log a,xR}， 2 ∴定义域不关于原定对称，∴ y  f (x)为非奇非偶函数  21.解：（1）由题得，∵2，且02 ，tan tan2 2上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） CD CD 40 即  ，解得， CD 20 2，∴ CD 28.28米 35 CD 2 1 6400 （2）由题得，ADC 18038.1218.45 123.43 ， 3580 AD ∵  ，∴ AD 43.61米 sin123.43 sin18.45 ∵ CD 2 352  AD 2 235 AD cos38.12，∴ CD 26.93米 22.证明：（1）由题得，2(2)0，∴A(1,2),B(1,0)被直线x y10分隔。 解：（2）由题得，直线 y kx与曲线x2 4y2 1无交点 x2 4y2 1 即 (14k2)x210无解  y kx  14k2 0 1 1 ∴14k2 0或 ，∴k(, ][ ,) 4(14k2)0 2 2 证明：（理科）（3）由题得，设M(x,y)，∴ x2 (y2)2  x 1， 1 化简得，点M 的轨迹方程为E:x2 (y2)2  ,x 0 。 x2 ①当过原点的直线斜率存在时，设方程为 y kx。  1 x2 (y2)2  1 联立方程， x2 (k21)x24kx4 。 x2   y kx 1 令F(x)(k2 1)x2 4kx4，G(x) ，显然 y  F(x)是开口朝上的二次函数 x2 ∴由二次函数与幂函数的图像可得，F(x)G(x)必定有解，不符合题意，舍去 ②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为x0。 1 显然x0与曲线E:x2 (y2)2  ,x 0 没有交点，在曲线E上找两点(1,2),(1,2)。 x2 ∴110，符合题意 综上所述，仅存在一条直线x0是E的分割线。 证明：（文科）（3）由题得，设M(x,y)，∴ x2 (y2)2  x 1， 1 化简得，点M 的轨迹方程为E:x2 (y2)2  ,x 0 。 x2 1 显然x0与曲线E:x2 (y2)2  ,x 0 没有交点，在曲线E上找两点(1,2),(1,2)。 x2 ∴110，符合题意。∴x0是E的分割线。  2  x6   3 23.解：（1）由题得，  x[3,6] x  93x 3上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 1 （文科）（2）∵ a a 3a ，且数列{a }是等比数列，a 1， 3 n n1 n n 1  1 1 qn1(q )0 1 ∴ qn1 qn 3qn1，∴ 3 ，∴q[ ,3]。 3 3  qn1(q3)0 1 1 1 ∴a qm1  ，∴m1log 1log ，又∵mN，∴m8 m 1000 q1000 11000 3 1 1 ∴m的最小值为8，此时log 7，即q  7 。 q1000 1000 1 （3）由题得，∵ a a 3a ，且数列数列a ,a ,a 成等差数列，a 1， 3 n n1 n 1 2 100 1 1 d(2n1)2 2 ∴ [1(n1)d]1nd 3[1(n1)d]，∴ ，∴d[ ,2] 3 d(2n3)2 199上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 2014 数学（文科） 第Ⅰ卷（选择题 共 50 分） 一、填空题（本大题共14小题，共56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果， 每个空格填对得4 分，否则一律得零分． （1）【2014年上海，文1，5分】函数y12cos2(2x)的最小正周期是 ． π 【答案】 2 2π π 【解析】y12cos2(2x)(2cos2(2x)1)cos4x ，所以T  = ． 4 2   1 _ （2）【2014年上海，文2，5分】若复数z12i，其中i是虚数单位，则z z ．  _   z 【答案】6   1 _  【解析】z z zz1(1+2i)(1-2i)+1=1-4i2+1=6．  _   z （3）【2014年上海，文3，5分】设常数aR，函数 f(x)|x1||x2a|，若 f(2)1， 则 f(1) ． 【答案】3 【解析】 f(2)1|4a|1，所以a4，所以 f(x)|x1||x24|，故 f(1)3． x2 y2 （4）【2014年上海，文4，5分】若抛物线y2 2px的焦点与椭圆  1的右焦点重合， 9 5 则该抛物线的准线方程为 ． 【答案】x2 x2 y2 p 【解析】椭圆  1的右焦点右焦点为（2,0），故 2，故该抛物线的准线方程为 9 5 2 p x 2． 2 （5）【2014年上海，文5，5分】某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800 名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三 抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 ． 【答案】70 【解析】由分层抽样知高一、高二、高三抽取的学生数比为4:3:2，高三抽取的学生数为20，  2 43  故高一、高二共需抽取的学生数为20   70． 432 432 （6）【2014年上海，文6，5分】若实数x,y满足xy1，则x2 2y2的最小值为 ． 【答案】2 2 【解析】由基本不等式可得x2 2y2 2 2xy2 2 ，故x2 2y2的最小值为2 2． （7）【2014年上海，文7，5分】若圆锥的侧面积是底面积的三倍，则其母线与轴所成的角 大小为 ．（结果用反三角函数值表示） 1 【答案】arcsin 3 r 1 【解析】由题意可得，πrl 3πr2，解得l 3r，记母线与轴所成的角为，则sin  ， l 3上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 1 即arcsin ． 3 （8）【2014年上海，文8，5分】在长方体中割去两个小长方体后的几何体的 三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 ． 【答案】24 【解析】由三视图可知，被割去的两个小长方体长为2，宽为3，高为2，故切 割掉的两个小长 方体的体积之和为2×3×2×2=24． xa,x 0  （9）【2014年上海，文9，5分】设 f(x) 1 ，若 f(0)是 f(x)的最小值，则a的 x ,x0  x 取值范围为 ． 【答案】(,2] 【解析】 f(0)a，当x0时， f(x) 2，因为 f(0)是 f(x)的最小值，故a2． （10）【2014年上海，文10，5分】设无穷等比数列{a }的公比为q，若 n a lim(a a a ), q ． 1 n 3 4 n 51 【答案】 2 【解析】因为无穷等比数列{a }的极限存在，所以|q|1，又因为a lim(a a a ),即 n 1 3 4 n n aq2(1qn2) 51 a lim 1 ，解得q ． 1 n 1q 2 2 1  （11）【2014年上海，文11，5分】若 f(x) x3 x 2，则满足 f(x)0的x的取值范 围是 ． 【答案】(0,1) 2 1  【解析】函数 f(x)的定义域为(0,)， f(x)0即x3 x 2 ，在同一坐标系中作出 2 1  x3、x 2（x0） 2 1  的图象（如图），由图象可知，当x(0,1)时，x3 x 2.故满足 f(x)0的x的取值 范围是(0,1)． （12）【2014年上海，文12，5分】方程sinx 3cosx1在区间[0,2π]上的所有解的和等 于 ． 7π 【答案】 3 π π 1 【解析】因为sinx 3cosx1，所以2sin(x )1,sin(x ) ，因为x[0,2π]，所以 3 3 2 π π 7π π 1 π 5π π 13π x [ , ] ，所以由 sin(x ) 可得 x  或 x  ，解得 3 3 3 3 2 3 6 3 6 π 11π π 11π 7π x  ,x  ，所以x x  + = ． 1 2 2 6 1 2 2 6 3 （13）【2014年上海，文13，5分】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机 选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果 用最简分数表示）． 1 【答案】 15 【解析】记“选择的3天恰好为连续3天”的概率为P，从10天中选择3天共有C3 种方法， 10上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 8 8 1 从10天中选择连续的3天有8种选择方法，故P   .． C3 120 15 10 （14）【2014年上海，文14，5分】已知曲线C:x 4 y2 ，直线l:x6．若对于点A(m,0)，    存在C上的点P和l上的点Q使得APAQ0，则m的取值范围为 ． 【答案】[2,3]    【解析】由题意可设P( 4y 2,y ),Q(6,y )（2 y 2），又因为APAQ0，所以点P、 p p Q P A、Q 在一条直线上，且A点为线段PQ 的中点．所以，2m 4 y 2 6，又 P 2 y 2，所以m[2,3]． P 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有 一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分． （15）【2014年上海，文15，5分】设a,bR，则“ab4”是“a2且b2”的（ ） （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既 非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】由ab4不能推出a2且b2，如a1,b6满足ab4，但不能满足a2且 b2；如果a2且b2，由不等式的性质可得ab4；故“ab4”是“a2且 b2”的必要非充分条件，故选B． （16）【2014年上海，文16，5分】已知互异的复数a,b满足ab0，集合{a,b}{a2,b2}， 则ab（ ） （A）2 （B）1 （C）0 （D） 1 【答案】D 【解析】（1）当aa2,bb2时，a,b可看作是x x2的根，此时ab0与ab0矛盾，故舍 去； （2）当ab2,ba2时，可得abb2 a2，（*）因为ab2，所以a2 b4，所以 （ * ） 即 为 b2 bb2 b4 ， 即 b(b3 1)0 ， 所 以 b0或b3 1 ， 此 时 1 3 b0,或b1,或b  i ； 2 2 ①当b0时，a0，ab0与ab0矛盾且不满足集合的互异性，故舍去； ②当b1时，a1,ab0，但此时不能满足集合的互异性，故舍去； 1 3 1 3 ③当b  i时，a  i，ab0且满足集合的互异性，符合题意， 2 2 2 2 此时ab1； 1 3 1 3 ④当b  i时，a  i，ab0且满足集合的互异性，符合题意， 2 2 2 2 此时ab1； 综上所述，ab1.，故选D． （17）【2014年上海，文17，5分】如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB 是 大 正 方 形 的 一 条 边 ， P(i1,2,3,,7) 是 小 正 方 形 的 其 余 顶 点 ， 则 i   ABAP(i1,2,,7)的不同值的个数为（ ） i （A）7 （B）5 （C）3 （D）1 【答案】C 【解析】如图，以点A为原点，建立坐标系，则 A(0,0),B(0,2),P(0,1),P(1,0),P(1,1),P(1,2),P(2,0), 1 2 3 4 5 P(2,1),P(2,2) ， 故 6 7上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师）       AB(0,2),AP (0,1),AP (1,0),AP (1,1),AP (1,2),AP (2,0), 1 2 3 4 5    AP (2,2)，通过计算可得ABAP(i1,2,,7)的值有0,2,4,共3个，故选C． 7 i （18）【2014年上海，文18，5分】已知P(a,b)与P(a ,b )是直线ykx1（k为常数） 1 1 1 2 2 2 axb y1 上两个不同的点，则关于x和y的方程组 1 1 的解的情况是（ ） a xb y1 2 2 （A）无论k、P、P 如何，总是有解 （B）无论k、P、P 如何，总有唯 1 2 1 2 一解 （C）存在k、P、P ，使之恰有两解 （D）存在k、P、P ，使之有无穷 1 2 1 2 多解 【答案】B 【解析】解法一： ka 1b axby1 ax(ka 1)y1 xk 由已知得 1 1 ，代入 1 1 得 1 1 解得 ，即 ka 1b a xb y1 a x(ka 1)y1  y1 2 2 2 2 2 2 直线axby1与a xb y1恒交于点(k,1)（k为常数），故选B． 1 1 2 2 解法二： 由 已 知 条 件 b ka 1 ， b ka 1 ， 1 1 2 2 a b D 1 1 ab a b a (ka 1)a (ka 1)a a 0， a b 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 ∴有唯一解，故选B． 三、解答题（本题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内 写出必要的步骤． （19）【2014年上海，文19，12分】底面边长为2的正三棱锥PABC，其表面展开 图是三 角形PPP，如图．求PPP的各边长及此三棱锥的体积V ． 1 2 3 1 2 3 解：根据题意可得P,B,P 共线，∵ABP BAP CBP，ABC60， 1 2 1 1 2 ∴ABP BAP CBP 60，∴P 60，同理P P 60，∴PPP 1 1 2 1 2 3 1 2 3 是等 2 2 2 边三角形，PABC是正四面体，所以PPP边长为4；∴V  AB3  ． 1 2 3 12 3 2x a （20）【2014年上海，文20，14分】设常数a0，函数 f(x) ． 2x a （1）若a4，求函数y f(x)的反函数y f1(x)； （2）根据a的不同取值，讨论函数y f(x)的奇偶性，并说明理由． 2x 4 4y4 4y4 解：（1）∵a4，∴ f(x)  y ，∴2x  ，∴xlog ， 2x 4 y1 2 y1 4x4 ∴ y f1(x)log ， 2 x1 x(,1)(1,)． ……6分 （2）当a0时， f(x)1，定义域为R ，故函数 y f(x) 是偶函数；当a1时， 2x 1 f(x) 定义域为 2x 1 2x 1 2x 1 (,0)(0,)，f(x)  f(x)，故函数y f(x)是奇函数；当 2x 1 2x 1 a0且a1时， （-，log a)(log a,)关于原点不对称，故函数 y f(x)既不是奇函数，也不是 2 2上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 偶函数．……14分 （21）【2014年上海，文21，14分】如图，某公司要在A、B两地连线上 D 的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长 80米． 设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为 和．   （1）设计中CD是铅垂方向． 若要求2，问CD的长至多为 A C B 多少（结 果精确到0.01米）？ （2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差．现在实测得38.12，18.45，求CD 的长（结果精确 到0.01米）． x x  解：（1）设CD的长为x米，则tan ,tan ，∵ 20，∴tantan2， 35 80 2 2tan ∴tan ， 1tan2 x 2 ∴ x  80  160x ，解得0x20 2 28.28，∴CD的长至多为28.28 35 x2 6400x2 1 6400 米． ……6分 a AB （2）设DBa,DAb,DC m，ADB180123.43，则  ， sin sinADB 115sin38.12 解得a 85.06∴m 802a2160acos18.45 26.93 ∴CD的长为 sin123.43 26.93米．……14分 （22）【2014年上海，文22，16分】在平面直角坐标系xOy中，对于直线l:axbyc0和 点P(x , y ),P(x , y )，记(ax by c)(ax by c)． 若0，则称点P ,P 被 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 直线l分隔． 若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P ,P 被直线l分隔， 1 2 则称直线l为曲线C的一条分隔线． （1）求证：点A(1,2),B(1,0)被直线x y10分隔； （2）若直线ykx是曲线x2 4y2 1的分隔线，求实数k的取值范围； （3）动点M 到点Q(0,2)的距离与到y轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E ， 求E 的方程，并证明 y 轴为曲线E 的分隔线． 解：（1）将A(1,2),B(1,0)分别代入x y1，得(121)(11)40， ∴ 点 A(1,2),B(1,0) 被 直 线 x y10 分 隔． ……3分  ykx （2）直线ykx与曲线x2 4y2 1有公共点的充要条件是方程组 有解，即 x2 4y2 1 1 |k| ． 2 1 因为直线ykx是曲线x2 4y2 1的分隔线，故它们没有公共点，即|k| ． 2 1 当|k| 时，对于直线 ykx ，曲线 x2 4y2 1 上的点 (1,0) 和 (1,0) 满足 2 k2 0，即点(1,0)和 (1,0) 被 ykx 分 隔 ． 故 实 数 k 的 取 值 范 围 是上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 1 1 (, ][ ,)． ……9分 2 2 （3）设M的坐标为(x,y)，则曲线E的方程为 x2 (y2)2|x|1,即[x2 (y2)2]x2 1． 对任意的y ,(0,y )不是上述方程的解，即y轴与曲线E没有公共点．又曲线E上 0 0 的点(1,2)和(1,2)对于 y 轴满足0 ，即点 (1,2)和(1,2) 被 y 轴分隔．所以 y 轴为曲线 E 的分割 线． ……16分 1 （23）【2014年上海，文23，18分】已知数列a 满足 a a 3a ，nN*，a 1． n 3 n n1 n 1 （1）若a 2,a  x,a 9，求x的取值范围； 2 3 4 1 （2）若a 是等比数列，且a  ，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相 n m 1000 应a 的公比； n （3）若a,a ,a 成等差数列，求数列a,a ,a 的公差的取值范围． 1 2 100 1 2 100 1 2 1 解：（1）依题意， a a 3a ，∴  x6，又 a a 3a ，∴3x27，综上可得 3 2 3 2 3 3 3 4 3 3x6．……3分 1 1 （2）设{a }的公比为q．由 a 3a ，且a aqn1 0，得a 0．因为 a a 3a ， n 3 n n n 1 n 3 n n1 n 1 所以 q 3． 3 1 1 从 而 aqm1 qm1 ( )m1,3m1 1000 ， 解 得 m 8 ． m8 时 ， 1000 1 3 1 1 q 7 [ ,3]． 1000 3 所 以 ， m 的 最 小 值 为 8 ， m8 时 ， {a } 的 公 比 为 n 7104 ． ……9分 10 1 2 （3）设数列a,a ,,a 的公差为d ．则 a a d 3a , a d 2a ,n1,2,,99， 1 2 100 3 n n n 3 n n ①当d 0时，a a a a ，所以0d 2a ，即0d 2． 99 98 2 1 1 ②当d 0时，a a a a,符合条件． 99 98 2 1 2 ③ 当 d 0 时 ， a a a a ， 所 以  a d 2a ， 99 98 2 1 3 99 99 2  (198d) d 2(198d)，又d 0， 3 2 所以 d 0． 199 综 上 ， a,a ,,a 的 公 差 的 取 值 范 围 为 1 2 100 2 [ ,2]． ……18分 199