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2014年上海市黄浦区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】
1．（4分）下列二次根式中， 的同类根式是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）化简（3a3）2的结果是（ ）
A．6a6 B．6a9 C．9a6 D．9a9
3．（4分）方程x2﹣6x+9＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有且仅有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
4．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．正三角形 B．正方形
C．等腰直角三角形 D．等腰梯形
5．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，添加下列条件不能判定平行四边形
ABCD是菱形的是（ ）
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．BD平分∠ABC D．AC＝BD
6．（4分）某赛季甲、乙两名篮球运动员各参加10场比赛，各场得分情况如图，下
列四个结论中，正确的是（ ）
A．甲运动员得分的平均数小于乙运动员得分的平均数
B．甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数
C．甲运动员得分的最小值大于乙运动员得分的最小值
第1页（共25页）D．甲运动员得分的方差大于乙运动员得分的方差
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸
的相应位置上】
7．（4分） 的相反数是 ．
8．（4分）分解因式：x2y﹣4y＝ ．
9．（4分）不等式组 的解集是 ．
10．（4分）方程 ＝x的根是 ．
11．（4分）若反比例函数 的图象经过第一、三象限，则 k的取值范围是
．
12．（4分）某校对部分学生家庭进行图书量调查，调查情况如图，若本次调查中，
有 50 本以下图书的学生家庭有 24 户，则参加本次调查的学生家庭数有
户．
13．（4分）布袋中有1个黑球和1个白球，这两个球除颜色外其他都相同，如果从
布袋中先摸出一个球，放回摇匀后，再摸出一个球，那么两次都摸到白球的概
率是 ．
14．（4分）将抛物线y＝x2+x向右平移1个单位后，所得新抛物线的表达式是
．
15．（4分）如图，AB∥CD，直线MN分别与AB、CD交于点E、F，FG是∠NFD的
平分线，若∠MEB＝80°，则∠GFD的度数为 ．
第2页（共25页）16．（4分）如图，△ABC中，D为边AC的中点，设BD＝ ，BC＝ ，那么 用 、
可表示为 ．
17．（4分）当两个圆有两个公共点，且其中一个圆的圆心在另一圆的圆内时，我
们称此两圆的位置关系为“内相交”．如果 O 、 O 半径分别3和1，且两圆
1 2
“内相交”，那么两圆的圆心距d的取值范围是 ．
⊙ ⊙
18．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AC上一点，且AD＝3，
如果△ABD绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，点D旋转至D′，那么线
段DD′的长为 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：cot30°+2× ﹣（2﹣ ）﹣1+（ ﹣1）2．
20．（10分）解方程： ．
21．（10分）如图，D是 O弦BC的中点，A是 上一点，OA与BC交于点E，已
知AO＝8，BC＝12．
⊙
（1）求线段OD的长；
第3页（共25页）（2）当EO＝ BE时，求∠DEO的余弦值．
22．（10分）已知弹簧在其弹性限度内，它的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千
克）的关系可表示为y＝kx+b的形式，其中k称为弹力系数，测得弹簧A的长度
与所挂重物（不超过弹性限度）的关系如图1．
（1）求弹簧A的弹力系数；
（2）假设在其它条件不变的情况下，弹簧的弹力系数k与弹簧的直径d（如图2）
成正比例．已知弹簧B的直径是弹簧A的1.5倍，且其它条件均与弹簧A相同
（包括不挂重物时的长度）．当弹簧B挂一重物后，测得此时弹簧长度为9厘米
求该重物的质量．
23．（12分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边BC上一点，点E、F分别是线
段AB、AD中点，联结CE、CF、EF．
（1）求证：△CEF≌△AEF；
（2）联结DE，当BD＝2CD时，求证：DE＝AF．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知顶点为P（0，2）的二次函数图象与x
轴交于A、B两点，A点坐标为（2，0）．
第4页（共25页）（1）求该二次函数的解析式，并写出点B坐标；
（2）点C在该二次函数的图象上，且在第四象限，当△ABC的面积为12时，求点
C坐标；
（3）在（2）的条件下，点D 在y轴上，且△APD与△ABC相似，求点D坐标．
25．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝2，∠A＝60°．
（1）求证：BD⊥BC；
（2）延长CB至G，使BG＝BC，E是边AB上一点，F是线段CG上一点，且∠EDF
＝60°，设AE＝x，CF＝y．
当点F在线段BC上时（点F不与点B、C重合），求y关于x的函数解析式，并
写出定义域；
①
当以AE为半径的 E与以CF为半径的 F相切时，求x的值．
② ⊙ ⊙
第5页（共25页）2014 年上海市黄浦区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】
1．（4分）下列二次根式中， 的同类根式是（ ）
A． B． C． D．
【考点】77：同类二次根式．
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【分析】根据同类二次根式的意义，将选项中的根式化简，找到被开方数为2者即
可．
【解答】解：A、 ＝2，与 的被开方数不同，故本选项错误；
B、 与 的被开方数不同，故本选项错误；
C、 ＝2 ，与 的被开方数相同，故本选项正确；
D、 与 的被开方数不同，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了同类二次根式的知识，要判断几个根式是不是同类二次根式，
须先化简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断．
2．（4分）化简（3a3）2的结果是（ ）
A．6a6 B．6a9 C．9a6 D．9a9
【考点】47：幂的乘方与积的乘方．
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【分析】根据积得乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，
【解答】解：原式＝32（a3）2
＝9a6，
故选：C．
【点评】本题考查了幂的乘方与积得乘方，先算积的乘方，再算幂的乘方．
3．（4分）方程x2﹣6x+9＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有且仅有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作
第6页（共25页）出判断．
【解答】解：a＝1，b＝﹣6，c＝9，
∵△＝b2﹣4ac＝36﹣36＝0，
则方程有两个相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．
当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当
△＜0，方程没有实数根．
4．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．正三角形 B．正方形
C．等腰直角三角形 D．等腰梯形
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
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【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直
线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴
如果一个图形绕某一点旋转 180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中
心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键
是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，
旋转180度后两部分重合．
5．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，添加下列条件不能判定平行四边形
ABCD是菱形的是（ ）
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．BD平分∠ABC D．AC＝BD
第7页（共25页）【考点】L5：平行四边形的性质；L9：菱形的判定．
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【分析】根据菱形的判定定理，即可求得答案．注意排除法的应用．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴A、当AB＝BC时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得 ▱ABCD是
菱形，故本选项正确；
B、当AC⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得 ▱ABCD是菱
形，故本选项正确；
C、当BD平分∠ABC时，易证得AB＝AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是
菱形，可得 ▱ABCD是菱形，故本选项正确；
由排除法可得D选项错误．
故选：D．
【点评】此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键．
6．（4分）某赛季甲、乙两名篮球运动员各参加10场比赛，各场得分情况如图，下
列四个结论中，正确的是（ ）
A．甲运动员得分的平均数小于乙运动员得分的平均数
B．甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数
C．甲运动员得分的最小值大于乙运动员得分的最小值
D．甲运动员得分的方差大于乙运动员得分的方差
【考点】VD：折线统计图；W1：算术平均数；W4：中位数；W7：方差．
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【分析】结合折线统计图，利用数据逐一分析解答即可．
【解答】解：A、由图可知甲运动员得分8场得分大于乙运动员得分，所以甲运动员
的得分平均数大于乙运动员的得分平均数，此选项错误；
B、由图可知甲运动员8场得分大于乙运动员得分，所以甲运动员得分的中位数
大于乙运动员得分的中位数，此选项错误；
第8页（共25页）C、由图可知甲运动员得分最小值是5分以下，乙运动员得分的最小值是5分以
上，甲运动员得分的最小值小于乙运动员得分的最小值，此选项正错误；
D、由图可知甲运动员得分数据波动性较大，乙运动员得分数据波动性较小，乙运
动员的成绩比甲运动员的成绩稳定，甲运动员得分的方差大于乙运动员得分
的方差，此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要结合折线统计图，利用中位数、平均数以及方差来进行分析数据，
找到解决问题的突破口．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸
的相应位置上】
7．（4分） 的相反数是 ﹣ ．
【考点】14：相反数．
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【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
【解答】解： 的相反数是﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
8．（4分）分解因式：x2y﹣4y＝ y （ x + 2 ）（ x ﹣ 2 ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
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【分析】先提取公因式y，然后再利用平方差公式进行二次分解．
【解答】解：x2y﹣4y，
＝y（x2﹣4），
＝y（x+2）（x﹣2）．
故答案为：y（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进行二次分解
因式是解本题的难点，也是关键．
9．（4分）不等式组 的解集是 ﹣ ＜ x ＜ 2 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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第9页（共25页）【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解： ，
解 得：x＜2，
解①得：x＞﹣ ．
②
则不等式组的解集是： ．
故答案是：﹣ ＜x＜2．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判
断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于
两数之间．
10．（4分）方程 ＝x的根是 x ＝ 2 ．
【考点】AG：无理方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】先把方程两边平方，使原方程化为整式方程x+2＝x2，解此一元二次方程
得到x ＝2，x ＝﹣1，把它们分别代入原方程得到x ＝﹣1是原方程的增根，由
1 2 2
此得到原方程的根为x＝2．
【解答】解：方程两边平方得，x+2＝x2，
解方程x2﹣x﹣2＝0得x ＝2，x ＝﹣1，
1 2
经检验x ＝﹣1是原方程的增根，
2
所以原方程的根为x＝2．
故答案为x＝2．
【点评】本题考查了无理方程：根号内含有未知数的方程叫无理方程；解无理方程
的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，常常采用平方法去根号．
11．（4分）若反比例函数 的图象经过第一、三象限，则 k的取值范围是 k
＜ ．
【考点】G4：反比例函数的性质．
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第10页（共25页）【分析】先根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵反比例函数 的图象经过第一、三象限，
∴1﹣3k≥0，解得k＜ ．
故答案为：k＜ ．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y＝ （k≠0）的图象是
双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限是解答此题的关键．
12．（4分）某校对部分学生家庭进行图书量调查，调查情况如图，若本次调查中，
有50本以下图书的学生家庭有24户，则参加本次调查的学生家庭数有 16 0
户．
【考点】VB：扇形统计图．
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【分析】首先求得有50本以下图书的学生家庭所占的比例，然后根据有50本以下
图书的学生家庭有24户，即可求解．
【解答】解：有50本以下图书的学生家庭所占的比例是：1﹣30%﹣35%﹣20%＝
15%，
则本次调查的总户数是：24÷15%＝160（户）．
故答案是：160．
【点评】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百
分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°比．
13．（4分）布袋中有1个黑球和1个白球，这两个球除颜色外其他都相同，如果从
布袋中先摸出一个球，放回摇匀后，再摸出一个球，那么两次都摸到白球的概
率是 ．
第11页（共25页）【考点】X6：列表法与树状图法．
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【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次
都摸出白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，两次都摸出白球的有1种情况，
∴两次都摸出白球的概率是： ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法
可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树
状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数
之比．
14．（4分）将抛物线y＝x2+x向右平移1个单位后，所得新抛物线的表达式是 y
＝ x 2 ﹣ x ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】先把函数化为顶点式的形式，再根据“左加右减”的法则即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+x可化为y＝（x+ ）2﹣ ，
∴抛物线向右平移1个单位后，所得新抛物线的表达式为y＝（x+ ﹣1）2﹣ ，即
y＝x2﹣x．
故答案为：y＝x2﹣x．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”
的法则是解答此题的关键．
15．（4分）如图，AB∥CD，直线MN分别与AB、CD交于点E、F，FG是∠NFD的
平分线，若∠MEB＝80°，则∠GFD的度数为 50 ° ．
第12页（共25页）【考点】JA：平行线的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】先根据平行线的性质得∠MFD＝∠MEB＝80°，再根据邻补角的定义计算
出∠NFD＝100°，然后根据角平分线的定义求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠MFD＝∠MEB＝80°，
∴∠NFD＝180°﹣∠MFD＝100°，
∵FG是∠NFD的平分线，
∴∠GFD＝ ∠NFD＝50°．
故答案为50°．
【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内
角互补；两直线平行，内错角相等．
16．（4分）如图，△ABC中，D为边AC的中点，设BD＝ ，BC＝ ，那么 用 、
可表示为 2 ﹣ 2 ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】根据三角形法则表示出 ，再根据D为AC的中点可得 ＝2 ．
【解答】解：∵BD＝ ，BC＝ ，
∴ ＝ ﹣ ，
∵D为边AC的中点，
∴ ＝2 ＝2（ ﹣ ）＝2 ﹣2 ．
第13页（共25页）故答案为：2 ﹣2 ．
【点评】本题考查了平面向量，线段的中点，平面向量的问题，熟记平行四边形法
则和三角形法则是解题的关键．
17．（4分）当两个圆有两个公共点，且其中一个圆的圆心在另一圆的圆内时，我
们称此两圆的位置关系为“内相交”．如果 O 、 O 半径分别3和1，且两圆
1 2
“内相交”，那么两圆的圆心距d的取值范围是 2 ＜ d ＜ 3 ．
⊙ ⊙
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【专题】23：新定义．
【分析】读懂“内相交”的定义，然后结合两圆相交时两圆的圆心距和两圆的半
径的大小关系求解．
【解答】解：∵ O 、 O 半径分别3和1，
1 2
∴当两圆相交时，2＜d＜4，
⊙ ⊙
∵其中一个圆的圆心在另一圆的圆内，
∴2＜d＜3，
故答案为：2＜d＜3．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是弄懂内相交的定义，难度不
大．
18．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AC上一点，且AD＝3，
如果△ABD绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，点D旋转至D′，那么线
段DD′的长为 ．
【考点】R2：旋转的性质．
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【分析】根据题意画出图形，根据旋转的性质可知三角形 ABD全等于三角形
ACD'，所以三角形ADD'也是等腰三角形，所以两三角形相似，由相似三角形的
性质可求出DD'．
第14页（共25页）【解答】解：∵△ABD绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，点D旋转至D′，
∴AD＝AD′，∠BAD＝∠DAD′，
∵AB＝AC，
∴△ABC∽△ADD′，
∴ ，
∴ ，
∴DD′＝ ．
【点评】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和
性质，解题的关键是利用旋转的性质得到△ADD′是等腰三角形．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：cot30°+2× ﹣（2﹣ ）﹣1+（ ﹣1）2．
【考点】6F：负整数指数幂；79：二次根式的混合运算；T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】根据负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式＝ +2× ﹣
+ （3﹣2 +1），然后分母有理化后合并即可．
【解答】解：原式＝ +2 ﹣ +（3﹣2 +1）
＝ +2 ﹣（2+ ）+4﹣2
＝2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再
进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂和
特殊角的三角函数值．
第15页（共25页）20．（10分）解方程： ．
【考点】B3：解分式方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】分式方程去分母转化为一元二次方程，求出一元二次方程的解得到x的值，
经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3（1﹣x）﹣（x+3）＝（1﹣x）（x+3），
整理得：x2﹣2x﹣3＝0，即（x+1）（x﹣3）＝0，
解得：x ＝﹣1，x ＝3，
1 1
经检验x ＝﹣1，x ＝3都是原方程的根．
1 1
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式
方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
21．（10分）如图，D是 O弦BC的中点，A是 上一点，OA与BC交于点E，已
知AO＝8，BC＝12．
⊙
（1）求线段OD的长；
（2）当EO＝ BE时，求∠DEO的余弦值．
【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
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【分析】（1）连接OB，先根据垂径定理得出OD⊥BC，BD＝ BC，在Rt△BOD中，
根据勾股定理即可得出结论；
（2）在Rt△EOD中，设BE＝x，则OE＝ x，ED＝6﹣x，再根据勾股定理即可得
出结论．
【解答】解：（1）连接OB．
∵OD过圆心，且D是弦BC中点，
∴OD⊥BC，BD＝ BC，
在Rt△BOD中，OD2+BD2＝BO2．
第16页（共25页）∵BO＝AO＝8，BD＝6．
∴OD＝2 ；
（2）在Rt△EOD中，OD2+ED2＝EO2．
设BE＝x，则OE＝ x，ED＝6﹣x．
（2 ）2+（6﹣x）2＝（ x）2，
解得x ＝﹣16（舍），x ＝4．
1 2
∴ED＝2，EO＝ ．
在Rt△EOD中，cos∠DEO＝ ．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答
此题的关键．
22．（10分）已知弹簧在其弹性限度内，它的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千
克）的关系可表示为y＝kx+b的形式，其中k称为弹力系数，测得弹簧A的长度
与所挂重物（不超过弹性限度）的关系如图1．
（1）求弹簧A的弹力系数；
（2）假设在其它条件不变的情况下，弹簧的弹力系数k与弹簧的直径d（如图2）
成正比例．已知弹簧B的直径是弹簧A的1.5倍，且其它条件均与弹簧A相同
（包括不挂重物时的长度）．当弹簧B挂一重物后，测得此时弹簧长度为9厘米
求该重物的质量．
第17页（共25页）【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）直接利用待定系数法求一次函数解析式得出即可；
（2）设弹簧B弹力系数为k ，弹簧A的直径为d ，则弹簧B的直径为 ，则
b A
，进而得出k ，得出解析式进而得出答案．
b
【解答】解：（1）把（4，8），（8，10）代入y＝kx+b得：
，
解得 ，
故弹簧A的弹力系数为 ．
（2）设弹簧B弹力系数为k ，弹簧A的直径为d ，则弹簧B的直径为 ．
b A
由题意得 ．
∴ ．
又∵弹簧B与弹簧A不挂重物时的长度相同，
∴弹簧B长度与所挂重物质量的关系可表示为 ．
把y＝9代入 得：9＝ x+6
解得：x＝4．
故此时所挂重物质量为4千克．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式等知
识，得出k 的值是解题关键．
b
23．（12分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边BC上一点，点E、F分别是线
段AB、AD中点，联结CE、CF、EF．
第18页（共25页）（1）求证：△CEF≌△AEF；
（2）联结DE，当BD＝2CD时，求证：DE＝AF．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KX：三角形中位线定理；L7：平行四边形
的判定与性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）在直角三角形ABC中，E为斜边AB的中点，利用斜边上的中线等于
斜边的一半得到CE＝AE，在直角三角形ACD中，F为斜边AD的中点，利用斜
边上的中线等于斜边的一半得到AF＝CF，再由EF＝EF，利用SSS即可得证；
（2）由EF为三角形ABD的中点，利用中位线定理得到EF与BD平行，EF等于
BD的一半，再由BD＝2DC，等量代换得到EF＝CD，再由EF与CD平行，得
到四边形CEFD为平行四边形，可得出DE＝CF，再由CF＝AF，等量代换得到
DE＝AF．
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，且E线段AB中点，
∴CE＝ AB＝AE，
∵∠ACD＝90°，F为线段AD中点，
∴AF＝CF＝ AD，
在△CEF和△AEF中，
，
∴△CEF≌△AEF（SSS）；
（2）连接DE，
∵点E、F分别是线段AB、AD中点，
∴EF＝ BD，EF∥BC，
第19页（共25页）∵BD＝2CD，
∴EF＝CD．
又∵EF∥BC，
∴四边形CFED是平行四边形，
∴DE＝CF，
∵CF＝AF，
∴DE＝AF．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，中位线定理，以及平行四边形的判
定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知顶点为P（0，2）的二次函数图象与x
轴交于A、B两点，A点坐标为（2，0）．
（1）求该二次函数的解析式，并写出点B坐标；
（2）点C在该二次函数的图象上，且在第四象限，当△ABC的面积为12时，求点
C坐标；
（3）在（2）的条件下，点D 在y轴上，且△APD与△ABC相似，求点D坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）已知二次函数图象的顶点坐标和图象上另一点的坐标，所以利用顶
点式方程来表示二次函数解析式；
（2）如图，过点C作CH⊥x轴，垂足为H．设点C横坐标为m，则 ．由三
角形的面积公式得 ，所以由点C所在的象限求得C
（4，﹣6）；
（3）需要分类讨论： △APD∽△ABC； △ADP∽△ABC．
【解答】解：（1）设抛物线表达式为y＝ax2+2（a≠0）．
① ②
第20页（共25页）把（2，0）代入解析式，解得 ．
所以 抛物线表达式为 ．则B（﹣2，0）；
（2）如图，过点C作CH⊥x轴，垂足为H．
设点C横坐标为m，则 ．
由题意得 ，
解得m＝±4．
∵点C在第四象限，
∴m＝4．
∴C（4，﹣6）；
（3）∵PO＝AO＝2，∠POA＝90°，
∴∠APO＝45°．
∵BH＝CH＝6，∠CHB＝90°，
∴∠CBA＝45°．
∵∠BAC＜135°，
∴点D应在点P下方，
∴在△APD与△ABC中，∠APD＝∠CBA．
由勾股定理得PA＝ ，BC＝ ．
当 时， ．解得 ．∴ ；
①
当 时， ．解得PD＝6．∴D （0，﹣4）．
2
②
综上所述，点D坐标为 或（0，﹣4）．
第21页（共25页）【点评】本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐
标特征以及相似三角形的判定与性质等二次函数综合题．解答（3）题时，对于
动点问题，一定要分类讨论．
25．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝2，∠A＝60°．
（1）求证：BD⊥BC；
（2）延长CB至G，使BG＝BC，E是边AB上一点，F是线段CG上一点，且∠EDF
＝60°，设AE＝x，CF＝y．
当点F在线段BC上时（点F不与点B、C重合），求y关于x的函数解析式，并
写出定义域；
①
当以AE为半径的 E与以CF为半径的 F相切时，求x的值．
② ⊙ ⊙
【考点】SO：相似形综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）过点D作DH⊥AB，垂足为H，在Rt△AHD中，由三角函数可得出
AH＝1，由 ， ，可得 ，即 ．可证明△AHD∽△CBD，则
∠CBD＝∠AHD＝90°，即BD⊥BC；
（2） 根据AD∥BC，得∠ADB＝∠DBC＝90°，可证明△EHD∽△FBD，得
①
，即 ，从而得出y＝4﹣2x（1＜x＜2）； 连接EF，分三种情况：
1°当点F在线段BC（点F不与点B、C重合）上时，根②据△EHD∽△FBD，得
第22页（共25页）．即 ，可证明△BDH∽△FDE，在Rt△EDH中，由勾股定理得
DE，即可得出EF；i） 当 E与 F内切时， ．解得，
⊙ ⊙
（舍）， （舍）；ii）当 E 与 F 外切时，
⊙ ⊙
．解得x ＝1（舍），x ＝﹣2（舍）；2°点F与点B重合时，
1 2
即 x＝1时，两圆外切；3°当点F在线段BG（点F不与点B重合）上时，
易得CF＝4﹣2x，且△BDH∽△FDE仍然成立，即可得出EF，由1°计算可知
时两圆内切．综上所述，当x＝1时，两圆外切，当 时，两圆
内切．
【解答】解：（1）过点D作DH⊥AB，垂足为H，
在Rt△AHD中，AH＝AD•cosA＝BC•cosA＝1，
∵ ， ，
∴ ，即 ．
又∵∠C＝∠A＝60°，
∴△AHD∽△CBD，
∴∠CBD＝∠AHD＝90°，
∴BD⊥BC；
（2） ∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝90°，
①
∵∠BDH+∠HDA＝90°，∠A+∠HDA＝90°，
∴∠BDH＝∠A＝60°，
∵∠EDF＝60°，
∴∠BDH＝∠EDF，即∠EDH+∠BDE＝∠FDB+∠BDE，
∴∠EDH＝∠FDB，
第23页（共25页）又∵∠EHD＝∠CBD＝90°，
∴△EHD∽△FBD，
∴ ，
∴ ，
∴y＝4﹣2x（1＜x＜2）；
连接EF，分三种情况：
1°当点F在线段BC（点F不与点B、C重合）上时，
②
∵△EHD∽△FBD，
∴ ．即 ．
又∵∠BDH＝∠EDF，
∴△BDH∽△FDE，
∴∠DEF＝90°，
在Rt△EDH中， ，
∴ ；
i） 当 E与 F内切时， ．
⊙ ⊙
解得， （舍）， （舍）；
ii）当 E与 F外切时， ．
解得x ⊙＝1（⊙舍），x ＝﹣2（舍）；
1 2
2°点F与点B重合时，即 x＝1时，两圆外切；
3°当点F在线段BG（点F不与点B重合）上时，
易得CF＝4﹣2x，且△BDH∽△FDE仍然成立，
∴ ．
由1°计算可知 时两圆内切．
第24页（共25页）综上所述，当x＝1时，两圆外切，当 时，两圆内切．
【点评】本题考查了相似形的综合题以及三角函数、勾股定理、圆与圆的位置关系，
注意分类思想在解题中的应用．
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日期：2018/12/26 20:20:12；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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