2017年上海高考数学真题试题及答案_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_高中_高考真题_2.上海高考数学2023-2014

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2017 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷
（满分150分，考试时间120分钟）
1、考生注意
2、1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
3、2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在
答题纸指定位置.
4、3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作
答一律不得分.
5、4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1. 已知集合A{1,2,3,4}，集合B {3,4,5}，则AB 
2. 若排列数Pm 654，则m
6
x1
3. 不等式 1的解集为
x
4. 已知球的体积为36，则该球主视图的面积等于
3
5. 已知复数z满足z 0，则|z| 
z
x2 y2
6. 设双曲线  1(b0)的焦点为F 、F ，P为该
9 b2 1 2
双曲线上的一点，若|PF | 5，则|PF | 
1 2
7. 如图，以长方体ABCDABC D 的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐
1 1 1 1
 
标轴，建立空间直角坐标系，若DB 的坐标为(4,3,2)，则AC 的坐标为
1 1
3x 1, x0
8. 定义在(0,)上的函数y  f(x)的反函数为y  f 1(x)，若g(x) 为
f(x), x 0
奇函数，则 f 1(x)2的解为
1 1
9. 已知四个函数：① y x；② y  ；③ y  x3；④ y  x2. 从中任选2个，则事
x
件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为
10. 已知数列{a }和{b }，其中a n2，nN*，{b }的项是互不相等的正整数，若对于
n n n n
lg(bb bb )
任意nN*，{b }的第a 项等于{a }的第b 项，则 1 4 9 16 
n n n n lg(bb bb )
1 2 3 4
1 1
11. 设a 、a R，且   2，则|10  |的最小值等于
1 2 2sin 2sin(2) 1 2
1 2上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P、P 、P、P 以及四个标记为“”的
1 2 3 4
点在正方形的顶点处，设集合{P,P,P,P}，点
1 2 3 4
P，过P作直线l ，使得不在l 上的“”的点
P P
分布在l 的两侧. 用D (l )和D (l )分别表示l 一侧
P 1 P 2 P P
和另一侧的“”的点到l 的距离之和. 若过P的直
P
线l 中有且只有一条满足D (l )D (l )，则中
P 1 P 2 P
所有这样的P为
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
x5y 0
13. 关于x、y的二元一次方程组 的系数行列式D为（ ）
2x3y 4
0 5 1 0 1 5 6 0
A. B. C. D.
4 3 2 4 2 3 5 4
1
14. 在数列{a }中，a ( )n，nN*，则lima （ ）
n n 2 n n
1 1
A. 等于 B. 等于0 C. 等于 D. 不存在
2 2
15. 已知a、b、c为实常数，数列{x }的通项x an2 bnc，nN*，则“存在kN*，
n n
使得x 、x 、x 成等差数列”的一个必要条件是（ ）
100k 200k 300k
A. a0 B. b0 C. c 0 D. a2bc 0
x2 y2 y2
16. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C :  1和C :x2  1. P为C 上的动
1 36 4 2 9 1
 
点，Q为C 上的动点，w是OPOQ的最大值. 记{(P,Q)|P在C 上，Q在C 上，且
2 1 2
 
OPOQ w}，则中元素个数为（ ）
A.2个 B.4个 C.8个 D. 无穷个
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，直三棱柱ABCABC 的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4
1 1 1
和2，侧棱AA 的长为5.
1
（1）求三棱柱ABCABC 的体积；
1 1 1
（2）设M是BC中点，求直线AM
1
与平面ABC所成角的大小.上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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1
18. 已知函数 f(x)cos2xsin2x ，x(0,).
2
（1）求 f(x)的单调递增区间；
（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a  19 ，角B所对边b5，若 f(A)0，求
△ABC的面积.
19. 根据预测，某地第n (nN*)个月共享单车的投放量和损失量分别为a 和b（单位：辆），
n n
5n4 15, 1n3
其中a  ，b n5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的
n  10n470, n4 n
累计投放量与累计损失量的差.
（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；
（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S 4(n46)28800（单位：辆）.
n
设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？
x2
20. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆:  y2 1，A为的上顶点，P为上异于
4
上、下顶点的动点，M 为x正半轴上的动点.
（1）若P在第一象限，且|OP|  2 ，求P的坐标；
8 3
（2）设P( , )，若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；
5 5
   
（3）若|MA|  |MP|，直线AQ与交于另一点C，且AQ 2AC，PQ 4PM ，
求直线AQ的方程.
21. 设定义在 R 上的函数 f(x) 满足：对于任意的 x 、 x R ，当 x  x 时，都有
1 2 1 2
f(x ) f(x ).
1 2
（1）若 f(x)ax31，求a的取值范围；
（2）若 f(x)为周期函数，证明： f(x)是常值函数；上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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（3）设 f(x)恒大于零，g(x)是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是g(x)的最大值.
函数h(x) f(x)g(x). 证明：“h(x)是周期函数”的充要条件是“ f(x)是常值函数”.上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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2017 年普通高等学校招生全国统一考试上海--数学试卷
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题
纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律
不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第
7-12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1.已知集合A  1,2,3,4  ,B  3,4,5  ,则AB .
【解析】本题考查集合的运算，交集，属于基础题
【答案】  3,4 
2.若排列数Pm 654,则m.
6
【解析】本题考查排列的计算，属于基础题
【答案】3
x1
3.不等式 1的解集为.
x
【解析】本题考查分式不等式的解法，属于基础题
【答案】,0 
4.已知球的体积为36，则该球主视图的面积等于.
4
【解析】本题考查球的体积公式和三视图的概念， R3 36 R 3,
3
所以S R2 9，属于基础题
【答案】9
3
5.已知复数z 满足z 0，则 z .
z
3
【解析】本题考查复数的四则运算和复数的模，z 0 z2 3设z abi，
z
则a2 b2 2abi 3a 0,b 3i, z  a2 b2 ，属于基础题
【答案】 3
x2 y2
6.设双曲线  1  b0 的焦点为F、F , P 为该双曲线上的一点.若 PF 5,则
9 b2 1 2 1上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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PF .
2
【 解 析 】 本 题 考 查 双 曲 线 的 定 义 和 性 质 ， PF  PF 2a 6 （ 舍 ），
1 2
PF  PF 2a 6 PF 11
2 1 2
【答案】11
7.如图，以长方体ABCDABC D 的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐
1 1 1 1
 
标轴，建立空间直角坐标系.若DB 的坐标为(4,3,2),则AC 的坐标是.
1 1

【解析】本题考查空间向量，可得A(4，0，0)，C (0，3,2) AC (4，3，2),属于基础题
1 1
【答案】(4，3，2)
3x 1,x0,
8.定义在(0,)上的函数 y  f(x) 的反函数 y  f -1(x).若 g(x) 为奇函
 f(x),x0
数，则 f -1(x)=2的解为.
【解析】本题考查函数基本性质和互为反函数的两个函数之间的关系，属于中档题
1 1
x0,x0,g(x)3x 1g(x) g(x)1 ,所以 f(x)1 ,
3x 3x
8 8
当x2时， f(x) ,所以 f 1( )2
9 9
8
【答案】x 
9
1 1
9.已知四个函数：① y x；②y  ；③ y  x3；④ y x2.从中任选2个，则事件“所
x
选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为.
【解析】本题考查事件的概率，幂函数的图像画法和特征，属于基础题上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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总的情况有：C2 6种，符合题意的就两种：①和③，①和④
4
1
【答案】
3
10.已知数列  a 和  b  ,其中a n2,nN，  b 的项是互不相等的正整数.若对于任意
n n n n
 
lg bb bb
nN， b 中的第a 项等于  a 中的第b 项，则 1 4 9 16 .
n n n n lg  bb bb 
1 2 3 4
【解析】本题考查数列概念的理解，对数的运算，属于中档题
由题意可得：b a b (b )2 b b2,b b 2,b b2,b b 2，
a
n
b
n
n2 n 1 1 4 2 9 3 16 4
   2
lg bb bb lg bb bb
所以 1 4 9 16  1 2 3 4 =2
   
lg bb bb lg bb bb
1 2 3 4 1 2 3 4
【答案】2
1 1
11.设， R,且   2，则10 的最小值等于.
1 2 2sin 2sin(2) 1 2
1 2
1 1  1 1 
【解析】考查三角函数的性质和值域，  ,1 ，  ,1
   
2sin 3  2sin(2) 3 
1 2 ，
 1  
 =1   2k
1 1  2sin   1 2 1
要使   2 则 1  ,k ,k Z
2sin 2sin(2) 1  1 2
1 2 ，  =1    k
 2sin(2)  2 4 2
2
3 
10   10 (2k k )  当2k k =11时成立
1 2 min 4 1 2 4 , 1 2
min

【答案】
4
12.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P,P,P,P 以及四个标记为“▲”的点在
1 2 3 4
正方形的顶点处.设集合=  P,P,P,P ，点P.过P作直线l ，使得不在l 上的“▲”
1 2 3 4 P P
的点分布在l 的两侧.用D (l )和D (l )分别表示l 一侧和另一侧的“▲”的点到l 的距
P 1 P 2 P P P
离之和.若过P的直线l 中有且只有一条满足D (l )=D (l ) ，则中所有这样的P为.
P 1 P 2 P上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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【解析】本题考查有向距离，以左下角的顶点为原点建立直角坐标系。四个标记为“▲”的
点的坐标分别为(0,3),(1,0),(4,4),(7,1),设过P点的直线为：axbyc 0,
3bc ac 4a4bc 7abc
此时有向距离d  ，d  ,d  ,d 
1 2 3 4
a2 b2 a2 b2 a2 b2 a2 b2
且由d +d +d +d 12a8b4c 03a2bc 0
1 2 3 4
 2
a b
则 过 P 的 直 线 满 足 4bc0 ; 此 时  3 , 直 线 为 ：
1
  c4b
2 2
 bxby4b0b( x y4)0：
3 3
2
所以此时满足题意的直线为： x y4=0
3
则过P 的直线满足3a2bc0;此时有无数组解，例如：直线x3，直线y 2等都满
2
足题意.
 a0
则过P 的直线满足4a2bc0;此时 ，直线为：by2b0b(y2)0,
3 c2b
所以此时满足题意的直线为： y2=0.
 4
a b
则 过 P 的 直 线 满 足 6a6bc0 ; 此 时  3 , 直 线 为 ：
4
  c2b
4 4
 bxby2b0b( x y2)0：
3 3
4
所以此时满足题意的直线为： x y20
3
【答案】P,P,P
1 3 4上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只
有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小
方格涂黑.
x5y 0，
13.关于x、y的二元一次方程组 的系数行列式D为（）
2x3y 4
0 5 1 0 1 5 6 0
A． B． C． D．
4 3 2 4 2 3 5 4
【答案】C
n
14.在数列  a ，a     1  ,nN,则lima （）.
n n  2 n n
1 1
A．等于 B．等于0C．等于 D．不存在
2 2
【答案】B
15．已知a、b、c为实常数，数列  x 的通项x an2 bnc,nN*，则“存在kN*,
n n
使得x ,x ,x 成等差数列”的一个必要条件是（）
100k 200k 300k
A．a0 B．b0C．c0D．a2bc0
【答案】A
x2 y2 y2
16．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C :  1和C :x2+ 1.P为C 上的
1 36 4 2 9 1
 
动点，Q为C 上的动点，是OPOQ的最大值.记=  P,Q  | P在C 上，Q在C 上，
2 1 2
 

且OPOQ= ，则中（）
A．元素个数为2 B．元素个数为4 C．元素个数为8 D．含有无穷个元
素
【答案】D
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在
答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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如图，直三棱柱ABCABC 的底面为直角三角形，两直角边 AB和AC的长分别为4和
1 1 1
2，侧棱AA 的长为5.
1
（1）求三棱柱ABCABC 的体积；
1 1 1
（2）设M 是BC中点，求直线AM 与平面ABC所成角的大小。
1
1 
【答案】（1）V 

24 520
ABCA 1 B 1 C 1 2 
（2）arctan 5
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
1
已知函数 f  x cos2 xsin2 x ,x 0,.
2
（1）求 f  x 的单调递增区间；
（2）设ABC为锐角三角形，角A所对的边a  19 ，角B所对的边b5.若 f  A 0，
求ABC的面积.
 
【答案】（1）

,

2 
15 3
（2）S 
ABC 4
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
 
根据预测，某地第n nN* 个月共享单车的投放量和损失量分别为a 和b （单位：辆），
n n
5n4 15,1n3,
其中a  b n5.第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累
n 10n470,n4, n
计投放量与累计损失量的差.上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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（1）求该地第4个月底的共享单车的保有量；
（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S 4  n46 2 8800（单位：
n
辆）.设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容
纳量？
【答案】（1）935
14,n1

102,n2


（2）Q 514,n3 ，所以当n42时Q取最大值，为8782

11 919
 n2  n815,n 4
 2 2
此时S 4  4246 2 8800=87368782，所以当Q取最大值时，停放点不
42
能容纳
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）
x2
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆:  y2 1，A为的上顶点，P为上异于上、
4
下顶点的动点.M 为x正半轴上的动点.
（1）若P在第一象限，且 OP  2 ，求P的坐标；
8 3
（2）设P , .若以A、P、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；
5 5
   
（3）若 MA  MP ,直线AQ与交于另一点C，且AQ 2AC，PQ4PM ，求直线AQ
的方程.
2 3 6 
【答案】（1）P , ；
 
 3 3 
29  3 
（2）M  ,0 或M  ,0 或M  1,0 ；
20  5 
5
（3） y  x1
10
解析（3）∵点P是上一动点，设P  2cos,sin，M  t,0 ，t 0，Q  x ,y  ，
q q
C

x ,y
，且A 
0,1
。
c c上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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 sin1
记线段AP中点为点N  x ,y ，则Ncos, 
n n  2 
 4
2cos t

3
x   4t6cos
q 4
 1
   3  3
∵ PQ4PM ， ∴ PQ QM ， ∴  ，
4 4

sin 0
 3
y  3sin
 q 4
 1
 3
Q
 4t6cos,3sin；
     1 3 
又AQ 2AC，∴AC CQ，∴C是AQ中点，∴C2t3cos,  sin

 2 2 
又∵C是上的一点，
 2t3cos2  13sin2
∴  1 2t236tcos3sin 0
4 4
 
∵ MA  MP ，∴MAP为等腰三角形，N 为底边AP中点，∴MN  AP
  sin1 
∵MN  cost,

，AP  2cos,sin1 ，
 2 
  1
∴MNAP 2cos cost   sin1  sin1 0
2
4cos cost cos20cos 4cos4tcos0
（1）若cos0，则P  0,sin，由P不在上顶点可知，sin1，P为下顶点，
sin1，P  0,1 
∴2t2 36t031 0t2 3，无解；
3
（2）cos0，则3cos4t 0t  cos0，∴cos0
4
2
3  3
∴2 cos

36 coscos3sin09sin28sin10
4  4
1 4 5 3 4 5 5
∴sin 或1（舍），∴cos ，∴t   
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1
1
 4 5 1 3 5 5
∴Q , ，∴k   ，∴直线AQ方程 y  x1
  3 3   AQ 4 5 10 10
0 
 3 
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
设定义在R 上的函数 f  x 满足：对于任意的x，x R，当x  x 时，都有
1 2 1 2
f

x

f

x

.
1 2
（1）若 f  x ax31，求a的取值范围；
（2）若 f  x 是周期函数，求证： f  x 是常值函数；
（3）若 f  x 恒大于零.g  x 是定义在R 上的、恒大于零的周期函数，M 是g  x 的最大
值.函数h  x  f  x  g  x ，证明：“h  x 是周期函数”的充要条件是“ f  x 是常值函数”.
【答案】（1）记x  x ，若 f  x  f  x ， f  x ax31
1 2 1 2
则 f  x  f  x a  x3 x3  0，∵x  x ，∴x3 x3 0，∴a0
1 2 1 2 1 2 1 2
（2）若 f  x 是周期函数，记其周期为T ，任取x R，则有 f  x  f  x T 
k 0 0 0 k
又由题意，对任意x x ,x T  , f  x  f  x  f  x T ，∴
0 0 k 0 0 k
f  x  f  x  f  x T 
0 0 k
又∵ f  x  f  x nT  ,nZ，并且
0 0 k
...  x 3T ,x 2T    x 2T ,x T    x T ,x    x ,x T    x T ,x 2T  ... R
0 k 0 k 0 k 0 k 0 k 0 0 0 k 0 k 0 k
所以对任意xR， f  x  f  x C，为常数，证毕。
0
（3）充分性：若 f  x 是常值函数，记 f  x c ，设g  x 的一个周期为T ，则
1 g
h  x c g  x ，则对任意x R，h  x T  c g  x T  c g  x h  x ，故
1 0 0 g 1 0 g 1 0 0
h

x
是周期函数成立。
必要性：若h  x 是周期函数，记其一个周期为T 。集合A  x|g  x m 
h
任取x A，则必存在N N ，使得x N T  x T ，即
0 2 0 2 h 0 g
x T ,x  x N T ,x ，
 
0 g 0 0 2 h 0
...

x 3T ,x 2T  

x 2T ,x T  

x T ,x  

x ,x T  

x T ,x 2T  ... R
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∴
...  x 2N T ,x N T    x N T ,x    x ,x N T    x N T ,x 2N T  ... R
0 2 h 0 2 h 0 2 h 0 0 0 2 h 0 2 h 0 2 h
h  x  g  x  f  x  =h  x N T  g  x N T  f  x N T 
0 0 0 0 2 h 0 2 h 0 2 h
因为g  x M  g  x N T 0， f  x  f  x N T 0，因此若
0 0 2 h 0 0 2 h
h  x h  x N T 
0 0 2 h
必有g  x M  g  x N T ，且 f  x  =f  x N T c，而由第（2）问证明可知
0 0 2 h 0 0 2 h
对任意xR， f  x  f  x C，为常数。必要性证毕。
0