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绝密★启用前
2018 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
4 1
1.行列式 的值为_________.
2 5
x2
2.双曲线 y2 1的渐近线方程为_________.
4
3.在(1x)7的二项展开式中，x2项的系数为_________.（结果用数值表示）
4.设常数aR，函数 f(x)log (xa)。若 f(x)的反函数的图像经过点(3,1)，则
2
a _________.
5.已知复数z满足(1i)z 17i（i是虚数单位），则 z _________.
6.记等差数列{a }的前n项和为S ，若a 0，a a 14，则S _________.
n n 3 6 7 7
1
7.已知2,1, ,1,2,3。若幂函数 f(x) x为奇函数，且在(0,)上递减，则
2
_________.
8.在平面直角坐标系中，已知点 A(1,0)，B(2,0)，E、F 是 y 轴上的两个动点，且
EF 2，则AEBF的最小值为_________.上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个。从中随机
选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是_________.（结果用最简分数表示）
S 1
10.设等比数列{a }的通项公式为a qn1（nN*），前n项和为S 。若 lim n ，
n n n na 2
n1
则q_________.
2x 6 1
11.已知常数 a 0 ，函数 f(x) 的图像经过点 P p, 、 Qq, 。若
2x ax 5 5
2pq 36pq，则a _________.
1
12.已知实数x 、 x 、 y 、 y 满足：x2 y2 1， x 2 y 2 1， x x y y ，则
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2
x y 1 x y 1
1 1 2 2 的最大值为_________.
2 2
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）
x2 y2
13.设P是椭圆 1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）
5 3
（A）2 2 （B）2 3（C）2 5（D）4 2
1
14.已知aR，则“a1”是“ 1”的（）
a
（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件
（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件
15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为
阳马。设AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图。若阳马以该正六棱柱
1上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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的顶点为顶点、以AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）
1
（A）4（B）8（C）12（D）16
16.设D是含数1的有限实数集，f(x)是定义在D上的函数。若 f(x)的图像绕原点逆时针
旋转 后与原图像重合，则在以下各项中， f(1)的可能取值只能是（）
6
3 3
（A） 3（B） （C） （D）0
2 3
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2.
（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
（2）设PO4，OA、OB是底面半径，且AOB 90，M 为线段AB的中点，如图，
求异面直线PM 与OB所成的角的大小。
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
设常数aR，函数 f(x)asin2x2cos2x 。
（1）若 f(x)为偶函数，求a的值；
（2）若 f( ) 31，求方程 f(x)1 2在区间[,]上的解。
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19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时。某地上班
族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤。分析显示：当S 中x%（0 x100）的成员自
驾时，自驾群体的人均通勤时间为
30, 0 x30,
f(x) 1800 （单位：分钟）
2x 90, 30 x100
x
而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟。试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式；讨论g(x)的单调性，并说明其
实际意义。上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
设常数t 2，在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2,0)，直线l：xt，曲线
:y2 8x（0 xt，y0），l与x轴交于点A，与交于点B。P、Q分别是曲线
与线段AB上的动点。
（1）用t表示点B到点F 的距离；
（2）设t 3， FQ 2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；
（3）设t 8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上？若存在，
求点P的坐标；若不存在，说明理由。上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
给定无穷数列{a }，若无穷数列{b }满足：对任意nN*，都有 b a 1，则称{b }与
n n n n n
{a }“接近”。
n
1
（1）设{a }是首项为1，公比为 的等比数列，b a 1，nN*。判断数列{b }是
n 2 n n1 n
否与{a }接近，并说明理由；
n
（2）设数列{a }的前四项为：a 1，a 2，a 4，a 8，{b }是一个与{a }接近
n 1 2 3 4 n n
的数列，记集合M {x|x b,i 1,2,3,4}，求M 中元素的个数m；
i
（3）已知{a }是公差为d 的等差数列。若存在数列{b }满足：{b }与{a }接近，且在
n n n n
b b ，b b ，…，b b 中至少有100个为正数，求d 的取值范围。
2 1 3 2 201 200上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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年上海市高考数学试卷
2018
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有 12题，满分 54分，第1~6题每题 4 分，第 7~12题每
题5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1．（4 分）（2018•上海）行列式 的值为 18 ．
【考点】OM：二阶行列式的定义．
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【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5R ：矩阵和变换．
【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．
【解答】解：行列式 =4×5﹣2×1=18．
故答案为：18．
【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．
2．（4 分）（2018•上海）双曲线 ﹣y2=1的渐近线方程为 ± ．
【考点】KC：双曲线的性质．
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【专题】11 ：计算题．
【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最
后确定双曲线的渐近线方程．
【解答】解：∵双曲线 的a=2，b=1，焦点在x 轴上
而双曲线 的渐近线方程为y=±
∴双曲线 的渐近线方程为y=±
故答案为：y=±
【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐
近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想
3．（4分）（2018•上海）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为 21 （结上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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果用数值表示）．
【考点】DA：二项式定理．
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【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5P ：二项式定理．
【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．
【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为
T = •xr，
r+1
令r=2，得展开式中x2的系数为 =21．
故答案为：21．
【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．
4．（4 分）（2018•上海）设常数a R，函数f（x）=1og （x+a）．若f（x）的反函
2
数的图象经过点（3，1），则a= ∈7 ．
【考点】4R：反函数．
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【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．
【分析】由反函数的性质得函数 f（x）=1og （x+a）的图象经过点（1，3），由
2
此能求出a．
【解答】解：∵常数a R，函数f（x）=1og （x+a）．
2
f（x）的反函数的图象
∈
经过点（3，1），
∴函数f（x）=1og （x+a）的图象经过点（1，3），
2
∴log （1+a）=3，
2
解得a=7．
故答案为：7．
【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能
力，考查函数与方程思想，是基础题．
5．（4 分）（2018•上海）已知复数z 满足（1+i）z=1﹣7i（i 是虚数单位），则|z|=
5 ．
【考点】A8：复数的模．
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【专题】38 ：对应思想；4A ：数学模型法；5N ：数系的扩充和复数．上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求
模公式计算得答案．
【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i，
得 ，
则|z|= ．
故答案为：5．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．
6．（4 分）（2018•上海）记等差数列{a }的前 n 项和为 S ，若 a =0，a +a =14，
n n 3 6 7
则S = 14 ．
7
【考点】85：等差数列的前n 项和．
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【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数
列．
【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a =﹣4，d=2，由此能求出S ．
1 7
【解答】解：∵等差数列{a }的前n项和为S ，a =0，a +a =14，
n n 3 6 7
∴ ，
解得a =﹣4，d=2，
1
∴S =7a + =﹣28+42=14．
7 1
故答案为：14．
【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，
考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
7．（5 分）（2018•上海）已知α {﹣2，﹣1，﹣ ，1，2，3}，若幂函数 f
（x）=xα为奇函数，且在（0，+∈∞）上递减，则α= ﹣1 ．
【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
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【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．
【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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且a＜0，由此能求出a 的值．
【解答】解：∵α {﹣2，﹣1， ，1，2，3}，
幂函数f（x）=xα为∈奇函数，且在（0，+∞）上递减，
∴a是奇数，且a＜0，
∴a=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解
能力，考查函数与方程思想，是基础题．
8．（5分）（2018•上海）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），
E、F 是y轴上的两个动点，且| |=2，则 的最小值为 ﹣3 ．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．
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【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；41 ：向量法；5A ：平面向量及应用．
【分析】据题意可设 E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即 a=b+2，或
b=a+2，并可求得 ，将 a=b+2 带入上式即可求出 的最小值，
同理将b=a+2 带入，也可求出 的最小值．
【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；
∴ ；
∴a=b+2，或b=a+2；
且 ；
∴ ；
当a=b+2 时， ；
∵b2+2b﹣2 的最小值为 ；
∴ 的最小值为﹣3，同理求出 b=a+2时， 的最小值为﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．
9．（5 分）（2018•上海）有编号互不相同的五个砝码，其中 5 克、3 克、1 克砝
码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9 克的
概率是 （结果用最简分数表示）．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．
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【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．
【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9 克的事件总数，然后
求解概率即可．
【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中 5 克、3 克、1 克砝码各一个，2
克砝码两个，
从中随机选取三个，3个数中含有1 个2；2个2，没有2，3 种情况，
所有的事件总数为： =10，
这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2 两个，
所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是： = ，
故答案为： ．
【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．
10．（5 分）（2018•上海）设等比数列{a }的通项公式为 a =qn﹣1（n N*），前 n
n n
∈
项和为S ．若 = ，则 q= 3 ．
n
【考点】8J：数列的极限．
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【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；35 ：转化思想；49 ：综合法；55 ：
点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解
公比即可．
【解答】解：等比数列{a }的通项公式为a =qn﹣1（n N*），可得a =1，
n 1
∈上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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因为 = ，所以数列的公比不是1，
，a =qn．
n+1
可得 = = = = ，
可得q=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的
简单性质的应用，是基本知识的考查．
11．（5 分）（2018•上海）已知常数a＞0，函数f（x）= 的图象经过点P（p，
），Q（q， ）．若2p+q=36pq，则a= 6 ．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．
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【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用．
【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．
【解答】解：函数f（x）= 的图象经过点P（p， ），Q（q， ）．
则： ，
整理得： =1，
解得：2p+q=a2pq，
由于：2p+q=36pq，
所以：a2=36，
由于a＞0，
故：a=6．上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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故答案为：6
【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．
12．（5 分）（2018•上海）已知实数 x 、x 、y 、y 满足：x 2+y 2=1，x 2+y 2=1，
1 2 1 2 1 1 2 2
x x +y y = ，则 + 的最大值为 + ．
1 2 1 2
【考点】7F：基本不等式及其应用；IT：点到直线的距离公式．
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【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；59 ：不等式的解法及应用．
【分析】设A（x ，y ），B（x ，y ）， =（x ，y ）， =（x ，y ），由圆的方程
1 1 2 2 1 1 2 2
和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形 OAB 为等边三角形，AB=1，
+ 的几何意义为点 A，B 两点到直线 x+y﹣1=0 的距离 d
1
与d 之和，由两平行线的距离可得所求最大值．
2
【解答】解：设A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
=（x ，y ）， =（x ，y ），
1 1 2 2
由x 2+y 2=1，x 2+y 2=1，x x +y y = ，
1 1 2 2 1 2 1 2
可得A，B 两点在圆x2+y2=1 上，
且 • =1×1×cos∠AOB= ，
即有∠AOB=60°，
即三角形OAB为等边三角形，
AB=1，
+ 的几何意义为点A，B两点
到直线x+y﹣1=0 的距离d 与d 之和，
1 2
显然A，B 在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1 平行，
可设AB：x+y+t=0，（t＞0），
由圆心O到直线AB的距离d= ，上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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可得2 =1，解得t= ，
即有两平行线的距离为 = ，
即 + 的最大值为 + ，
故答案为： + ．
【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点
与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20分，每题 5 分）每题有且只有一个正确
选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13．（5 分）（2018•上海）设P 是椭圆 =1上的动点，则P 到该椭圆的两个
焦点的距离之和为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
【考点】K4：椭圆的性质．
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【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转
化求解即可．
【解答】解：椭圆 =1的焦点坐标在x 轴，a= ，
P 是椭圆 =1 上的动点，由椭圆的定义可知：则 P 到该椭圆的两个焦点的
距离之和为2a=2 ．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考
查．上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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14．（5 分）（2018•上海）已知a R，则“a＞1”是“ ＜1”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充∈分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．
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【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．
【分析】“a＞1” “ ”，“ ” “a＞1 或a＜0”，由此能求出结果．
⇒ ⇒
【解答】解：a R，则“a＞1” “ ”，
∈ ⇒
“ ” “a＞1 或a＜0”，
⇒
∴“a＞1”是“ ”的充分非必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，
考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
15．（5 分）（2018•上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面
的四棱锥为阳马，设AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的
1
顶点为顶点、以AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）
1
A．4 B．8 C．12 D．16
【考点】D8：排列、组合的实际应用．
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【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；5O ：排列组合．
【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．
【解答】解：根据正六边形的性质，则 D ﹣A ABB ，D ﹣A AFF 满足题意，而
1 1 1 1 1 1
C ，E ，C，D，E，和D 一样，有 2×6=12，
1 1 1
当A ACC 为底面矩形，有2 个满足题意，
1 1上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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当A AEE 为底面矩形，有2个满足题意，
1 1
故有12+2+2=16
故选：D．
【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中
档题．
16．（5 分）（2018•上海）设 D 是含数 1 的有限实数集，f（x）是定义在 D 上的
函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转 后与原图象重合，则在以下各项中，
f（1）的可能取值只能是（ ）
A． B． C． D．0
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．
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【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；56 ：三角函数的求值．
【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．
【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由 12 个点为一组，每次绕原点逆时
针旋转 个单位后与下一个点会重合．
我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）= ， ，0 时，此时得到的圆心角为
， ，0，然而此时x=0 或者x=1 时，都有2个y 与之对应，而我们知道函数
的定义就是要求一个x 只能对应一个y，因此只有当 x= ，此时旋转 ，此时
满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76分）解答下列各题必须在答题纸的相应
位置写出必要的步骤.
17．（14分）（2018•上海）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．
（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
（2）设PO=4，OA、OB 是底面半径，且∠AOB=90°，M 为线段AB的中点，如图．求
异面直线PM与OB所成的角的大小．
【考点】LM：异面直线及其所成的角；L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：
棱柱、棱锥、棱台的体积．
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【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；41 ：向量法；5F ：空间位置关系与距
离；5G ：空间角．
【分析】（1）由圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O，半径为 2，圆锥的母线长为 4
能求出圆锥的体积．
（2）以O 为原点，OA 为x轴，OB 为y轴，OP 为z轴，建立空间直角坐标系，
利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角．
【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O，半径为 2，圆锥的母线长
为4，
∴圆锥的体积V= =
= ．
（2）∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，
M为线段AB的中点，
∴以O为原点，OA 为x轴，OB 为y轴，OP 为z轴，
建立空间直角坐标系，
P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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M（1，1，0），O（0，0，0），
=（1，1，﹣4）， =（0，2，0），
设异面直线PM与OB所成的角为θ，
则cosθ= = = ．
∴θ=arccos ．
∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos ．
【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考
查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查
函数与方程思想，是基础题．
18．（14分）（2018•上海）设常数a R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．
（1）若f（x）为偶函数，求a 的值；
∈
（2）若f（ ）= +1，求方程 f（x）=1﹣ 在区间[﹣π，π]上的解．
【考点】GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数．
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【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；58 ：解三角形．
【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，
（2）先求出a 的值，再根据三角形函数的性质即可求出．
【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，
∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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∵f（x）为偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），
∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，
∴2asin2x=0，
∴a=0；
（2）∵f（ ）= +1，
∴asin +2cos2（ ）=a+1= +1，
∴a= ，
∴f（x）= sin2x+2cos2x= sin2x+cos2x+1=2sin（2x+ ）+1，
∵f（x）=1﹣ ，
∴2sin（2x+ ）+1=1﹣ ，
∴sin（2x+ ）=﹣ ，
∴2x+ =﹣ +2kπ，或2x+ = π+2kπ，k Z，
∈
∴x=﹣ π+kπ，或x= π+kπ，k Z，
∵x [﹣π，π]， ∈
∴x∈= 或x= 或x=﹣ 或x=﹣
【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．
19．（14分）（2018•上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从
居住地到工作地的平均用时．某地上班族 S 中的成员仅以自驾或公交方式通
勤．分析显示：当S 中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时
间为
f（x）= （单位：分钟），
而公交群体的人均通勤时间不受 x影响，恒为 40 分钟，试根据上述分析结果回
答下列问题：
（1）当 x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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时间？
（2）求该地上班族S 的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，
并说明其实际意义．
【考点】5B：分段函数的应用．
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【专题】12 ：应用题；33 ：函数思想；4C ：分类法；51 ：函数的性质及应用．
【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40 时x的取值范围即可；
（2）分段求出g（x）的解析式，判断 g（x）的单调性，再说明其实际意义．
【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，
f（x）=2x+ ﹣90＞40，
即x2﹣65x+900＞0，
解得x＜20 或x＞45，
∴x （45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；
（2∈ ）当0＜x≤30时，
g（x）=30•x%+40（1﹣x%）=40﹣ ；
当30＜x＜100 时，
g（x）=（2x+ ﹣90）•x%+40（1﹣x%）= ﹣ x+58；
∴g（x）= ；
当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；
当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；
说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；
有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；
当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．
【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决
问题的能力．
20．（16分）（2018•上海）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F（2，
0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l 与x轴交于点A、与Γ交于点上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．
（1）用t 表示点B到点F 的距离；
（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ 的中点在直线FP上，求△AQP 的面积；
（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E 在Γ上？若存在，
求点P的坐标；若不存在，说明理由．
【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．
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【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）方法一：设B 点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；
方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；
（2）根据抛物线的性质，求得 Q 点坐标，即可求得 OD 的中点坐标，即可求得
直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P 点坐标，即可求得△AQP 的面积；
（3）设 P 及E 点坐标，根据直线 k •k =﹣1，求得直线 QF 的方程，求得 Q 点
PF FQ
坐标，根据 + = ，求得E 点坐标，则（ ）2=8（ +6），即可求得 P
点坐标．
【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2 t），
则|BF|= =t+2，
∴|BF|=t+2；
方法二：由题意可知：设B（t，2 t），
由抛物线的性质可知：|BF|=t+ =t+2，∴|BF|=t+2；
（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，
∴|AQ|= ，∴Q（3， ），设OQ的中点D，
D（ ， ），
k = =﹣ ，则直线PF 方程：y=﹣ （x﹣2），
QF
联立 ，整理得：3x2﹣20x+12=0，上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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解得：x= ，x=6（舍去），
∴△AQP的面积S= × × = ；
（3）存在，设P（ ，y），E（ ，m），则k = = ，k = ，
PF FQ
直线QF 方程为y= （x﹣2），∴y = （8﹣2）= ，Q（8， ），
Q
根据 + = ，则E（ +6， ），
∴（ ）2=8（ +6），解得：y2= ，
∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E 在Γ上，且P（ ， ）．
【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计
算能力，属于中档题．
21．（18 分）（2018•上海）给定无穷数列{a }，若无穷数列{b }满足：对任意 n
n n
N*，都有|b ﹣a |≤1，则称{b }与{a }“接近”．
n n n n
∈（1）设{a }是首项为1，公比为 的等比数列，b =a +1，n N*，判断数列{b }
n n n+1 n
∈上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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是否与{a }接近，并说明理由；
n
（2）设数列{a }的前四项为：a =1，a =2，a =4，a =8，{b }是一个与{a }接近
n 1 2 3 4 n n
的数列，记集合M={x|x=b，i=1，2，3，4}，求M 中元素的个数m；
i
（3）已知{a }是公差为d 的等差数列，若存在数列{b }满足：{b }与{a }接近，
n n n n
且在b ﹣b ，b ﹣b ，…，b ﹣b 中至少有100 个为正数，求d的取值范围．
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【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．
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【专题】34 ：方程思想；48 ：分析法；54 ：等差数列与等比数列．
【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；
（2）由新定义可得a ﹣1≤b ≤a +1，求得b，i=1，2，3，4 的范围，即可得到
n n n i
所求个数；
（3）运用等差数列的通项公式可得 a ，讨论公差 d＞0，d=0，﹣2＜d＜0，d≤
n
﹣2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围．
【解答】解：（1）数列{b }与{a }接近．
n n
理由：{a }是首项为1，公比为 的等比数列，
n
可得a = ，b =a +1= +1，
n n n+1
则|b ﹣a |=| +1﹣ |=1﹣ ＜1，n N*，
n n
∈
可得数列{b }与{a }接近；
n n
（2）{b }是一个与{a }接近的数列，
n n
可得a ﹣1≤b ≤a +1，
n n n
数列{a }的前四项为：a =1，a =2，a =4，a =8，
n 1 2 3 4
可得b [0，2]，b [1，3]，b [3，5]，b [7，9]，
1 2 3 4
可能b
1∈
与b
2
相等，b∈2 与b
3
相等，
∈
但b
1
与b
3
不
∈
相等，b
4
与b
3
不相等，
集合M={x|x=b，i=1，2，3，4}，
i
M中元素的个数m=3 或4；
（3）{a }是公差为d 的等差数列，若存在数列{b }满足：{b }与{a }接近，
n n n n
可得a =a +（n﹣1）d，
n 1
①若d＞0，取b =a ，可得b ﹣b =a ﹣a =d＞0，
n n n+1 n n+1 n
则b ﹣b ，b ﹣b ，…，b ﹣b 中有200 个正数，符合题意；
2 1 3 2 201 200上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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②若d=0，取b =a ﹣ ，则|b ﹣a |=|a ﹣ ﹣a |= ＜1，n N*，
n 1 n n 1 1
∈
可得b ﹣b = ﹣ ＞0，
n+1 n
则b ﹣b ，b ﹣b ，…，b ﹣b 中有200 个正数，符合题意；
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③若﹣2＜d＜0，可令b =a ﹣1，b =a +1，
2n﹣1 2n﹣1 2n 2n
则b ﹣b =a +1﹣（a ﹣1）=2+d＞0，
2n 2n﹣1 2n 2n﹣1
则b ﹣b ，b ﹣b ，…，b ﹣b 中恰有100 个正数，符合题意；
2 1 3 2 201 200
④若d≤﹣2，若存在数列{b }满足：{b }与{a }接近，
n n n
即为a ﹣1≤b ≤a +1，a ﹣1≤b ≤a +1，
n n n n+1 n+1 n+1
可得b ﹣b ≤a +1﹣（a ﹣1）=2+d≤0，
n+1 n n+1 n
b ﹣b ，b ﹣b ，…，b ﹣b 中无正数，不符合题意．
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综上可得，d的范围是（﹣2，+∞）．
【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义
和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难
题．
