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2018 年上海市黄浦区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】
1．（4分）下列实数中，介于 与 之间的是（ ）
A． B． C． D．π
2．（4分）下列方程中没有实数根的是（ ）
A．x2+x﹣1=0 B．x2+x+1=0 C．x2﹣1=0 D．x2+x=0
3．（4分）一个反比例函数与一个一次函数在同一坐标平面内的图象如图示，如果
其中的反比例函数解析式为y= ，那么该一次函数可能的解析式是（ ）
A．y=kx+k B．y=kx﹣k C．y=﹣kx+k D．y=﹣kx﹣k
4．（4分）一个民营企业10名员工的月平均工资如下表，则能较好反映这些员工
月平均工资水平的是（ ）（工资单位：万元）
人次 1 1 1 2 1 1 3
工资 30 3 2 1.5 1.2 2 0.8
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．标准差
5．（4分）计算： + =（ ）
A． B． C． D．0
6．（4分）下列命题中，假命题是（ ）
A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直
于这条弦
B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这
第1页（共27页）条弦
C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并
且垂直于这条弦
D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的
弧
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算： = ．
8．（4分）因式分解：x2﹣x﹣12= ．
9．（4分）方程x+1= 的解是 ．
10．（4分）不等式组 的解集是 ．
11．（4分）已知点P位于第三象限内，且点P到两坐标轴的距离分别为2和4，若
反比例函数图象经过点P，则该反比例函数的解析式为 ．
12．（4分）如果一次函数的图象经过第一、二、四象限，那么其函数值y随自变量
x的值的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
13．（4分）女生小琳所在班级共有40名学生，其中女生占60%．现学校组织部分
女生去市三女中参观，需要从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参
加，那么小琳被抽到的概率是 ．
14．（4分）已知平行四边形相邻两个内角相差40°，则该平行四边形中较小内角的
度数是 ．
15．（4分）半径为1的圆的内接正三角形的边长为 ．
16．（4分）如图，点D、E分别为△ABC边CA、CB上的点，已知DE∥AB，且DE经过
△ABC的重心，设 = ， = ，则 = ．（用 、 表示）
17．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AC=26，BD=24，M、N分别
第2页（共27页）是AC、BD的中点，则线段MN的长为 ．
18．（4分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，使点B翻折到点E处，如果DE：
AC=1：3，那么AD：AB= ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：（22+23） +（ ﹣2018）0﹣|3﹣2 |．
20．（10分）解方程组： ．
21．（10分）如图，AH是△ABC的高，D是边AB上一点，CD与AH交于点E．已知
AB=AC=6，cosB= ，AD：DB=1：2．
（1）求△ABC的面积；
（2）求CE：DE．
22．（10分）今年1月25日，上海地区下了一场大雪．这天早上王大爷去买菜，他
第3页（共27页）先去了超市，发现蔬菜普遍涨价了，青菜、花菜和大白菜这两天的价格如下表
王大爷觉得超市的菜不够新鲜，所以他又去了菜市场，他花了30元买了一些
新鲜菠菜，他跟卖菜阿姨说：“你今天的菠菜比昨天涨了5元/斤．”卖菜阿姨
说：“下雪天从地里弄菜不容易啊．所以你花这些钱要比昨天少买1斤了”．
王大爷回答道：“应该的，你们也真的辛苦．”
青菜 花菜 大白菜
1月24日 2元/斤 5元/斤 1元/斤
1月25日 2.5元/斤 7元/斤 1.5元/斤
（1）请问超市三种蔬菜中哪种涨幅最大？并计算其涨幅；
（2）请你根据王大爷和卖菜阿姨的对话，来算算，这天王大爷买了几斤菠菜？
23．（12分）如图，点E、F分别为菱形ABCD边AD、CD的中点．
（1）求证：BE=BF；
（2）当△BEF为等边三角形时，求证：∠D=2∠A．
24．（12分）已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（1，0）和B（0，3），其顶点为D．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）求△ABD的面积；
（3）设P为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作PH⊥对称轴，垂足为
H，若△DPH与△AOB相似，求点P的坐标．
第4页（共27页）25．（14分）如图，四边形ABCD中，∠BCD=∠D=90°，E是边AB的中点．已知
AD=1，AB=2．
（1）设BC=x，CD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）当∠B=70°时，求∠AEC的度数；
（3）当△ACE为直角三角形时，求边BC的长．
第5页（共27页）2018 年上海市黄浦区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】
1．（4分）下列实数中，介于 与 之间的是（ ）
A． B． C． D．π
【考点】18：有理数大小比较；22：算术平方根．
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【专题】1：常规题型．
【分析】依据开方数越大对应的算术平方根越大求解即可．
【解答】解：∵ ＜ ＜ ＜ ＜π＜ ，
∴介于 与 之间的是 ．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，掌握估算无理数大小的方法是解
题的关键．
2．（4分）下列方程中没有实数根的是（ ）
A．x2+x﹣1=0 B．x2+x+1=0 C．x2﹣1=0 D．x2+x=0
【考点】AA：根的判别式．
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【专题】1：常规题型；523：一元二次方程及应用．
【分析】逐项计算方程根的判别式，进行判断即可．
【解答】解：
在x2+x﹣1=0中，△=12﹣4×（﹣1）=5＞0，故该方程有两个不相等的实数根，故A
不正确；
在x2+x+1=0中，△=12﹣4×1=﹣3＜0，故该方程没有实数根，故B正确；
在x2﹣1=0中，△=0﹣4×（﹣1）=4＞0，故该方程有两个不相等的实数根，故C不
正确；
在x2+x=0中，△=12﹣4×0=1＞0，故该方程有两个不相等的实数根，故D不正确；
第6页（共27页）故选：B．
【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别
式的关系是解题的关键．
3．（4分）一个反比例函数与一个一次函数在同一坐标平面内的图象如图示，如果
其中的反比例函数解析式为y= ，那么该一次函数可能的解析式是（ ）
A．y=kx+k B．y=kx﹣k C．y=﹣kx+k D．y=﹣kx﹣k
【考点】F3：一次函数的图象；FA：待定系数法求一次函数解析式；G2：反比例函数
的图象．
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【专题】1：常规题型．
【分析】首先判断k的符号进而分析得出一次函数各部分符号，进而得出答案．
【解答】解：由反比例函数图象分布在二、四象限，可得：k＜0，
由一次函数的图象经过第一、二、四象限，可得：一次项系数为负数，常数项为正
数，
故只有B选项正确．
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象以及一次函数的图象，正确得出k的符
号是解题关键．
4．（4分）一个民营企业10名员工的月平均工资如下表，则能较好反映这些员工
月平均工资水平的是（ ）（工资单位：万元）
人次 1 1 1 2 1 1 3
工资 30 3 2 1.5 1.2 2 0.8
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．标准差
【考点】W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数；W8：标准差．
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第7页（共27页）【专题】1：常规题型．
【分析】分别利用平均数以及中位数和众数的定义求法和标准差的意义分别分析
得出答案．
【解答】解：平均数为：（30+3+2+1.5×2+1.2+2+0.8×3）÷10=4.48（万元），
中位数是：（1.5+1.2）÷2=1.35（万元），
众数是：0.8万元，
标准差反映的是数据的波动大小，无法反映这些员工月平均工资水平，
只有中位数1.35万元，能够较好反映这些员工月平均工资水平．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平均数以及中位数和众数的定义求法和标准差的意义，
正确把握相关定义是解题关键．
5．（4分）计算： + =（ ）
A． B． C． D．0
【考点】LM：*平面向量．
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【专题】5：特定专题．
【分析】根据零向量的定义即可判断．
【解答】解：∵ + = ，
故选：C．
【点评】本题考查平面向量、零向量的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知
识，属于中考常考题型．
6．（4分）下列命题中，假命题是（ ）
A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直
于这条弦
B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这
条弦
C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并
且垂直于这条弦
D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的
弧
第8页（共27页）【考点】O1：命题与定理．
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【专题】55：几何图形．
【分析】利用垂径定理及其推论逐个判断即可求得答案．
【解答】解：A、如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，
并且垂直于这条弦，正确，是真命题；
B、如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条
弦，正确，是真命题；
C、如果一条直线经过圆心，并且平分非直径的弦，那么该直线平分这条弦所对的
弧，并且垂直于这条弦，故C是假命题；
D、如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧，
正确，是真命题；
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理及其推论，对于一个圆和一条直线来说如果一条直
线具备下列，①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所
对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备其他
三个．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算： = ．
【考点】76：分母有理化．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据 ﹣1的有理化因式为 +1，进行计算即可．
【解答】解：原式= ，
= +1，
故答案为 +1．
【点评】主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式
有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化
因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号
相反绝对值相同．
8．（4分）因式分解：x2﹣x﹣12= （ x﹣4 ）（ x + 3 ） ．
第9页（共27页）【考点】57：因式分解﹣十字相乘法等．
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【分析】根据所给多项式的系数特点，可以用十字相乘法进行因式分解．
【解答】解：x2﹣x﹣12=（x﹣4）（x+3）．
【点评】本题考查十字相乘法分解因式，十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘
等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数．
9．（4分）方程x+1= 的解是 x=2 ．
【考点】AG：无理方程．
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【专题】11：计算题；511：实数．
【分析】无理方程两边平方转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检
验即可得到无理方程的解．
【解答】解：两边平方得：（x+1）2=2x+5，即x2=4，
开方得：x=2或x=﹣2，
经检验x=﹣2是增根，无理方程的解为x=2．
故答案为：x=2
【点评】此题考查了无理方程，利用了转化的思想，解无理方程注意要验根．
10．（4分）不等式组 的解集是 ＜ x ≤ 6 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【专题】1：常规题型．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：
由不等式①得，x＞ ；
由不等式②得，x≤6，
∴此不等式组的解集为： ＜x≤6．
故答案为： ＜x≤6．
第10页（共27页）【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小
大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
11．（4分）已知点P位于第三象限内，且点P到两坐标轴的距离分别为2和4，若
反比例函数图象经过点P，则该反比例函数的解析式为 y = ．
【考点】G4：反比例函数的性质；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；G7：待定系
数法求反比例函数解析式．
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【专题】1：常规题型．
【分析】直接利用已知得出P点坐标，再利用反比例函数解析式求法得出答案．
【解答】解：∵点P位于第三象限内，且点P到两坐标轴的距离分别为2和4，
∴P点坐标为：（﹣2，﹣4）或（﹣4，﹣2），
则该反比例函数的解析式为：y= ．
故答案为：y= ．
【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及点的坐标特点，正
确得出P点坐标是解题关键．
12．（4分）如果一次函数的图象经过第一、二、四象限，那么其函数值y随自变量
x的值的增大而 减小 ．（填“增大”或“减小”）
【考点】F5：一次函数的性质．
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【专题】533：一次函数及其应用．
【分析】由一次函数图象经过的象限可得出k＜0、b＞0，再利用一次函数的性质可
得出y随x的增大而减小，此题得解．
【解答】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
∴y随x的增大而减小．
故答案为：减小．
【点评】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，牢记“当k
＜0，b＞0时 直线y=kx+b经过第一、二、四象限”是解题的关键．
13．（4分）女生小琳所在班级共有40名学生，其中女生占60%．现学校组织部分
⇔
女生去市三女中参观，需要从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参
第11页（共27页）加，那么小琳被抽到的概率是 ．
【考点】X4：概率公式．
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【专题】1：常规题型；543：概率及其应用．
【分析】先求出小琳所在班级的女生人数，再根据概率公式计算可得．
【解答】解：∵小琳所在班级的女生共有40×60%=24人，
∴从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，小琳被抽到的概率是 ，
故答案为：
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情
况数之比．
14．（4分）已知平行四边形相邻两个内角相差40°，则该平行四边形中较小内角的
度数是 70 ° ．
【考点】L5：平行四边形的性质．
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【专题】55：几何图形．
【分析】由平行四边形的性质得出∠B+∠C=180°，由已知条件得出∠C﹣∠B=40°，
解答即可．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠C﹣∠B=40°，
解得：∠B=70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性
质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
15．（4分）半径为1的圆的内接正三角形的边长为 ．
第12页（共27页）【考点】MM：正多边形和圆．
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【分析】欲求△ABC的边长，把△ABC中BC边当弦，作BC的垂线，在Rt△BOD中，
求BD的长；根据垂径定理知：BC=2BD，从而求正三角形的边长．
【解答】解：如图所示．
在Rt△BOD中，OB=1，∠OBD=30°，
∴BD=cos30°×OB= ×1= ．
∵BD=CD，
∴BC=2BD=2× = ．
故它的内接正三角形的边长为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了正三角形和外接圆，要知道圆心既是内心也是外心，所以BO
平分∠ABC，根据等边三角形的性质与圆的性质相结合，得出结论．
16．（4分）如图，点D、E分别为△ABC边CA、CB上的点，已知DE∥AB，且DE经过
△ABC的重心，设 = ， = ，则 = （ ﹣ ） ．（用 、 表示）
【考点】K5：三角形的重心；LM：*平面向量．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据三角形的重心的性质得到DE= AB，根据题意求出AB的向量，计算即
可．
第13页（共27页）【解答】解：∵DE∥AB，DE经过△ABC的重心，
∴DE= AB，
∵ = ， = ，
∴ = ﹣ ，
∴ = （ ﹣ ），
故答案为： （ ﹣ ）．
【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、平行向量的知识，掌握重心到
顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
17．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AC=26，BD=24，M、N分别
是AC、BD的中点，则线段MN的长为 5 ．
【考点】KP：直角三角形斜边上的中线．
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【专题】55：几何图形．
【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到BM=DM=5，根
据等腰三角形的性质得到BN=4，根据勾股定理得到答案．
【解答】解：连接BM、DM，
第14页（共27页）∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，
∴BM= AC，DM= AC，
∴BM=DM=13，又N是BD的中点，
∴BN=DN= BD=12，
∴MN= =5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形
中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
18．（4分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，使点B翻折到点E处，如果DE：
AC=1：3，那么AD：AB= ．
【考点】LB：矩形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据翻折的性质可得∠BCA=∠ECA，再根据矩形的对边平行可得AD∥BC，
根据两直线平行，内错角相等可得∠DAC=∠BCA，从而得到∠ECA=∠DAC，设
AD与CE相交于F，根据等角对等边的性质可得AF=CF，再求出DF=EF，从而得
到△ACF和△DEF相似，根据相似三角形对应边成比例求出 = = = ，设
DF=x，则AF=FC=3x，在Rt△CDF中，利用勾股定理列式求出CD，再根据矩形的
对边相等求出AB，然后代入进行计算即可得解．
【解答】解：∵矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，
∴∠BCA=∠ECA，AE=AB=CD，EC=BC=AD，
∵矩形ABCD的对边AD∥BC，
第15页（共27页）∴∠DAC=∠BCA，
∴∠ECA=∠DAC，
设AD与CE相交于F，则AF=CF，
∴AD﹣AF=CE﹣CF，即DF=EF，
∴ = ，
又∵∠AFC=∠DFE，
∴△ACF∽△DEF，
∴ = = = ，
设DF=x，则AF=FC=3x，
在Rt△CDF中，CD= =2 x，
又∵BC=AD=AF+DF=4x，
∴ = = ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，平行线的性质，等角对等
边的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，综合性较强，但难度不
大，熟记各性质是解题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：（22+23） +（ ﹣2018）0﹣|3﹣2 |．
【考点】2C：实数的运算；2F：分数指数幂；6E：零指数幂．
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【专题】1：常规题型．
【分析】本题涉及零指数幂、分数指数幂、绝对值3个考点．在计算时，需要针对每
第16页（共27页）个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式= +1﹣（2 ﹣3），
=2 +1﹣2 +3，
=4．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．
解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值
等考点的运算．
20．（10分）解方程组： ．
【考点】AF：高次方程．
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【专题】1：常规题型．
【分析】变形方程组中的①，得两个一元一次方程，与组中的②联立得方程组，求
解方程组即可．
【解答】解：
由①得，（x﹣y）2=9
所以x﹣y=3③，x﹣y=﹣3④
③②与④②联立得： ，
解方程组 ，得 ， ；
解方程组 ，得， ， ．
所以原方程组的解为： ， ， ， ．
【点评】本题考查了二元二次方程组的解法，由两个二元二次方程组成的方程组，
通常采用变形组中的一个二次方程为两个一元一次方程用代入法求解．
21．（10分）如图，AH是△ABC的高，D是边AB上一点，CD与AH交于点E．已知
第17页（共27页）AB=AC=6，cosB= ，AD：DB=1：2．
（1）求△ABC的面积；
（2）求CE：DE．
【考点】T7：解直角三角形．
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【专题】55：几何图形．
【分析】（1）根据题意和锐角三角函数可以求得BH和AH的长，从而可以求得
△ABC的面积；
（2）根据三角形的相似和题意可以求得CE：DE的值．
【解答】解：（1）∵AB=AC=6，cosB= ，AH是△ABC的高，
∴BH=4，
∴BC=2BH=8，AH= ，
∴△ABC的面积是； = =8 ；
（2）作DF⊥BC于点F，
∵DF⊥BH，AH⊥BH，
∴DF∥AH，
∴ ， ，
∵AD：DB=1：2，BH=CH，
∴AD：AB=1：3，
∴ ，
∴ ，
即CE：DE=3：1．
第18页（共27页）【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要
的条件，利用数形结合的思想解答．
22．（10分）今年1月25日，上海地区下了一场大雪．这天早上王大爷去买菜，他
先去了超市，发现蔬菜普遍涨价了，青菜、花菜和大白菜这两天的价格如下表
王大爷觉得超市的菜不够新鲜，所以他又去了菜市场，他花了30元买了一些
新鲜菠菜，他跟卖菜阿姨说：“你今天的菠菜比昨天涨了5元/斤．”卖菜阿姨
说：“下雪天从地里弄菜不容易啊．所以你花这些钱要比昨天少买1斤了”．
王大爷回答道：“应该的，你们也真的辛苦．”
青菜 花菜 大白菜
1月24日 2元/斤 5元/斤 1元/斤
1月25日 2.5元/斤 7元/斤 1.5元/斤
（1）请问超市三种蔬菜中哪种涨幅最大？并计算其涨幅；
（2）请你根据王大爷和卖菜阿姨的对话，来算算，这天王大爷买了几斤菠菜？
【考点】B7：分式方程的应用．
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【专题】522：分式方程及应用．
【分析】（1）涨幅= ×100%；
（2）设买了x斤菠菜，根据“今天的菠菜比昨天涨了5元/斤”列出分式方程．
【解答】解：（1） ×100%=50%．
答：大白菜涨幅最大，为50%；
（2）设买了x斤菠菜，
则 = +5，
化简得：x2+x﹣6=0
第19页（共27页）解得：x =2，x =﹣3（不合题意，舍去）
1 2
答：这天王大爷买了2斤菠菜．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的
关键．
23．（12分）如图，点E、F分别为菱形ABCD边AD、CD的中点．
（1）求证：BE=BF；
（2）当△BEF为等边三角形时，求证：∠D=2∠A．
【考点】KK：等边三角形的性质；KX：三角形中位线定理；L8：菱形的性质．
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【专题】556：矩形 菱形 正方形．
【分析】（1）根据菱形的性质得到AB=CB，AD=CD，∠A=∠C，再根据中点的定义得
到AE=CF，根据SAS可证△BAE≌△BCF，根据全等三角形的性质得到BE=BF即
可；
（2）作辅助线，先根据线段垂直平分线的逆定理证明BD是EF的垂直平分线，由
等边三角形三线合一得：EG=FG，∠EBG= ∠EBF=30°，设EG=x，则BE=2x，BG=
x，根据中位线定理得：AO=2EG=2x，OB= x，证明△BHO∽△BEG，列比例
式可得 OH= ，BH= x，再求 AH= x，则 AH=BH，可得∠DAB=60°，
∠ADC=120°，从而得出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C，AB=BC=AD=CD，
∵点E、F分别为菱形ABCD边AD、CD的中点，
∴AE= AD，CF= CD，
第20页（共27页）∴AE=CF，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴BE=BF；
（2）如图，连接AC、BD交于点O，设BD与EF交于G，AC与BE交于H，则AC⊥BD，
∵BE=BF，ED=DF，
∴BD是EF的垂直平分线，
∴EG=FG，∠EBG= ∠EBF=30°，
Rt△BEG中，设EG=x，则BE=2x，BG= x，
∵EG∥AO，E为AD的中点，
∴G是OD的中点，
∴AO=2EG=2x，OB= x，
∵OH∥GE，
∴△BHO∽△BEG，
∴ ，
∴ = = ，
∴OH= ，BH= x，
∴AH=AO﹣OH=2x﹣ x= x，
∴AH=BH，
∴∠HAB=∠ABH，
∵∠BHC=∠HAB+∠ABH=60°，
∴∠HAB=30°，
∴∠DAB=60°，
∴∠ADC=120°，
∴∠ADC=2∠DAB，即∠D=2∠A．
第21页（共27页）【点评】此题主要考查学生对菱形的性质，全等、相似三角形的判定，三角形的中
位线定理及等边三角形的性质等知识的理解及运用，第二问有难度，证明 BD
是EF的中垂线是关键．
24．（12分）已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（1，0）和B（0，3），其顶点为D．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）求△ABD的面积；
（3）设P为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作PH⊥对称轴，垂足为
H，若△DPH与△AOB相似，求点P的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）直线BD交x轴于E，如图，先把解析式配成顶点式得到D（2，﹣1），再利用待
定系数法求出直线BD的解析式，则可确定E点坐标，然后根据三角形的面积
公式，利用S =S +S 进行计算即可；
△ABD △ABE △ADE
（3）先确定抛物线的对称轴为直线x=2，设P（x，x2﹣4x+3）（x＞2），则H（2，x2﹣
第22页（共27页）4x+3），再表示出PH=x﹣2，HD=x2﹣4x+4，根据相似三角形的判定方法，当 =
时，△PHD∽△AOB，即 = ；当 = 时，△PHD∽△BOA，即
= ，然后分别解方程即可得到满足条件的P点坐标．
【解答】解：（1）把A（1，0）和B（0，3）代入y=x2+bx+c得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；
（2）直线BD交x轴于E，如图，
∵y=（x﹣2）2﹣1，
∴D（2，﹣1），
设直线BD的解析式为y=mx+n，
把B（0，3），D（2，﹣1）代入得 ，解得 ，
∴直线BD的解析式为y=﹣2x+3，
当y=0时，﹣2x+3=0，解得x= ，则E（ ，0），
∴S =S +S = ×（ ﹣1）×3+ ×（ ﹣1）×1=1；
△ABD △ABE △ADE
（3）抛物线的对称轴为直线x=2，
设P（x，x2﹣4x+3）（x＞2），则H（2，x2﹣4x+3），
∴PH=x﹣2，HD=x2﹣4x+3﹣（﹣1）=x2﹣4x+4，
∵∠PHD=∠AOB=90°，
∴当 = 时，△PHD∽△AOB，即 = ，解得x =2（舍去），x =5，此时P
1 2
点坐标为（5，8）；
当 = 时，△PHD∽△BOA，即 = ，解得x =2（舍去），x = ，此时P
1 2
点坐标为（ ，﹣ ）；
第23页（共27页）综上所述，满足条件的P点坐标为（5，8）或（ ，﹣ ）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、
二次函数的性质和相似三角形的判定；会利用待定系数法求二次函数解析式，
会解一元二次方程；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问
题．
25．（14分）如图，四边形ABCD中，∠BCD=∠D=90°，E是边AB的中点．已知
AD=1，AB=2．
（1）设BC=x，CD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）当∠B=70°时，求∠AEC的度数；
（3）当△ACE为直角三角形时，求边BC的长．
【考点】KY：三角形综合题．
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【专题】152：几何综合题．
【分析】（1）过A作AH⊥BC于H，在△BAH中，依据勾股定理可得22=y2+（x﹣1）2，
进而得出y= （0＜x＜3）；
（ 2 ） 取 CD 中 点 T ， 联 结 TE ， 则 TE 是 梯 形 中 位 线 ， 即 可 得 出
第24页（共27页）∠AED=∠ADE=∠DET=35°，由ET垂直平分CD，得∠CET=∠DET=35°，即可得到
∠AEC=70°+35°=105°；
（3）分三种情况讨论：①∠AEC=90°，②∠CAE=90°，③∠ACE＜∠DCB=90°，利用全
等三角形的性质以及相似三角形的性质，即可得到边BC的长为2或 ．
【解答】解：（1）如图，过A作AH⊥BC于H，
由∠D=∠BCD=90°，得四边形ADCH为矩形，
在△BAH中，AB=2，∠BHA=90°，AH=y，HB=x﹣1，
∴22=y2+（x﹣1）2，
则y= （0＜x＜3）；
（2）如图，取CD中点T，联结TE，DE，则TE是梯形中位线，
∴ET∥AD，ET⊥CD，
∴∠AET=∠B=70°，
又AD=AE=1，
∴∠AED=∠ADE=∠DET=35°，
由ET垂直平分CD，得∠CET=∠DET=35°，
∴∠AEC=70°+35°=105°；
（3）分三种情况讨论：
①当∠AEC=90°时，CE垂直平分AB，
∴CA=CB，而CE=CE，
∴△CBE≌△CAE，
∵∠D=∠CEA=90°，AD=AE=1，AC=AC，
∴△CAE≌△CAD，
∴∠BCE= ∠BCD=30°，
则在Rt△ABH中，∠B=60°，而∠AHB=90°，AB=2，
第25页（共27页）∴BH=1，
又∵矩形ADCH中，CH=AD=1，
∴BC=2；
②如图，当∠CAE=90°时，∠D=∠CAE，而∠CAD=∠ACB，
∴△CDA∽△BCA，
又∵Rt△ABC中，AC= = ，
则 = ，即 ，
解得x= 或x= （舍去）；
③易知∠ACE＜∠DCB=90°，故∠ACE不可能为直角；
综上所述，边BC的长为2或 ．
【点评】本题考查了三角形综合题：熟练掌握勾股定理、平行线的性质、全等三角
第26页（共27页）形的性质和相似三角形的判定与性质；灵活应用相似比表示线段之间的关系
和直角三角形的勾股定理是解决问题的关键；注意运用分类讨论的思想解决
数学问题．
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日期：2018/12/24 0:05:01；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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