2023年上海高考数学试卷（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_高中_高考真题_2.上海高考数学2023-2014

上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 2023 年上海市高考数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．（4分）不等式|x2|1的解集为 ．     2．（4分）已知向量a(2,3)，b (1,2)，则ab  ． 3．（4分）已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前n项和为S ，则S  ． n 6 4．（4分）已知tan3，则tan2 ． 1,x 0, 5．（4分）已知函数 f(x) ，则函数 f(x)的值域为 ． 2x,x0 6．（4分）已知复数z1i(i为虚数单位），则|1iz| ． 7．（5分）已知圆x2  y2 4xm0的面积为，则m ． 8．（5分）已知ABC 中，角A，B，C所对的边a4，b5，c6，则sinA ． 9．（5分）现有某地一年四个季度的GDP（亿元），第一季度GDP为232（亿元），第四季 度GDP为241（亿元），四个季度的GDP逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年 的GDP为 ． 10．（5 分）已知(12023x)100 (2023x)100 a axa x2 a x99 a x100，若存在 0 1 2 99 100 k{0，1，2，，100}使得a 0，则k的最大值为 ． k 11．（5分）某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米， 坡面与水平面所成夹角为．行人每沿着斜坡向上走1m消耗的体力为(1.025cos)，欲使 行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则 ． 12．（5分）空间中有三个点A、B、C ，且ABBC CA1，在空间中任取2个不同的 点，使得它们与A、B、C恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有 种． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13．（4分）已知P{1，2}，Q{2，3}，若M {x|xP ，xQ}，则M ( ) A．{1} B．{2} C．{3} D．{1，2，3} 14．（4分）根据所示的散点图，下列说法正确的是( ) 第1页（共16页）上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） A．身高越大，体重越大 B．身高越大，体重越小 C．身高和体重成正相关 D．身高和体重成负相关 15．（5分）已知aR，记ysinx在[a，2a]的最小值为s ，在[2a，3a]的最小值为t ， a a 则下列情况不可能的是( ) A．s 0，t 0 B．s 0，t 0 C．s 0，t 0 D．s 0，t 0 a a a a a a a a 16．（5分）已知P，Q是曲线上两点，若存在M 点，使得曲线上任意一点P都存在Q 使得|MP||MQ|1，则称曲线是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自 相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则( ) A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必 要的步骤. 17．（14分）已知直四棱柱ABCDABCD ，AB AD ，AB//CD，AB2，AD3，CD4． 1 1 1 1 （1）证明：直线AB//平面DCC D ； 1 1 1 （2）若该四棱柱的体积为36，求二面角A BDA的大小． 1 第2页（共16页）上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） x2 (3a1)xc 18．（14分）已知a，cR，函数 f(x) ． xa （1）若a0，求函数的定义域，并判断是否存在c使得 f(x)是奇函数，说明理由； （2）若函数过点(1,3)，且函数 f(x)与x轴负半轴有两个不同交点，求此时c的值和a的取 值范围． 19．（14分）2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有 25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 12 8 米色内饰 2 3 （1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B 为小明取到棕色内饰的模型，求P（B）和P(B|A)，并判断事件A和事件B是否独立； （2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两 个汽车模型，给出以下假设： 假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以 及仅外观或仅内饰同色； 假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高； 假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元； 请你分析奖项对应的结果，设X 为奖金额，写出X 的分布列并求出X 的数学期望． 20．（18分）已知抛物线:y2 4x，在上有一点A位于第一象限，设A的纵坐标为a(a0)． （1）若A到抛物线准线的距离为3，求a的值； （2）当a4时，若x轴上存在一点B，使AB的中点在抛物线上，求O到直线AB的距 离； 第3页（共16页）上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） （3）直线l:x3，抛物线上有一异于点A的动点P，P在直线l上的投影为点H ，直线AP 与直线l的交点为Q．若在P的位置变化过程中，|HQ|4恒成立，求a的取值范围． 21．（18分）已知 f(x)lnx，在该函数图像上取一点a ，过点(a ， f(a ))做函数 f(x)的 1 1 1 切线，该切线与y轴的交点记作(0,a )，若a 0，则过点(a ， f(a ))做函数 f(x)的切线， 2 2 2 2 该切线与y轴的交点记作(0,a )，以此类推a ，a ，，直至a 0停止，由这些项构成数 3 3 4 m 列{a }． n （1）设a (m 2)属于数列{a }，证明：a lna 1； m n m m1 （2）试比较a 与a 2的大小关系； m m1 （3）若正整数k 3，是否存在k使得a 、a 、a 、、a 依次成等差数列？若存在，求 1 2 3 k 出k的所有取值；若不存在，请说明理由． 第4页（共16页）上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 2023 年上海市高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．（4分）不等式|x2|1的解集为 (1,3) ． 【解答】解：由|x2|1可得，1 x21， 解得1 x3， 即不等式的解集为(1,3)． 故答案为：(1,3)．     2．（4分）已知向量a(2,3)，b (1,2)，则ab  4 ．   【解答】解：向量a(2,3)，b (1,2)，   ab 21324． 故答案为：4． 3．（4分）已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前n项和为S ，则S  189 ． n 6 【解答】解：等比数列的首项为3，公比为2， 3(126) S  189． 6 12 故答案为：189． 3 4．（4分）已知tan3，则tan2  ． 4 【解答】解：tan3， 2tan 23 3 tan2   ． 1tan2 132 4 3 故答案为： ． 4 1,x 0, 5．（4分）已知函数 f(x) ，则函数 f(x)的值域为 [1，) ． 2x,x0 【解答】解：当x 0时， f(x)1， 当x0时， f(x)2x 1， 所以函数 f(x)的值域为[1，)． 第5页（共16页）上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 故答案为：[1，)． 6．（4分）已知复数z1i(i为虚数单位），则|1iz| 5 ． 【解答】解：z1i， |1iz||1i(1i)||2i| 5 ． 故答案为： 5 ． 7．（5分）已知圆x2  y2 4xm0的面积为，则m 3 ． 【解答】解：圆x2  y2 4xm0化为标准方程为：(x2)2  y2 4m， 圆的面积为，圆的半径为1， 4m1， m3． 故答案为：3． 7 8．（5分）已知ABC 中，角A，B，C 所对的边a4，b5，c6，则sinA ． 4 【解答】解：a4，b5，c6， b2 c2 a2 253616 3 由余弦定理得，cosA   ， 2bc 256 4 又A(0,)， sinA0， 3 7 sinA 1cos2A  1( )2  ． 4 4 7 故答案为： ． 4 9．（5分）现有某地一年四个季度的GDP（亿元），第一季度GDP为232（亿元），第四季 度GDP为241（亿元），四个季度的GDP逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年 的GDP为 946（亿元） ． 【解答】解：设第二季度GDP为x亿元，第三季度GDP为y亿元，则232 x y241， 中位数与平均数相同， x y 232x y241   ， 2 4 x y473， 该地一年的GDP为232x y241946（亿元）． 第6页（共16页）上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 故答案为：946（亿元）． 10．（5 分）已知(12023x)100 (2023x)100 a axa x2 a x99 a x100，若存在 0 1 2 99 100 k{0，1，2，，100}使得a 0，则k的最大值为 49 ． k 【解答】解：二项式(12023x)100的通项为T Cr (2023x)r Cr 2023r xr，r{0，1， r1 100 100 2，，100}， 二项式(2023x)100的通项为T Cr 2023100r(x)r Cr 2023100r (1)r xr，r{0，1，2， r1 100 100 ，100}， a Ck 2023k Ck 2023100k (1)k Ck [2023k 2023100k (1)k]，k{0，1，2，， k 100 100 100 100}， 若a 0，则k为奇数， k 此时a Ck (2023k 2023100k)， k 100 2023k 2023100k 0， k 100k， k 50， 又k 为奇数， k 的最大值为49． 故答案为：49． 11．（5分）某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米， 坡面与水平面所成夹角为．行人每沿着斜坡向上走1m消耗的体力为(1.025cos)，欲使 40 行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则 arccos ． 41 4 【解答】解：斜坡的长度为l  ， sin 4 4.14cos 上坡所消耗的总体力y (1.025cos) ， sin sin 4sinsin(4.14cos)cos 44.1cos 函数的导数y  ， sin2 sin2 40 40 由y0，得44.1cos0，得cos ，arccos ， 41 41 40 40  由 f(x)0时cos ，即arccos  时，函数单调递增， 41 41 2 第7页（共16页）上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 40 40 由 f(x)0时cos ，即0arccos 时，函数单调递减， 41 41 40 即arccos ，函数取得最小值，即此时所消耗的总体力最小． 41 40 故答案为：arccos ． 41 12．（5分）空间中有三个点A、B、C ，且ABBC CA1，在空间中任取2个不同的 点，使得它们与A、B、C恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有 9 种． 【解答】解：如图所示，设任取2个不同的点为P、Q， 当ABC 为正四棱锥的侧面时，如图，平面ABC的两侧分别可以做ABPQ作为圆锥的底面， 有2种情况， 同理以BCPQ、ACPQ为底面各有2种情况，所以共有6种情况； 当ABC 为正四棱锥的截面时，如图，P、Q位于AB两侧，APBQ为圆锥的底面，只有一 种情况， 同理以BPCQ、APCQ为底面各有1种情况，所以共有3种情况； 综上，共有639种情况． 故答案为：9． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13．（4分）已知P{1，2}，Q{2，3}，若M {x|xP ，xQ}，则M ( ) A．{1} B．{2} C．{3} D．{1，2，3} 【解答】解：P{1，2}，Q{2，3}，M {x|xP ，xQ}， M {1}． 第8页（共16页）上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 故选：A． 14．（4分）根据所示的散点图，下列说法正确的是( ) A．身高越大，体重越大 B．身高越大，体重越小 C．身高和体重成正相关 D．身高和体重成负相关 【解答】解：根据散点图的分布可得：身高和体重成正相关． 故选：C． 15．（5分）已知aR，记ysinx在[a，2a]的最小值为s ，在[2a，3a]的最小值为t ， a a 则下列情况不可能的是( ) A．s 0，t 0 B．s 0，t 0 C．s 0，t 0 D．s 0，t 0 a a a a a a a a 【解答】解：由给定区间可知，a0． 区间[a，2a]与区间[2a，3a]相邻，且区间长度相同．      取a ，则[a，2a][ , ]，区间[2a，3a][ , ]，可知s 0，t 0，故A可能； 6 6 3 3 2 a a 5 5 5 5 5 取a ，则[a，2a][ ， ]，区间[2a，3a][ ， ]，可知s 0，t 0，故 12 12 6 6 4 a a C可能； 7 7 7 7 7 取a ，则[a，2a][ ， ]，区间[2a，3a][ ， ]，可知s 0，t 0，故 6 6 3 3 2 a a B可能． 第9页（共16页）上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 结合选项可得，不可能的是s 0，t 0． a a 故选：D． 16．（5分）已知P，Q是曲线上两点，若存在M 点，使得曲线上任意一点P都存在Q 使得|MP||MQ|1，则称曲线是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自 相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则( ) A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【解答】解：椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的M 点，使得|MP||MQ|1成立，故 ①正确， 在双曲线中，|PM | ，而|QM | 是个固定值，则无法对任意的PC，都存在QC， max min 使得|PM ||QM |1，故②错误． 故选：B． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必 要的步骤. 17．（14分）已知直四棱柱ABCDABCD ，AB AD ，AB//CD，AB2，AD3，CD4． 1 1 1 1 （1）证明：直线AB//平面DCC D ； 1 1 1 （2）若该四棱柱的体积为36，求二面角A BDA的大小． 1 【解答】解：（1）证明：根据题意可知AB//DC ，AA //DD ，且ABAA  A， 1 1 1 可得平面AABB //平面DCC D ，又直线AB平面AABB ， 1 1 1 1 1 1 1 直线AB//平面DCC D ； 1 1 1 第10页（共16页）上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 1 （2）设AA h，则根据题意可得该四棱柱的体积为 (24)3h36， 1 2 h4，AA底面ABCD，在底面ABCD内过A作AE BD，垂足点为E， 1 则AE在底面ABCD内的射影为AE， 1 根据三垂线定理可得BD AE， 1 故AEA即为所求， 1 在RtABD中，AB2，AD3，BD 49  13， ABAD 23 6 AE   ，又AAh4， BD 13 13 1 AA 4 2 13 tanAEA 1   ， 1 AE 6 3 13 2 13 二面角A BDA的大小为arctan ． 1 3 x2 (3a1)xc 18．（14分）已知a，cR，函数 f(x) ． xa （1）若a0，求函数的定义域，并判断是否存在c使得 f(x)是奇函数，说明理由； （2）若函数过点(1,3)，且函数 f(x)与x轴负半轴有两个不同交点，求此时c的值和a的取 值范围． x2 xc c 【解答】解：（1）若a0，则 f(x) x 1， x x 要使函数有意义，则x0，即 f(x)的定义域为{x|x0}， c y x 是奇函数，y1是偶函数， x c 函数 f(x)x 1为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数c，使得 f(x)是奇 x 函数． 第11页（共16页）上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 13a1c 3a2c （2）若函数过点(1,3)，则 f （1）  3，得3a2c33a，得 1a 1a c321， x2 (3a1)x1 此时 f(x) ，若数 f(x)与x轴负半轴有两个不同交点， xa x2 (3a1)x1 即 f(x) 0，得x2 (3a1)x10，当x0时，有两个不同的交点， xa 设g(x)x2 (3a1)x1， (3a1)2 40   1   x 1 x 2 10 3a12或3a12   a 3 或a1 1 则x x (3a1)0 ，得 ，得 ，即a ，    1 3a 2 1 0 3a10   a 1 3 3  2 若xa0即xa是方程x2 (3a1)x10的根， 1 则a2 (3a1)a10，即2a2 a10，得a 或a1， 2 1 1 则实数a的取值范围是a 且a 且a1， 3 2 1 1  1 即( ， ) ( ，)． 3 2 2 19．（14分）2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有 25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 12 8 米色内饰 2 3 （1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B 为小明取到棕色内饰的模型，求P（B）和P(B|A)，并判断事件A和事件B是否独立； （2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两 个汽车模型，给出以下假设： 假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以 及仅外观或仅内饰同色； 假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高； 假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元； 请你分析奖项对应的结果，设X 为奖金额，写出X 的分布列并求出X 的数学期望． 第12页（共16页）上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 【解答】解：（1）若红色外观的模型，则分棕色内饰12个，米色内饰2个，则对应的概率P 122 14 （A）  ， 25 25 128 20 4 若小明取到棕色内饰，分红色外观12，蓝色外观8，则对应的概率P（B）   ． 25 25 5 12 取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有12个，即P(AB) ， 25 12 则P(B|A) P(AB)  25  12  6 ． P(A) 14 14 7 25 14 4 56 12 P（A）P（B）    ，P（A）P（B） P(AB)， 25 5 125 25 即事件A和事件B不独立． （2）由题意知X 600，300，150， C2 C2 C2 C2 662831 98 49 则外观和内饰均为同色的概率P 12 8 3 2    、 C2 300 300 150 25 C1C1C1C1 2424 4 24 外观和内饰都异色的概率P 8 3 12 2    、 C2 2512 25 150 25 49 4 77 仅外观或仅内饰同色的概率P1   ， 150 25 150 77 49 24    ， 150 150 150 77 49 24 P(X 150) ，P(X 300) ，P(X 600) ， 150 150 150 则X 的分布列为： X 150 300 600 77 49 24 P 150 150 150 77 49 24 40650 则EX 150 300 600  271（元)． 150 150 150 150 20．（18分）已知抛物线:y2 4x，在上有一点A位于第一象限，设A的纵坐标为a(a0)． （1）若A到抛物线准线的距离为3，求a的值； （2）当a4时，若x轴上存在一点B，使AB的中点在抛物线上，求O到直线AB的距 离； （3）直线l:x3，抛物线上有一异于点A的动点P，P在直线l上的投影为点H ，直线AP 第13页（共16页）上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 与直线l的交点为Q．若在P的位置变化过程中，|HQ|4恒成立，求a的取值范围． 【解答】解：（1）抛物线:y2 4x的准线为x1， 由于A到抛物线准线的距离为3， 则点A的横坐标为2，则a2 428(a0)， 解得a2 2 ； 42 （2）当a4时，点A的横坐标为 4，则A(4,4)， 4 b4 设B(b,0)，则AB的中点为( ,2)， 2 b4 由题意可得22 4 ，解得b2， 2 所以B(2,0)， 40 2 则k   ， AB 42 3 2 由点斜式可得，直线AB的方程为 y (x2)，即2x3y40， 3 4 4 13 所以原点O到直线AB的距离为  ； 22 32 13 （3）如图， t2 a2 ta 4 设P( ,t),A( ,a),H(3,t)(ta0)，则k   ， 4 4 AP t2 a2 ta  4 4 4 a2 故直线AP的方程为 ya (x )， ta 4 a2 4 a2 4 令x3，可得ya( 3) ，即Q(3,a( 3) )， 4 ta 4 ta a2 4 则|HQ||ta( 3) |， 4 ta a2 4 依题意，|ta( 3) |4恒成立， 4 ta 第14页（共16页）上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） a2 4 a2 又ta( 3) 2a 4 32a0， 4 ta 4 a2 a2 则最小值为4 32a4，即2 32a，即 a2 12 2a， 4 4 则a2 12a2 4a4，解得0a2， 16 16 又当a2时，t2 4 2 (t2) 44，当且仅当t 2时等号成立， t2 t2 而at，即当a2时，也符合题意． 故实数a的取值范围为(0，2]． 21．（18分）已知 f(x)lnx，在该函数图像上取一点a ，过点(a ， f(a ))做函数 f(x)的 1 1 1 切线，该切线与y轴的交点记作(0,a )，若a 0，则过点(a ， f(a ))做函数 f(x)的切线， 2 2 2 2 该切线与y轴的交点记作(0,a )，以此类推a ，a ，，直至a 0停止，由这些项构成数 3 3 4 m 列{a }． n （1）设a (m 2)属于数列{a }，证明：a lna 1； m n m m1 （2）试比较a 与a 2的大小关系； m m1 （3）若正整数k 3，是否存在k使得a 、a 、a 、、a 依次成等差数列？若存在，求 1 2 3 k 出k的所有取值；若不存在，请说明理由． 1 【解答】解：（1）证明： f(x) ， x 1 则过点(a ， f(a ))的切线的斜率为 ， m1 m1 a m1 1 1 由点斜式可得，此时切线方程为ylna  (xa )，即y xlna 1， m1 a m1 a m1 m1 m1 令x0，可得ylna 1， m1 根据题意可知，a lna 1，即得证； m m1 （2）先证明不等式lnx x1(x0)， 1 1x 设F(x)lnxx1(x0) ，则F(x) 1 ， x x 易知当0 x1时，F(x)0，F(x)单调递增，当x1时，F(x)0，F(x)单调递减， 则F(x) F（1）0，即lnx x1(x0)， 第15页（共16页）上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 结合（1）可知，a lna 1 a 11a 2； m m1 m1 m1 （3）假设存在这样的k符合要求， 由（2）可知，数列{a }为严格的递减数列，n1，2，3，，k， n 由（1）可知，公差d a a lna a 1，2 n k， n n1 n1 n1 1 1x 先考察函数g(x)lnxx1，则g(x) 1 ， x x 易知当0 x1时，g(x)0，g(x)单调递增，当x1时，g(x)0，g(x)单调递减， 则g(x)d 至多只有两个解，即至多存在两个a ，使得g(a )d， n1 n1 若k 4，则g(a ) g(a ) g(a )d ，矛盾，则k 3， 1 2 3 当k 3时，设函数h(x)ln(lnx1)2lnxx1， 由于h(e1.1)ln0.12.2e1.11e1.1ln101.20，h(e2)3e2 0， 则存在x (e1.1,e2)，使得h(x )0， 0 0 于是取a x ，a lna 1，a lna 1，它们构成等差数列． 1 0 2 1 3 2 综上，k 3． 第16页（共16页）