精品解析：上海市杨浦区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_八年级_下学期_3：期末

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2022 学年第二学期期末阶段适应性练习卷 初二年级数学学科 （时间：90分钟 分值：100分） 考生注意： 1．本试卷含四个大题，共 26题； 2答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无 效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计 算的主要步骤． 一、选择题（本大题共 6题，每题 3分，满分 18 分） y 2x1 1. 一次函数 的图象不经过的象限是 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的解析式，利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数y 2x1的图象经过 第二、三、四象限，此题得解． 【详解】解：∵k 20，b10， ∴一次函数y 2x1的图象经过第二、三、四象限， ∴一次函数y 2x1的图象不经过第一象限． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k 0，b0 y kxb的图象在二、三、四 象限”是解题的关键． 2. 下列关于x的方程中，有实数解的是（ ） x 2 A. x210 B.  x2 x2 C. x4 60 D. 2x2 x30 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的非负性可判断A；求出分式方程的解，再检验即可判断B；方程变形得到x4 6 进而可判断C；根据根的判别式即可判断D；从而可得答案. 第1页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【详解】解：A、由 x210可得 x2 1，故原方程无实数解； B、去分母得x2，当x2时，x20，所以x2是方程的增根，故原方程无实数解； C、方程可变形为x4 6，所以x4 6，故原方程有实数解； D、因为方程的12 423230，所以原方程无实数解； 故选：C. 【点睛】本题考查了二次根式的非负性、分式方程的求解、高次方程的求解以及一元二次方程的根的判别 式等知识，熟练掌握上述知识是解题关键. 3. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列式子不一定正确的是（ ） A AOCO B. ABCD . C. BAC BDC D. BAC ACD 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质分析即可． 【详解】解：如图： ∵四边形ABCD是平行四边形， \ AB∥CD，AB=CD，AO=CO， AB∥CD，  BAC ACD， 故A、B、D都不符合题意，C符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 4. 下列关于向量的等式中，正确的是（ ）      A. ABBA0 B. ACCA0       C. ACBC  BA D. ABAC  BC 【答案】B 第2页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】 【分析】根据平面向量的运算法则逐一判断即可求解．    【详解】A、ABBA0，故本选项不符合题意；    B、ACCA0，正确，故本选项符合题意；      C、ACBC  ACCB AB，故本选项不符合题意；    D、ABAC CB，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键． 5. 在一个不透明的袋子中装有3个红球、1个黄球、1个白球，这些球只是颜色不同．下列事件中，属于必 然事件的是（ ） A. 从袋子中摸出一个球，球的颜色是红色 B. 从袋子中摸出两个球，它们的颜色相同 C. 从袋子中摸出三个球，有颜色相同的球 D. 从袋子中摸出四个球，有颜色相同的球 【答案】D 【解析】 【分析】在一定条件下，一定会发生的事件为必然事件，据此解答即可． 【详解】解： 总计5个球，其中有3个红球，故从袋子中摸出四个球，必有2个红球颜色相同． 故选：D 【点睛】本题考查必然事件的定义，能够列举出随机实验的所有可能结果是解题的关键． 6. 在四边形ABCD中，AB//CD,AB AD，添加下列条件不能推得四边形ABCD为菱形的是（ ） A. ABCD B. AD//BC C. BC CD D. AB BC 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得． 【详解】A选项：若AB=CD，∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 当AB=AD可判定四边形ABCD是菱形； B选项：当AD∥BC时，又AB∥CD， 第3页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴四边形ABCD是平行四边形， 当AB=AD可判定四边形ABCD是菱形； C选项：当BC=CD时，△ABD≌△BCD（SSS）， ∴∠A=∠C， ∵AB∥CD， ∴∠C+∠ABC=180°， ∴∠A+∠ABC=180°， ∴AD∥BC， 又AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 当AB=AD可判定四边形ABCD是菱形； D选项只能说明四边形的三条边相等，所以不能判定是菱形． 故选D． 【点睛】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义． 二、填空题（本大题共 12题，每题 2分，满分 24 分） 7. 已知直线y axb平行于直线y 2x1，且在y轴上的截距是3，那么这条直线的解析式是 ______． 【答案】y  2x3 【解析】 【分析】根据互相平行的直线的解析式的一次项系数的值相等确定出a，根据在y轴上的截距为3，计算 求出b值，即可得解． 【详解】解：∵直线y axb平行于直线y 2x1， k 2， 又∵直线y axb在y轴上的截距为3， b3， ∴这条直线的解析式是：y  2x3． 故答案是：y  2x3． 【点睛】此题考查两条直线平行问题，解题关键在于确定k的值． 8. 如果一次函数y k2x1中，y随x的增大而减小，那么k的取值范围是___________． 【答案】k 2 第4页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性即可得． 【详解】由题意得：k20 解得k 2 故答案为：k 2． 【点睛】本题考查了一次函数的性质（增减性），熟记一次函数的性质是解题关键． 1 9. 方程 x340的解是________． 2 【答案】x2 【解析】 【分析】方程整理后，利用立方根定义求出解即可． 【详解】方程整理得：x3=-8， 开立方得：x=-2． 故答案为：x=-2 【点睛】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． x2 2 2x x2 2 10. 用换元法解方程  5，如果设 y  ，则原方程可化为y的整式方程是______． x x2 2 x 【答案】y2 5y20 【解析】 x2 2 2x 2 【分析】设 y  ，则  ，根据换元法解答即可，注意最后的形式是整式方程． x x2 2 y x2 2 2 【详解】解：设 y  ，则原方程可变形为：y 5， x y 即为y2 5y20； 故答案为：y2 5y20 【点睛】本题考查了换元法解方程，正确变形是关键． 11. 如果关于x的方程 x4 a1无实数解，那么a的取值范围是______． 【答案】a1##1a 【解析】 【分析】根据无理方程和二次根式的非负性解答即可． 第5页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【详解】解：∵ x4 a10， ∴a1； 故答案为：a1． 【点睛】本题考查了无理方程和二次根式的非负性，熟知二次根式 a 0是解题关键． 12. 如图，一次函数ykxb的图象经过 2,0 、 0,1 ．则当 y 0时，x的取值范围是______． 【答案】x<2 【解析】 【分析】 y 0时求自变量的范围即为函数图象在x轴下方对应的x的取值范围，即可解答． 【详解】解：由函数图象可得：当x<2时， y 0， 故答案为：x<2． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式的关系，数形结合是解题关键． 13. 从长度分别为2、3、4、6的四条线段中任取三条，这三条线段能构成三角形的概率是______． 1 【答案】 ##0.5 2 【解析】 【分析】先列举出所有可能的情况，再根据三角形的三边关系判断能构成三角形的情况，然后根据概率公 式求解． 【详解】解：从长度分别为2、3、4、6的四条线段中任取三条，共有以下四种情况： 2、3、4；2、3、6；2、4、6；3、4、6； 其中，能够构成三角形的是：2、3、4；和3、4、6；有两种情况； 2 1 所以这三条线段能构成三角形的概率是  ； 4 2 1 故答案为： ． 2 【点睛】本题考查了利用列举法求概率和三角形的三边关系，列举出所有可能的情况是关键． 14. 如果十边形的各个内角都相等，那么它的一个内角是_________． 【答案】144° 【解析】 第6页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【分析】利用多边形的内角和公式（n﹣2）×180°计算出十边形的内角和，然后再除以10即可． 【详解】由题意得：180°×（10﹣2）÷10＝144°， 故答案为144°． 【点睛】此题主要考查了多边形的内角，关键是掌握多边形内角和公式． 15. 已知矩形 ABCD，对角线 AC与BD相交于点O，如果AOB60， AB 4，那么 AD的长是 ______． 【答案】4 3 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得OAOB，进而可得 AOB是等边三角形，得到OAOB  AB 4，进而  得出BD 2BO 8，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AOOC，BOOD，AC  BD，BAD90， ∴OAOB， ∵AOB60， ∴ AOB是等边三角形，  ∴OAOB  AB 4， ∴BD 2BO 8， ∴AD BD2 AB2 4 3； 故答案为：4 3． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理以及等边三角形的判定和性质，熟 练掌握矩形的性质是解题的关键． 16. 已知菱形的周长为40，一条对角线长为12，则这个菱形的面积是______． 【答案】96 【解析】 【分析】画出草图分析．因为周长是40，所以边长是10．根据对角线互相垂直平分得直角三角形，运用勾 股定理求另一条对角线的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算求解． 【详解】解：因为周长是40，所以边长是10． 第7页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 如图所示：AB=10，AC=12． 根据菱形的性质，AC⊥BD，AO=6， ∴BO=8，BD=16． 1 1 ∴面积S= AC×BD=12×16× =96． 2 2 故答案为96． 【点睛】考查了菱形的性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键. 17. 如图，梯形 ABCD中， AD∥BC．点 E、 F 分别是对角线 BD、 AC的中点，如果 AD2， EF 3，那么BC ______． 【答案】8 【解析】 【分析】取CD的中点G，连接FG,EG，可证FG∥BC，所以BC 2EG,AD2FG，于是 BC 2EF  AD8． 【详解】解：取CD的中点G，连接FG,EG，则FG∥AD,EG∥BC， ∵AD∥BC， ∴FG∥BC． ∴E,F,G三点共线． ∴BC 2EG，AD2FG． ∴BCAD2(EGFG)2EF ． ∴BC 2EF  AD2328． 故答案为：8 第8页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题考查中位线的性质，平行线的性质，由中位线的性质得到线 段间的数量关系是解题的关键． 18. 定义：有一组对角相等，且另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形．已知在等对角四边形 ABCD中，DAB60，ABC 90，AB6，AD4，那么BC的长是______． 2 3 10 3 【答案】 或 3 3 【解析】 【分析】分两种情况：①当ADC ABC 90时，延长AD，BC相交于点E，先用含30角的直角 三角形的性质求出 AE，得出 BE 、 DE，再利用勾股定理求出 CE，即可求出 BC；②当 BCDDAB60时，过点D作DM AB于点M ，DN  BC于点N ，则AMD90，四边形 BNDM 是矩形，先求出AM 、DM ，再由矩形的性质得出DN BM 3，BN DM 2 3，再根据直角 三角形的性质求出CN ，即可求出BC． 【详解】分两种情况： ①当ADC ABC 90时，延长AD，BC相交于点E，如图1所示： ABC 90，DAB60，  E 30， AB=6，  AE 2AB12， BE  122 62 6 3， DE  AEAD1248， 第9页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ADC EDC 90，E 30，  ∴EC 2CD， ∵CD2 DE2  EC2， 2 1  ∴  EC  82  EC2， 2  16 3 EC  ， 3 16 3 2 3 BC  BEEC 6 3  ； 3 3 ②当BCDDAB60时， 过点D作DM AB于点M ，DN  BC于点N ，如图2所示： 则AMD90，四边形BNDM 是矩形， DAB60，  ADM 30， 1 AM  AD2， 2 DM  42 22 2 3， BM  ABAM 624，  四边形BNDM 是矩形， DN  BM 4，BN DM 2 3， BCD60，  ∴CDN 30， ∴CD2CN ， ∵CD2 CN2 DN2， 第10页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴2CN2 42 CN2 4 3 CN  ， 3 4 3 10 3 BC CN BN  2 3  ， 3 3 2 3 10 3 故答案为： 或 ． 3 3 【点睛】此题考查了新定义、勾股定理、含30度角的直角三角形性质、矩形的判定与性质等知识，正确 分类、熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共 6题，满分 40分） 19. 解方程： 2x4 x5 1． 【答案】x= 20 【解析】 【分析】根据方程的特点可以构造平方差公式，进而转化为一元二次方程，解一元二次方程即可，最后根 据无理方程的特点，要进行检验． 【详解】 2x4 x5 1① 设 2x4 x5 k② ①×②得：k  x9  2x4 x5 x9③ ①＋③得：2 2x4  x8 两边平方得：x2 24x800 (x4)(x20)0 解得x 4,x 20 1 2 经检验，x= 20是原方程的解． 【点睛】本题考查了解无理方程，掌握解无理方程的技巧和解一元二次方程是解题的关键． x2 5xy6y2 0, 20. 解方程组： x2  y2 40. 第11页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  x 4 2  x 4 2 x 6 x 6 【答案】 1 , 2 ， 3 , 4  y 1 2 2  y 2 2 2  y 3 2  y 4 2 【解析】 【分析】首先对原方程组中的第一个方程进行化简，用含y的表达式表示出x，然后分别重新组合，成为两 个方程组，最后解这两个方程组即可． 【详解】解：方程x2 5xy6y2 0可变形为 x2yx3y0， 即为x2y 0或x3y 0， x2y 0 x3y 0 ∴原方程组可变形为两个方程组 ①， ②； x2  y2 40 x2  y2 40  x 4 2  x 4 2 解方程组①，得 1 ，  2 ，  y 2 2  y 2 2 1 2 x 6 x 6 解方程组②，得 3 ，  4 ， y 2 y 2   3 4  x 4 2  x 4 2 x 6 x 6 ∴原方程组的解为 1 , 2 ， 3 , 4 ．  y 1 2 2  y 2 2 2  y 3 2  y 4 2 【点睛】本题主要考查解二元二次方程组，关键在于对原方程组的两个方程进行化简，重新组合． 21. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C的坐标分别为 0,2 、 2,1 、 2,2 ．   （1）计算： OB ______， AB ______    （2）在图1中求作OAOBOC（写出结果，不要求写作法） 【答案】（1） 5， 13 （2）见解析 第12页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】 【分析】（1）向量的大小的计算方法为：末点横纵坐标分别减去起点横纵坐标，计算它们各自的差的平方 和的算术平方根即可．根据此方法解答即可．      （2）先作出向量OA，然后作OAOB得到向量BA，将它平移，得到以坐标原点O为起点的向量OD，   再分别以向量OC和OD为邻边作平行四边形OCED，连接对角线OE并指向点E的向量即为向量    OAOBOC． 【小问1详解】  （1）|OB|= 22 +12 = 5 ，  |AB|= (2- 0)2 +[1- (-2)]2 = 22 +32 = 13． 故答案为： 5， 13； 【小问2详解】     解：先作出向量OA，然后作OAOB得到向量BA，  将它平移，得到以坐标原点O为起点的向量OD，   再分别以向量OC和OD为邻边作平行四边形OCED，    连接对角线OE并指向点E的向量即为向量OAOBOC． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中点的坐标和向量．一定学会如何用坐标表示向量，以及向量的运算法 则． 22. 有四张完全相同的卡片A、B、C、D，分别面有不同的几何图形：A（等边三角形）；B（圆）；C （矩形）；D（等腰梯形），将这四张卡片放在不透明的盒子中洗匀． 第13页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （1）从盒子中抽取出一张卡片，取出的卡片所画的图形是轴对称图形的概率是_____； （2）小莉从盒子中同时抽取了两张卡片，取出的两张卡片所画的图形都是中心对称图形的概率是多少？ （请用树形图说明，卡片可用A、B、C、D表示） 1 【答案】（1）1 （2） 6 【解析】 【分析】（1）先判断A（等边三角形）、B（圆）、C（矩形）、D（等腰梯形）都是轴对称图形，再根据概 率公式求解； （2）先画出树状图展示12种等可能的结果数，再找出抽取的两张卡片都是中心对称图形的结果数，然后 根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 ∵A（等边三角形）、B（圆）、C（矩形）、D（等腰梯形）都是轴对称图形， ∴从盒子中抽取出一张卡片，取出的卡片所画的图形是轴对称图形的概率是1； 【小问2详解】 B（圆）、C（矩形） 是中心对称图形， 所有等可能的情况如图所示： 共有12种等可能的结果数，其中抽取的两张卡片都是中心对称图形的结果有2种， 2 1 所以取出的两张卡片所画的图形都是中心对称图形的概率是  ． 12 6 【点睛】本题考查了求两次事件的概率，正确理解题意、熟练掌握利用树状图或列表法求解的方法是关 键． 23. 近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲，乙两人计划分别缴纳养老保险金12万元和8万元，虽然 甲计划每年比乙计划每年多缴纳养老保险金0.1万元，但是甲计划缴纳养老保险金的年数还是比乙要多4 年，已知甲、乙两人计划缴纳养老保险金的年数都不超过20年，求甲计划每年缴纳养老保险金多少万元？ 【答案】甲计划每年缴纳养老保险金0.6万元 【解析】 【分析】设乙每年缴纳养老保险金为x万元，则甲每年缴纳养老保险金为 x0.1 万元，根据：甲计划缴 纳养老保险金的年数还是比乙要多4年，即可列出方程，解方程并检验后即得答案． 第14页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【详解】解：设乙每年缴纳养老保险金为x万元，则甲每年缴纳养老保险金为 x0.1 万元， 12 8 根据题意可得：  4， x0.1 x 解这个方程，得x 0.4，x 0.5， 1 2 经检验，x 0.4,x 0.5都是原方程的根， 1 2 12 但是当x0.4时，甲计划缴纳养老保险金的年数是 24年，超过了20年，不合题意，应舍去， 0.5 0.50.10.6万元； 答：甲计划每年缴纳养老保险金0.6万元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 24. 如图，在矩形ABCD中，点P在边AD上，BE 平分PBC交边CD于点E，DPE ABP， 延长AD、BE 交于点F ．联结CF ．求证四边形BCFP是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用已知条件判定RtVBPE≌RtVBCE(HL) ，即可得到BP  BC ，再证出PB  PF，即可 得到BC  PF ，进而得出四边形BCFP是平行四边形，再结合条件BP  BC ，即可得出四边形BCFP 是菱形． 【详解】证明：∵矩形ABCD中，AD∥BC，ÐBCE =ÐA=90°， ABPAPB90， 又QÐDPE =ÐABP， \ ÐDPE+ÐAPB=90°， BPE 90， 又 BCE 90，BE 平分CBP，  PE CE， 又 BE  BE，  \ RtVBPE≌RtVBCE(HL) ， 第15页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) BP BC， BE平分CBP，  \ ÐPBE =ÐCBE， PF∥BC，  \ ÐPFE =ÐCBE， \ ÐPBE =ÐPFE， PB PF ， \ BC =PF， ∴四边形BCFP是平行四边形， 又 BP BC，  ∴四边形BCFP是菱形． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 四、解答题（本大题共 2题，满分 18分） 25. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y ax2与x轴交于点A2,0 ，与y轴交于点B，并且 m 与反比例函数y  m0在第一象限内交于点C4,n x （1）求a、m的值； （2）如果点E在x轴的负半轴上，点P在坐标平面内，当以点B，C，E，P为顶点的四边形是矩形 时，求点E的坐标． 【答案】（1）a 1，m8 （2） 2,0 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法解答即可； （2）根据题意画出图形，符合题意的只有一种情况，证明OEB OBE 45，可得OE OB2， 第16页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 即可得出答案． 【小问1详解】 解：把A2,0 代入直线y ax2得：2a20， 解得：a 1， ∴直线的解析式是y  x2， 当x4时，y 422， ∴C4,2 ， m 把C4,2 代入y  m0，得m8； x 【小问2详解】 解：对于直线y  x2，当x0时，y=2， ∴B0,2 ， 如图，四边形BEPC是矩形， 则EBC 90， ∵OBOA2， ∴OABOBA45， ∴OEB OBE 45， ∴OE OB2， ∴点E的坐标是 2,0 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、矩形的性质、等腰直角三角形的 性质和判定等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． 26. 如图，已知在正方形ABCD中，AB 4，点P是边CD上一点（不与点C、D重合），连接AP交BD 第17页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 于点E，延长AP交BCD的外角角平分线于点F ，连接DF． （1）当CF 2 2时，求△ADF 的面积； （2）求证：AE  EF； （3）连接CE，当CE∥DF时，求CF 的长． 【答案】（1）4 （2）见解析 8 2 4 2 （3） 或 3 3 【解析】 【分析】（1）如图1，作FG  BC于点G，延长AD，GF 延长线交于点H ，得四边形DCGH 是矩形， 然后证明FCG是等腰直角三角形，得HF GH FG 2，进而可以解决问题； （2）如图2，延长CF ，AD交于点R，证明△DCR是等腰直角三角形，BD∥CR，作FM∥AD交BD 于M，则四边形DMFR是平行四边形，证明△ADE≌△FME，进而可得结论； （3）如图3，证明四边形DECF 是平行四边形，可得EP FP，DP CP 2，EC  DF ，根据正方 4 5 形的性质，结合（2）利用勾股定理可得 AE CE  DF  ，设CG  FG  x，则CF  2x，得 3 DH CG  x，FH GH FG 4x，再利用勾股定理列出方程求出x的值，进而可以解决问题． 【小问1详解】 解：  四边形ABCD是正方形， ABCD AD4，ADC DCB90， 如图1，作FG  BC于点G，延长AD，GF 延长线交于点H ， CGH DCG HDC 90， 四边形DCGH 是矩形， GH CD4， CF 是BCD的外角DCG的平分线，  1 GCF  DCG 45， 2 第18页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  FCG是等腰直角三角形，  CF 2 2 ，  2 CG  FG  CF 2， 2 HF GH FG 2， 1 1  ADF 的面积 ADFH  424；  2 2 【小问2详解】 证明：如图2，延长CF ，AD交于点R， CF 是BCD的外角DCG的平分线，  1 DCR DCG 45， 2 △DCR是等腰直角三角形， DC  DR AD， ADBDCRR45，  CR∥BD， 作FM∥AD交BD于M， 则四边形DMFR是平行四边形，DAF MFE,ADE FME， ∴FM  DR AD， ∴△ADE≌△FME， AE  EF ； 【小问3详解】 解：如图3，由（2）知：CF∥BD， 第19页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) CE∥DF，  四边形DECF 是平行四边形， EP FP，DP CP 2，EC  DF ， AP AD2 PD2  42 22 2 5， AEEF，EP FP，  AP3EP2 5， 2 5 EP ， 3 4 5 AE  EF 2EP ， 3 AB BC ，ABE CBE，BE  BE，  △ABE≌△CBE， AE CE， 4 5 AE CE  DF  ， 3 设CG  FG  x，则CF  2x， DH CG  x，FH GH FG 4x， 在Rt△DFH 中，根据勾股定理得：DH2 FH2  DF2， 4 5 x2 (4x)2 ( )2， 3 整理得9x2 36x320， 8 4 x  ，x  ， 1 3 2 3 8 2 4 2 CF  2x 或 ． 3 3 8 2 4 2 CF 的长为 或 ． 3 3 第20页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的 判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确添加辅助线、熟 练掌握特殊四边形的判定与性质是解决问题的关键． 第21页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 第22页/共22页 学科网（北京）股份有限公司