精品解析：上海市曹杨第二中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_高中_高一_下学期_3：期末

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 上海市曹杨二中 2022 学年度第二学期 高一年级期终考试数学试卷 一、填空题（本大题共有 12题，满分 54分，第 1~6 题每题 4分，第 7~12题每题 5分） 1. 1的平方根为______． 【答案】i 【解析】 【分析】根据i2 1可得出1的平方根. 【详解】  i2 1，因此，1的平方根为i. 故答案为i. 【点睛】本题考查负数的平方根的求解，要熟悉i2  1的应用，考查计算能力，属于基础题. 2. 设tR，向量a r 2,1，b  4,t，若a  ∥b  ，则t ______． 【答案】2 【解析】 【分析】由平行向量的坐标运算即可得出答案. 【详解】因为向量a r 2,1，b  4,t，若a  ∥b  ，  所以a  b 2t40，解得：t 2. 故答案为：2  π 3 3 已知sin     ，则cos______． .  2 5 3 【答案】- ##0.6 5 【解析】 【分析】由诱导公式化简即可得出答案.  π 3 【详解】因为sin    cos ，  2 5 3 所以cos . 5 3 故答案为：- 5 4. 函数 f(x)sin2 x的最小正周期为_______. 第 1 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】 【解析】 【详解】试题分析： ，所以函数的周期等于 考点：1.二倍角降幂公式；2.三角函数的周期. 5. 设kR，向量  a3,4，b  k,1 ．若b  在a  方向上的数量投影为1，则k ______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据数量投影的概念及数量积的坐标运算求解.    【详解】∵ab3k4， a  32 42 5，   ab 3k4 ∴b  在a  方向上的数量投影为   1 ，解得k 3， a 5 故答案为：3．  π  π 6. 已知tan2，tan    3，则tan    ______．  4  4 1 【答案】 7 【解析】 π π 【分析】通过构角 ()( )，再利用正切的差角公式和条件即可求出结果. 4 4 π π 【详解】因为 ()( )， 4 4 π tan()tan( )  π π 4 23 1 所以tan    tan[()( )]   ，  4 4 π 123 7 1tan()tan( ) 4 1 故答案为： . 7 S S 7. 设等差数列 a  的前n项和为S ，若a 2，且 9  5 4，则a ______． n n 1 9 5 10 【答案】20 【解析】 【分析】设等差数列 a  的公差为d，利用等差数列的求和公式结合已知条件可求得d的值，进而可求得 n a 的值. 10 第 2 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) nn1 S n1 【详解】设等差数列 a  的公差为d，则S na  d ，所以， n a  d， n n 1 2 n 1 2 S S 所以， 9  5 a 4da 2d2d 4，解得d 2， 9 5 1 1 因此，a a 9d 22920. 10 1 故答案为：20. 8. 在 ABC中，若 sinAicosAsinBicosBsinCicosC（i为虚数单位），则C ______．  π 【答案】 4 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算及两角和的正弦、余弦公式化简，再根据复数相等，得到方程即可 得解. 【详解】因为 sinAicosAsinBicosBsinCicosC， 所以 sinAsinBcosAcosBisinAcosBcosAsinBsinCicosC， 则cos(AB)isin(AB)sinCicosC， 即cosCisinC sinCicosC， 所以cosC sinC，即tanC 1， π 因为C(0,π)，所以C  . 4 π 故答案为： ． 4  a 9. 设无穷数列 a  的前n项和为S ．若S 2n1n2，则  i ______． n n n 4i i1 4 【答案】 3 【解析】  a  1 1 【分析】利用a 与S 间的关系，求出a ，从而得到  i [( )i ( )i]，再利用等比数列前n和公 n n n 4i 2 4 i1 i1 式即可求出结果. 【详解】因为S 2n1n2，当n2时，S 2n n3， n n1 两式相减得到a 2n 1(n2)，又a 22 123，满足a 2n 1，所以a 2n 1， n 1 n n 第 3 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 所以 1 1 1 1 1 1 [1( )n] [1( )n]  a  2i 1  1 1 1 4  i  [( )i ( )i] lim 2 2  lim 4 4  2  4 1  ， 4i 4i 2 4 n 1 n 1 1 1 3 3 i1 i1 i1 1 1 1 1 2 4 2 4 4 故答案为： . 3 10. 函数y  sinx cosx cosx sinx的值域为______． 【答案】 1,1 【解析】 【分析】分类讨论角x的象限及x为轴线角即可求y的值域 【详解】由函数 f x sinx cosx cosx sinx， π 当x的终边落在第一象限时，有 f x2sinxcosxsin2x，又x(2kπ, 2kπ),kZ，故此时 2 f x(0,1]， 当x的终边落在第二象限时，有 f xsinxcosxcosxsinx0； 当x的终边落在第三象限时，有 f xsinxcosxcosxsinxsin2x，又 3π x(π2kπ, 2kπ),kZ，故此时 f x1,0 ， 2 当x的终边落在第四象限时，有 f xsinxcosxcosxsinx0 当x的终边落在两个坐标轴上时，有 f x0. 综上所述 f x 的值域是 1,1 . 故答案为： 1,1   1   2 11. 在 ABC中，AB 1，AC 2，D是BC边上一点．若ABAD ，ACAD ，则  3 3   ABAC ______． 【答案】1 【解析】      uuur uuur 【分析】设BDBC01，则ADAC1AB，由题设可得关于和ABAC 的方程组， 第 4 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) uuur uuur 从而可求ABAC 的值. 【详解】设  B  D    B  C  01，故  A  D    A  B    A  C    A  B  ，即  A  D    A  C  1  A  B  ， 故  A  B    A  D    A  B    A  C  1  A  B 2   A  B    A  C  1，  A  C    A  D    A  C 2 1  A  B    A  C  41  A  B    A  C  ，    1 ABAC1=   3 uuur uuur 1 2 所以 ，消ABAC ，整理得到92 320，解得 或 （舍   2 3 3  41ABAC   3   去），所以ABAC 1. 故答案为：1. 12. 设aR，i为虚数单位．若对于任意R，复数z acosa1sini的模始终不大于 2，则a的取值范围是______． 【答案】 0,1 【解析】 【分析】由题意可知，点B在以原点O为圆心，半径为1的单位圆上，由复数的几何意义结合复数模的三角  不等式可得出 AO 1，再结合向量的模长公式可求得实数a的取值范围. 【详解】由复数的模长公式可得 z  acos2 a1sin2 2， 即点Aa,a1 到点Bcos,sin 的距离始终不超过2， 由三角函数的定义可知，点B在以原点O为圆心，半径为1的单位圆上，       所以， AB  AOOB  AO  OB  AO 1， 当且仅当A、O、B三点共线，且点O在线段AB上时，等号成立.   由题意可得 AO 12，即 AO  a2 a12  2a2 2a11，解得0a1. 因此，实数a的取值范围是 0,1 . 故答案为： 0,1 . 二、选择题（本大题共有 4题，满分 18分，第 13~14 题每题 4分，第 15~16题每题 5分） 5 13. 在复平面中，复数 （i为虚数单位）对应的点位于（ ） 2i 第 5 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法化简所求复数，利用复数的几何意义可得出结论. 5 52i 【详解】因为  2i，该复数在复平面内对应的点位于第四象限. 2i 2i2i 故选：D.   14. 已知a、b 是互相垂直的单位向量，则下列四个向量中模最大的是（ ） 1  1  1 2  3 1  1 6  A. a b B. a b C. a b D.  a b 2 2 3 3 4 4 5 5 【答案】D 【解析】 r r r r 【分析】根据题意可得 a  b 1,ab 0，利用转化法分别求各项的模长，进而可得结果. r r r r 【详解】由题意可知： a  b 1,ab 0. r r r r r r r r 1 1 1  2 1 2 2 1 2 对于选项A： a b  ab  a 2ab b  101 ； 2 2 2 2 2 2 r r r r r r r r 1 2 1  2 1 2 2 1 5 对于选项B： a b  a2b  a 4ab 4b  104  ； 3 3 3 3 3 3 r r r r r r r r 3 1 1  2 1 2 2 1 10 对于选项C： a b  3ab  9a 6ab b  901 ； 4 4 4 4 4 4 r r r r r r r r 1 6 1  2 1 2 2 1 37 对于选项D：  a b  a6b  a 12ab 36b  1036  ； 5 5 5 5 5 5 2 5 10 37 1 6  显然 , , 均小于1， 大于1，所以模最大的向量是 a b . 2 3 4 5 5 5 故选：D.  kπ  15. 对于给定的正整数n，定义集合A sin kN,0k n．若A 恰有4个元素，则n的可能值 n  n  n 有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 第 6 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】 【分析】根据集合中元素的特征，结合诱导公式求解. kπ π 2π (n1)π 【详解】当kN,0k n时，sin 的取值为0,sin ,sin ,  ,sin ,sinπ，共n1个， n n n n π (n1)π 2π (n2)π 根据诱导公式可知：0sinπ，sin =sin ，sin sin ，…， n n n n 若A 恰有4个元素，则n的值为6或7， n 故选：B． a2 1  n ,a 0 16. 已知数列 a  满足：a  2a n ，对于任意实数a ，集合  n a 0,nN,n1  的元素个 n n1 n 1 n  0,a 0  n 数是（ ） A. 0个 B. 非零有限个 C. 无穷多个 D. 不确定，与a 的取值有关 1 【答案】C 【解析】 【分析】讨论a 0，a 1，和a 1且a 0三种情况，根据题意可以得到：若a 1，则 1 1 1 1 n a 0；若0a 1，则a 0；若1a 0，则a 0；若a 1，则a 0.不妨从 n1 n n1 n n1 n n1 a 1 1时开始讨论，得到a 2 ,a 3 ,a 4 , 的符号，最后得到答案.   【详解】当a 1 0时，根据题意，则a 2 a 3 a 4 a 5   0，则集合 n a n 0,nN,n1 的元素有 无数个； 当a 1 1时，则a 2 0，根据题意，则a 3 a 4 a 5   0，则集合的元素有无数个； a2 1 1  1  当a 1且a 0时，a  n  a  ， 1 1 n1 2a 2 n a   n n 若a 1，则a 0；若0a 1，则a 0；若1a 0，则a 0；若a 1，则 n n1 n n1 n n1 n a 0. n1 1  1  1 1  而a a  a  a  a  ，则a 0时，数列递减且无下限（※）； n1 n 2 n a n 2 n a n     n n a 0时，数列递增且无上限（*）. n 第 7 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （1）若a 1 1，则a n1 a n 0，根据（※）可知，在求解a 1 ,a 2 , 的迭代过程中，终有一项会首次小于 0，不妨设为a k 1,kZ ； k （2）若a 1，则a 0； k k1 ①若a 1，则a 0，接下来进入（2）或（3）； k1 k2 ②若1a 0，接下来进入（3）； k1 （3）若1a 0，则a 0，接下来进入（1）或 （4） ； k k1 （4）若0a 1，则a 0，接下来进入（2）或（3）. k k1 若0a 1，则进入（4）. 1 若1a 0，则进入②. 1 若a 1，则进入①. 1 如此会无限循环下去，会出现无限个负数项.   综上：集合 n a n 0,n1,2,3,  的元素个数为无数个. 故选：C. 【点睛】思路点睛：本题比较复杂，刚开始的a 0，a 1容易想到，当a 1且a 0时，注意要 1 1 1 1 对a 的四种情况进行分类，然后从某一种情况开始进行推理，其它情况可以以此类推，类似这样的题目一 1 定要细心. 三、解答题（本大题共有 5题，满分 78分） AC 17. 在 ABC中，已知cosBcos 0．  2 （1）求角B的大小； 12 3 （2）设角A、B、C的对边分别为a、b、c．若8a 3c，且AC边上的高为 ，求  ABC的周 7 长． π 【答案】（1）B 3 （2）18 【解析】 第 8 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) B 【分析】（1）利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可得出关于sin 的方程，结合角B的取值范围先得出 2 B sin 的值，进而可得出角B的值； 2 （2）设a3tt 0 ，则c8t，利用余弦定理求得b7t，利用三角形的面积公式求出t的值，即可得 出 ABC的周长.  【小问1详解】 AC π B B 解：因为cos cos    sin ， 2 2 2  2 AC B B B B 所以，cosBcos 12sin2 sin 0，即2sin2 sin 10. 2 2 2 2 2 B π B B 1 因为0 Bπ，则0  ，所以，0sin 1，解得sin  ， 2 2 2 2 2 B π π 所以，  ，因此，B . 2 6 3 【小问2详解】 解：因为8a 3c，设a3tt 0 ，则c8t， 1 由余弦定理可得b2 a2 c2 2accosB9t2 64t2 23t8t 49t2，所以，b7t， 2 12 3 1 1 12 3 因为AC边上的高为 ，则S  acsinB b ， 7 △ABC 2 2 7 3 12 3 即3t8t 7t ，解得t 1， 2 7 因此， ABC的周长为abc18t 18.  18. 设m、nR，已知z 1 2i（i为虚数单位）是方程x2 mxn0的一个根． 1 （1）求m、n的值；       （2）设方程的另一根为z ，复数z 、z 对应的向量分别是a、b ．若向量tab 与atb 的夹角为锐 2 1 2 角，求实数t的取值范围． 【答案】（1）m、n的值分别为2、3     （2） 32 2,1 U 1,32 2 【解析】 【分析】（1）根据复数的四则运算结合复数相等运算求解； 第 9 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) r r     （2）根据题意分析可得a  1, 2 ,b 1, 2 ，结合数量积的符号以及向量共线运算求解. 【小问1详解】 因为z 1 2i（i为虚数单位）是方程x2 mxn0的一个根， 1  2   则 1 2i m 1 2i nmn1 2m2i0， mn10 m2 可得 ，解得 ， m20 n3 所以m、n的值分别为2、3. 【小问2详解】 r r     由题意可知：z  z 1 2i，则a  1, 2 ,b 1, 2 ， 2 1 r r r r     可得tab  t1, 2t 2 ,atb  t1, 2 2t ，     若向量tab 与atb 的夹角为锐角， r r r r         可知 tab  atb 0且tab 与atb 不共线， t12   2t 2  2 2t  0  则 ，解得32 2 t 32 2且t 1，     t1 2t 2 t1 2 2t      所以实数t的取值范围 32 2,1 U 1,32 2 . 19. 某工厂去年12月试生产新工艺消毒剂1250升，产品合格率为90%．从今年1月开始，工厂在接下来 的两年中将正式生产这款消毒剂，今年1月按去年12月的产量和产品合格率生产，此后每个月的产量都在 前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月提高0.4%． （1）求今年1月到12月该消毒剂的总产量；（精确到1升） （2）从第几个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在100升以内? 【答案】（1）19896 （2）13 【解析】 【分析】（1）设今年第n个月生产了a 升消毒剂，再根据a 15%a 1.05a ，结合等比数列的求和 n n1 n n 公式求解即可； （2）设第n个月生产的消毒剂中不合格的量为b 升，由题意b 12501.05n10.1040.004n，再分析 n n 第 10 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) b 的单调性，结合b 119.7100b 93.4，求解即可 n 12 13 【小问1详解】 设今年第n个月生产了a 升消毒剂，则a 1250，a 15%a 1.05a  1n11,nN* ，从而所 n 1 n1 n n 11.0512 求年产量为a a a 1250 19896（升）. 1 2 12 11.05 故今年消毒剂的年产量为19896升. 【小问2详解】 设第n个月生产的消毒剂中不合格的量为b 升， n 由题意，b a 10%0.4%n112501.05n10.1040.004n，  nN* . n n b 0.10.004n 21 25n b 则 n1 1.05   ，由 n1 1，得到n5， b 0.1040.004n 20 26n b n n 故当n6时，b b ， n1 n 而b 12501.0511(0.1040.00412)119.7100， 12 b 12501.0512(0.1040.00413)93.4100， 13 故从第13个月起，不合格的量将始终小于100升. 故从第13个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在100升以内. 20. 已知 f xsinx 3cosx． （1）求函数y  f x 的单调增区间； 1  π 5π （2）设方程 f x 在   , 上的两解为和 ，求cos 的值； 2  3 3  （3）在 ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c．若c 3， f C0，且  sinAsinB2 10sinAsinB，求 ABC的面积．   5π π  【答案】（1）   2kπ， 2kπ  ,kZ  6 6  7 （2） 8 3 3 （3） 20 【解析】 第 11 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【分析】（1）利用辅助角公式及正弦函数的性质即求；  π 1 π 1 π 1 （2）由题得sinx  ，可解得 arcsin ， arcsin ，再利用两角差的余弦公式及二倍  3 4 3 4 3 4 角公式即求； 2π （3）由题可求C  ，再结合正余弦定理及面积公式即求. 3 【小问1详解】  π 由题意知 f(x)2sin  x ，  3 π π π 5π π 由 2kπ x  2kπ,kZ，得到 2kπ x 2kπ,kZ， 2 3 2 6 6  5π π  所以函数y  f x 的单调增区间为   2kπ， 2kπ  ,kZ  6 6  【小问2详解】 1  π 1 令 f(x) ，化简得sinx  ， 2  3 4 π 1 π 1 解得x 2kπarcsin (kZ)或x 2kππarcsin (kZ)． 3 4 3 4  π 5π π 1 2π 1 由于x   , ，故 arcsin ， arcsin ．  3 3  3 4 3 4 1 1 于是cos()cos(π2arcsin )cos(2arcsin )． 4 4 1 7 令arcsin ，则cos212sin2 ， 4 8 7 因此cos() ． 8 【小问3详解】  π 由题意知 f(C)2sinC 0，  3 2π 由于C(0,π)，解得C  ． 3 a b c 3    2 在  ABC中，由正弦定理知sinA sinB sinC 3 ， 2 1 1 故sinA a，sinB b，又sinAsinB2 10sinAsinB 2 2 所以ab 10ab， 在 ABC中，由余弦定理知3a2 b2 ab(ab)2 ab，  第 12 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 3 所以310a2b2 ab，解得ab ， 5 1 1 3 3 3 3 因此  ABC的面积S  absinC     ． 2 2 5 2 20 21. 已知无穷数列 a  的各项均为整数．设数列 a  的前n项和为S ，记S ,S ,,S 中奇数的个数为b ． n n n 1 2 n n （1）若a n，试写出数列 b  的前5项； n n （2）证明：“a 为奇数，且a i 2,3,4, 为偶数”是“数列 b  为严格增数列”的充分非必要条件； 1 i n （3）若a b （i为正整数），求数列 a  的通项公式． i i n 【答案】（1）b 1,b 2,b 2,b 2,b 3 1 2 3 4 5 （2）证明见详解 （3）a 0 n 【解析】 【分析】（1）可得a 1,a 2,a 3,a 4,a 5，由此能写出数列 b  的前5项． 1 2 3 4 5 n （2）先证充分性，推导出b n，从而数列 b  是单调递增数列；再通过举反例说明不必要性． n n （3）通过分类讨论可得：a 与S 的奇偶性相同，进而说明a 与S 只能同偶，结合题意即可得结果． n n n n 【小问1详解】 因为a n，则a 1,a 2,a 3,a 4,a 5， n 1 2 3 4 5 可得S 1,S 3,S 6,S 10,S 15， 1 2 3 4 5 所以b 1,b 2,b 2,b 2,b 3. 1 2 3 4 5 【小问2详解】 先证充分性： 因为a 为奇数，且a i 2,3,4, 为偶数，则有： 1 i 当n1时，S a 为奇数， 1 1 当n2时，则a a a 为偶数，可知S a a a a  为奇数， 2 3 n n 1 2 3 n 综上所述：S 为奇数，则b n， n n 又因为b b n1n10，所以数列 b  为严格增数列. n1 n n 第 13 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 0,n1 0,n1   0,n1 说明非必要性：举反例a 1,n2，可得S 1,n2 ，所以b  ， n  n  n n1,n2 2,n3 2n3,n3   显然数列 b  为严格增数列，但不满足“a 为奇数，且a i 2,3,4, 为偶数”， n 1 i 综上所述：“a 为奇数，且a i 2,3,4, 为偶数”是“数列 b  为严格增数列”的充分非必要条件. 1 i n 【小问3详解】 因为 （ⅰ）当a 为奇数时，S 为偶数， n n ①若a 是奇数，则S 为奇数，可知b b 1为偶数，与a b 矛盾； n1 n1 n1 n n1 n1 ②若a 为偶数，则S 为偶数，可知b b a 为奇数，与a b 矛盾． n1 n1 n1 n n n1 n1 所以当a 为奇数时，S 不能为偶数； k n （ⅱ）当a 为偶数，S 为奇数， n n ①若a 为奇数，则S 为偶数，可知b b a 为偶数，与a b 矛盾， n1 n1 n1 n n n1 n1 ②若a 为偶数，则S 为奇数，可知b b 1为奇数，与a b 矛盾， n1 n1 n1 n n1 n1 所以当a 为偶数时，S 不能是奇数． n n 综上所述：a 与S 的奇偶性相同. n n 当a 与S 为奇数， n n 若a 与S 同为奇数，可知S  S a 为偶数，与S 为奇数矛盾； n1 n1 n1 n n1 n1 若a 与S 同为偶数，可知S  S a 为奇数，与S 为偶数矛盾； n1 n1 n1 n n1 n1 综上所述：a 与S 不能同为奇数， n n 所以对nN*，a 与S 为偶数，则b 0， n n n 所以a 0. n 【点睛】关键点睛：根据题意可知本题的关键a 、S 的奇偶性问题，分类讨论先证a 与S 的奇偶性相 n n n n 同，再说明nN*，a 与S 为偶数，即可得结果. n n 第 14 页 共 14 页