精品解析：上海市曹杨中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（原卷版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_高中_高二_上学期_2：期中

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 曹杨中学 2023 学年第一学期高二年级数学期中 一、填空题（本大题共有 12题，满分 54分，第 1∼6题每题 4分，第 7∼12题每题 5分） 1. 在空间中，如果两条直线没有交点，那么这两条直线的位置关系是___________. 2. 用斜二测画法画水平放置的正方形 ABCD 的直观图为平行四边形 ABCD ，取AB所在直线为x轴， AD所在直线为y轴．若在直观图中 AB 2cm ，则 BC  ______ cm ． 的 3. 已知圆柱 底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为___________ 36 4. 已知球的表面积为 ,则该球的体积为______.    , a   b  1 a    a  b   5. 若 a､b 的夹角为 3 ，则 ___________. 6. 已知长方体 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1的棱 AD AA 1 1 ，AB 2，则异面直线BD与 B 1 C 1所成角的余弦值 为______． 7. 已知一个球的半径为2，若用一个与球心距离为1的平面截球体，则所得的截面面积为______． 8. 在四棱锥 PABCD 中，已知PD 平面 ABCD ，底面四边形 ABCD 是正方形，BC1，直线PB与 1 平面 PCD 所成角的正切值是2 ，则PD______． 9. 定义：点到半平面的距离为该点到半平面所在平面的距离．若某锐二面角内一点到二面角的两个半平面 2 的距离分别为1和 ，到二面角的棱的距离为2，则此二面角的大小为______． 10. 我国南北朝时期的数学家祖暅在计算球的体积时，提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异.”这里的 ABCD “幂”指水平截面的面积，“势”指高.如图（1）是一种“蒙古包”的简易视图，其中底面 是个正方形， AOC BOD AOC BOD 曲线 和 均是以2为半径的半圆，平面 和平面 均垂直于底面.想要计算该蒙古包的体 V 积 就可以利用祖暅原理，构造一个与蒙古包同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四 V 棱锥（如图（2）），从而求得 =_____________. SA 11. 如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，B是母线 上 第 1 页 共 5 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 一点，且 AB10 公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路.这条铁路从A 出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为______________公里. 12. 如图所示，在直角梯形 ABCD 中， AD//BC ， ABBC ，AD AB2， BC 4 ．将折线 DABC CD 绕着 所在直线旋转一周形成的旋转面的面积是______． 二、选择题（本大题共有 4题，满分 20分，每题 5分） 13. 给定空间中的直线l与平面  ，则“直线l与平面  垂直”是“直线l垂直于  平面内无数条直线”的 （ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知空间中，l,m,n是互不相同直线，,是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ）. A. 若//，l，n，则l//n B. 若，l，则l  C 若l n，mn，则l//m D. 若l ，l//，则 . 15. 如图，在正方体ABCDABC D 中，点P是线段AC 上的动点，下列与BP始终异面的是（ ） 1 1 1 1 1 1 第 2 页 共 5 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) A. DD B. AC C. AD D. BC 1 1 1 16. 已知菱形ABCD中，BAD60，AC与BD相交于点E，将△ABD沿BD折起，使顶点A至点 M，在折起的过程中，对于下面两个命题： ①存在一个位置，使VCDM 为等边三角形； ②DM与BC不可能垂直，成立的是（ ） A. ①为假命题，②为真命题； B. ①为真命题，②为假命题； C. ①②均为真命题； D. ①②均为假命题 三、解答题（共 5道大题，其中 17题 14分，18题 14分，19题 14分，20题 16分，21题 18分，共计 76分） 17. 如图，已知圆锥的底面半径r 2，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧AB的 中点，点P为母线SA的中点． （1）求此圆锥的表面积和体积； （2）求异面直线PQ与SO所成角的大小． 18. 《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图所示，四面体PABC中， PA平面ABC，AC  BC，D是棱AB的中点． 第 3 页 共 5 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （1）判断四面体PACD是否为鳖臑，并说明理由； （2）若四面体PABC是鳖臑，且AP AB2，求直线AC与平面PAB所成的角的大小． 19. 某加油站拟建造如图所示的铁皮储油罐(不计厚度，长度单位为米)，其中储油罐的中间为圆柱形，左 右两端均为半球形，l 2r1(l为圆柱的高，为球的半径，l 2).假设该储油罐的建造费用仅与其表面积 有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为1千元，半球形部分每平方米建造费用为3千元.设该储油罐的建 造费用为y千元. (1) 写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域； (2) 若预算为8万元，求所能建造的储油罐中r的最大值(精确到0.1)，并求此时储油罐的体积V (单位: 立 方米，精确到0.1立方米). 20. 直四棱柱ABCDABC D ，AB//DC，AB AD，AB 2，AD3，DC 4． 1 1 1 1 （1）求证：平面ABB A 平面ADD A； 1 1 1 1 （2）求证：AB//平面DCC D ； 1 1 1 （3）若四棱柱ABCDABC D 的体积为36，求二面角A BDA的大小． 1 1 1 1 1 21. 如图①，在棱长为1的正方体ABCDABC D 中，E是棱AA 上的一个动点． 1 1 1 1 1 第 4 页 共 5 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （1）求证：三棱锥B BED 的体积是定值； 1 1 （2）是否存在点E，使得BD平面BED ，若存在请找出点E的位置，若不存在，说明理由； 1 1 （3）定义：与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间 的线段称为异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段． 根据以上定义及性质解决如下问题： 如图②中，M为线段AC的中点，线段AB（不包括两个端点）上有一个动点N，过点A、C、N 作正 1 1 方体的截面． ①判断截面的形状，并说明理由； ②当截面的面积取得最小值时，求点N的位置． 第 5 页 共 5 页