精品解析：上海市曹杨中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_高中_高二_上学期_2：期中

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 曹杨中学 2023 学年第一学期高二年级数学期中 一、填空题（本大题共有 12题，满分 54分，第 1∼6题每题 4分，第 7∼12题每题 5分） 1. 在空间中，如果两条直线没有交点，那么这两条直线的位置关系是___________. 【答案】平行或异面 【解析】 【分析】根据空间中两直线的位置关系即可判断. 【详解】空间中的直线没有公共点，则两直线要么平行，要么是异面直线. 故答案为：平行或异面 2. 用斜二测画法画水平放置的正方形ABCD的直观图为平行四边形ABCD，取AB所在直线为x轴， AD所在直线为y轴．若在直观图中AB 2cm，则BC ______cm． 【答案】2 【解析】 【分析】画出正方形ABCD的直观图，是平行四边形ABCD，根据画法规则即可求解. 【详解】如图所示， 斜二测画法画边长为2的正方形ABCD的直观图，是平行四边形ABCD， 且AB AB2； 由于四边形ABCD为正方形，所以BC 2cm， 故答案为：2 3. 已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为___________ 【答案】4 【解析】 【分析】圆柱侧面积等于底面周长乘以高. 【详解】依题意，圆柱底面周长等于212，故侧面积等于224 故答案为：4 4. 已知球的表面积为36,则该球的体积为______. 第 1 页 共 18 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】36 【解析】 【分析】设球半径为R，由球的表面积求出R 3，然后可得球的体积． 【详解】设球半径为R， ∵球的表面积为36， ∴4πR2 36， ∴R 3， 4 4 ∴该球的体积为V πR3  π33 36． 3 3 故答案为36． 【点睛】解答本题的关键是熟记球的表面积和体积公式，解题时由条件求得球的半径后可得所求结果． 5. 若a  ､b  的夹角为  , a   b  1，则a    a  b  ___________. 3 1 【答案】 ##0.5 2 【解析】    2   【分析】先求出  a  b ，进而由aa- b a ab求出答案.         1   【详解】因为a,b的夹角为 ,|a|=|b|1，所以ab 11cos  ，于是 3 3 2    2   1 1 aa- b a ab 1  .   2 2 1 故答案为： . 2 6. 已知长方体ABCDABC D 的棱AD AA 1，AB 2，则异面直线BD与BC 所成角的余弦值 1 1 1 1 1 1 1 为______． 5 1 【答案】 ## 5 5 5 【解析】 【分析】由定义说明DBC是异面直线BD与BC 所成角或其补角，然后计算． 1 1 【详解】因为BC //BC，所以DBC是异面直线BD与BC 所成角或其补角， 1 1 1 1 BC 1 5 在直角  BDC中，BD CD2 CB2  5，cosCBD    ， BD 5 5 第 2 页 共 18 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 5 故答案为： ． 5 7. 已知一个球的半径为2，若用一个与球心距离为1的平面截球体，则所得的截面面积为______． 【答案】3π 【解析】 【分析】球的截面的性质由勾股定理求解截面圆半径即可. 【详解】由球的性质可得截面为圆面，则截面圆的半径为 22  12  3，  2 故面积为π 3 3π， 故答案为：3π 8. 在四棱锥PABCD中，已知PD 平面ABCD，底面四边形ABCD是正方形，BC1，直线PB与 1 平面PCD所成角的正切值是 ，则PD______． 2 【答案】 3 【解析】 【分析】由线面角的定义，证明BC平面PCD，则直线PB与平面PCD所成角为BPC，利用直角三 角形的边长的关系计算. 【详解】四棱锥PABCD中， PD 平面ABCD， DC,BC 平面ABCD，PD DC ，PD BC， 底面四边形ABCD是正方形，则DC  BC， PD,DC 平面PCD，PDDCD，BC平面PCD， 则直线PB与平面PCD所成角为BPC， 第 3 页 共 18 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) BC 1 Rt△BPC中，tanBPC   ，PC 2BC 2， PC 2 Rt  PDC中，PD PC2 DC2  3 . 故答案为： 3 9. 定义：点到半平面的距离为该点到半平面所在平面的距离．若某锐二面角内一点到二面角的两个半平面 的距离分别为1和 2 ，到二面角的棱的距离为2，则此二面角的大小为______． 5π 【答案】75## 12 【解析】 【分析】根据二面角的平面角的定义，构造要求二面角的平面角，借助直角三角形，求出二面角的大小． 【详解】根据题意，设点P在锐二面角l内， 过点P作PA平面，垂足为A，过点P作PB平面，垂足为B， PA，l，则PA直线l，同理：PBl， 而PA  PB  P，PA,PB平面PAB，则l平面PAB， 设平面PAB与直线l的交点为C，PC,AC,BC 平面PAB， 则有PC l，ACl，BC l， 连接AC、BC、PC，则ACB是二面角l的平面角或其补角， 依题意，不妨设PA1，则PB 2，PC 2， 如图： 在Rt△PAC 中，PA1，PC 2，则ACP30， 第 4 页 共 18 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 在Rt△BCP中，PB 2，PC 2，则BCP45， 则ACB30 45 75，所以锐二面角的大小为75. 故答案为：75. 10. 我国南北朝时期的数学家祖暅在计算球的体积时，提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异.”这里的 “幂”指水平截面的面积，“势”指高.如图（1）是一种“蒙古包”的简易视图，其中底面ABCD是个正方形， 曲线AOC和BOD均是以2为半径的半圆，平面AOC和平面BOD均垂直于底面.想要计算该蒙古包的体 积V 就可以利用祖暅原理，构造一个与蒙古包同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四 棱锥（如图（2）），从而求得V =_____________. 32 【答案】 3 【解析】 【分析】由题知AC 4,AB2 2，正四棱柱的高为2，进而根据V V V 计算即可. 正四棱柱 正四棱锥 【详解】解：因为底面ABCD是个正方形，曲线AOC和BOD均是以2为半径的半圆 所以AC 4,AB2 2，正四棱柱的高为2 根据祖暅原理，该蒙古包的体积 1 16 32 V V V 2 22 22 2 22 2216  . 正四棱柱 正四棱锥 3 3 3 32 故答案为： 3 11. 如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，B是母线SA上 一点，且AB10公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路.这条铁路从A 出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为______________公里. 第 5 页 共 18 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】18 【解析】 【分析】先展开圆锥的侧面，确定观光铁路路线，再根据实际意义确定下坡段的铁路路线，最后解三角形 得结果. 【详解】如图，展开圆锥的侧面，过点S作AB的垂线，垂足为H ，  记点P为AB上任意一点，联结PS ，Q ¼ AAASASA40ASA210ASA ， 2 由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的AB，AB SA2 SB2  402 302 50， 上坡即P到山顶S的距离PS 越来越小，下坡即P到山顶S的距离PS 越来越大， ∴下坡段的铁路，即图中的HB， SB2 302 由Rt△SAB∽ Rt△HSB，得HB  18. AB 50 故答案为：18 【点睛】本题考查圆锥侧面展开图、解三角形，考查等价转化思想方法以及基本分析求解能力，属基础题. 12. 如图所示，在直角梯形ABCD中，AD//BC，ABBC ，AD AB2，BC 4．将折线DABC 绕着CD所在直线旋转一周形成的旋转面的面积是______． 第 6 页 共 18 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】16π 【解析】 【分析】根据旋转体在性质，结合圆锥和圆台的侧面积公式即可求解. 【详解】过A作AE CD于点E， 由于AD//BC，ABBC ，AD AB2，BC 4， 所以BD 2AB2 2,ABDADB45，进而CD BD2 BC2 2BDBCcos45 2 2， 故BD2 CD2  BC2 因此BDCD，又AE CD，所以四边形ABDE为直角梯形， 所以折线DABC绕着CD所在直线旋转一周形成的旋转体为：以Rt BCD绕CD形成的圆锥和以梯形  ABDE绕着CD形成的圆台，挖去以Rt△AED绕CD形成的小圆锥，如图示： 2 AE  ED AD 2, 2 故表面积为   S πBDBCπAEBDABπAEADπ2 24π 22 2 2π 2216π, 故答案为：16π 二、选择题（本大题共有 4题，满分 20分，每题 5分） 13. 给定空间中的直线l与平面，则“直线l与平面垂直”是“直线l垂直于平面内无数条直线”的 （ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 第 7 页 共 18 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与平面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的判定，即可求解． 【详解】由题意，若“直线l与平面垂直”则“直线l垂直于平面内无数条直线”成立的，所以充分性 是成立的； 若“直线l垂直于平面内无数条直线”则直线“直线l不一定平面垂直”，所以必要性不成立， 所以“直线l与平面垂直”是“直线l垂直于平面内无数条直线”成立的充分不必要条件． 故选A． 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记直线与平面垂直的定义，结合充分 条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 14. 已知空间中，l,m,n是互不相同直线，,是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ）. A. 若//，l，n，则l//n B. 若，l，则l  C. 若l n，mn，则l//m D. 若l ，l//，则 【答案】D 【解析】 【分析】通过反例可确定ABC错误；根据线面平行的性质和面面垂直的判定可知D正确. 【详解】对于A，若//，l，n，则l与n可能平行或异面，A错误； 对于B，若，l，则l与可能平行或相交，B错误； 对于C，若l n，mn，则l与m可能平行、相交或异面，C错误； 对于D，若l//，则在内存在直线n，满足l//n，又l ，n， 又n，，D正确. 故选：D. 15. 如图，在正方体ABCDABC D 中，点P是线段AC 上的动点，下列与BP始终异面的是（ ） 1 1 1 1 1 1 第 8 页 共 18 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) A. DD B. AC C. AD D. BC 1 1 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线的定义一一判定即可. 【详解】由正方体的性质易知当P为AC 的中点时，此时PBD ， 1 1 1 1 而DD //BB ，所以B,D,D,B 共面， 1 1 1 1 则BP、DD 在平面BDDB 上，故A不符题意； 1 1 1 同上，AA //CC ，即A,C,C ,A 共面， 1 1 1 1 易知P平面ACC A ，而B平面ACC A ，故B符合题意； 1 1 1 1 当P、C 重合时，易知AB//DC ,AB DC ，则四边形ABC D 是平行四边形， 1 1 1 1 1 1 1 则此时AD //BP，故C不符合题意； 1 同上当P、C 重合时，显然BC，BP相交，故D不符合题意. 1 1 故选：B 16. 已知菱形ABCD中，BAD60，AC与BD相交于点E，将△ABD沿BD折起，使顶点A至点 M，在折起的过程中，对于下面两个命题： ①存在一个位置，使VCDM 为等边三角形； ②DM与BC不可能垂直，成立的是（ ） A. ①为假命题，②为真命题； B. ①为真命题，②为假命题； C. ①②均为真命题； D. ①②均为假命题 【答案】B 【解析】 【分析】根据运动过程中三棱锥成为正四面的特殊情况，判断命题的真假即可. 【详解】由题意知，AB BC CD DA BD，当四面体MBCD为正四面体时，此时VCDM 为等边 三角形，故①为真命题； 第 9 页 共 18 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 当三棱锥是正四面体时，设顶点M 在底面BCD上的投影为O，连接DO延长交BC于F ，如图， 由正四面体性质可知，O是三角形BCD中心，F 是BC中点， 所以BC MO,BC  DF，又FD  MOO, FD,MO平面MDO， 所以BC平面MDO，又MD平面MDO， 所以DM  BC ，所以②为假命题. 故选：B 三、解答题（共 5道大题，其中 17题 14分，18题 14分，19题 14分，20题 16分，21题 18分，共计 76分） 17. 如图，已知圆锥的底面半径r 2，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧AB的 中点，点P为母线SA的中点． （1）求此圆锥的表面积和体积； （2）求异面直线PQ与SO所成角的大小． 8 3π 【答案】（1）表面积S 12π，体积V  . 3 15 （2）arctan 3 【解析】 【分析】（1）由轴截面为等边三角形确定母线长和圆锥的高，再由圆锥的表面积和体积公式进行求解； （2）取OA的中点M ，连接PM ，利用三角形的中位线得到PM//OS，得到MPQ为异面直线PQ与SO 第 10 页 共 18 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 所成的角或其补角，再利用两个直角三角形Rt△MOQ和Rt  PMQ进行求解． 【小问1详解】 圆锥的底面半径r 2，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB， 所以SA4，hOS 2 3， 1 所以圆锥的表面积S π22  4π412π， 2 1 4π 8 3π 圆锥的体积为V  πr2h 2 3  . 3 3 3 【小问2详解】 取OA的中点M ，连接PM 、QM ， 又点P为母线SA的中点，所以PM//OS， 故MPQ为异面直线PQ与SO所成的角或其补角． 由点Q为半圆弧AB的中点，得OQ AB， 在Rt△MOQ中，因为OM 1，OQ= 2，所以MQ 5， 因为PM//OS，且SO平面ABQ，所以PM 平面ABQ， 又OA，MQÌ 平面ABQ，所以PM OA，PM MQ， 1 因为PM  SO 3， 2 MQ 5 15 在Rt  PMQ中，tanMPQ   ， PM 3 3 15 所以MPQarctan ． 3 第 11 页 共 18 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 15 即异面直线PQ与SO所成角的大小为arctan ． 3 18. 《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图所示，四面体PABC中， PA平面ABC，AC  BC，D是棱AB的中点． （1）判断四面体PACD是否为鳖臑，并说明理由； （2）若四面体PABC是鳖臑，且AP AB2，求直线AC与平面PAB所成的角的大小． 【答案】（1）是，理由见解析 π （2） 4 【解析】 【分析】（1）先证明CD平面PAB，即可得证CD PB，进而可知四面体PACD是鳖臑，由此得出结 论； （2）根据CD平面PAB，可得CAD为直线AC与平面PAB所成的角，即可求解. 【小问1详解】 证明： PA平面ABC，CD平面ABC，  PACD， AC BC，D是棱AB的中点，CD AB，  又PA  AB A，且PA平面PAB，AB平面PAB， \ CD^ 平面PAB， PD平面PAB，CD PD；  因此PA AC,PA PD,CD AD,CD PD, 故PAC，PAB，ADC ，PDC为直角，所以四面体PACD是鳖臑， 【小问2详解】  四面体PABC是鳖臑，AC  BC，AC  BC， 又AP AB2，  AC  BC  2， 第 12 页 共 18 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 由（1）知CD平面PAB，所以CAD为直线AC与平面PAB所成的角， 1 π 由于CD AD,D是中点，所以ADCD AB1,故CAD 2 4 19. 某加油站拟建造如图所示的铁皮储油罐(不计厚度，长度单位为米)，其中储油罐的中间为圆柱形，左 右两端均为半球形，l 2r1(l为圆柱的高，为球的半径，l 2).假设该储油罐的建造费用仅与其表面积 有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为1千元，半球形部分每平方米建造费用为3千元.设该储油罐的建 造费用为y千元. (1) 写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域； (2) 若预算为8万元，求所能建造的储油罐中r的最大值(精确到0.1)，并求此时储油罐的体积V (单位: 立 方米，精确到0.1立方米). 1  【答案】(1) y 16r2 2r，  , ；(2) 1.2(米)，22.7立方米. 2  【解析】 【分析】（1）先利用公式计算两个半球的表面积（不含底）以及圆柱的侧面积，再根据每平方米建造费用 可得y关于r的函数表达式，注意r的范围. （2）根据预算可得关于r的不等式，求出其解后可得r的最大值，利用公式可求该几何体的体积. 【详解】(1) 半球的表面积S 2r2（不含底），圆柱的侧面积S 2rl. 1 2 于是y 32S 1S 34r2 12r(2r1)16r2 2r. 1 2 1  定义域为  , . 2  1 1 20 1 5    (2) 16r2 2r 80，即r2  r 0，解得 8 64  . 8  r  1.2 2 第 13 页 共 18 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 4 10 V  r3 r2(2r1) r3 r2， 3 3 经计算得V 22.7(立方米). 故r的最大值为1.2(米)，此时储油罐的体积约为22.7立方米. 【点睛】本题考查组合体的体积与表面积，注意把复杂的几何体分解为基本的几何体，从而可以用熟悉的 公式求组合体的表面积、体积等，本题属于中档题. 20. 直四棱柱ABCDABC D ，AB//DC，AB AD，AB 2，AD3，DC 4． 1 1 1 1 （1）求证：平面ABB A 平面ADD A； 1 1 1 1 （2）求证：AB//平面DCC D ； 1 1 1 （3）若四棱柱ABCDABC D 的体积为36，求二面角A BDA的大小． 1 1 1 1 1 【答案】（1）证明见详解； 2 13 （2）证明见详解； （3）arctan . 3 【解析】 【分析】（1）利用直四棱柱的特征及线线垂直证线面垂直即可得面面垂直； （2）利用直四棱柱的特征及线面平行证面面平行即可得线面平行； （3）利用棱柱体积公式先得AA ，再利用二面角的定义计算即可. 1 【小问1详解】 由题意可知AA 底面ABCD， 1 因为AB底面ABCD，所以AA  AB， 1 因为AB AD,ADAA=A,AD、AA 平面ADD A， 1 1 1 1 所以AB平面ADD A， 1 1 又AB平面ABB A ，所以平面ABB A 平面ADD A； 1 1 1 1 1 1 第 14 页 共 18 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【小问2详解】 由题意可知AA//DD ，且AA 平面DCCD，DD 平面DCCD， 1 1 1 1 1 1 1 1 所以AA//平面DCCD， 1 1 1 因为AB//DC，且AB平面DCCD，DC 平面DCCD， 1 1 1 1 所以AB//平面DCCD， 1 1 又AA AB A,AA、AB平面ABB A ， 1 1 1 1 所以平面ABB A//平面DCCD， 1 1 1 1 因为AB平面ABB A ， 1 1 1 所以AB//平面DCCD； 1 1 1 【小问3详解】 2+4 36 易知底面ABCD为直角梯形，其面积S= 3=9 AA  4， 2 1 S 如图所示，过A作AE  BD于E，连接AE， 1 BD平面ABCD，由上可知AA  BD， 1 因为AA AE  A,AA、AE 平面AAE， 1 1 1 所以BD平面AAE， 1 又AE 平面AAE，则BD AE， 1 1 1 所以AEA即二面角A BDA的平面角， 1 1 第 15 页 共 18 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 23 6 13 AA 2 13 在直角△ABD中，易知AE   tanAEA 1  ， 22+32 13 1 AE 3 2 13 故AEAarctan . 1 3 21. 如图①，在棱长为1的正方体ABCDABC D 中，E是棱AA 上的一个动点． 1 1 1 1 1 （1）求证：三棱锥B BED 的体积是定值； 1 1 （2）是否存在点E，使得BD平面BED ，若存在请找出点E的位置，若不存在，说明理由； 1 1 （3）定义：与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间 的线段称为异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段． 根据以上定义及性质解决如下问题： 如图②中，M为线段AC的中点，线段AB（不包括两个端点）上有一个动点N，过点A、C、N 作正 1 1 方体的截面． ①判断截面的形状，并说明理由； ②当截面的面积取得最小值时，求点N的位置． 【答案】（1）证明见解析 （2）不存在，理由见解析 （3）①截面的形状为平行四边形，说明理由见解析； ②当截面的面积取得最小值时，点N为AB中点. 【解析】 【分析】（1）E点到平面BBD的距离为定值，又△BBD的面积为定值，V V ，可得三棱 1 1 B 1 BED 1 EBB 1 D 1 锥B BED 的体积是定值； 1 1 （2）若BD平面BED ，则有BD BD ，而BD BD 不成立，可得结论； 1 1 1 1 1 1 第 16 页 共 18 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （3）①由截面与棱的交点判断形状；②由两条异面直线的公垂线段确定截面的面积最小. 【小问1详解】 正方体中AA//BB ，AA 平面BBD，BB 平面BBD，所以AA//平面BBD， 1 1 1 1 1 1 1 1 则E点到平面BBD的距离为定值，又△BBD的面积为定值， 1 1 所以三棱锥EBBD 的体积是定值 1 1 由V V ，所以三棱锥B BED 的体积是定值 B 1 BED 1 EBB 1 D 1 1 1 【小问2详解】 这样的E点不存在，理由如下： 若BD平面BED ，由BD 平面BED ，则有BD BD ， 1 1 1 1 1 1 而正方体中，四边形DBBD 是矩形不是菱形，BD BD 不成立， 1 1 1 1 所以不存在点E，使得BD平面BED . 1 1 【小问3详解】 ①截面与棱C D 相交于点T ，连接AT,CT,AN,CN，则截面为四边形NCTA ， 1 1 1 1 1 平面ABCD//平面A 1 B 1 C 1 D 1 ，截面  平面ABCD NC，截面  平面A 1 B 1 C 1 D 1  A 1 T ， 则NC//AT ，同理TC//AN ，所以四边形NCTA 为平行四边形， 1 1 1 即截面的形状为平行四边形. ②当截面的面积取得最小值时，即平行四边形NCTA 1 面积最小， A 1 NC 面积最小， 则点N到AC的距离最短， 1 M为线段AC的中点，则M点为正方体的中心，当N为线段AB的中点时， 1 第 17 页 共 18 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 由MAMB，有MN AB，由AN CN ，有MN  AC， 1 1 则MN 是两条异面直线AB与AC的公垂线段， 1 此时点N到A 1 C的距离最短， A 1 NC 面积最小，截面NCTA 1 面积最小. 所以当截面的面积取得最小值时，点N为AB中点. 【点睛】方法点睛： 空间几何图形涉及到正方体，要充分利用正方体的结构特征，运用好线面关系以及距离角度，解决相关问 题. 第 18 页 共 18 页