精品解析：上海市曹杨中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_高中_高二_下学期_2：期中

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 曹杨二中 2022 学年第二学期高二年级数学期中 一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，前 6 题每个空格填对得 4 分，后 6 题每 个空格填对得 5分，否则一律得零分． 1. 2与 8 的等差中项是________. 【答案】-5 【解析】 【分析】根据等差中项的定义计算即可. 【详解】设等差中项为x，则2x28 x5， 故答案为：-5 2. 某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1 门课程学习，则不同的选法共有_____________种. 【答案】11 【解析】 【分析】直接根据分类加法计数原理得答案. 【详解】根据分类加法计数原理得不同的选法共有45211种. 故答案为：11. 3. 已知数列 a  （n1，nN）的通项公式是a  3n1，则2 7 是该数列中的第________项. n n 【答案】9 【解析】 【分析】利用通项公式的概念求解n的值. 【详解】根据题意，得 3n12 7， 解得n9，所以2 7 是该数列中的第9项. 故答案为：9 4. 已知数列 a  （n1，nN）为等比数列，且8a a 0，则 a  的公比为________. n 2 5 n 【答案】-2 【解析】 【分析】由等比数列的定义及性质计算即可. 【详解】设 a  的公比为 q ，由题意可知a 0，则由8a a 0得 n n 2 5 第 1 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 8aqaq4 aq  8q3 08q3 0,q 2. 1 1 1 故答案为：-2   5. 设函数 f xcosx，则 f    ________.  4 2 【答案】 2 【解析】 【分析】根据常用函数的导函数计算即可.  π  π 2 【详解】由 f xcosx fxsinx f    sin     ，  4  4 2 2 故答案为： 2 6. 等比数列{a }的前3项的和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为____． n 【答案】﹣2或1 【解析】 【详解】试题分析：当公比 q=1 时，等比数列{a }的前 3 项的和等于首项的 3 倍；当公比 q≠1 时， n ．由此能求出该等比数列的公比． 解：∵等比数列{a }的前3项的和等于首项的3倍， n ∴当公比q=1时，等比数列{a }的前3项的和等于首项的3倍，成立； n 当公比q≠1时， ，解得q=﹣2． ∴该等比数列的公比为﹣2或1． 故答案为﹣2或1． 考点：等比数列的通项公式． 7. 若 a,b,c3,2,1,0,1,2,3,4 ，则符合条件的二次函数y ax2 bxc的解析式有______个． 【答案】294 【解析】 【分析】由分步乘法原理求解 【详解】y ax2 bxc是二次函数，故a0． 第 2 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 由集合元素的互异性知a,b,c互不相同，故符合条件的函数解析式有776294个． 故答案为：294 8. 设曲线y eax在点(0，1)处的切线与直线x2y10垂直，则a _______． 【答案】2 【解析】 【详解】  1 【分析】y′＝aeax，y′| x＝0 ＝a.由题意知，a×  ＝－1，∴a＝2  2 x2 y2 9. 已知双曲线  1，其右焦点与抛物线y2 4 3x的焦点重合，则该双曲线方程为________. a2 2 y2 【答案】x2  1 2 【解析】 【分析】求出抛物线y2 4 3x的焦点坐标，可得出双曲线的右焦点坐标，进而可求出a2的值，由此可得 出该双曲线的方程.   【详解】抛物线y2 4 3x的焦点坐标为 3,0 ， x2 y2   所以，双曲线  1的右焦点坐标为 3,0 ，则a2 23，得a2 1. a2 2 y2 因此，该双曲线的方程为x2  1. 2 y2 故答案为x2  1. 2 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，同时也考查了抛物线焦点坐标的求解，考查运算求解能力，属于基 础题. 10. 记数列 a  的前n项和为S ，若a 1，a 2S （n为正整数），则数列 a  的通项公式为 n n 1 n1 n n ________． 1,n1 【答案】a  n 23n2,n2 第 3 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】 a 【分析】当n2时，a 2S ，所以两式相减得a a 2S S  ，所以化简有 n1 3，又因 n n1 n1 n n n1 a n a 为 2 2，可得数列 a  是以a 2为首项，公比为3的等比数列，即可求出数列 a  的通项公式. a n 2 n 1 【详解】因为a 1，a 2S ， 1 n1 n 所以当n1时，a 2S 2a 2， 2 1 1 当n2时，a 2S ，所以两式相减得：a a 2S S  ， n n1 n1 n n n1 a a 则a a 2a ，所以 n1 3，又因为 2 2， n1 n n a a n 1 所以数列 a  是以a 2为首项，公比为3的等比数列. n 2 所以当n2时，a 23n2. n 1,n1 所以数列 a  的通项公式为：a  n n 23n2,n2 1,n1 故答案为：a  . n 23n2,n2 1 n1 1 1 1 1 1  11. 将数列  （n1，nN）分组为：（1）， , ， , , ，  2  2 4 8 16 32  1 1 1 1   , , , ，……，则第k（k 1，kN）组中的第一个数是________. 64 128 256 512 kk1  2  【答案】    2   【解析】 1 n1 【分析】根据等差数列的求和公式计算第k组中的第一个数位于数列  的第几项即可.  2  1 n1 【详解】由条件可知第k组即有k项，则第k组的第一个数是数列  的第123...k11  2  项， 第 4 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) kk1 计算123...k11 1， 2 1 kk 2 1 11  2  kk1 即       为第k组中的第一个数. 2  2  kk1  2  故答案为：    2    x e2,x0  12. 已知函数 f x exe ，点M､N 是函数y  f x 图象上不同的两个点，设O为坐标原   1x2,x0 点，则tanMON 的取值范围是__________.  2 【答案】 0,1   e 【解析】 【分析】作出函数 f x 的图形，求出过原点且与函数 f xx0 的图象相切的直线的方程，以及函数 f x 1x2(x0)的渐近线方程，结合两角差的正切公式，数形结合可得出tanMON 的取值范围. x 1x 【详解】当x0时， f x e2，则 fx 0， exe exe 所以，函数 f x 在 ,0 上为增函数； 当x0时，由y  1x2 0可得 y2 1x2，即y2 x2 1， 作出函数 f x 的图象如下图所示： 设过原点且与函数 f xx0 的图象相切的直线的方程为  x  y kx，设切点为 x , 0 e2 ，  0 ex 0 1  x 1x 所以，切线方程为y 0 e2  0 xx ， ex 0 e ex 0 e 0 第 5 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) x x 将原点坐标代入切线方程可得 0 e2 1x  0 ， ex 0 e 0 ex 0 e x2 x2 2xx2 即 0 e2，构造函数gx ，其中x0，则gx 0， ex 0 e exe exe x2 所以，函数gx 在 ,0 上单调递减，且gee2， exe x2 1x 由gx  0 e2，解得x e，所以，k  0 e1， 0 ex 0 e 0 ex 0 e 而函数 f x 1x2(x0)的渐近线方程为 yx ， 设直线 yx 与y e1x的夹角为，设直线y e1x的倾斜角为， 3π 3π  tan 4 tan 1e1 2 则tantan      1 ，  4  3π 1e1 e 1tan tan 4 2 结合图形可知，0tanMON 1 . e  2 故答案为： 0,1 .  e 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于求出设过原点且与函数 f xx0 的图象相切的直线的方程以 及函数 f x 1x2(x0)的渐近线方程，再利用两角差的正切公式以及数形结合思想求解. 二、选择题（本大题满分 18 分）本大题共有 4 小题，13，14 每题 4 分，15，16 每题 5 分， 填错或不填在正确的位置一律得零分． a a 13. 已知4，a ，a ，1四个实数成等差数列，4，b ，1三个正实数成等比数列，则 2 1 （ ） 1 2 1 b 1 1 1 1 A. B.  C.  D. 2 2 2 2 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列及等比数列的定义与性质计算即可. 【详解】设4，a ，a ，1四个实数所成等差数列的公差为d， 1 2  14 a a d  则由题意可得 2 1 3 d 1,b 2， 1  b2 41  1 第 6 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) a a 1 又b 为正实数，故 2 1  . 1 b 2 1 故选：A 14. “G  ab ”是“G是a、b的等比中项”的（ ）条件 A. 既不充分也不必要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 充要 【答案】A 【解析】 【分析】分别举反例判断充分与必要条件是否满足即可 【详解】当G ab0时，满足G  ab ，不满足G是a、b的等比中项；当G是a、b的等比中项， 如a 1,b4,G 2，但不满足G  ab ，故“G  ab ”是“G是a、b的等比中项”的既不充分也不必 要条件 故选：A x 15. 函数 f x ab1 ，则（ ） ex A. f a f b B. f a f b C. f a f b D. f a ， f (b)大小关系不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导函数，明确函数的单调性，即可作出判断. x 【详解】∵ f x ， ex 1x ∴ fx ， ex x ∴ f x 在 ,1 上单调递减， ex 又ab1， ∴ f a f b ， 故选：C. 第 7 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 16. 函数 f x 的导函数为 f x 的图象如图所示，关于函数 f x ，下列说法不正确的是（ ） A. 函数在 1,1 和 3, 上单调递增 B. 函数在 ,1 和 1,3 上单调递减 C. 函数仅有两个极值点 D. 函数有最小值，但是无最大值 【答案】C 【解析】 【分析】根据 f x 的图象判断出 f x 的单调性、极值点、最值对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】根据 f x 的图象可知， 函数在 1,1 和 3, 上 fx0, f x单调递增，A选项正确. 函数在 ,1 和 1,3 上 fx0, f x单调递减，B选项正确. 所以 f x 的极小值点为1,3，极大值点为1，C选项错误. 由上述分析可知，函数的最小值是 f 1 和 f 3 两者中较小的一个，没有最大值，D选项正确. 故选：C 【点睛】利用导函数研究函数的单调性、极值点或最值，关键点在于根据导函数的图象判断出函数的单调 性，然后根据单调性判断出极值点，而最值在区间的端点或极值点处取得. 三、解答题（本大题共 5题，满分 76分） 17. 已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为S ，且S 110. n k （1）求a及k的值； S （2）设数列{b }的通项公式b ＝ n ，证明：数列{b }是等差数列，并求其前n项和T . n n n n n n(n3) 【答案】（1）a＝2，k＝10；（2）证明见解析，T ＝ . n 2 【解析】 【分析】（1）设该等差数列为{a }，根据等差数列的前三项依次为a,4,3a,由a＋3a＝8，求得a，再利用等 n 差数列前n项和的公式，由S ＝110求解； k 第 8 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) n(22n) S （2）由（1）得到S ＝ ＝n(n＋1)，进而得到b ＝ n ，再利用等差数列的定义证明. n n 2 n 【详解】（1）设该等差数列为{a }，则a ＝a，a ＝4，a ＝3a， n 1 2 3 由已知有a＋3a＝8，得a ＝a＝2，公差d＝4－2＝2， 1 k(k1) k(k1) 所以S ＝ka ＋ ·d＝2k＋ ×2＝k2＋k， k 1 2 2 由S ＝110，得k2＋k－110＝0， k 解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10. n(22n) （2）证明：由（1）得S ＝ ＝n(n＋1)， n 2 S 则b ＝ n ＝n＋1， n n 故b －b ＝(n＋2)－(n＋1)＝1，又b ＝1＋1＝2， n＋1 n 1 所以数列{b }是首项为2，公差为1的等差数列， n n(2n1) n(n3) 所以T ＝ ＝ . n 2 2 y2 18. 已知双曲线C ：x2  1. 1 4 （1）求与双曲线C 有相同的焦点，且过点P(4, 3)的双曲线C 的标准方程. 1 2 （2）直线l：y  xm分别交双曲线C 的两条渐近线于A，B两点.当O  A  O  B  3时，求实数m的值. 1 x2 【答案】（1）  y2 1（2）m 3 4 【解析】 【分析】(1)先求双曲线C 的焦点坐标，然后结合条件计算出双曲线C 的标准方程 1 2 (2)设Ax ,2x  ，Bx ,2x  构造新曲线方程，联立直线方程与曲线方程，求出两根之积，代入向量的 1 1 2 2 表达式求出结果     【详解】（1）双曲线C 的焦点坐标为 5,0 ，  5,0 ， 1 x2 y2 设双曲线C 的标准方程为  1(a0,b0)， 2 a2 b2 第 9 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) a2 b2 5  a2 4 则16 3 解得   1 b2 1 a2 b2 x2 ∴双曲线C 的标准方程为  y2 1. 2 4 （2）双曲线C 的渐近线方程为y 2x，y 2x. 1 设Ax ,2x  ，Bx ,2x  . 1 1 2 2  y2 x2  0 由 4 ，消去y化简得3x2 2mxm2 0，   y  xm 由2m2 43  m2 16m2 0， m2 得m0.∵x x  ， 1 2 3   OAOB x x 2x 2x 3x x ， 1 2 1 2 1 2 ∴m2 3，即m 3. 【点睛】本题考查了求双曲线标准方程以及结合向量求参数的值，题目较为基础，需要掌握解题方法 19. 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函 数解析式可以表示为： 1 3 y  x3  x8(0 x120).已知甲、乙两地相距100千米． 128000 80 （1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 【答案】(1) 17.5 L. (2) 当汽车以80 km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25 L. 【解析】 【详解】本试题主要考查了导数在物理中的运用． 解: (1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时, 要耗油( . 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升. (2)当速度为x千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了 设耗油量为h(x)升，依题意得 第 10 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) h(x)=( )· , (x)= 其中0＜x≤120 令 (x)=0，得x=80. 当x∈(0,80)时， (x)＜0,h(x)是减函数; 当x∈(80,120)时， (x)＞0,h(x)是增函数. ∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25. 因为h(x)在(0,120)上只有一个极值，所以它是最小值. 答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少， 最少为11.25升. 20. 设函数 f xxxa2xR． （1）当a 1时，求曲线y  f x 在点  2,f 2 处的切线方程； （2）当a0时，求函数 f x 的极大值和极小值； （3）当a3时，证明存在k1,0 ，使得不等式 f kcosx f  k2 cos2 x  对任意的xR恒成 立． 【答案】（1）5x y80 4 （2）极大值为0，极小值为 a3 27 （3）证明详见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数，根据切点和斜率求得切线方程. （2）利用导数求得 f x 的单调区间，进而求得 f x 的极大值和极小值. （3）结合（2）化简恒成立的不等式，结合二次函数、一元二次不等式等知识证得结论成立. 【小问1详解】 当a 1时， f xxx12 =x3 2x2 x， fx=3x2 4x1， f 2=2, f2=5，所以曲线y  f x 在点  2,f 2 处的切线方程为 y2=5x2， 整理得5x y80. 【小问2详解】 第 11 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) f xxxa2 =x3 2ax2 a2x， fx=3x2 4axa2=3xaxa，  a 当a0时， f x 在区间 ,  ,a, 上 fx0, f x单调递减；  3 a  在区间 ,a 上 f x0, f x单调递增， 3  a 4 所以 f x 的极小值为 f  = a3，极大值为 f a=0. 3 27 【小问3详解】 a 由a3得 1，当k1,0时，kcosx1,k2 cos2 x1. 3 由（2）知， f x 在 ,1 上是减函数， 要使 f kcosx f  k2 cos2 x  ，只要kcosxk2 cos2 x， 即cos2 xcosxk2 k ， 2  1 1 y=cos2 xcosx=cosx   ，  2 4 2 2  1 1  1 1 由于1cosx1，所以 y=cosx   1   =2，  2 4  2 4 所以k2 k 2,k2 k 2=k 1k 20， 解得k 1或k 2， 所以在区间1,0上存在k 1， 使得不等式 f kcosx f  k2 cos2 x  对任意的xR恒成立． 【点睛】利用导数求曲线的切线方程，首先判断是已知点在曲线上还是曲线外，然后把握两个关键点，一 个关键点是切点坐标，另一个关键点是切线的斜率.切线的斜率可以导数求得，也可以利用切线上两点的坐 标求得.切点既在曲线上，也在切线上.  3 21. 设数列 a  的首项a 为常数 a  ，且a 3n 2a nN,n1 . n 1  1 5 n1 n  3n （1）证明：a  是等比数列；  n 5  第 12 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 3 （2）若a  ，求数列 a  的通项及前n项的和； 1 2 n （3）若 a  是严格增数列，求a 的取值范围. n 1 【答案】（1）证明见解析； 92n1 3n 3n132n （2）a   ， n 10 5 10 （3）a 0,1 1 【解析】 【分析】（1）由条件的递推公式构造数列，利用等比数列定义证明即可； （2）由（1）的结论及等比数列求和公式计算即可； （3）利用数列与函数的单调性，分类讨论计算即可. 【小问1详解】 3n1 a  3n1  3n  n1 5 由a 3n 2a 可得：a  2a  ，即 2是常数， n1 n n1 5  n 5  3n a  n 5 3 3  3n 3 又a  ，即a  0，故a  是以a  为首项，-2为公比的等比数列； 1 5 1 5  n 5  1 5 【小问2详解】 3n  3 92n1 92n1 3n 结合（1）可得：a   a  2n1  a   ，   n 5  1 5 10 n 10 5 记S 为 a  前n项的和， n n 9 1 则S n  10   20 21   2n1   5   3132   3n 9 12n 1 3  13n 3n132n      ； 10 12 5 13 10 【小问3详解】 3n  3  3 3n 由上可得：a    a   2n1 a   a   2n1  ， n 5  1 5 n  1 5 5  3 3n1  3 3n 若 a  为严格增数列，则a a   a   2n    a   2n1  ， n n1 n  1 5 5  1 5 5 第 13 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 4 3  对任意自然数n恒成立，化简得 3n   a  2n ， 15 5 1  n n 若n为偶数，则a  3  4  3 ，令 f n 3  4  3 ，显然 f n 在定义域上单调递减，即     1 5 15 2 5 15 2 a  f 20， 1 n n 若n为奇数，则a  3  4  3 ，令gn 3  4  3 ，显然gn 在定义域上单调递增，即     1 5 15 2 5 15 2 a  g11， 1 综上a 0,1 1 第 14 页 共 14 页