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2023-2024 学年度第一学期期末九年级自适应练习
数学学科
一、选择题
1. 将抛物线 沿着y轴向上平移1个单位后，所得新抛物线的表达式是( )
A. B. C. D.
2. 在 中，已知 ， ， ，那么 的长等于 ( )
A. 1 B. 9 C. D.
3. 下列关于抛物线 和抛物线 的说法中，不正确的是( )
A. 对称轴都是y轴 B. 在y轴左侧的部分都是上升的
C. 开口方向相反 D. 顶点都是原点
4. 已知 、 是非零向量，如果 ，下列说法中正确的是( )
.
A B. C. D.
5. 如图，在四边形 中，如果 ， ，那么下列结论中不一定成立的是
( )
A. B. C. D.
6. 如图， 和 都是直角三角形， ， ， 、 相交于点
，如果 ，那么 的值是( )A. B. C. D.
二、填空题
7. 已知 ，那么 __．
8. 已知正比例函数y的值随着自变量x的值增大而增大，那么这个正比例函数的解析式可以是________．
（只需写一个）
9. 化简： ________．
10. 已知二次函数 的图像与 轴的交点在正半轴上，那么 的取值范围是________．
11. 如图，点 、 分别在 的边 、 的延长线上，且 ，如果 ， ，
，那么 ________．
12. 如图，在 中， ， 是 边上的高，如果 ， ，那么 与
的相似比 ________．的
13. 已知点 在抛物线 上，点 与点 关于此抛物线 对称轴对称，如果点 的横坐标是
，那么点 的坐标是________．
14. 如图，抛物线 的顶点为 ， 为对称轴上一点，如果 ，那么点M的坐标是
________．
的
15. 已知点P为等边三角形 重心，D为 一边上的中点，如果这个等边三角形的边长为2，那
么 ________．
16. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形顶点的位置上，连结 、
相交于 ，根据图中提示添加的辅助线，可以得到 的值等于________．
17. 中，点D在边 上， ，点E、F分别在边 上， ，
如果 ，那么 ________．
18. 如图，矩形 中， ， ， 为边 的中点，联结 、 ， 为边 上一点，将 沿 翻折，如果点 的对应点 恰好位于 内，那么 的取值范围是________．
三、解答题
19. 计算： ．
20. 如图，已知梯形 中， ， 、 分别是 、 的中点， 与 交于点 ，
为 上一点， ．
（1）求 的值；
（2）设 ， ，如果 ，那么 ________， ________．(用向量 、
表示)
21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数 的图像与反比例函数 的图像交于点
．（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）点B在这个反比例函数位于第一象限的图像上，过点B作 轴，垂足为点H．如果
，求点B的坐标．
的
22. 如图，小河 对岸有一座小山，小明和同学们想知道山坡AB的坡度，但由于山坡AB前有小河阻碍，
无法直接从山脚B处测得山顶A的仰角，于是小明和同学们展开了如下的测量：
第一步：从小河边的C处测得山顶A的仰角为 ；
第二步：从C处后退30米，在D处测得山顶A的仰角为 ；
第三步：测得小河宽BC为33米．
已知点B、C、D在同一水平线上，请根据小明测量的数据求山坡AB的坡度．
（参考数据： ， ， ， ， ，
）
在
23. 已知：如图， 中，点D在边 上， ， ， 与 交于点
F．（1）求证： ；
（2）连接 ，如果 ，求证∶ ．
24. 综合实践
结合教材图形给出
九年级第一学期教材第2页
新定义
对于下图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形 ，得
A B C D
到 四 边 形 ； 放 大 四 边 形 ， 得 到 四 边 形
1 1 1 1
．
如图，对于两个多
边形，如果它们的
对应顶点的连线相
交于一点，并且这
点与对应顶点所连
线段成比例，那么
这两个多边形就是
位似多边形，这个
点就是位似中心．
图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩
A B C D
小后，就得到与它形状相同的图形．图中，四边形 和四
1 1 1 1
边形 都与四边形 形状相同．我们把形状相同的
两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形．
（1）填空：在上图中位似中心是点________；________多边形是特殊的________多边形．（填“位似”
或“相似”）
（2）在平面直角坐标系 中（如下图），二次函数 的图像与x轴交于点A，点B是此函
数图像上一点（点A、B均不与点O重合），已知点B的横坐标与纵坐标相等，以点O为位似中心，相似
比为 ，将 缩小，得到它的位似 ．①画出 ，并求经过O、 、 三点的抛物线的表达式；
②直线 与二次函数 的图像交于点 M，与①中的抛物线交于点 N，请判断
和 是否为位似三角形，并根据新定义说明理由．
25. 如图，在矩形 中， ， ， 是边 延长线上一点，过点 作 ，垂足
为点 ，联结 ，设 ．
（1）求证∶ ；
（2）∠ 的大小是否是一个确定的值？如果是，求出． 的正切值；如果不是，那么用含字母
的代数式表示 的正切值；
（3） 是边 上一动点(不与点 、 重合)，联结 、 ．随着点 位置的变化，在 中除
外的两个内角是否会有与 相等的角，如果有，请用含字母 的代数式表示此时线段 的
长；如果没有，请说明理由．
