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2023 届普陀区高三二模考试数学试卷
2023.04
一、填空题
1. 设全集 ，若集合 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】解绝对值不等式求集合A，应用集合补运算求 .
【详解】由题设 或 ，又 ，
所以 .
故答案为：
2. 函数 的最小正周期为_______．
【答案】π
【解析】
【详解】试题分析： 因为 ，所以函数f(x)＝cos2x－sin2x的最小正周期为
考点：三角函数的周期
3. 现有一组数1，1，2，2，3，5，6，7，9，9，则该组数的第25百分位数为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知数据集，应用百分数的求法求第25百分位数.
【详解】由题设，数据集（从小到大排列）中共有10个数据，则 ，
所以该组数的第25百分位数为第三个数 .
故答案为：
4. 设 （i为虚数单位）是关于x的方程 的根，则 ______．
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【答案】
【解析】
【分析】将根代入方程即可求参数值.
【详解】由题设 ，即 ，
所以 .
故答案为：
5. 函数 的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】求函数 的定义域，保证根号下的式子大于等于0，分母不为0即可.
【详解】 ，
， 或
所以定义域为： .
故答案为：
6. 若 且 ，则 ______．
【答案】
【解析】
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【分析】先根据平方关系及商数关系求出 ，再利用两角差的正切公式即可得解.
【详解】因为 且 ，所以 ，
所以 ，
则 .
故答案为： .
7. 现有一个底面半径为 、高为 的圆柱形铁料，若将其熔铸成一个球形实心工件，则该工件的表
面积为______ （损耗忽略不计）．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆柱的体积等于球的体积求出球的半径，再根据球的表面积公式即可得解.
【详解】设球的半径为 ，
则 ，解得 ，
所以该工件的表面积为 .
故答案为： .
8. 设 的三边a，b，c满足 ，且 ，则此三角形最长的边长为______．
【答案】
【解析】
【分析】由 ，得边 最长，不妨设 ，利用余弦定理求出角 ，再根
据三角形的面积公式即可得解.
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【详解】由 ，得边 最长，
不妨设 ，
则 ，
又 ，所以 ，
则 ，解得 ，
所以三角形最长的边长为 .
故答案为： .
9. “民生”供电公司为了分析“康居”小区的用电量y（单位 ）与气温x（单位：℃）之间的关系，随机
统计了4天的用电量与当天的气温，这两者之间的对应关系见下表：
气温x 18 13 10
用电量y 24 34 38 64
若上表中的数据可用回归方程 来预测，则当气温为 时该小区相应的用电量约为
______ ．
【答案】
【解析】
【
分析】求出样本中心点，再根据线性回归方程必过样本中心点求出 ，再将 代入即可得解.
【详解】 ，
则 ，解得 ，
所以 ，
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当 时， ，
即当气温为 时该小区相应的用电量约为 ．
故答案为： .
10. 设 为双曲线 : 左、右焦点，且 的离心率为 ，若点M在 的右支上，直
线 与 的左支相交于点N，且 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据双曲线的离心率公式求出 ，再根据双曲线的定义即可得解.
【详解】由 的离心率为 ，
得 ，解得 ，
由点M在 的右支上，得 ，
又因 ，
所以 ，即 .
故答案为： .
11. 设 且 ，若在平面直角坐标系xOy中，函数 与 的图像于直
线l对称，则l与这两个函数图像的公共点的坐标为______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据两函数的图象关于直线l对称，再结合底数互为倒数的两个对数函数的图象关于 轴对称，
可求得 ，从而可得出答案.
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【详解】 ，
因为函数 与 的底数互为倒数，
而底数互为倒数的两个对数函数的图象关于 轴对称，
函数 与 的图像于直线l对称，
所以函数 与 的图像于 轴对称，
即直线l为 轴，
所以 ，所以 ，
则两个函数分别为 ， ，
令 ，得 ，解得 ，此时 ，
所以l与这两个函数图像的公共点的坐标为 .
12. 设x、 ，若向量 ， ， 满足 ， ， ，且向量 与 互相平行，
则 的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由向量平行的坐标表示可得 ，在坐标系中 ， ，将
按向量 平移至 ，根据 轨迹为直线 ，将问题化为 最小，数形
结合法求原点到直线距离即可得结果.
【详解】由 ，又向量 与 互相平行，
所以 ，故 ，
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令 ， ，则 ，
所以 ，将 按向量 平移至 ，
的
所以 是直线 上 动点，如下图示，
所以 ，故 ，
由图知：要使 最小，只需 三点共线且 到直线 距离最短，
故 最小值为原点到直线 的距离，最小值为 ，此时题设中的
x=2，y=1.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：找到 的 ，并将其平移至 使 ，即有
，问题化为求点到直线距离.
二、选择题
13. 设 为实数，则“ ”的一个充分非必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
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【解析】
【分析】由充分非必要条件定义，根据不等式的性质判断各项与 推出关系即可.
【详解】由 ，则 ，可得 ，可推出 ，反向推不出，满足；
由 ，则 ，推不出 ，反向可推出，不满足；
由 ，则 或 或 ，推不出 ，反向可推出，不满足；
由 ，则 ，推不出 ，反向可推出，不满足；
故选：A
14. 设a，b表示空间的两条直线，α表示平面，给出下列结论：
（1）若 且 ，则
（2）若 且 ，则
（3）若 且 ，则
（4）若 且 ，则
其中不正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线与直线平行、直线与平面平行的性质分别判断命题真假即可得解.
【详解】若 且 ，则 或 ，故命题错误；
若 且 ，则 或 为异面直线，故命题错误；
若 且 ，则 或 ，故命题错误；
若 且 ，则 或 相交或异面，故命题错误.
故选：D
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15. 设P为曲线C: 上的任意一点，记P到C的准线的距离为d．若关于点集 和
，给出如下结论：
①任意 ， 中总有2个元素；②存在 ，使得 ．
其中正确的是（ ）
A. ①成立，②成立 B. ①不成立，②成立
C. ①成立，②不成立 D. ①不成立，②不成立
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆， 的圆心 ，
证明当点 在原点处时，点 在点 的轨迹圆外，即可得出结论.
【详解】曲线C: 的焦点 ，
则 ，
由 得，点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
的圆心 ，
当点 在原点处时， ，此时 ，
此时点 的轨迹方程为 ，
因为 ，所以点 在圆 外，
则存在 ，使得两圆相离，即 ，
.
故①错误，②正确
故选：B.
16. 设 ，若在区间 上存在a，b且 ，使得 ，则下列所给的值中
只可能是（ ）
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A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题设得 且 ，结合已知可得 且 ，分类讨论求 范
围，即可得答案.
【详解】由题意知： 且 ，则 ， ，
又 且 ，则 ，即 ， ，
所以 且 ，
(或n为其它大于1的整数)不满足； 时 ； 时 ，
所以 满足要求，其它不符合.
故选：D
三、解答题
17. 如图，在直三棱柱 中， ， ， ．
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（1）求证： ；
（2）设 与底面ABC所成角的大小为 ，求三梭雉 的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由 证出 ，再由线面垂直的性质得出 ，根据线面垂
直的判定定理即可得证；
（2） 为 与底面ABC所成角，再由等体积法求体积即可.
【小问1详解】
， ， ，
，
，
又直三棱柱 中， 平面 ，
平面 ， ，
又 ， 平面 ，
平面 ，
平面 ， .
【小问2详解】
平面 ，
在平面 上的射影为 ，即 为 与底面ABC所成角，
， ，
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.
18. 已知 均为不是1的正实数，设函数 的表达式为 ．
（1）设 且 ，求x的取值范围；
（2）设 ， ，记 ， ，现将数列 中剔除 的项后、不改变其原
来顺序所组成的数列记为 ，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题设 ，利用指数单调性求解集即可；
（2）由已知有 ， ，根据条件分析 中的元素组成，利用等差数列前n项和公式、
分组求和.
【小问1详解】
由题设 ，又 且都不为1的正实数，
所以 ，而 ，故 .
【小问2详解】
由 ， ，
而 数列前100项中有 ，其中属于 数列有 ，
所以 数列前100项是 的前103项去掉 三个元素，
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则 .
19. 现有3个盒子，其中第一个盒子中装有1个白球、4个黑球；第二个盒子装有2个白球、3个黑球；第
三个盒子装有3个白球、2个黑球．现任取一个盒子，从中任取3个球．
（1）求取到的白球数不少于2个的概率；
（2）设X为所取到的白球数，求取到的白球数的期望．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用乘法公式和全概率公式，分别算出取到2个白球和3个白球的概率即可；
（2）分别计算出取到的白球数的概率，计算期望即可.
【小问1详解】
设取到的白球数为X，则X的可能值为：0，1，2，3.
取到2个白球的概率，则
取到3个白球 概率， ，
的
则取到的白球数不少于2个的概率： .
【小问2详解】
,
,
,
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，
所以取到的白球数的期望：
20. 在xOy平面上．设椭圆 ： ，梯形 的四个项点均在 上，且 ．设
直线 的方程为
（1）若 为 的长轴，梯形 的高为 ，且 在 上的射影为 的焦点，求 的值；
（2）设 ，直线 经过点 ，求 的取值范围；
（3）设 ， ， 与 的延长线相交于点 ，当 变化时， 的面积是否为
定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） 的面积是定值，定值为
【解析】
【分析】（1）由题意可得点 的纵坐标，代入椭圆方程计算 ，再由椭圆 的关系列式求解
；（2）设直线 的方程为 ，联立方程组，根据 得 的范围，写出韦达定理，
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根据向量数量积公式列式代入计算化简，并结合 的范围，从而求解出 的范围；（3）分别将直
线 ， 的方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，根据弦长公式分别计算表示出 ，再由
列式化简得关于 的关系式，利用平行线间的距离表示出 ，从而可得 的面
积为 ，代入 的关系式化简计算即可求出定值.
【小问1详解】
因为梯形 为 的长轴， 的高为 ，
所以点 的纵坐标为 ，代入椭圆方程得 ，
可得 ，又因为 在 上的射影为 的焦点，
，解得 ，
， .
【小问2详解】
由题意，椭圆 ： ，直线 的方程为 ，
设 ，则 ，
化简得 ，
，得 ，
，
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，
，所以
所以 的取值范围为
【小问3详解】
设直线 的方程为 ， ，
，联立 ，
化简得 ，
，
，
，
联立 ，化简得
，
，
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，所以 ，
化简得 ，即 .
又 的高为 ，
所以
将 代入化简得， .
故 的面积为定值 .
【点睛】解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 （或 ）立一元二次方程，然后
借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
21. 已知 ，设函数 的表达式为 （其中 ）
（1）设 ， ，当 时，求x的取值范围；
（2）设 ， ，集合 ，记 ，若 在D上为严格增函数且
对D上的任意两个变量s，t，均有 成立，求c的取值范围；
（3）当 ， ， 时，记 ，其中n 为正整数．求证：
．
【答案】（1） ；
（2） ；
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（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由题设可得 ，解不等式求x的取值范围；
（2）问题化为 在 上成立，根据 单调性、导数研究 单调性求最值，
即可求参数范围；
（3）问题化为证 ，令 则 ，结合二项式
定理有 ，且
及基本不等式证 ，即可证结论.
【小问1详解】
由题设 ，则 ，即 ，故 ，
又 ，则 ，所以 .
【小问2详解】
由题设 ，要使D上的任意两个变量s，t均有 成立，
所以 在 上成立，
又 在D上为严格增函数，即 ，
同时 在 上恒成立，
由解析式知： 在 上递减，只需 ，故 ，
由 且 ， ，即 在 上递减，
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所以 ，故 ，可得 .
综上， ；
【小问3详解】
由题设 ，则 且 ， ，故 ，
所以 ，
而 ，
，
所以 ，
又 ，且 ，当且仅当 时等
号成立，
所以 ，同理 ，.......，且均在 时等
号成立，
所以 ，
综上， ，即 成立.
【点睛】关键点点睛：第三问，首先转化问题为证 ，再应用二项式定理展开左侧，
结合组合数性质、基本不等式证明结论.
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