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2023-2024 学年度第一学期期末九年级自适应练习
数学学科
一、选择题
1. 将抛物线 沿着y轴向上平移1个单位后，所得新抛物线的表达式是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据平移规律“上加下减，左加右减”即可求解．
【详解】解：将抛物线 沿着y轴向上平移1个单位后，所得新抛物线的表达式是 ，
故选：C．
2. 在 中，已知 ， ， ，那么 的长等于 ( )
A. 1 B. 9 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，根据题意，表示出 的正切即可解决问题．
【详解】解：在 中，
，
又因为 ， ，
所以 ，
解得 ．
故选：A．3. 下列关于抛物线 和抛物线 的说法中，不正确的是( )
A. 对称轴都是y轴 B. 在y轴左侧的部分都是上升的
C. 开口方向相反 D. 顶点都是原点
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可
以解答本题．
【详解】解： 抛物线 和抛物线 ，
它们的对称轴都是 轴，故选项A不符合题意；
抛物线 在 轴左侧的部分是下降的，抛物线 在 轴左侧的部分都是上升的，故选项B符
合题意；
它们的开口方向相反，故选项C不符合题意；
顶点都是原点，故选项D不符合题意；
故选：B．
4. 已知 、 是非零向量，如果 ，下列说法中正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了实数与向量相乘，向量的相关定义，根据其运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．5. 如图，在四边形 中，如果 ， ，那么下列结论中不一定成立的是
( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质及判定，三角形的外角的性质，利用
证明 ，然后根据全等三角形的性质，等腰三角形的性质及判定，三角形的外角的性质逐
项进行判断，是解决问题的关键．
【详解】解：设 与 交于点 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，故A正确；
则 ，
∴ ，则 ，
∴ ，
由三角形的外角可知： ，
∴ ，∴ ，故B正确；
∵ ， ，
则 ，
∴ ，故C正确；
若 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，但 于 不一定相等，
则 与 不一定相等，故D不一定正确；
故选：D．
6. 如图， 和 都是直角三角形， ， ， 、 相交于点
，如果 ，那么 的值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、含 角的直角三角形的性质；过点 作
于点 ，证 是等腰直角三角形，得 ， ，设 ，则
，再由勾股定理得 ，然后求出 ，即可解决问题．【详解】解：如图，过点 作 于点 ，
则 ，
， ，
是等腰直角三角形，
，
设 ，
则 ，
，
，
，
，
，
，
故选：D．二、填空题
7. 已知 ，那么 __．
【答案】
【解析】
【分析】根据比例的性质，设x＝5a，则y＝2a，代入原式即可求解.
【详解】解：∵ ，
∴设x＝5a，则y＝2a，
那么 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，根据比例式用同一个未知数得出 的值进而求解是解题关键．
8. 已知正比例函数y的值随着自变量x的值增大而增大，那么这个正比例函数的解析式可以是________．
（只需写一个）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质解答．
根据正比例函数的性质可知 ，从而可以写出一个符合要求的函数解析式．
【详解】解：∵正比例函数y的值随着自变量x的值增大而增大，
∴ ，
∴这个正比例函数的解析式可以是 ，
故答案为： .
9. 化简： ________．
【答案】 ##
【解析】【分析】本题考查了实数与向量相乘，根据其运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：
故答案为： ．
10. 已知二次函数 的图像与 轴的交点在正半轴上，那么 的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题；先求得二次函数 的图像与 轴的
交点，根据题意得出 ，即可求解．
【详解】解：当 ，则 ，即 的图像与 轴的交点为
∵ 在正半轴上，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
11. 如图，点 、 分别在 的边 、 的延长线上，且 ，如果 ， ，
，那么 ________．
【答案】
【解析】【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，根据 证明 ，再利用相似三角形
对应边成比例，即可解题．
【详解】解： ，
，
，
， ， ，
设 ，则 ，
，解得 ，即 ．
故答案为： ．
12. 如图，在 中， ， 是 边上的高，如果 ， ，那么 与
的相似比 ________．
【答案】 ##0.75
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考
题型．
只要证明 ，可得 ，由此即可解决问题．【详解】解： 是 边上的高，
，
，
，
，
，
，
即 ．
故答案为： ．
13. 已知点 在抛物线 上，点 与点 关于此抛物线的对称轴对称，如果点 的横坐标是
，那么点 的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；先得出 的坐标为 ，抛物线的对称轴为 ，根据
对称性，即可求解．
【详解】解：∵点 在抛物线 上，点 的横坐标是 ，
抛物线的对称轴为 ，当 时， ，则 的坐标为 ，
∵点 与点 关于此抛物线的对称轴对称，
∴ ，
故答案为： ．14. 如图，抛物线 的顶点为 ， 为对称轴上一点，如果 ，那么点M的坐标是
________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质；先化为顶点式求得 ，对称轴为直线 ，设 ，
根据 建立方程，解方程，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，对称轴 为直线 ，设 ，
∵ ，则 ，
即 ，
解得： ，
∴ ,
故答案为： ．
15. 已知点P为等边三角形 的重心，D为 一边上的中点，如果这个等边三角形的边长为2，那
么 ________．【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了重心的概念，等边三角形的性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．延长
交 于点 ，根据重心的概念得到 ，根据等边三角形的性质得到 ，根据勾股定
理求出 即可得到答案．
【详解】解：延长 交 于点 ，
等边 ，
，
D为 一边上的中点，
，
，
点P为等边三角形 的重心，
．
故答案为： ．
16. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形顶点的位置上，连结 、
相交于 ，根据图中提示添加的辅助线，可以得到 的值等于________．【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理、求余弦值、平行四边形 判的定及性质，由题意得由勾股定理求得各
边的长度，易知四边形 是平行四边形， ，进而可知 ， ，
得 ，再结合余弦的定义进行求解是解决问题的关键．
【详解】解：由可知， ， ，
， ，
∴四边形 是平行四边形， ，
∴ ， ，
∴ ，
则 ，
故答案为： ．
17. 中，点D在边 上， ，点E、F分别在边 上， ，
如果 ，那么 ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了是三角形的面积，相似三角形的判定和性质，关键掌握三角形面积公式是解题的关键．利用 确定 于 的关系，已知 即可得到答案．
【详解】解：过点 作 ，交 于点 ，过点 作 ，交 于点 ，设 中，
以 为底的高线为 ，
，
，
，
，
，
，
，
E、F分别是边 的三等分点，即 ，
，
，
，
，
．为
故答案 ： ．
18. 如图，矩形 中， ， ， 为边 的中点，联结 、 ， 为边 上一点，
将 沿 翻折，如果点 的对应点 恰好位于 内，那么 的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考矩形的折叠问题，相似三角形的性质，勾股定理；
根据翻折的性质、直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质，分别求得 的最小值与最大值，当
时， 的值最小，当 平分 时， 最长，分别画出图形进行计算即可．
【详解】解：如图1，当 时， 的值最小，此时 点的对应点 落在 上，
，
四边形 是矩形，
，即 ，，
，
，
即
解得： ；
如图 ，当 平分 时， 最长，此时 点的对应点 落在 上，连接 ，
由题意可知， ，
在 中， ， ，
由翻折可知 ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
在 中，
解得：则此时 ，
综上所述，如果点 的对应点 恰好位于 内，那么 的取值范围是 ；
故答案为： ．
三、解答题
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值；根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解．
【详解】解：
20. 如图，已知梯形 中， ， 、 分别是 、 的中点， 与 交于点 ，
为 上一点， ．（1）求 的值；
（2）设 ， ，如果 ，那么 ________， ________．(用向量 、
表示)
【答案】（1）
（2） ，
【解析】
【分析】本题主要考查三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质、平面向量；
（1）由三角形中位线定理易得 为 的中位线，进而可得 为 的中位线，于是 ；
（ 2 ） 根 据 题 意 可 得 ， 根 据 三 角 形 法 则 得 出
，证 ，得到 ，进而 ，以此即可得
到答案．
【小问1详解】
解： ，点 为 的中点，
为 的中位线，点 为 的中点，
又 点 为 的中点，
为 的中位线，
， ，即
【小问2详解】
解： ， ，
，
，
，
，
即 ，
，
，
故答案为： ， ．
21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数 的图像与反比例函数 的图像交于点
．（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）点B在这个反比例函数位于第一象限的图像上，过点B作 轴，垂足为点H．如果
，求点B的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，锐角三角函数，反比例函数的性质，熟练掌握知
识点是解题的关键．
（1）将点 的坐标代入一次函数求出点 的坐标，即可求出反比例函数的解析式；
（2）由锐角三角函数可求 ，代入解析式即可求解．
【小问1详解】
解： 正比例函数 的图像与反比例函数 的图像交于点 ，
，
，
将 代入 得 ，
反比例函数的解析式为 ；【小问2详解】
解：过点 作 轴于点 ，
，
，
，
，
，
，
点B在这个反比例函数位于第一象限的图像上，
，
，
点B的坐标为 ．
22. 如图，小河的对岸有一座小山，小明和同学们想知道山坡AB的坡度，但由于山坡AB前有小河阻碍，
无法直接从山脚B处测得山顶A的仰角，于是小明和同学们展开了如下的测量：
第一步：从小河边的C处测得山顶A的仰角为 ；的
第二步：从C处后退30米，在D处测得山顶A 仰角为 ；
第三步：测得小河宽BC为33米．
已知点B、C、D在同一水平线上，请根据小明测量的数据求山坡AB的坡度．
（参考数据： ， ， ， ， ，
）
【答案】山坡AB的坡度
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解
题的关键．过点A作 ，交 的延长线于点H，根据正切的定义用 表示出 ，进
而出去 ，再求出 ，根据坡度的概念计算，得到答案．
【详解】解：如图，过点A作 ，交 的延长线于点H，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ （米），
∴ ，
∴山坡 的坡度为： ．
23. 已知：如图，在 中，点D在边 上， ， ， 与 交于点
F．
（1）求证： ；
（2）连接 ，如果 ，求证∶ ．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
（1）证明 ，即可得出 ；（2）先推导出 ，证明 ，得 ，即可证明 进而得出结论．
【小问1详解】
证明： ， ，
，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
证明：如图：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
24. 综合实践
结合教材图形给出
九年级第一学期教材第2页
新定义
对于下图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形 ，得
A B C D
到 四 边 形 ； 放 大 四 边 形 ， 得 到 四 边 形
1 1 1 1
．
如图，对于两个多
边形，如果它们的
对应顶点的连线相
交于一点，并且这
点与对应顶点所连
线段成比例，那么
这两个多边形就是
位似多边形，这个
点就是位似中心．
图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩
A B C D
小后，就得到与它形状相同的图形．图中，四边形 和四
1 1 1 1
边形 都与四边形 形状相同．我们把形状相同的
两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形．
（1）填空：在上图中位似中心是点________；________多边形是特殊的________多边形．（填“位似”
或“相似”）
（2）在平面直角坐标系 中（如下图），二次函数 的图像与x轴交于点A，点B是此函
数图像上一点（点A、B均不与点O重合），已知点B的横坐标与纵坐标相等，以点O为位似中心，相似
比为 ，将 缩小，得到它的位似 ．①画出 ，并求经过O、 、 三点的抛物线的表达式；
②直线 与二次函数 的图像交于点 M，与①中的抛物线交于点 N，请判断
和 是否为位似三角形，并根据新定义说明理由．
【答案】（1）P；位似；相似
（2）①图形见解析； ；② 和 为位似三角形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据位似图形的定义，即可求解；
（2）①根据位似图形的定义，画出图形，再求出 、 的坐标，即可求解；②过点M作 轴于点
D，过点N作 轴于点C，联立求出点M，N的坐标，可得 ，从而得到
，进而得到 ，再由点 的坐标为 ，点A的坐标为 ，可得
，然后根据新定义，即可求解．
【小问1详解】
解：在上图中位似中心是点P；位似多边形是特殊的相似多边形．
故答案为：P；位似；相似【小问2详解】
解：①如图， 即为所求；
令 ，则 ，
解得： 或0，
∴点A的坐标为 ，
设点B的坐标为 ，
∴ ，解得： 或0，
∴点B的坐标为 ，
∵以点O为位似中心，相似比为 ，将 缩小，得到它的位似 ，
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
设经过O、 、 三点的抛物线的表达式为 ，
把点 ， ， 代入得：
，解得： ，∴经过O、 、 三点的抛物线的表达式为 ，
② 和 为位似三角形，理由如下：
如图，过点M作 轴于点D，过点N作 轴于点C，
联立得： ，解得： 或 ，
∴点M的坐标为 ，
∴ ， ，，
同理点N的坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 的坐标为 ，点A的坐标为 ，∴ ，
∴ ，
∴ 和 为位似三角形．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的综合应用，理解新定义，利用数形结合思
想解答是解题的关键．
25. 如图，在矩形 中， ， ， 是边 延长线上一点，过点 作 ，垂足
为点 ，联结 ，设 ．
（1）求证∶ ；
（2）∠ 的大小是否是一个确定的值？如果是，求出． 的正切值；如果不是，那么用含字母
的代数式表示 的正切值；
（3） 是边 上一动点(不与点 、 重合)，联结 、 ．随着点 位置的变化，在 中除
外的两个内角是否会有与 相等的角，如果有，请用含字母 的代数式表示此时线段 的
长；如果没有，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】【分析】（1）由矩形的性质得 ，由 于点 ，得 ，则
，而 ，所以 ；
（2）连接 ，由相似三角形的性质得，变形为，因为 ，所以 ，则
，所以 的大小是一个确定的值， ；
（3）分两种情况讨论，① ，连接 ，作 于点 ，因为 ，
所以 ，则 ，再证明 ，则可求得
，进而求得 ，求得 ，则 ；② ，连接 交 于点
，可证明 ，得 ，，再证明 ，得 ，
则 ，所以点 与点 重合，不符合题意．
【小问1详解】
证明： 四边形 是矩形， 是边 延长线上一点，
，
于点 ，
，
，
，
．
【小问2详解】
解： 的大小是一个确定的值，如图1，连接BD，
，
，
，
，
，
的大小是一个确定的值，
， ， ，
，
的大小是一个确定的值， ；
【小问3详解】
解：有与 相等的角，
如图2， ，连接 ，作 于点 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
如图 ， ，连接 交 于点 ，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，，
，
， ，
点 与点 重合，不符合题意，
综上所述，有与 相等的角，线段 的长为 ．
【点睛】此题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、
数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法是解题的关键．
