精品解析：上海市曹杨中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_高中_高二_下学期_3：期末

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 曹杨中学 2022 学年第二学期高二年级数学期末 一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，前 6 题每个空格填对得 4 分，后 6 题每 个空格填对得 6分，否则一律得零分． x2  y2 1 2 1. 双曲线 的焦距为______. 【答案】2 3 【解析】 【分析】根据双曲线的方程，可直接得出焦距. x2 【详解】双曲线  y2 1的焦距为2c2 a2 b2 2 3. 2 故答案为：2 3. 【点睛】本题主要考查求双曲线的焦距，熟记双曲线的简单性质即可，属于基础题型. 2. 已知 a  为等比数列，且27a a 0，则 a  的公比为_____________． n 2 5 n 【答案】3 【解析】 【分析】设出等比数列 a  公比，利用等比数列通项公式列式计算作答. n 【详解】设等比数列 a  公比为 q ，依题意，27a a q3 0， n 2 2 而a 0，解得q3， 2 所以 a  的公比为3. n 故答案为：3. π 3. 已知 f xcosx，则 f  _____________． 2 【答案】1 【解析】 π 【分析】求出 f x ，代值计算可得出 f  的值. 2  π π 【详解】因为 f xcosx，则 fxsinx，则 f    sin  1.  2 2 第 1 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 故答案为：1. 4. 用数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中能被2整除的数共有_____________个．（用 数字作答） 【答案】48 【解析】 【分析】分析可知，个位数只能排2或4，其他数位没有限制，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】由题意可知，个位数只能排2或4，其他数位没有限制， 因此，能被2整除的五位数的个数为2A4 48个. 4 故答案为：48. 5. 已知随机变量X服从正态分布N  3,2 ，且PX 50.7，则P1 X 3_____________． 【答案】0.2 【解析】 【分析】利用正态曲线的对称性即可求解． 【详解】由正态曲线的对称性可知，P(X 3) P(X 3)0.5，P(X 1) P(X 5)0.7， 所以PX 11P(X 1)0.3，P(1 X 3) P(X 3)PX 10.50.20.2． 故答案为：0.2． 6. 一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个红球，从中摸出两个球，若X 表示摸出白球的个数，则 E(X)_______． 2 【答案】 3 【解析】 【分析】求出X 的可能取值即每个X 对应的概率，再由均值公式即可求出E(X). 【详解】X 的可能取值为0,1,2， C0C2 2 C1C1 8 PX 0 2 4  ，PX 1 2 4  ， C2 5 C2 15 6 6 C2C0 1 2 8 1 10 2 PX 2 2 4  ，则E(X)0 1 2   . C2 15 5 15 15 15 3 6 2 故E(X) . 3 第 2 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2 故答案为： . 3 7. 已知 a  是等差数列，a 1，公差d 0，S 为其前n项和，若a ，a ，a 成等比数列，则S  n 1 n 1 2 5 8 ________． 【答案】64 【解析】 【分析】根据a ，a ，a 成等比数列以及a 1列出关于d的方程，解出d，再根据S 8a 28d 计算 1 2 5 1 8 1 答案即可 【详解】因为a ，a ，a 成等比数列 1 2 5 a2 aa ，即(1d)2 14d 2 1 5 解得d 2 或d  0 （舍） S 8a 28d 828264 8 1 故答案为：64 8. 法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析几何函数论》中给出一个定理，如果函数y  f x 满足 条件： ①在闭区间 a,b 上是连续不断的； ②在区间 a,b 上都有导数； 则在区间 a,b 上至少存在一个实数t，使得 f b f a ftba ，其中t称为“拉格朗日”中 值，函数gx x2在区间 1,0 上的“拉格朗日中值”t _____________． 1 【答案】 ##0.5 2 【解析】 【分析】对g(x)求导，根据题设“拉格朗日”中值的定义列方程求参数t，注意判断是否在给定区间上. 1 【详解】由g(x)2x，则g(0)g(1)2t[0(1)]2t，即2t1，故t  [1,0]. 2 1 故答案为： 2 9. 袋中装有9个形状大小均相同的小球，其中4个红球，3个黑球，2个白球，从中一次取出2个球，记 第 3 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 事件A＝“两球是同一颜色”，事件B＝“两球均为红球”，则PB| A________． 3 【答案】 ##0.6 5 【解析】 【分析】根据条件概率公式即可求得答案. C2 4 PAB C2 3 【详解】PB| A  9  ． PA C2 C2 C2 5 4 3 2 C2 9 3 故答案为： . 5 10. 已知nN*，若C n 1 2C n 2 22C n 3  2n2C n n12n1 40，则n________. 【答案】4 【解析】 1 【分析】将所给多项式配凑成符合二项展开式的形式，从而还原为  3n 1  40，解方程求得结果. 2 1 【 详 解 】 C1 2C2 22C32n2Cn12n1   C0 2C1 22C2 2nCn 1  n n n n 2 n n n n 1 1  12n 1   3n 1  40 2  2 n4 故答案为：4 【点睛】本题考查二项展开式还原的问题，关键是能够配凑成符合二项展开式形式的式子，进而将式子还 原为abn 的形式. 11. 已知函数 f x 的导函数 f x 的图像如图所示，给出以下结论： ① f x 在区间 1,1 上严格增； 第 4 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ② f x 的图像在x2处的切线斜率等于0； ③ f x 在x1处取得极大值； ④ f x 在x=1处取得极小值．正确的序号是______ 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据导函数图像得到导数的正负，从而得到函数的增减和极值情况，判断①②③，并根据导函数 的增减判断④. 【详解】根据 f x 的图像可知，在 2,3 上， fx0，仅在x1处有 f10， 所以 f x 在 2,3 上单调递减，故①错误； f20，故②正确； f x 在区间 2,3 上单调，没有极值点，故③错误； 由 f x 的图像可知， f x 在 2,1 上单调递减，在 1,1 上单调递增，故④正确． 故答案为：②④． 12. 若数列 a  满足:对任意的nN*，只有有限个正整数k使得a n成立，记这样的k的个数为 n k a * ，则得到一个新数列  a * ，例如，若数列a n，则数列  a * 是0、1、2、…、n1、…， n n n n 若a n2，则  a ** _________ n n 【答案】n2 【解析】 【分析】根据题意寻找规律，从而求出当2n12 1m2n2 时，a * 2n1，再求出 m  a ** 1357 2n1n2. n  【详解】由a 1，a 4，a 9，a 16，……，得：a * 0，a * a * a * 1， 1 2 3 4 1 2 3 4 a * a * a * a * a * 2， 5 6 7 8 9 当10m16时，a * 3，……，当2n12 1m2n2 时，a * 2n1， m m 所以  a ** 1，  a ** 134，  a ** 1359，……， 1 2 3 第 5 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  a ** 1357 2n1n2， n  故答案为：n2 【点睛】对于定义新数列题目，要能正确理解题干中的信息，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，寻找规 律进行求解. 二、选择题（本大题满分 18 分）本大题共有 4 小题，13，14 每题 4 分，15，16 每题 5 分， 填错或不填在正确的位置一律得零分． 13. 下列求导运算正确的是（ ）  A.  lnx 3  1  3 B.  x2ex 2xex    x x x2  1  1 C.  excos2x  excos2x2sin2x D.  ln lnx  '2  2  x 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的运算法则求导后判断．   3 1 3 【详解】 lnx   ，A错；    x x x2  x2ex (x2)ex x2(ex)2xex x2ex，B错；  excos2x  (ex)cos2xex(cos2x)excos2x2exsin2xexcos2x2sin2x，C正确；   1  1 ln lnx  ，D错．    2  x 故选：C． 14. 随机变量服从二项分布  Bn,p ，且E300，D200，则 p等于（ ） 2 1 1 1 A. B. C. D. 3 3 4 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布的期望与方差公式计算可得. 【详解】解：因为  Bn,p ，所以Enp 300，Dnp1 p200， 第 6 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2 1 解得1 p  ，所以 p  . 3 3 故选：B. 15. 函数 f x 的定义域为开区间 a,b ，导函数 f 'x 在 a,b 内的图象如图所示，则函数 f x 在开区 间 a,b 内极值点（包括极大值点和极小值点）有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象，结合极值点定义即可判断 f x 在开区间 a,b 内极值点个数. 【详解】根据极值点定义，在极值点处导函数为0，且在极值点左右两侧单调性性不同， 结合函数图象可知，导函数 f 'x 在 a,b 内与x轴有4个交点，但在x0两侧均为单调递增函数，因而 x0不是极值点， 所以 f x 在开区间 a,b 内极值点有3个， 故选：C 【点睛】本题考查了导函数图象性质的应用，极值点的意义，属于基础题. 2 16. 关于函数 f xalnx ，下列判断错误的是（ ） x A. 函数 f x 的图像在点x1处的切线方程为 a2x ya40 2 B. x 是函数 f x 的一个极值点 a C. 当a 1时， f xln21 1  D. 当a1时，不等式 f 2x1 f x0的解集为 ,1 2  【答案】B 【解析】 【分析】 第 7 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) a 2 先对函数求导，得到 fx  ，求出函数 f x 的图像在点x1处的切线方程，即判断A；根据 x x2 a 2 a<0时， fx  0恒成立，得到函数单调，无极值点，可判断B；根据导数的方法求出a 1 x x2 时， f x 的最小值，即可判断C；根据导数的方法判断a1时函数的单调性，根据单调性列出不等式 组求解，即可得出结果. 2 a 2 【详解】因为 f xalnx ，所以 f 12， fx  ， x x x2 所以 f1a2，因此函数 f x 的图像在点x1处的切线方程为y2a2x1 ，即 a2x ya40，故A正确； a 2 当a<0时， fx  0在x0, 上恒成立，即函数在定义域内单调递减，无极值点；故B x x2 错； 1 2 x2 当a 1时， fx   ，由 f¢(x)>0得x2；由 fx0得0 x2， x x2 x2 2 所以函数 f xlnx 在 0,2 上单调递减，在 2, 上单调递增； x 2 因此 f x ln2 ln21，即 f xln21；故C正确； min 2 1 2 当a1时， fx  0在x0, 上恒成立，所以函数 f x 在0,上单调递减；由 x x2 2x10  1 f 2x1 f x0可得x0 ，解得：  x1，故D正确； 2  2x1 x  故选：B. 【点睛】本题主要考查求曲线在某一点处的切线方程，以及导数的方法研究函数的单调性、极值最值等， 属于常考题型. 三、解答题（本大题共 5题，满分 76分） m  2  17. 已知在  x2   的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为 1 .  x  2 （1）求m的值； m  2  （2）求  x2   的展开式的中间两项.  x  13 【答案】（1）7 （2） ，560x4 280x2 第 8 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】 【分析】（1）写出对应项的系数列方程求解即可； （2）利用二项式定理即可. 【小问1详解】 r  1  5r 展开式的通项为T Cr   x2mr 2x  2  Cr 2r x 2m 2 ， r1 m m   展开式中第4项的系数为C3 23，倒数第4项的系数为Cm32m3， m m C3 23 1 1 1  m  ，即  ，m7. Cm32m3 2 2m6 2 m 【小问2详解】 由（1）可知，m7， m  2  5r 5r   x2   的展开式的通项为 T Cr 2r x 2m 2 Cr 2r x 14 2 .  x  r1 m 7 二项展开式共有8项，中间两项即为第4项和第5项， 53 13 T C323x 14 2 280x2 ， 4 7 54 T C424x 14 2 560x4. 5 7 m    x2  2   的展开式的中间两项分别为 280x 1 2 3 ，560x4.  x  18. 在数列 a n1,nN 中，a 2，a 4a 3n1． n 1 n1 n （1）证明数列 a n 是等比数列； n （2）求数列 a  的前n项和S ； n n 4n 1 nn1 【答案】（1）见解析 （2）S   n 3 2 【解析】 【分析】（1）由题意构造数列 a n ，再利用等比数列的定义即可证明； n （2）由（1）求出 a  ，再由分组求和法求解. n 【小问1详解】 因为a 4a 3n1，所以a n14a n ， n1 n n1 n 第 9 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) a n1 所以 n1 4，所以数列 a n 是以a 11为首项， a n n 1 n 4为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）知，a n4n1，所以a 4n1n. n n S n   40 4142   4n1 123  n 14n nn1 4n 1 nn1     . 14 2 3 2 19. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并 从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一 个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0 分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8， 能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）B类． 【解析】 【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1） 类似，找出先回答B类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可． 【详解】（1）由题可知，X 的所有可能取值为0，20，100． PX 010.80.2； PX 200.810.60.32； PX 1000.80.60.48． 所以X 的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 （2）由（1）知，EX00.2200.321000.4854.4． 若小明先回答B问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100． 第 10 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) PY 010.60.4； PY 800.610.80.12； PY 1000.80.60.48． 所以EY00.4800.121000.4857.6． 因为54.457.6，所以小明应选择先回答B类问题． xx1 xm1 20. 规定Cm   ，其中xR，m是正整数，且C0 1，这是组合数Cm（n、m是 x m! x n 正整数，且mn）的一种推广． （1）求C3 的值． 15 （2）组合数的两个性质：①Cm Cnm；②Cm Cm1 Cm 是否都能推广到Cm（xR，m是正整 n n n n n1 x 数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由； （3）已知组合数Cm是正整数，证明：当xZ，m是正整数时，CmZ． n x 【答案】（1）680 （2）性质①不能推广，理由见解析；性质②能推广，证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）按题中定义计算即可； （2）由定义可知m是正整数，所以只需要判断①Cm Cnm；②Cm Cm1 Cm 中的m、nm、m1 n n n n n1 是否只能是整数即可； xx1 xm1  （3）分类讨论xm、0 xm、x 0三种情况，其中当x 0时可将Cm  的 x m! 分子转换为正数进行计算证明. 【小问1详解】 151617 解：C3  680. 15 3! 【小问2详解】 解：性质①不能推广，例如当x 2时，C1 有定义，但C 21无意义； 2 2 第 11 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 性质②能推广，它的推广形式是：Cm Cm1 Cm ，xR，m是正整数， x x x1 证明：当m 1时，有C1 C0  x1C1 ， x x x1 x(x1) (xm1) x(x1) (xm2) 当m2时，Cm Cm1     x x m! m1! x(x1) (xm2) xm1     1  m1!  m  x(x1) (xm2)x1   Cm m! x1 【小问3详解】 证明：当xm时，组合数CmZ； x 当0 xm时，Cm 0Z； x 当x 0时，由xm10可知xm10， x(x1) (xm1) (xm1) (x1)x 所以Cm   1m  1m Cm x m! m! xm1 因为组合数Cm是正整数，所以1m Cm Z. n xm1 证毕. 【点睛】关键点点睛：本题参考查组合数的性质的应用，在解答第（2）小问时，要注意x是无理数和情 形，结合组合数的新定义来进行判断；在解答第（3）小问时，要注意对x进行分类讨论，结合组合数公式 进行推理证明. 21. 已知函数 f xex ax2 x1  ． 5 （1）若函数 f x 在x 时取得极值，求a的值； 2 （2）在第一问的条件下，求证：函数 f x 有最小值； 3  （3）当a 1时，过点 ,0 与曲线y  f x 相切的直线有几条，并说明理由.(注：不用求出具体的切 4  线方程，只需说明切线条数的理由) 【答案】（1）a2 （2）证明见解析 （3）有3条，理由见解析 第 12 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】 5 【分析】（1）求定义域，求导，根据x 为极值点得到方程，求出a的值； 2 （2）在（1）的基础上，确定函数的极小值，结合函数特征，确定其也是最小值； （3）设出切点，根据斜率列出方程，得到4x35x2 13x 40，将公切线条数转化为一元三次方程的 0 0 0 根的个数，结合零点存在性定理求出答案. 【小问1详解】 已知 f xex ax2 x1  ，函数定义域为R， 可得 fxex ax2 x2ax  ， 5 若函数 f x 在x 时取得极值， 2  5  5 25 5  此时 f    e 2  a 5a  0，  2  4 2  解得a2， 当a2时， fxex 2x2 5x  ， 5 当x 时， f¢(x)>0， f x 单调递增； 2 5 当  x0时， fx0， f x 单调递减； 2 当x0时， f¢(x)>0， f x 单调递增， 5 所以x 是极大值点，满足条件， 2 综上所述，a2； 【小问2详解】 由 1 知， f xex 2x2 x1  ， fxex 2x2 5x  ， 函数 f x 在x0处取得极小值，且 f 01， 而 f xex 2x2 x1  ex2x1x1 ， 当x1时， f x0恒成立， 第 13 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 故 f x 在x0处取得极小值，也是最小值，最小值为1； 【小问3详解】 当a 1时， f xex x2 x1  ， 3  此时点 ,0 不在函数 f x 的图象上， 4  3  不妨设过 ,0 的切线的切点为 x ,y  ， 4  0 0 可得y ex 0  x2 x 1  ， 0 0 0 因为 fxex x2 3x  ， 所以 fx ex 0  x2 3x  ， 0 0 0 ex 0  x2 x 1  ex 0  x2 3x   0 0 又 0 0 3 ， x  0 4 整理得4x35x2 13x 40， 0 0 0 3  要求过点 ,0 与曲线y  f x 相切的直线有几条， 4  即求关于x 的一元三次方程4x35x2 13x 40的实数根的个数问题， 0 0 0 0 不妨设gx4x35x2 13x4， 2 34 因为g320 0,g04 0,g    0,g230 0， 3 27  2 所以gx 在 3，0 ， 0， ，3，2内各有一个实数根，  3 又因为4x35x2 13x 40在实数范围内最多有三个根， 0 0 0 则4x35x2 13x 40有三个不相同的实数根， 0 0 0 3  所以过点 ,0 与曲线y  f x 相切的直线有3条． 4  【点睛】方法点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点 第 14 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) A  x , f x  求斜率k,即求该点处的导数k  f x  ；(2)已知斜率k求切点A  x , f x  ,即解方程 0 0 0 1 1 f x   k ；(3) 已知切线过某点M  x , f x  (不是切点) 求切点, 设出切点A  x , f x  ,利用 1 1 1 0 0 f x  f x  k  1 0  f x 求解. x x 0 1 0 第 15 页 共 15 页