文档内容
2022 学年第一学期阶段适应性练习卷
初三数学
一．选择题（本大题共6题）
1. 下列各组图形一定相似的是（ ）
A. 两个菱形； B. 两个矩形； C. 两个直角梯形； D. 两个正方形．
【答案】D
【解析】
【分析】形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可．
【详解】A．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
B．任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
C．任意两个直角梯形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意；
D．任意两个正方形的对应角对应相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．
2. 在 中， ，如果 ， ，那么 的余切值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据余切函数的定义解答即可．
【详解】如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴cotB＝ ，
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
第1页/共30页
学科网（北京）股份有限公司3. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据顶点式的性质，确定顶点坐标即可．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标是 ；
故选C．
【点睛】本题考查抛物线的顶点坐标．熟练掌握顶点式的性质，是解题的关键．
4. 已知 为非零向量， ， ，那么下列结论中错误的是（ ）
A. B. C. 与 方向相同 D. 与 方向相反
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ∥ ，
与 方向相反，
∴A，B，D正确，C错误；
故选：C．
【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5. 单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建
立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度 （单位：m）与水平距离
（单位：m）近似满足函数关系 ．
第2页/共30页
学科网（北京）股份有限公司某运动员进行了两次训练．第一次训练时，该运动员的水平距离 与竖直高度 的几组数据如上图．根据
上述数据，该运动员竖直高度的最大值为（ ）
水平距离 /m 0 2 5 8 11 14
竖直高度 /m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40
（第一次训练数据）
A. 23.20m B. 22.75m C. 21.40m D. 23m
【答案】A
【解析】
【分析】找到表格中函数值相同的两个自变量的值，根据抛物线的对称性，确定抛物线的对称轴，进而确
定函数的最大值即可．
【详解】解：由表格可知：当 和 时，函数的函数值相同，
∴抛物线的对称轴为： ，
由表格可知：抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∴当 时，函数值最大： ；
故选A．
【点睛】本题考查求二次函数的最值．通过抛物线的对称性，确定抛物线的对称轴，是解题的关键．
6. 如图，在 中，点 ， 分别在 和 边上且 ，点 为 边上一点（不与点 、
重合），连接 交 于点 ，下列比例式一定成立的是（ ）．
第3页/共30页
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】证明 ，根据相似三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，故B符合题意，C、D不符合题意；
根据现有条件无法证明 ，故A不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．
二．填空题（本大题共12题）
7. 已知 ，则 的值为_____．
【答案】 ．
【解析】
【详解】试题分析：用a表示出b，然后代入比例式进行计算．∵ ，
第4页/共30页
学科网（北京）股份有限公司∴b= a，
∴ = = ．
故答案为 ．
考点：比例的性质．
8. 已知线段 ，点 在线段 上，且 ，那么线段 的长___________ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据黄金分割的定义得到点C是线段AB的黄金分割点，根据黄金比值计算得到答案．
【详解】∵ ，
∴点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，
∴AC＝ AB= ×8=
故答案为： .
【点睛】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为 是解题的关键．
9. 若两个相似三角形的面积比为 ，则它们的相似比为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可
【详解】解：∵两个相似三角形面积的比为 ，
第5页/共30页
学科网（北京）股份有限公司∴它们的相似比=
故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边
形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也
等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
10. 小杰沿坡比为 的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了_________米．
【答案】50
【解析】
【分析】设他沿着垂直方向升高了x米，根据坡度的概念用x表示出他行走的水平宽度，根据勾股定理计
算即可．
【详解】设他沿着垂直方向升高了x米，
∵坡比为1：2.4，
∴他行走的水平宽度为2.4x米，
由勾股定理得，x2＋（2.4x）2＝1302，
解得，x＝50，即他沿着垂直方向升高了50米，
故答案为：50．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的
比是解题的关键．
11. 若点 ， 是二次函数 图象上的两点，则 ______ （填 ）．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，抛物线开口向上，图象的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可．
【详解】解： ，
，对称轴为： ，
∴抛物线的开口向上，图象的点离对称轴越远，函数值越大，
∵ ，
第6页/共30页
学科网（北京）股份有限公司∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查比较二次函数的函数值大小．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．
12. 如果将抛物线 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，那么所得的新抛物线的顶点
坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】求出平移后的解析式，即可得到新抛物线的顶点坐标．
【详解】解： ，
将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到： ，
∴新抛物线的顶点坐标为： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查抛物线的平移，以及二次函数的性质．熟练掌握抛物线的平移规律：上加下减，左加右
减，是解题的关键．
13. 中， ，点 是 的重心，连接 ．若 ，则 长为______．
【答案】12
【解析】
【分析】延长 交 于点 ，根据点 是 的重心，得到 为 的中点，以及 ，
进而求出 的长度，根据 是直角三角形斜边上的中线，从而求出 的长．
【详解】解：如图，延长 交 于点 ，
∵点 是 的重心， ，
第7页/共30页
学科网（北京）股份有限公司∴ 为 的中点，且 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查重心的性质，以及直角三角形斜边上的中线．熟练掌握重心到顶点的距离与重心到对边
中点的距离之比为 ，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．
14. 如图，在梯形 中， ， 平分 ， ，如果 ， ，
则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】利用平行线的性质，得到： ，再根据 ，得到： ，
利用相似比进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
第8页/共30页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ；
为
故答案 ： ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形相似．
15. 如图，已知 ， ， ， ，那么 ______．
【答案】
【解析】
【分析】过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，根据 ，得到四边形
均为平行四边形， ，利用平行四边形的性质，以及相似比，分别求出
，进而求出 的长．
【详解】解：过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，
∵ ，
∴四边形 均为平行四边形，
∴ ，
第9页/共30页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ,
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．解题的关键是添加辅助线，证明
三角形相似．
16. 如图，在 中， ， ， ， ，则 的值______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据正弦值，求出 ，勾股定理求出 ，进而求出 ，利用 ，进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
第10页/共30页
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查锐角三角函数．熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．
17. 如图，已知tan O＝ ，点P在边OA上，OP＝5，点M，N在边OB上，PM＝PN，如果MN＝2，那
么PM＝________．
【答案】
【解析】
【详解】试题解析：过P作PD⊥OB，交OB于点D，
∴设PD=4x，则OD=3x，
∵OP=5,由勾股定理得：
第11页/共30页
学科网（北京）股份有限公司∴x=1，
∴PD=4，
∵PM=PN，PD⊥OB，MN=2
在
Rt△PMD中，由勾股定理得：
故答案为
18. 如图， 中，∠C＝90°， ，点D在BC上，将 ABC沿直线AD翻折，使点C落
△
在点 处，连接 ，直线 与边CB的延长线相交与点F，如果 ，那么线段BF的长
为 ___．
【答案】
【解析】
【分析】在 中， ，得到 ，由 是将 ABC
△
沿直线AD翻折得到的，求出 ，于是得到 ，求出 ，根据直角三
角形的性质即可得到结果．
【详解】解：如图所示：
第12页/共30页
学科网（北京）股份有限公司在 中，
，
，
是将 ABC沿直线AD翻折得到的，
△ ，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，正确做出图形是解题关
键．
三．解答题（本大题共7题）
19. 计算： ．
【答案】 ．
【解析】
【分析】直接将特殊角的三角函数值代入求出答案．
第13页/共30页
学科网（北京）股份有限公司【详解】原式=
=
=
= ．
【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．
20. 如图，在梯形 中， ， ，对角线 、 相交于点 ，设 ，
.试用 、 的式子表示向量 .
【答案】
【解析】
【分析】先根据平行线分线段成比例得到 ，得到 ，再根据 即
可求解.
【详解】
即
第14页/共30页
学科网（北京）股份有限公司，
与 同向，
【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识.
21. 如图，已知 是等边三角形， ，点 在 上， ， 是 的外角平
分线，连接 并延长与 交于点 ．
（1）求 的长；
（2）求 的正切值．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质和角平分线平分角，得到： ，再根据对顶角相等，
得到 ，利用相似比求出 即可；
（2）过点 作 ，交 的延长线于点 ，解直角三角形 ，求出 ，进而求出 ，
利用 ，求解即可．
第15页/共30页
学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
解：∵ 是等边三角形， 是 的外角平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
【
小问2详解】
解：如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
∴ ，
∵ 是 的外角平分线，
第16页/共30页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形．解题的关键是证明三角形相似以及添加辅助
线，构造直角三角形．
22. 如图，高压电线杆 垂直地面，测得电线杆 的底部 到斜坡的水平距离 长为 米，落在
斜坡上的电线杆的影长 为 米，在 点处测得电线杆顶 的仰角为37°．已知斜坡 的坡比
，求该电线杆 的高（结果保留整数位）．（参考数据： ， ，
）
【答案】该电线杆 的高
【解析】
【分析】如图，过点 分别作 ，交 于点 ，交 的延长线于点 ，得到四边
第17页/共30页
学科网（北京）股份有限公司形 为矩形，利用斜坡 的坡比 ，求出 ，进而求出 的长，利用三角函数，
求出 的长，利用 求出 的长即可．
【详解】解：如图，过点 分别作 ，交 于点 ，交 的延长线于点 ，
∴ ，
∵高压电线杆 垂直地面，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∵斜坡 的坡比 ，即： ，
设 ，
由勾股定理得： ，
解得： ；
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
答：该电线杆 的高 ．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用．通过添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
的
23. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上 中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且
第18页/共30页
学科网（北京）股份有限公司AC2=CE•CB．
（1）求证：AE⊥CD；
（2）连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF=∠EAB．
【答案】略
【解析】
【详解】试题分析：（1）先根据题意得出△ACB∽△ECA，再由直角三角形的性质得出 CD=AD，由
∠CAD+∠ABC=90°可得出∠ACD+∠EAC=90°，进而可得出∠AFC=90°；
（2）根据AE⊥CD可得出∠EFC=90°，∠ACE=∠EFC，故可得出△ECF∽△EAC，再由点E是BC的中点可
知CE=BE，故 ，根据∠BEF=∠AEB得出△BEF∽△AEB，进而可得出结论．
试题解析：（1）∵AC2=CE•CB，
∴ ．
又∵∠ACB=∠ECA=90°
∴△ACB∽△ECA，
∴∠ABC=∠EAC．
∵点D是AB的中点，
∴CD=AD，
∴∠ACD=∠CAD
∵∠CAD+∠ABC=90°，
∴∠ACD+∠EAC=90°
∴∠AFC=90°，
∴AE⊥CD
（2）∵AE⊥CD，
∴∠EFC=90°，
∴∠ACE=∠EFC
第19页/共30页
学科网（北京）股份有限公司又∵∠AEC=∠CEF，
∴△ECF∽△EAC
∴
∵点E是BC的中点，
∴CE=BE，
∴
∵∠BEF=∠AEB，
∴△BEF∽△AEB
∴∠EBF=∠EAB．
【考点】相似三角形的判定与性质．
24. 如图， 在平面直角坐标系 中，抛物线 过点 、 、 三点，且
与 轴交于点 ．
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴：
（2）分别联结 、 、 ，直线 与线段 交于点 ，当此直线将四边形 的面
积平分时，求 的值；
第20页/共30页
学科网（北京）股份有限公司（3）设点 为该抛物线对称轴上的一点，当以点 、 、 、 为顶点的四边形是梯形时，请直接写出
所有满足条件的点 的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3） 或 或
【解析】
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，进而求出对称轴即可；
（2）求出 点坐标，设直线与 交于点 ，分别用含 的式子表示出 的坐标，利用直线将四边形
的面积平分，得到 列式求解即可；
（3）分 ，三种情况讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线过点 、 、 三点，
设： ，
则： ，
解得： ，
∴ ，
∴对称轴为： ；
【小问2详解】
解：∵ ，
当 时： ；
第21页/共30页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∵ 、 、
∴ ， ， ，
∵直线 与线段 交于点 ，且平分四边形 的面积，
∴直线 与线段 相交，设交点为 ，
当 时， ；当 时， ；
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即： ，
∴ ，即： ，
第22页/共30页
学科网（北京）股份有限公司解得： ；
【小问3详解】
解：①当 时，点 在线段 上，此时： ；
②当 时，设直线 的解析式为： ，
则： ，解得： ；
∴ ，
设直线 的解析式为： ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
当 时， ，
∴
第23页/共30页
学科网（北京）股份有限公司③当 时，设直线 的解析式为： ，
则： ，解得： ；
∴ ，
设直线 的解析式为： ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
当 时， ，
∴
第24页/共30页
学科网（北京）股份有限公司综上：点 、 、 、 为顶点的四边形是梯形时， 的坐标为： 或 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，一次函数与几何的综合应用．正确的求出二次函数的解析式，利
用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
25. 如图，在 中， ， ， ．点 为射线 上一动点（不与点
重合），联结 ，交边 于点 ， 的平分线交 于点 ．
（1）当 时，求 的值；
（2）设 ， ，当 时，求 与 之间的函数关系式；
（3）当 时，连接 ，若 为直角三角形，求 的长．
【答案】（1）
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）证明 ，得到 ，根据 ，即可得解；
（2）延长 ，交 于点 ，证明 为等腰三角形，得到 ，再证明 ，
利用相似比，求出 的长，利用 ，求出 与 之间的函数关系式；
（3）分 和 两种情况讨论求解，即可．
【小问1详解】
第25页/共30页
学科网（北京）股份有限公司解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：延长 ，交 于点 ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
第26页/共30页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
即： ；
【小问3详解】
解：∵ ，
∴ 为直角三角形时，只有两种情况：
①当 时， ，
由（2）知： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
第27页/共30页
学科网（北京）股份有限公司②当 时，则：
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 于 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ ．
第28页/共30页
学科网（北京）股份有限公司综上：当 为直角三角形， 的长为 或 ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，以及勾股定理．解题的关键是添
加辅助线，证明三角形相似．注意，分类讨论．
第29页/共30页
学科网（北京）股份有限公司第30页/共30页
学科网（北京）股份有限公司
