精品解析：上海市杨浦区2022-2023学年九年级上学期数学期末（一模）数学试卷（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_九年级_上学期

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2022 学年第一学期阶段适应性练习卷 初三数学 一．选择题（本大题共 6 题） 1. 下列各组图形一定相似的是（ ） A. 两个菱形； B. 两个矩形； C. 两个直角梯形； D. 两个正方形． 【答案】D 【解析】 【分析】形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】A．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意； B．任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意； C．任意两个直角梯形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意； D．任意两个正方形的对应角对应相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同． 2. 在RtABC中，C 90，如果 AC 8， BC 6，那么B的余切值为（ ） 3 4 3 4 A. B. C. D. 4 3 5 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据余切函数的定义解答即可． 【详解】如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， BC 6 3 ∴cotB＝   ， AC 8 4 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3. 抛物线y 3x12 2的顶点坐标是（ ） A. 1,2 B. 1,5 C. (-1,2) D. 1,2 第 1 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】C 【解析】 【分析】根据顶点式的性质，确定顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线y 3x12 2的顶点坐标是 (-1,2) ； 故选C． 【点睛】本题考查抛物线的顶点坐标．熟练掌握顶点式的性质，是解题的关键．      4. 已知c为非零向量，a3c，b2c，那么下列结论中错误的是（ ）    3      A. a//b B. |a| |b| C. a与b方向相同 D. a与b方向相反 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．     【详解】∵a3c，b2c  3 ∴a b， 2    3  ∴a∥b， a  b 2   a与b方向相反， ∴A，B，D正确，C错误； 故选：C． 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5. 单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建 立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x （单位：m）近似满足函数关系y axm2 ka0． 某运动员进行了两次训练．第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如上图．根据 上述数据，该运动员竖直高度的最大值为（ ） 第 2 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 水平距离x/m 0 2 5 8 11 14 竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40 （第一次训练数据） A. 23.20m B. 22.75m C. 21.40m D. 23m 【答案】A 【解析】 【分析】找到表格中函数值相同的两个自变量的值，根据抛物线的对称性，确定抛物线的对称轴，进而确 定函数的最大值即可． 【详解】解：由表格可知：当x2和x14时，函数的函数值相同， 214 ∴抛物线的对称轴为：x 8， 2 由表格可知：抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∴当x8时，函数值最大：y 23.20； 故选A． 【点睛】本题考查求二次函数的最值．通过抛物线的对称性，确定抛物线的对称轴，是解题的关键． 6. 如图，在 ABC中，点D，E分别在AB和AC边上且DE∥BC ，点M 为BC边上一点（不与点  B、C重合），连接AM 交DE于点N ，下列比例式一定成立的是（ ）． AD AN DN BM DN AE DN NE A. = B.  C.  D. = AN AE NE CM BM EC MC BM 【答案】B 【解析】 【分析】证明△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC ，根据相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：∵DE∥BC ， ∴△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC ， DN AN AD NE AN AE ∴  = ，   ， BM AM AB MC AM AC 第 3 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) DN NE AE DN BM ∴   ，  ，故B符合题意，C、D不符合题意； BM MC AC NE CM AD AN 根据现有条件无法证明 = ，故A不符合题意； AN AE 故选B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键． 二．填空题（本大题共 12 题） a 3 2a 7. 已知  ，则 的值为_____． b 4 ab 【答案】 ． 【解析】 【详解】试题分析：用a表示出b，然后代入比例式进行计算．∵ ， ∴b= a， ∴ = = ． 故答案为 ． 考点：比例的性质． 8. 已知线段 AB8cm，点C在线段 AB上，且 AC2  BCAB，那么线段 AC的长___________cm． 【答案】4 54 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义得到点C是线段AB的黄金分割点，根据黄金比值计算得到答案． 【详解】∵ AC2  BCAB， ∴点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC， 51 51 ∴AC＝ AB= ×8=4 54 2 2 故答案为：4 54. 51 【点睛】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为 是解题的关键． 2 9. 若两个相似三角形的面积比为3:4，则它们的相似比为________． 3 【答案】 2 第 4 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可 【详解】解：∵两个相似三角形面积的比为3:4， 3 3 ∴它们的相似比=  4 2 3 故答案为： 2 【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边 形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也 等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 10. 小杰沿坡比为1:2.4的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了_________米． 【答案】50 【解析】 【分析】设他沿着垂直方向升高了x米，根据坡度的概念用x表示出他行走的水平宽度，根据勾股定理计 算即可． 【详解】设他沿着垂直方向升高了x米， ∵坡比为1：2.4， ∴他行走的水平宽度为2.4x米， 由勾股定理得，x2＋（2.4x）2＝1302， 解得，x＝50，即他沿着垂直方向升高了50米， 故答案为：50． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的 比是解题的关键． 11. 若点A3,y  ，B0,y  是二次函数y 2x12 1图象上的两点，则y ______y （填,,）． 1 2 1 2 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，抛物线开口向上，图象的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可． 【详解】解：y 2x12 1， a20，对称轴为：x1， ∴抛物线的开口向上，图象的点离对称轴越远，函数值越大， 第 5 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵1310， ∴ y  y ； 1 2 故答案为：． 【点睛】本题考查比较二次函数的函数值大小．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 12. 如果将抛物线yx22x1先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，那么所得的新抛物线的顶 点坐标为______． 【答案】 0,0 【解析】 【分析】求出平移后的解析式，即可得到新抛物线的顶点坐标． 【详解】解：y  x2 2x1x12 2， 将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到：y x112 22 x2， ∴新抛物线的顶点坐标为： 0,0 ； 故答案为： 0,0 ． 【点睛】本题考查抛物线的平移，以及二次函数的性质．熟练掌握抛物线的平移规律：上加下减，左加右 减，是解题的关键． 13. ABC中，BAC 90，点G是 ABC的重心，连接AG．若AG 4，则BC长为______．   【答案】12 【解析】 【分析】延长AG交BC于点D，根据点G是 ABC的重心，得到D为BC的中点，以及AG 2DG，  进而求出AD的长度，根据AD是直角三角形斜边上的中线，从而求出BC的长． 【详解】解：如图，延长AG交BC于点D， ∵点G是 ABC的重心，AG 4，  ∴D为BC的中点，且AG 2DG 4， ∴DG 2， 第 6 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴AD AGDG 6， ∵BAC 90， ∴BC 2AD12； 故答案为：12． 【点睛】本题考查重心的性质，以及直角三角形斜边上的中线．熟练掌握重心到顶点的距离与重心到对边 中点的距离之比为2:1，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 14. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC平分BCD，BAC D，如果AD4，BC 10， 则AC ______． 【答案】2 10 【解析】 【分析】利用平行线的性质，得到：DAC ACB，再根据BAC D，得到： BAC∽ CDA，   利用相似比进行求解即可． 【详解】解：∵AD∥BC， ∴DAC ACB， ∵BAC D， ∴ BAC∽ CDA，   AC BC ∴  ， AD AC ∴AC2  ADBC 40， ∴AC 2 10 ； 故答案为：2 10 ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形相似． 15. 如图，已知AD∥EF∥BC，AE 3BE，AD2，EF 5，那么BC ______． 第 7 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】6 【解析】 【分析】过点A作 AH∥CD，交EF 于点G，交BC于点H ，根据 AD∥EF∥BC，得到四边形 AHCD,AGFD均为平行四边形， AEG∽ ABH ，利用平行四边形的性质，以及相似比，分别求出   BH,CH ，进而求出BC的长． 【详解】解：过点A作AH∥CD，交EF 于点G，交BC于点H ， ∵AD∥EF∥BC， ∴四边形AHCD,AGFD均为平行四边形， ∴FG CH  AD2， ∴EG  EF FG 523， ∵EF∥BC， ∴ AEG∽ ABH ，   AE GE ∴  ， AB BH ∵AE 3BE， GE 3 3 ∴   ， BH BH 4 ∴BH 4, ∴BC  BH CH 426； 故答案为：6． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．解题的关键是添加辅助线，证明 三角形相似． 第 8 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 4 16. 如图，在 ABC中，ADBC，sinB ，BC 13，AD12，则tanC的值______．  5 【答案】3 【解析】 AD 【分析】根据正弦值，求出 AB，勾股定理求出BD，进而求出CD，利用tanC  ，进行求解即可． CD 【详解】解：∵ADBC， ∴ADBADC 90， AD 12 4 ∵sinB   ， AB AB 5 ∴AB15， ∴BD  AB2  AD2 9， ∴CD BCBD1394， AD 12 ∴tanC   3； CD 4 故答案为：3． 【点睛】本题考查锐角三角函数．熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键． 4 17. 如图，已知tan O＝ ，点P在边OA上，OP＝5，点M，N在边OB上，PM＝PN，如果MN＝2，那 3 么PM＝________． 【答案】 17 【解析】 【详解】试题解析：过P作PD⊥OB，交OB于点D， 第 9 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) PD 4  tanO  ， OD 3 ∴设PD=4x，则OD=3x， ∵OP=5,由勾股定理得： (3x)2 (4x)2 52， ∴x=1， ∴PD=4， ∵PM=PN，PD⊥OB，MN=2 1 MD ND MN 1， 2 在Rt△PMD中，由勾股定理得： PM  MD2 PD2  17. 故答案为 17. 18. 如图，RtABC中，∠C＝90°，AC  BC 1，点D在BC上，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落 在点C处，连接AC，直线AC与边CB的延长线相交与点F，如果DABBAF ，那么线段BF的长 为 ___． 【答案】 31 【解析】 【分析】在RtABC中，C 90,AC  BC 1，得到CABABC 45，由ADC是将△ABC 沿直线AD翻折得到的，求出CAD CAD，于是得到ABF 135，求出F 30，根据直角三 角形的性质即可得到结果． 【详解】解：如图所示： 第 10 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  在RtABC中， C 90,AC  BC 1， CABABC 45， ADC是将△ABC沿直线AD翻折得到的，  CADCAD， DABBAF，  1 1 BAD DAC  BAC 15， 2 3 ABF 135，  F 30， AC CF   3， tan30 BF CF BC  31， 故答案为： 31． 【点睛】本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，正确做出图形是解题关 键． 三．解答题（本大题共 7 题） sin60 3tan30cos60 19. 计算：  2cos45 1  cot30 ． 【答案】 21． 【解析】 【分析】直接将特殊角的三角函数值代入求出答案． 3 3 1 3  2 3 2 【详解】原式=  2  2 1 3 2   第 11 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 3 = ( 21) 3 1 = 21 = 21． 【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．   20. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC ，BC 2AD，对角线AC、BD相交于点O，设ADa，      AB b.试用a、b的式子表示向量 AO.  1  2  【答案】AO b  a 3 3 【解析】 AO AD 1 1    【分析】先根据平行线分线段成比例得到   ，得到AO AC，再根据AC  ABBC即可 OC BC 2 3 求解. 【详解】  AD//BC, BC 2AD AO AD 1    OC BC 2 AO 1 1   即AO AC AC 3 3  ADa ，   B  C  与  A  D  同向，  B  C  2a      AC  ABBC b 2a    1  2  AO b  a 3 3 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识. 21. 如图，已知 ABC是等边三角形，AB6，点D在AC上，AD2CD，CM 是ACB的外角平  分线，连接BD并延长与CM 交于点E． 第 12 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （1）求CE的长； （2）求EBC的正切值． 3 【答案】（1）3 （2）tanEBC  5 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质和角平分线平分角，得到：DCE BAD，再根据对顶角相等，得 到 BAD∽ ECD，利用相似比求出CE即可；   （2）过点E作EF BC，交BC的延长线于点F ，解直角三角形CFE，求出CF,EF ，进而求出BF ， EF 利用tanEBC  ，求解即可． BF 【小问1详解】 解：∵ ABC是等边三角形，CM 是ACB的外角平分线，  ∴AABC ACB60，AB BC  AC 6， 1 ∴ACM  180ACB60， 2 ∴ACM A， ∵ADBCDE， ∴ BAD∽ ECD，   AB AD ∴  ， CE CD ∵AD2CD， AB ∴ 2， CE 1 ∴CE  AB3； 2 【小问2详解】 解：如图，过点E作EF BC，交BC的延长线于点F ， 第 13 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴EFC 90， ∵CM 是ACB的外角平分线， ∴ECF ACM 60， 3 3 3 1 3 ∴EF CEsin603  ,CF CEcos603  ， 2 2 2 2 3 15 ∴BF  BCCF 6  ， 2 2 3 3 EF 3 2 ∴tanEBC    ． BF 15 5 2 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形．解题的关键是证明三角形相似以及添加辅助 线，构造直角三角形． 22. 如图，高压电线杆AB垂直地面，测得电线杆AB的底部A到斜坡的水平距离AC长为15.2米，落在 斜坡上的电线杆的影长CD为5.2米，在D点处测得电线杆顶B的仰角为37°．已知斜坡CD的坡比 i 1:2.4，求该电线杆AB的高（结果保留整数位）．（参考数据：sin37 0.60，cos37 0.80， tan37 0.75） 【答案】该电线杆AB的高17m 【解析】 【分析】如图，过点D分别作DE  AB,DF  AC，交AB于点E，交AC的延长线于点F ，得到四边 第 14 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 形AFDE为矩形，利用斜坡CD的坡比i 1:2.4，求出CF,DF ，进而求出DE的长，利用三角函数，求 出BE 的长，利用BE AE求出AB的长即可． 【详解】解：如图，过点D分别作DE  AB,DF  AC，交AB于点E，交AC的延长线于点F ， ∴DFC DEB90， ∵高压电线杆AB垂直地面， ∴四边形AFDE为矩形， ∴DE  AF,AE  DF ， ∵斜坡CD的坡比i 1:2.4，即：DF:CF 1:2.4， 设DF  x,CF 2.4x， 由勾股定理得：CD CF2 DF2 2.6x5.2， 解得：x2； ∴AE  DF 2m，CF 4.8m， ∴DE  AF  ACCF 15.24.820m， 在Rt△DEB中，BE  DEtan37200.7515m， ∴AB BE AE 15217m． 答：该电线杆AB的高17m． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用．通过添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 23. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F， 且AC2=CE•CB． （1）求证：AE⊥CD； （2）连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF=∠EAB． 第 15 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】略 【解析】 【详解】试题分析：（1）先根据题意得出△ACB∽△ECA，再由直角三角形的性质得出 CD=AD，由 ∠CAD+∠ABC=90°可得出∠ACD+∠EAC=90°，进而可得出∠AFC=90°； （2）根据AE⊥CD可得出∠EFC=90°，∠ACE=∠EFC，故可得出△ECF∽△EAC，再由点E是BC的中点可 知CE=BE，故 ，根据∠BEF=∠AEB得出△BEF∽△AEB，进而可得出结论． 试题解析：（1）∵AC2=CE•CB， ∴ ． 又∵∠ACB=∠ECA=90° ∴△ACB∽△ECA， ∴∠ABC=∠EAC． ∵点D是AB的中点， ∴CD=AD， ∴∠ACD=∠CAD ∵∠CAD+∠ABC=90°， ∴∠ACD+∠EAC=90° ∴∠AFC=90°， ∴AE⊥CD （2）∵AE⊥CD， ∴∠EFC=90°， ∴∠ACE=∠EFC 又∵∠AEC=∠CEF， ∴△ECF∽△EAC ∴ ∵点E是BC的中点， 第 16 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴CE=BE， ∴ ∵∠BEF=∠AEB， ∴△BEF∽△AEB ∴∠EBF=∠EAB． 【考点】相似三角形的判定与性质． 24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y ax2 bxc过点A1,0、B3,0 、C2,3 三点，且 与y轴交于点D． （1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴： （2）分别联结AD、DC 、CB，直线y 4xm与线段DC 交于点E，当此直线将四边形ABCD的面 积平分时，求m的值； （3）设点F 为该抛物线对称轴上的一点，当以点A、B、C、F 为顶点的四边形是梯形时，请直接写出 所有满足条件的点F 的坐标． 【答案】（1）y x2 2x3,x1 5 （2）m 2 （3） 1,3 或 1,6 或 (1,-2) 【解析】 第 17 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，进而求出对称轴即可； （2）求出D点坐标，设直线与AB交于点F ，分别用含m的式子表示出E,F 的坐标，利用直线将四边形 ABCD的面积平分，得到S 2S 列式求解即可； 四边形ABCD 四边形AFED （3）分CF∥AB,AF∥BC,BF∥AC，三种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点A1,0、B3,0 、C2,3 三点， 设：y ax1x3 ， 则：3a2123 ， 解得：a1， ∴y x1x3x2 2x3， b 2 ∴对称轴为：x     1； 2a 21 【小问2详解】 解：∵yx2 2x3， 当x0时：y3； ∴D0,3 ， ∴OD3， ∵A1,0、B3,0 、C2,3 ∴CD2，AB 4，CD∥AB， ∵直线y 4xm与线段DC 交于点E，且平分四边形ABCD的面积， ∴直线y 4xm与线段AB相交，设交点为F ， 第 18 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) m 3m 当y0时，x ；当y3时，x ； 4 4 3m  m  ∴E  ,3  ,F  ,0 ，  4   4  m 3m ∴AF  1,DE  ， 4 4 ∴S 2S ， 四边形ABCD 四边形AFED 1 1 即： ABCDOD2 AF DEOD， 2 2  m 3m ∴ABCD2AF DE ，即：422   1 ，  4 4  5 解得：m ； 2 【小问3详解】 解：①当CF∥AB时，点F 在线段AD上，此时：F1,3 ； ②当AF∥BC时，设直线BC的解析式为：ykxb， 03kb k 3 则： ，解得： ； 32kb b9 ∴y 3x9， 第 19 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 设直线 AF 的解析式为：y 3xm， ∴031m，解得：m3， ∴y 3x3， 当x1时，y 336， ∴F1,6 ③当BF∥AC时，设直线AC的解析式为：y k xb ， 1 1 0k b k 1 1 1 1 则： ，解得： ； 32k b b 1   1 1 1 ∴yx1， 设直线BF 的解析式为：y  xn， ∴013n，解得：n3， ∴ y  x3， 当x1时， y 13 2， ∴F1,2 第 20 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 综上：点A、B、C、F 为顶点的四边形是梯形时，F 的坐标为： 1,3 或 1,6 或 (1,-2) ． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，一次函数与几何的综合应用．正确的求出二次函数的解析式，利 用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 25. 如图，在Rt△ABC 中，ACB90，AB13，CD∥AB．点E为射线CD上一动点（不与点 C重合），联结AE，交边BC于点F ，BAE的平分线交BC于点G． （1）当CE 3时，求S :S 的值； △CEF △CAF （2）设CE  x，AE  y，当CG 2GB时，求y与x之间的函数关系式； （3）当AC 5时，连接EG，若△AEG为直角三角形，求BG的长． 3 【答案】（1） 13 （2）y x26 169 （3）6或 24 【解析】 EF CE 【分析】（1）证明 CFE∽ BFA，得到  ，根据S :S  EF:AF，即可得解；   AF AB △CEF △CAF （2）延长 AG，交CD于点H ，证明△AEH 为等腰三角形，得到 AE  EH ，再证明 AGB∽ HGC，   利用相似比，求出CH 的长，利用CH CEEH CE AE，求出y与x之间的函数关系式； （3）分AGE 90和AEG 90两种情况讨论求解，即可． 【小问1详解】 第 21 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 解：∵CD∥AB， ∴ CFE∽ BFA，   EF CE 3 ∴   ， AF AB 13 1 EFh EF 3 2 ∴S :S    ； △CEF △CAF 1 AF 13 AFh 2 【小问2详解】 解：延长AG，交CD于点H ， ∵AG是BAE的平分线， ∴FAG BAG， ∵CD∥AB， ∴EHABAG， ∴EHAFAG， ∴AE  EH ， ∴ AGB∽ HGC，   CH CG ∴  ， AB BG ∵CG 2GB， CH CG ∴  2， AB BG ∴CH 2AB26， ∵CH CEEH CE AE， ∴CH CE AE  x y 26， 即：y x26； 【小问3详解】 解：∵EAG90， ∴△AEG为直角三角形时，只有两种情况： ①当AGE 90时，EG  AH ， 第 22 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 由（2）知：AE  EH ， ∴AG GH ， ∵ AGB∽ HGC，   CG GH ∴  1， BG AG 1 ∴BG  BC， 2 ∵ACB90，AB13，AC 5， ∴BC  AB2 AC2 12， 1 ∴BG  BC 6； 2 ②当AEG 90时，则：AEG ACB ∵CFAEFG， ∴VACF∽VGEF ， CF EF ∴  ，CFE AFG， AF FG ∴ ECF∽ GAF，   ∴ECF FAG， ∵CD∥AB， ∴ECF B， ∵FAG GAB， ∴BGAB， ∴GAGB， 1 13 过点G作GN  AB于N ，则GNBABC ，BN  AB ， 2 2 ∵BB， ∴ ACB∽ GNB，   第 23 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) BN BG BN BC 12 ∴  ，即：   ， BC AB BG AB 13 13 169 ∴BG  BN  ． 12 24 169 综上：当△AEG为直角三角形，BG的长为6或 ． 24 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，以及勾股定理．解题的关键是添 加辅助线，证明三角形相似．注意，分类讨论． 第 24 页 共 24 页