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上海市杨浦区 2023 届高三二模数学试卷
2023.04
一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 集合 ， ，则 ______
2. 复数 的虚部是______
3. 已知等差数列 中， ，则数列 的通项公式是___________.
4. 设 ，则 ______
5. 函数 的导数是 ______
的
6. 若圆锥 侧面积为 ，高为4，则圆锥的体积为______
的
7. 由函数 观点，不等式 的解集是______
8. 某中学举办思维竞赛，现随机抽取50名参赛学生的成绩制作成频率分布直方图（如图），估计学生的
平均成绩为______分
9. 内角 、 、 的对边是 、 、 ，若 ， ， ，则 ______
10. 若 ､ 是双曲线 的左右焦点，过 的直线 与双曲线的左右两支分别交于 ，
两点.若 为等边三角形，则双曲线的离心率为________.
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11. 若存在实数 ，使函数 在 上有且仅有2个零点，则 的取
值范围为______
12. 已知非零平面向量 、 、 满足 ， ，且 ，则 的最小值是
______
二.选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分）
13. 已知 、 ，则“ ”是“ ”的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
14. 对成对数据 、 、…、 用最小二乘法求回归方程 是为了使（ ）
.
A B.
C. 最小 D. 最小
15. 下列函数中，既是偶函数，又在区间 上严格递减的是（ ）
A. B. C. D.
的
16. 如图，一个由四根细铁杆 、 、 、 组成 支架（ 、 、 、 按照逆时针排
布），若 ，一个半径为1的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有
接触，则球心 到点 的距离是（ ）
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A. B. C. 2 D.
三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）
17. 已知一个随机变量 的分布为： .
（1）已知 ，求 、 的值；
（2）记事件 ： 为偶数；事件 ： .已知 ，求 ， ，并判断 、 是
否相互独立？
18. 四边形 是边长为 1 的正方形， 与 交于 点， 平面 ，且二面角
的大小为 .
（1）求点 到平面 的距离；
（2）求直线 与平面 所成的角.
19. 如图，某国家森林公园的一区域 为人工湖，其中射线 、 为公园边界.已知 ，以
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点 为坐标原点，以 为 轴正方向，建立平面直角坐标系（单位：千米）.曲线 的轨迹方程为：
.计划修一条与湖边 相切于点 的直路 （宽度不计），直路 与公园边界交于
点 、 两点，把人工湖围成一片景区 .
（1）若 点坐标为 ，计算直路 的长度；（精确到0.1千米）
（2）若 为曲线 （不含端点）上的任意一点，求景区 面积的最小值.（精确到0.1平方千米）
20. 已知椭圆 的右焦点为 ，直线 .
（1）若 到直线 的距离为 ，求 ；
（2）若直线 与椭圆 交于 ， 两点，且 的面积为 ，求 ；
（3）若椭圆 上存在点 ，过 作直线 的垂线 ，垂足为 ，满足直线 和直线 的夹角为 ，求
的取值范围.
21. 已知数列 是由正实数组成的无穷数列，满足 ， ， ， .
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（1）写出数列 前4项的所有可能取法；
（2）判断：是否存在正整数 ，满足 ，并说明理由；
（3） 为数列 的前 项中不同取值的个数，求 的最小值.
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