精品解析：2023年上海市杨浦区中考三模数学试卷（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_九年级_下学期_4：模拟卷多

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 杨浦区 2022 学年度第二学期初三质量调研（二） 数学试卷 （满分 150分，考试时间 100分钟） 考生注意： 1.本试卷含三个大题，共 25题； 2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律 无效； 3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算 的主要步骤． 一、选择题（本大题共 6题，每题 4分，满分 24 分）【下列各题的四个选项中，有且只有一 个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列各数中，无理数是（ ）  22 A. B. C. 4 D. 0.101001000 2 7 【答案】A 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数 与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．  【详解】解：A、 是无理数，故此选项符合题意； 2 22 B、 是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； 7 C、 4 2 是有理数，故此选项不符合题意； D、0.101001000是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2等；开方开不尽的数； 以及像0.1010010001，等有这样规律的数，熟练掌握无理数的定义是解题关键． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. a3 a3 2a6 B.  a33 a6 C. a3aa4 D. (ab)2 a2 b2 【答案】C 【解析】 第1页/共25页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项以及完全平方公式逐项计算即可． 【详解】解：A． a3a3 2a3，故选项A不符合题意； B．  a33 a9，故选项B不符合题意； C． a3aa4，故选项C符合题意； D． ab2 a2 2abb2，故选项D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项以及完全平方公式等知识，熟练掌握相 关运算法则是解答本题的关键． 3. 下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（ ） A 方差 B. 众数 C. 平均数 D. 频数 . 【答案】A 【解析】 【分析】根据方差、众数、平均数、频数的意义即可求解． 【详解】解：方差是表示一组数据波动程度的量，众数、平均数是表示一组数据集中趋势的量，频数是表 示数据出现的次数， 故选A． 【点睛】本题考查了方差、众数、平均数、频数的意义，掌握以上知识是解题的关键． k 4. 平面直角坐标系xOy中，若点A(x ,2)和B(x ,4)在反比例函数y  (k 0)图像上，则下列关系式正 1 2 x 确的是（ ） A. x  x 0 B. x x 0 C. x  x 0 D. x  x 0 1 2 2 1 1 2 2 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数图像的特点即可求解． k 【详解】解：∵反比例函数y  (k 0)， x ∴反比例函数图像经过第一、三象限，在第一象限中，函数值y随x的增大而减小， ∴点A(x ,2)和B(x ,4)中，24， 1 2 ∴0 x  x ，即x  x 0， 2 1 1 2 第2页/共25页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 故选：A． 【点睛】本题主要考查反比例函数图像的特点，掌握反比例函数图像的增减性是解题的关键． 5. 下列图形中，是中心对称但不是轴对称的图形是（ ） A. 角 B. 平行四边形 C. 等腰梯形 D. 正五边形 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图 形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．根据两个定义即可作出判断． 【详解】A．角是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意； C．等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D．正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选B． 【点睛】题目主要考查轴对称图形、中心对称图形的判断，熟练掌握两种图形的定义是解题关键． 6. 新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三 角形称为格点三角形．如图，已知 ABC是66的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与 ABC相   似且有一个公共角的格点三角形的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】取AB,BC,AC的中点D,F,E，再取网格点M、N，连接格点DE,DF,EF,MN ，结合中位线 的性质可证明△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC，△CEF∽△CAB，再根据BN 3 2， BN BC BM 4，BA4 2，BC 6，可得  ，结合ABC MBN ，有  ABC∽  MBN ，即可 BM BA 第3页/共25页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 获得答案． 【详解】解：如图，取AB,BC,AC的中点D,F,E，再取网格点M、N，连接格点DE,DF,EF,MN ， 1 则DE∥BC ，且DE  BC ， 2 ∴ADE B，AEDC， ∴△ADE∽△ABC． 同理可证：△BDF∽△BAC，△CEF∽△CAB． ∵BN 3 2，BM 4，BA4 2，BC 6， BN 3 2 3 2 2 BC ∴    ， BM 4 4 2 BA BN BC ∴  ，ABC MBN ， BM BA ∴ ABC∽ MBN ，   综上，满足条件的三角形有4个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了中位线的性质、相似三角形的判定等知识，熟练掌握相似三角形的判定条件是解 答本题的关键． 二、填空题（本大题共 12题，每题 4分，满分 48 分）【请将结果直接填入答题纸的相应位 置上】 7. 计算：32______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据有理数的减法进行计算即可求解． 【详解】解：32 325． 故答案为：5． 第4页/共25页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题考查了有理数的减法运算，掌握有理数的减法法则是解题的关键． 1 8. 函数y  的定义域为_______． x1 【答案】x1 【解析】 【分析】求函数的定义域就是找使函数有意义的自变量的取值范围． 【详解】解：函数要有意义，则x10， 解得：x1， 故答案为：x1． 【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域，关键要知道函数有意义的自变量的取值范围． 9. a  b 的其中一个有理化因式是________________. 【答案】 a  b 【解析】 【分析】根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号，可得答案． 【详解】a-b=（ a - b ）（ a + b ）， 故 a  b 的有理化因式可以是 a  b ． 故答案为 a  b ． 【点睛】考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键． 2x0 10. 不等式组 的解集是_______． 2x31 【答案】1 x2 【解析】 【分析】分别解出不等式组中的每一个不等式，然后根据大小小大中间找得出原不等式组的解集即可． 2x0① 【详解】解： ， 2x31② 解不等式①，得：x  2， 解不等式②，得：x1， 所以不等式组的解集为1 x2， 故答案为：1 x2． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的解集的确定方法“同大取大，同 第5页/共25页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”是解题的关键． 11. 如果关于x的方程x2 2xm0有两个相等的实数根，那么m的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2 2xm0有两个相等的实数根， ∴ 22 4m 0， 解得m 1 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2 bxc0a 0 ，若 b2 4ac0，则方程有两个不相等的实数根，若b2 4ac0，则方程有两个相等的实数根，若 b2 4ac<0，则方程没有实数根． 12. 如果抛物线y ax2在对称轴左侧呈上升趋势，那么a的取值范围是______． 【答案】a<0 【解析】 【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，则可得a的取值范围． 【详解】解：∵抛物线y ax2在对称轴左侧呈上升趋势， ∴抛物线开口向下， ∴a<0， 故答案为：a<0． 【点睛】本本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a0 时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向下． 13. 一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小 球，则摸到黄球的概率为__________． 2 【答案】 5 【解析】 【分析】先算出总的球的个数，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：总的球数为：3+2=5个， 第6页/共25页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2 ∴从中随机摸出一个球，恰好是黄球的概率为：P  ， 5 2 故答案为： ． 5 【点睛】本题主要考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能 出现的结果数． 14. 已知一个40个数据的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别是10、5、7、6，第五组的频 率是0.1，那么第六组的频数是_______． 【答案】8 【解析】 28 【详解】解：根据题意，得：第一组到第四组的频率和是 =0.7．又∵第五组的频率是0.10，∴第六组 40 的频率为1﹣（0.7+0.10）=0.2，∴第六组的频数为：40×0.2=8．故答案为8． 15. 如图，已知点G是  ABC的重心，设C  A  a  ,C  B  b  ，那么  A  G  用a 、b  可表示为______． 1 2  【答案】 b a 3 3 【解析】   【分析】根据三角形重心的性质得出D点是BC边的中点，求出CD，再由向量的加法法则求出AD，然  后根据G是  ABC的重心即可求出AG． 【详解】如图，D点是AB边的中点，G是 ABC的重心，  ∵C  A  a ，C  B  b  ，D点是AB边的中点，  1 1 ∴CD CB b， 2 2     1 ∴AD ACCDa b， 2 ∵G是 ABC的重心，   2 1 2 ∴AG  AD b a． 3 3 3 1 2  故答案为： b a． 3 3 第7页/共25页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题考查三角形的重心，向量的计算等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题 型． 3 16. 如果一个矩形的面积是40，两条对角线夹角的余切值是 ，那么它的一条对角线长是_______． 4 【答案】10 【解析】 【 分 析 】 作 BH  AC于 H ． 由 四 边 形 ABCD是 矩 形 ， 推 出 OAOC ODOB， 设 1 OAOC ODOB5a，由余切函数，可得BH 4a，OH 3a，由题意：2 10a4a40， 2 求出a即可解决问题． 【详解】解：如图，作BH  AC于H． ∵四边形ABCD是矩形， ∴OAOC ODOB， 设OAOC ODOB5a，则AC 10a． 3 OH ∵根据题意得：cotBOH   ， 4 BH ∴BH 4a，OH 3a， 1 由题意：2 10a4a40， 2 ∴a 1， ∴AC 10． 故答案为10． 【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三 角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 17. 如图，已知点M在正六边形ABCDEF 的边EF 上运动，如果AB 1，那么线段BM 的长度的取值范 围是________． 第8页/共25页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】 3  BM 2## 3 MB2 【解析】 【分析】根据题意，作出正六边形ABCDEF 的外接圆为圆O，连接BE,BF ，则点O在BE上，根据正多 边形的性质及内角和得出AAFE 120．再由各角之间的关系得出BFE 90，然后在 Rt BEF 中，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．  【详解】解：如图，正六边形ABCDEF 的外接圆为圆O，连接BE,BF ，则点O在BE上， ∵正六边形ABCDEF 62180 ∴AB AF  EF 1,AAFE  120， 6 180120 ∴ABF AFB 30， 2 ∴BFE 120–3090， 1 在Rt BEF 中，BE 2AB2,EBF  6030，  2 ∴BF cosEBFEB 3， ∴点M在正六边形ABCDEF 的边EF 上运动时线段BM 的长度的取值范围是 3  BM 2， 故答案为： 3  BM 2． 第9页/共25页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，含30度角的直角三角形的性质及解三角形，理解题意，作出临 界图形是解题关键． 18. 如图，已知在 ABC中，AB 7,ACB 120，将 ABC绕点B顺时针旋转60，点A、C分别落   在点D、E处，联结DC ，如果DC  AC，那么边BC的长_______． 【答案】 7 【解析】 【分析】由旋转变换易证DE  AC，DE  AC，∠BED  ∠BCA  120，DEC 60，由 DC  AC，得∠ACD  ∠ECD  90；设CE  x，由三角函数得DE 2x，CD 3x；在 Rt△ACD中，运用勾股定理求解得x 7 ，所以BC  7． 【详解】如图，由旋转知，DE  AC，∠BED  ∠BCA  120，△ABD， BCE为等边三角形，  ∴∠BEC  ∠BCE  60， CE  BC，AD  AB 7， ∴∠ACE  180，∠DEC  120  60  60 ∵DC  AC ∴∠ACD  ∠ECD  90 设CE  x，则DE 2x，CD 3x Rt△ACD中，AD2  AC2 CD2 ∴72  (2x)2 ( 3x)2，解得x 7 （负值舍去）， 故答案为： 7 第10页/共25页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题主要考查旋转变换、全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理及特殊角三角函数； 能够灵活运用相关知识导出线段间的数量关系是解题的关键． 三、解答题（本大题共 7题，满分 78分） 1 1 1 19. 计算：82|1 2|   ( 3)0 2 【答案】3 22 【解析】 【分析】先计算分数指数幂及零指数与负整数指数幂，绝对值化简，然后进行二次根式的加减法即可． 1 1 1 【详解】解：82|1 2|   ( 3)0 2 2 2 2121 3 22． 【点睛】题目主要考查分数指数幂及零指数与负整数指数幂，绝对值化简，二次根式的加减法等，熟练掌 握各个运算法则是解题关键． x2y 5① 20. 解方程组： x2 2xy3y2 0② x =3 x =5 1 2 【答案】 或 y =1 y =5   1 2 【解析】 【分析】先将②式因式分解为 x3yx y0，则可得 x3y0或 x y0，再分别与①式联 立求解即可． 【详解】解：由②得： x3yx y0， x2y 5 x2y 5 ∴ 或 x3y 0  x y 0 x =3 x =5 1 2 解得： 或 ， y =1 y =5   1 2 x =3 x =5 1 2 ∴原方程组的解为： 或 ． y =1 y =5   1 2 【点睛】本题主要考查了解二元二次方程组，解题的关键是将②式进行因式分解，把原方程组转化为两个 第11页/共25页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 二元一次方程组． 21. 某商店购进了一种生活用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与每件 售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8 x15，且x为整数），部分对应值如下表： 每件售价x（元） 9 11 13 每天的销售量y（件） 105 95 85 （1）求y与x的函数解析式； （2）如果该商店打算销售这种生活用品每天获得425元的利润，那么每件生活用品的售价应定为多少 元？ 【答案】（1）y  5x150 8 x15 （2）13元 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解即可； （ 2 ） 由 题 意 知 ， 利 润 wx85x1505x192 605， 令 w425， 则 5x192 605425，计算求解满足要求的x值即可． 【小问1详解】 解：设y与x的函数关系式为ykxb， 8 x15 ， 1059kb 将 9，105 ， 11，95 代入得 ， 9511kb k 5 解得 ， b150 ∴y  5x150， ∴y与x的函数关系式为y  5x150 8 x15 ； 【小问2详解】 解：由题意知，利润wx85x1505x192 605， 令w425，则5x192 605425， 解得x13或x25（不合题意，舍去）， ∴每件消毒用品的售价为13元； 第12页/共25页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数图象与性质．解题的关键在于对知识的 熟练掌握与灵活运用． 22. 如图，已知AB是  O的直径，弦CD与AB相交于点E，AC  BC,AB 4 5,CD 8． （1）求sinAEC的值； （2）求点A到弦CD的距离． 2 5 【答案】（1）sinAEC  （2）6 5 【解析】 【分析】（1）连接OC、OD，过点O作OF CE，根据圆周角定理及直角三角形斜边中线的性质与垂径 定理得出CF  DF 4，再由相似三角形的判定和性质确定EF 1，OE  5 ，由正弦函数的定义求解 即可； （2）过点A作AH CE，利用相似三角形的判定和性质即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接OC、OD，过点O作OF CE， ∵AB是  O的直径，AB BC， 1 ∴ACBBOC 90，AO BOCO AB2 5 ， 2 ∵OF CE， 1 ∴CF  DF  CD4， 2 ∴OF  OC2 CF2 2， ∵OEF EOF 90，OEF OCE 90， ∴EOF OCE ， ∵OFE OFC 90， ∴ OEF∽ COF ，   第13页/共25页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) OF EF OE 2 ∴    ， CF OF OC 4 ∴EF 1，OE  5 ， OF 2 5 ∴sinAEC   ； OE 5 【小问2详解】 过点A作AH CE， ∴AH∥OF， ∴ OEF∽ AEH ，   OE OF ∴  ， AE AH 由（1）得OE  5 ，AE 3 5， 5 2 ∴  ， 3 5 AH ∴AH 6， ∴求点A到弦CD的距离为6． 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理和 垂径定理，会利用相似三角形的判定与性质求线段长是解答的关键． 23. 已知：如图，在 ABC中， ACB90，点 D 是边 AB的中点， DE∥BC,BE∥CD，联结  AE、CE． 第14页/共25页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （1）求证：△ADE≌△CDE； （2）如果CE平分ACB，求证：AC 3BC． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质得出CD AD BD，再由平行线的性质及各角之间的 关系得出CDE ADE ，利用全等三角形的判定证明即可； （2）延长CB交 AE的延长线于点F，根据角平分线的性质及全等三角形的性质得出DAE DCE， 再由等边对等角及等腰三角形的判定和性质得出DAC DCA，由全等三角形的判定和性质得出 AE  FE,AC  FC ，最后由中位线的性质及平行四边形的判定和性质即可证明 【小问1详解】 证明：∵ACB90，点D是边AB的中点， ∴CD AD BD， ∵DE∥BC ， ∴BDE DBC,CDEDCB180， ∵CD BD， ∴DBC DCB， ∴BDE DCB， ∵ADEBDE 180， ∴CDE ADE ， 在 ADE和 CDE中，    ADCD  ADE CDE  DE  DE  第15页/共25页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴ ADE≌  CDE(SAS)； 【小问2详解】 延长CB交AE的延长线于点F， ∵ACB90，CE平分ACB， ∴ACE BCE 45 ∵△ADE≌△CDE ∴DAE DCE ∵ADCD， ∴DAC DCA， ∴EAC ACE 45， ∴AEC FEC 90， 在 ACE和 FCE中，   ACE BCE   CE CE  AEC FEC  ∴△ACE≌△FCE(ASA) ∴AE  FE,AC  FC ， ∵点D是AB的中点， ∴DE是 ABF的中位线，  1 ∴DE  BF ， 2 ∵DE∥BC,BE∥CD ∴四边形DCBE是平行四边形， 第16页/共25页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴DE  BC， 1 ∴BC  BF ， 2 ∴AC CF 3BC． 【点睛】题目主要考查直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质 及中位线的性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 2 24. 已知抛物线y  x2 bxc与x轴交于点A(3,0)和点B，与y轴交于点C(0,2)，顶点为点D． 3 （1）求抛物线的表达式和顶点D的坐标； （2）点P是线段AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，如果PE PB，求点P的坐 标； （3）在第（2）小题的条件下，点F在y轴上，且点F到直线EC、ED的距离相等，求线段EF 的长． 2 4  8 【答案】（1）y  x2  x2； 1,  3 3  3 3  （2）P  ,0  2  3 （3） 2 【解析】 【分析】（1）将点A和点B的坐标代入抛物线，即可得出其表达式； 2 4 （2）令y0，确定B1,0 ，设点Px,0 ，(1x3)，则E(x, x2  x2)，根据题意得出一元 3 3 二次方程求解即可； 3  3 5 1 （3）由（2）得：P  ,0 ，确定E  , ，利用待定系数法确定直线EC、ED的解析式分别为： y  x2， 2  2 2 3 1 y  x3，再由等腰三角形的判定和性质及一次函数的性质确定点F的坐标，即可求解． 3 第17页/共25页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【小问1详解】 将点C(0,2)代入抛物线，得c2 4 将点A(3,0)代入抛物线，得b 3 2 4 ∴抛物线的解析式为：y  x2  x2； 3 3 2 4 2 8 ∴y x2  x2 x12  ， 3 3 3 3  8 ∴顶点D的坐标为 1, ；  3 【小问2详解】 2 4 解：令y0得0 x2  x2， 3 3 ∴x3或x=1 ∴B1,0 ， 2 4 设点Px,0 ，(1x3)，则E(x, x2  x2)，如图所示： 3 3 2 4 ∴PE  x2  x2，PB x1 x1， 3 3 ∵PE PB， 2 4 ∴ x2  x2 x1， 3 3 3 解得：x 1（舍去）或x  ， 1 2 2 3  ∴P  ,0 ； 2  【小问3详解】 第18页/共25页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 3  由（2）得：P  ,0 ， 2  3 5 ∴当x 时，y  ， 2 2 3 5 ∴E  , ， 2 2 设直线EC、ED的解析式分别为：ykxb，y mxn， 3 5 3 5 mn  kb  2 2 将点代入得：2 2， ， 8   b2  mn  3  1  1 k  m 解得： 3， 3，  b2   n3 1 1 ∴直线EC、ED的解析式分别为： y  x2，y  x3， 3 3 ∴直线EC、ED与y轴的交点分别为C0,2,H0,3 ， 2 2 2 2 3  5  10 3  5  10 ∴EC  0  2  ，EH  0  3  ，         2  2  2 2  2  2 ∴EC  EH ， ∴ECH 为等腰三角形， ∵点F到直线EC、ED的距离相等，且点F在y轴上， 5 ∴点F为ECH 的角平分线及高线，即直线y  与y轴的交点， 2  5 ∴F  0, ，  2 第19页/共25页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 3 3 ∴EF  0 ． 2 2 【点睛】此题主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数确定函数解析式，线段相等问题及一次函数的 性质，理解题意，作出相应图象，综合运用这些知识点是解题关键． 25. 已知在矩形 ABCD中， AB 4,AD 3，点O是边 AB上的一点（不与点A重合），以点O为圆心， OA长为半径作圆，交射线AB于点G． （1）如图1，当  O与直线BD相切时，求半径OA的长； （2）当  O与△BCD的三边有且只有两个交点时，求半径OA的取值范围； （3）连接OD，过点A作AH OD，垂足为点H，延长AH 交射线BC于点F，如果以点B为圆心， BF 长为半径的圆与  O相切，求ADO的正切值． 3 【答案】（1） 2 3 25 （2） OA3或 OA4 2 8 2 （3） 或1 5 【解析】 【分析】（1）设  O与直线BD的切点为点E，连接OE,OD，根据全等三角形的判定和性质及勾股定理求 解即可； （2）分三种临界情况：①当  O与边CD的切点为点E，连接OE，此时恰好有三个交点，②当  O恰 好经过点C时，连接OC，③当点O与点B重合时，作出相应图形求解即可； （3）根据题意，分两种情况：①两个圆外切时，②两个圆内切时，作出图形，然后利用相似三角形的判定 和性质及正切函数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：设  O与直线BD的切点为点E，连接OE,OD，如图所示： 第20页/共25页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴OE  BD,OAOE， ∵矩形ABCD， ∴DAB90， ∴DABDEO90， ∵OD OD， ∴ ADO≌  EDO(HL)， ∴DE  AD 3， ∵AB 4,AD 3， ∴BD AB2  AD2 5， ∴BE 532， 设AOOE r，则BO4r， ∵OE2 BE2 OB2， ∴r2 22 4r2 ， 3 解得：r  ， 2 3 ∴半径OA的长为 ； 2 【小问2详解】 ①如图所示：当  O与边CD的切点为点E，连接OE，此时恰好有三个交点， ∴OE  AB， ∴四边形BOEC为矩形， ∴OE  BC  AO3， 第21页/共25页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 3 ∴由（1）得半径OA的长为 ，恰好有一个交点， 2 3 ∴当 OA3时，满足条件； 2 ②当  O恰好经过点C时，连接OC，如图所示： 设AO OC  r，则BO4r， ∵OB2 BC2 OC2， ∴ 4r2 32  r2， 25 解得：r  ， 8 25 ∴半径OA的长为 ； 8 25 ∴当3OA 时，  O与△BCD的三边的交点多于2个，不满足条件； 8 ③当点O与点B重合时，如图所示，满足条件， 25 ∴当 OA4时，满足条件； 8 3 25 综上可得： OA3或 OA4时，满足条件； 2 8 第22页/共25页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【小问3详解】 ①当两个圆外切时，如图所示： ∵AH OD， ∴AODBAF 90， ∵ADOAOD90， ∴BAF ADO， ∵DAOABF 90， ∴ ADO∽ BAF，   AD AO 3 ∴   ， AB BF 4 设AOr，BF r ， 1 r 3 4r ∴  ，即r  ， r 4 1 3 1 ∵两个圆相切， 4r ∴r 2r 4，即 2r 4， 1 3 6 解得：r  OA， 5 AO 2 ∴tanADO  ； AD 5 ②当两个圆内切时，如图所示： 第23页/共25页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴BF  BA4， ∴BAF AFB45， ∵AH OD， ∴BAF AOH 45， ∴ADOAOD45， ∴tanADOtan451； 2 综上可得：ADO的正切值为 或1． 5 【点睛】题目主要考查切线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质及 勾股定理解三角形，正切函数的定义等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 第24页/共25页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 第25页/共25页 学科网（北京）股份有限公司