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上海市嘉定区区 2023 届高三二模数学试卷
2023.04
一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 已知复数 （ 为虚数单位），则 =______．
【答案】5
【解析】
【分析】直接利用复数的模的公式求解.
【详解】因为复数 ，所以 .
故答案为5
【点睛】（1）本题主要考查复数的模的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 复数
的模 .
2. 双曲线 的离心率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由双曲线的性质求解.
【详解】双曲线 的离心率为 .
故答案为：
3. 已知 ， ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】解不等式，再求交集.
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【详解】 等价于 ，解得 ，即 .
则 .
故答案为：
4. 函数 的最小正周期是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据正弦型函数 的周期公式求解即可.
【详解】 的最小正周期是 .
故答案为：
5. 是边长为1的等边三角形，点M为边AB的中点，则 __________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据正三角形的性质可得 ， ，然后代入向量的数量积公式即可求解.
【详解】由题意可知： ， ，由平面向量的数量积公式可得，
，
故答案为： .
6. 已知函数 ，定义域为 ，则该函数的最小值为__________．
【答案】1
【解析】
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【分析】根据函数求导确定函数单调性，即可得函数最小值.
【详解】因为 ， ，所以 ，令 ，得
所以当 时， ，函数单调递减，当 时， ，函数单调递增
所以 .
故答案为： .
7. 已知 ，若 ，则 __________．
【答案】3
【解析】
【分析】由组合数和排列数的计算公式求解.
【详解】 ，则 .
故答案为：
8. 已知数列 的通项公式为 ，前 项和为 ，则 __________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】先求得 ，然后求得正确答案.
【详解】
，
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所以 .
故答案为：
9. 已知四棱锥 的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 ．若点 在圆柱的一个
底面圆周上，点P在圆柱的另一个底面内，则该圆柱的体积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】画图求出圆柱体的底面圆的半径及高，利用圆柱体体积公式计算即可.
【详解】如图所示：连接 交于点 ，连接 ，
因为四棱锥 的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 ，
所以 面 ，
因为点 在圆柱的一个底面圆周上，
所以圆柱底面圆的半径为： ，
又点P在圆柱的另一个底面内，
所以圆柱体的高为 ，
所以圆柱体的体积为： ，
故答案为： .
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10. 已知某产品的一类部件由供应商 和 提供，占比分别为 和 ，供应商 提供的部件的良品率为
，若该部件的总体良品率为 ，则供应商 提供的部件的良品率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据全概率公式计算可得.
【详解】记随机取一件产品由供应商 提供为事件 ，由供应商 提供为事件 ，为良品为事件 ，
则 ， ， ， ，
由 ，即 ，解得 ，
即供应商 提供的部件的良品率为 .
故答案为：
11. 如图，线段AB的长为8，点C在线段AB上， ．点P为线段CB上任意一点，点A绕着点C顺
时针旋转，点B绕着点P逆时针旋转．若它们恰重合于点D，则 的面积的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知可推得 ，根据余弦定理表示出 ，进而得出
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.表示出 ，根据基本不等式，即可求出
，从而得出答案.
【详解】由题意可知， ，即 .
在 中，有 ， ，
所以 .
由余弦定理可得，
，
所以 ，
所以有
，
当且仅当 时，等号成立.
所以， ，
所以， ，即 的面积的最大值为 .
故答案为： .
12. 若关于 的函数 在 上存在极小值（ 为自然对数的底数），则实数 的取值范围为
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__________．
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的导函数 ，令 ，利用导数说明函数的单调性，
求出 ， ，再分类讨论，分别求出函数的单调区间，即可得到函数的极值点，即可判断.
【详解】因为 ，所以 ，
令 ，则 ，
所以当 或 时 ，当 时 ，
所以 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，又 ， ，
当 即 时 与 轴有且只有一个交点，不妨设交点横坐标为 ，
则当 时 ，即 ，当 时 ，即 ，
即 在 上单调递增，在 上单调递减，此时函数在 处取得极大值，无极小
值，不符合题意；
当 即 时 与 轴有且只有一个交点，不妨设交点横坐标为 ，
则当 时 ，即 ，当 时 ，即 ，
即 在 上单调递增，在 上单调递减，
此时函数在 处取得极大值，无极小值，不符合题意；
当 时当 时 即 ，当 时 即 ，
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所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
此时函数在 处取得极大值，无极小值，不符合题意；
当 时当 时 即 ，当 时 即 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
此时函数在 处取得极大值，无极小值，不符合题意；
当 ，即 时 的图象如下所示：
即 与 轴有 个交点，不妨依次设为 、 、 ，
则当 或 时 ，即 ，当 或 时 ，即 ，
所以 在 处取得极小值，符合题意，
综上可得实数 的取值范围为 .
故答案为：
二、选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分）
13. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
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【解析】
【分析】首先化简结论，然后根据条件与结论的关系确定充分性和必要性是否成立即可.
【详解】求解二次不等式 可得： ，
∵ 由 可推出 ，由 不能推出 ，
∴ 是 的必要不充分条件.
故选：B.
14. 函数 是（ ）
A. 奇函数 B. 偶函数 C. 奇函数也是偶函数 D. 非奇非偶函数
【答案】B
【解析】
【分析】求出定义域，根据函数奇偶性的定义判断即可.
【详解】由函数 可知，定义域为 关于原点对称，又
，故函数为 内的偶函数.
故选：B
15. 已知一个棱长为1的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为 ，与该正方体每条棱都相切的
球半径为 ，过该正方体所有顶点的球半径为 ，则下列关系正确的是（ ）
A. B.
.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方体内切球，外接球的性质求出对应半径即可.
【详解】与该正方体每个面都相切的球直径为棱长： ，
与该正方体每条棱都相切的球直径为一个的面对角线： ，
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过该正方体所有顶点的球的直径为体对角线： ，
，A错误； ，故C正确，B、D错误.
故选：C.
16. 有一笔资金，如果存银行，那么收益预计为2万．该笔资金也可以做房产投资或商业投资，投资和市
场密切相关，根据调研，发现市场的向上、平稳、下跌的概率分别为0.2、0.7、0.1．据此判断房产投资的
收益 和商业投资的收益 的分布分别为 ， ，则从数学
期望的角度来看，该笔资金如何处理较好（ ）
A. 存银行 B. 房产投资
C. 商业投资 D. 房产投资和商业投资均可
【答案】D
【解析】
【分析】计算出房产投资和商业投资的收益平均值，根据平均值判断即可.
【详解】房产投资的收益平均值为： ，
商业投资的收益平均值为： ，
因为 ，所以房产投资和商业投资均可.
故选：D
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）
17. 如图，正四棱柱 中， ，点E、F分别是棱BC和 的中点．
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（1）判断直线 与 的关系，并说明理由；
（2）若直线 与底面ABCD所成角为 ，求四棱柱 的全面积．
【答案】（1）相交；理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连结 .先根据三角形的中位线得出 ，且 .然后证明四边形
是平行四边形，即可推出四边形 是梯形，进而得出结论；
（2）由题意知 ，推得 .在 中，解得 ，即可求出四棱柱的面积.
【小问1详解】
如图1，连结 .
因为 分别是 的中点，所以 ，且 .
由正四棱柱的性质可知， ，且 ，
所以，四边形 是平行四边形，
所以， ，且 ，
所以 ，且 .
所以，四边形 是梯形，
所以，直线 与 相交.
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【小问2详解】
如图2，连结 ，则 即为直线 与底面ABCD所成角，即 ，
则在 中，有 .
设 ，由题意知 ，则 ，
在 中，有 ，
所以 .
所以，四棱柱 的全面积为 .
18. 已知向量 ， ， ．
（1）求函数 的最大值及相应 的值；
（2）在 中，角A为锐角，且 ， ， ，求边 的长．
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【答案】（1）最大值 ，此时 ， ；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量数量积坐标运算、二倍角公式以及辅助角公式求得函数 的解析式，再由
正弦函数的性质求解；
（2）由（1）求出角 的值，再利用正弦定理求出 边的长作答.
【小问1详解】
依题意，
当 ，即 时， 取最大值 .
【小问2详解】
由（1）及 得： ，即 ，
因 ，则 ，因此， ，则 ，
而 ，有 ，
在 中，由正弦定理 得， ，
所以边 的长为 .
19. 李先生是一名上班族，为了比较上下班的通勤时间，记录了20天个工作日内，家里到单位的上班时间
以及同路线返程的下班时间（单位：分钟），如下茎叶图显示两类时间的共40个记录：
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（1）求出这40个通勤记录的中位数M，并完成下列2×2列联表：
超 过 不 超 过
M M
上班时间
下班时间
（2）根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由．
附： ， ，
【答案】（1） ，填表见解析
（2）无显著差异；理由见解析
【解析】
【分析】(1)根据茎叶图求出中位数，列表即可；(2)将表格中数据代入公式即可.
【小问1详解】
由茎叶图可知，该组数据的中位数为 ，故列出2×2列联表如下：
超 过 不 超 过
M M
上班时间 8 12
下班时间 7 13
【小问2详解】由2×2列联表可知，
，
故上下班的通勤时间不存在显著差异.
20. 若直线和抛物线的对称轴不平行且与抛物线只有一个公共点，则称该直线是抛物线在该点处的切线，
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该公共点为切点．已知抛物线 ： 和 ： ，其中 ． 与 在第一象限内的交点
为P． 与 在点P处的切线分别为 和 ，定义 和 的夹角为曲线 、 的夹角．
（1）求点P的坐标；
（2）若 、 的夹角为 ，求 的值；
（3）若直线 既是 也是 的切线，切点分别为Q、R，当 为直角三角形时，求出相应的 的值．
【答案】（1） ；
（2）1； （3） 或
【解析】
【分析】（1）联立方程组即可求得点P的坐标；
（2）根据导函数的定义求得斜率，由夹角公式得 ，代入即可求得 的值；
（3）设直线方程，由于直线与曲线相切，联立方程组，判别式等于 0，，由于三角形为直角三角形，分三
种情况讨论，根据向量乘积为0即可求得.
【小问1详解】
设点 ，联立方程 ，解得 ，即 .
【小问2详解】
设 和 的斜率分别为 和 ，因为 在第一象限内，
对于 考虑函数 ，求导 ，代入点 横坐标，得 ，
对于 ，考虑函数 ，求导 ，代入点 横坐标，得 ，
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因为 、 的夹角为 ，所以 和 的夹角为 ，
由夹角公式得： ，化简为 ，即 ，得 .
.
【小问3详解】
因为 显然不与坐标轴平行，所以其方程设为 ，
因为 和 只有一个公共点，所以方程组 有两个相同的解，
所以 的判别式 ，即 ，.
同理方程组 有两个相同的解，所以 的判别式 ，即 ，.
联立方程 ，解得 ，又点 纵坐标为 、点 横坐标为 ，所以
、 .
设 ，则 ， ， ，
若 为直角，则 ， ， ， ;
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为
若 直角，则 ， ， ， ;
若 为直角，则 ， ，无解，
综上， 或 为所求.
.
【点睛】关键点睛：本题第2小问的解题关键是利用导数求得抛物线的切线方程，从而得解.
21. 已知 ，等差数列 的前 项和为 ，记 ．
（1）求证：函数 的图像关于点 中心对称；
（2）若 、 、 是某三角形的三个内角，求 的取值范围；
（3）若 ，求证： ．反之是否成立？并请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2） ；
（3）证明见解析，理由见解析
【解析】
【分析】（1）函数中心对称性质： ，则 的图象关于点 中心对
称，根据此定义证明即可；
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（2）利用三角形内角和为 和等差中项性质求解出 和 ，再根据定义展开 ，根据三
的
角函数恒等变换展开化简即可求出 取值范围；
（3）根据等差数列性质可得 ，将该关系式代入 计算即可.
【小问1详解】
，
，
，
故函数 的图象关于点 中心对称；
【小问2详解】
因为 为等差数列，所以 ，
又因 、 、 是某三角形的三个内角，所以 ，得 ， ，
化简得： ，
因为 、 、 是某三角形的三个内角，且 ，所以 ，
即 ， ，可得 ；
【小问3详解】
证明：若 ，根据等差数列性质可得 ，
由此可得 ， ， ，
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即 ，
，
解得 ，证毕.
反之，若 ，即
因为 为等差数列，所以 ，
即 ，
当且仅当 时， ，
若 ，则 ，
故反之不成立，证毕.
【点睛】方法点睛：
常见函数的累加求值：
①若函数呈周期性变化，或者函数的部分呈周期性变化，因此在累加求值的过程中，先找到函数的周期性，
再计算出一个周期中的取值情况，最后整体计算；
②若无周期变化，该函数还可能呈首尾相加取定值，可先判断是否存在该规律，再进行整体计算.
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