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2023 学年第一学期九年级质量调研数学样卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 如果抛物线 的开口向下，那么 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线开口向下，得到 ，求解即可．
【详解】解：由题意，得： ，
∴ ；
故选D．
2. 抛物线 的对称轴是直线 ，那么下列等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质．根据二次函数的对称轴为 ，进行求解后，判断即可．
【详解】解：∵抛物线 的对称轴是直线 ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
3. 已知在 中， ， ， ，那么下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A【解析】
【分析】本题考查求锐角三角函数值．根据勾股定理求出 的长，利用锐角三角函数的定义，逐一进行
判断即可．熟记锐角三角函数的定义，是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ， ， ；
故选A．
4. 一架飞机在离地面6000米的上空测得某一建筑物底部的俯角为30°，此时这架飞机与这一建筑物底部之
间的距离是（ ）
A. 6000米 B. 12000米 C. 米 D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用．由题意可知，在直角三角形中，已知角的对边求斜边，可以
用正弦函数来计算．
【详解】解：由题意，得：这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是 米；
故选B．
5. 如图，在 中，点 是边 的中点， ， ，那么 等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】【分析】本题考查了向量的线性运算，根据 、 、 即可求
解．
【详解】解：∵ ，点 是边 的中点，
∴
∴
故选：D
6. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 有一个角是36°的两个等腰三角形相似
B. 有一个角是45°的两个等腰三角形相似
C. 有一个角是60°的两个等腰三角形相似
D. 有一个角是钝角的两个等腰三角形相似
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定方法，根据有两组对应角相等的两个三角形相似，进行判断即可．
【详解】解：A、36度的两个角一个是顶角，一个是底角时，两个等腰三角形不相似，选项为假命题；
B、45度的两个角一个是顶角，一个是底角时，两个等腰三角形不相似，选项为假命题；
C、有一个角是60°的两个等腰三角形均为等边三角形，相似，为真命题；
D、有一个角是钝角，且钝角的度数相等的两个等腰三角形相似，选项为假命题；
故选C．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 如果函数 （ 是常数）是二次函数，那么 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据：“形如 ，这样的函数叫做二次函数”，得到 ，即可．
【详解】解：由题意，得： ，
∴ ；故答案为： ．
8. 将抛物线 向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据“上下移动，纵坐标相加减，左右移动横坐标相加
减”进行求解即可．
【详解】解：将抛物线 向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是
，
故答案为： ．
9. 如果抛物线 经过两点 和 ，那么 的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式．将点A的坐标代入解析式求出 的值，再把点B的坐标代入，
求出 的值即可．
【详解】解：把 ，代入 ，得： ，
∴ ，
把 ，代入 ，得： ；
故答案为： ．
10. 二次函数 图像的最高点的横坐标是______.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的最值，将二次函数解析式化为顶点式，由此即可得出答案，熟练掌握二次
函数的性质是解此题的关键．
【详解】解： ，二次函数 图像的最高点的横坐标是 ，
故答案为： ．
11. 如果 （ 、 都不等于零），那么 ______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】此题考查比例的性质，用同一未知数正确表示出 和 是解题关键．利用已知把 和 用同一未
知数表示，进而计算得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴可设 ，则 ，
∴ ．
故答案为： ．
12. 已知点 是线段 的一个黄金分割点，且 ， ，那么 ______ .
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．利用黄金分割的定义进行计算，
即可解答．
【详解】解：∵点P是线段 的一个黄金分割点，且 ，
∴ ，
故答案为：13. 如果向量 、 、 满足关系式 ，那么 ______（用向量 、 表示）.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键．根据平面向量的运算法则求
解即可．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
故答案为：
14. 在 中，点 、 分别在边 、 的延长线上， ， ，那么当
______时， ．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对
应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边进行求解即可．
【详解】解：由题意，当 ，即： 时， ；
故答案为：2．15. 如图，在 中，点 、 分别在边 、 上， ， ， ，那么
______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形 判定和性质，根据 ，得到 ，证明
的
，进而得到 ，即可得解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴两个三角形的相似比为： ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：3．16. 如图，在 中， ， ，连接 ， ， ， ，那么
______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查求角的余弦值．勾股定理求出 的值，再利用余弦等于邻边比斜边，求解即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
17. 如图，在港口 的南偏西 方向有一座小岛 ，一艘船以每小时12海里的速度从港口 出发，沿正
西方向行驶，行了30分钟时这艘船在 处测得小岛 在船的正南方向，那么小岛 与 处的距离
______海里（结果保留根号）．【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用．连接 ，由题意， ，利用速度乘以时间求出 的
长，利用锐角三角函数，求出 的长即可．
【详解】解：连接 如图，
由题意，得： ，
∴在 中， ；
故答案为： ．
18. 在 中 ， ， ， ， 点 ， 分 别 在 边 、 上 ， 且
，将 沿直线 翻折，翻折后点 落在点 处，如果 ，那么
______.【答案】 ##0.5
【解析】
【分析】本题考查折叠的性质，解直角三角形，勾股定理，平行线的性质等，延长 交 于点D，先
解 ，求出 ， ，由折叠的性质可得 ，
，设 ，则 ， ，由 推出
，再解 和 求出x的值，进而即可求解．
【详解】解：如图，延长 交 于点D，
中， ， ， ，
，
， ，
由折叠的性质可得 ， ，，
，
设 ，则 ， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，故答案为： ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
【详解】解：
．
20. 已知平面直角坐标系 ，抛物线 经过点 和 两点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如果将这个抛物线向右平移 个单位，得到新抛物线经过点 ，求 的值.【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的解析式求解以及二次函数的平移，注意计算的准确性即可．
（1）将点 和 代入 即可求解；
（2）由（1）得 ，设平移后的抛物线表达式为 ，将点 代入即
可求解．
【小问1详解】
解：将点 和 代入 得：
解得
∴抛物线的表达式是： .
【小问2详解】
解：由（1）配方得：
根据题意可设平移后的抛物线表达式为
∵ 经过点 ；
∴
解得： ，
∵
∴ .21. 如图，在平行四边形 中，点 是边 上一点，且 ，直线 与 相交于点 .
（1）求 的值；
（2）如果 ， ， ，求四边形 的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，熟练运用相似三角形的判定与
性质、平行四边形的性质是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质得到 ， ，根据相似三角形的判定与性质得到
，根据比例的性质求解即可；
（2）根据平行四边形的性质得出 ，则 ，根据锐角三角函数定义
求出 ，则 ，根据勾股定理求出 ，根据平行四边形的面积公式求解即可．
【小问1详解】
，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
，，
，
，
；
【小问2详解】
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
平行四边形 的面积 ．
22. 如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔 ．小山斜坡 的坡度为 ，坡
长 为39米，在小山的坡底 处测得该塔的塔顶 的仰角为45°，在坡顶 处测得该塔的塔顶 的仰角
为74°．（1）求坡顶 到地面 的距离 的长；
（2）求古塔 的高度（结果精确到1米）．
（参考数据： ， ， ， ）
【答案】（1）15米 （2）古搭 的高度约为30米．
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用．
（1）根据坡度得到 ，设设 ，则 ，勾股定理求出 的值即可；
（2）延长 交 于点 ，得到 ，四边形 为矩形，在 中，得到
，列出算式，求解即可．
解题的关键是构造直角三角形，掌握锐角三角函数的定义．
【小问1详解】
由题意，得 ，
，图8
设 ，则
（米）
答：坡顶 到地面 的距离 的长为15米
【小问2详解】
延长 交 于点 ，则 ，四边形 为矩形．
∴ ， ，
，
，
，
，
；
在 中， ，
，
， ，
，
，（米）．
答：古搭 的高度约为30米．
23. 如图，在 中， ，点 是 延长线上一点，点 是斜边 上一点，且
．
（1）求证： ；
（2）连接 ，在 上取一点 ，使 ，过点 作 交 于点 ．求证，
．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）证明 ，得到 ，即可；
（ 2 ） 由 ， 推 出 ， 证 明 ， 得 到 ， 推 出
，即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，证明 是解题的关键．
【小问1详解】
证明： ，，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
由（1）得
即 ，
，
∴ ，
，
，
，
．
24. 定义：对于抛物线 （ 、 、 是常数， ），若 ，则称该抛物线是黄金抛物线，已知平面直角坐标系 ，抛物线 是黄金抛物线，与 轴交于点 ，顶点为 ．
（1）求此黄金抛物线的表达式及 点坐标；
（2）点 在这个黄金抛物线上．
①点 在这个黄金抛物线的对称轴上，求 的正弦值．
②在射线 上是否存在点 ，使以点 、 、 所组成的三角形与 相似，且相似比不为1．若
存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ，
（2）① ，②存在，
【解析】
【分析】（1）根据黄金抛物线的定义，列出方程求出 值，进而求出顶点 的坐标即可；
（2）①将点 代入解析式，求出 的值，求出对称轴，得到 的值，进而求出 的长，
勾股定理逆定理，得到 ，利用正弦的定义，求解即可；
②分 和 ，两种情况进行讨论求解即可．
本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质．利用数形结合，分类讨论的思想，进行求解，
是解题的关键．【小问1详解】
解： 抛物线 是黄金抛物线，
，
所求抛物线的表达式为 ，
配方得： ，
点 的坐标为 ；
【小问2详解】
①由（1）得：抛物线 的对称轴是直线 ，
点 的坐标为 ，
点 在这个黄金抛物线 上，
，
，
点 的坐标为 ，
，
，
，
，
，．
②存在
过点 作 ，垂足为
抛物线 与 轴交于点 ，
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，
，
，
点 的坐标为 ，
，
，
，
，
要使以点 、 、 所组成的三角形与 相似，有两种情况
第一种： ，
又 ， ，∴ 与 全等，相似比 为1，不合题意，舍去；
第二种： ，
∵ ，
，
，
，
， ，
，
点 在射线 上，
点 的坐标为 ．
25. 如图1，在 和 中， ， ， ， .
（1）求证： ；
（2）已知点 在边 上一点（与点 不重合），且 ， 交 于点 ，交 的延
长线于点 .
①如图2，设 ， ，求 与 的函数关系式，并写出定义域：
②当 是等腰三角形时，求 的长.【答案】（1）见解析 （2）（2）① ，定义域： ；②10或7或12.5.
【解析】
【分析】（1）由勾股定理得 ，再证 ，然后证 ，即可得出结论；
（ 2 ） ① 证 ， 得 ， 则 ， 然 后 证
，得 ，即可得出结论；②当 是等腰三角形时， 也是等腰三角形，
分三种情况，当 时；当 时；当 时，分别求出 的长，即可解决问题．
【小问1详解】
证明：
与 都是直角三角形
在 中，
， ，
，
，
在 中， ，
，，
；
【小问2详解】
解：① ，又
又
在中， ，
， ，
，定义域： ；
②当 是等腰三角形时，分三种情况：
第一种：当 时，则 ，解得： ，
第二种：当 时，则 ，过点 ，垂足为 ，
，
∴ ， ，则 ，解得： ，
第三种：当 时，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是直角三角形，
同理可得 ，
∴ ，
所以 ，即 ，
则解得， ，
综上所述：当 是等腰三角形时， 的长为10或7或12.5．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、
平行线的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
