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上海市嘉定区区 2023 届高三二模数学试卷
2023.04
一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 已知复数 （ 为虚数单位），则 =______．
2. 双曲线 的离心率为__________．
3. 已知 ， ，则 __________．
4. 函数 的最小正周期是______.
5. 是边长为1的等边三角形，点M为边AB的中点，则 __________．
6. 已知函数 ，定义域为 ，则该函数的最小值为__________．
7. 已知 ，若 ，则 __________．
8. 已知数列 的通项公式为 ，前 项和为 ，则 __________．
9. 已知四棱锥 的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 ．若点 在圆柱的一个
底面圆周上，点P在圆柱的另一个底面内，则该圆柱的体积为__________．
10. 已知某产品的一类部件由供应商 和 提供，占比分别为 和 ，供应商 提供的部件的良品率为
，若该部件的总体良品率为 ，则供应商 提供的部件的良品率为__________．
11. 如图，线段AB的长为8，点C在线段AB上， ．点P为线段CB上任意一点，点A绕着点C顺
时针旋转，点B绕着点P逆时针旋转．若它们恰重合于点D，则 的面积的最大值为__________．
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12. 若关于 的函数 在 上存在极小值（ 为自然对数的底数），则实数 的取值范围为
__________．
二、选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分）
13. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
14. 函数 是（ ）
A. 奇函数 B. 偶函数 C. 奇函数也是偶函数 D. 非奇非偶函数
15. 已知一个棱长为1的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为 ，与该正方体每条棱都相切的
球半径为 ，过该正方体所有顶点的球半径为 ，则下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
16. 有一笔资金，如果存银行，那么收益预计为2万．该笔资金也可以做房产投资或商业投资，投资和市
场密切相关，根据调研，发现市场的向上、平稳、下跌的概率分别为0.2、0.7、0.1．据此判断房产投资的
收益 和商业投资的收益 的分布分别为 ， ，则从数学
期望的角度来看，该笔资金如何处理较好（ ）
A. 存银行 B. 房产投资
C. 商业投资 D. 房产投资和商业投资均可
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）
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的
17. 如图，正四棱柱 中， ，点E、F分别是棱BC和 中点．
（1）判断直线 与 的关系，并说明理由；
（2）若直线 与底面ABCD所成角为 ，求四棱柱 全的面积．
18. 已知向量 ， ， ．
（1）求函数 的最大值及相应 的值；
（2）在 中，角A为锐角，且 ， ， ，求边 的长．
19. 李先生是一名上班族，为了比较上下班的通勤时间，记录了20天个工作日内，家里到单位的上班时间
以及同路线返程的下班时间（单位：分钟），如下茎叶图显示两类时间的共40个记录：
的
（1）求出这40个通勤记录 中位数M，并完成下列2×2列联表：
超 过 不 超 过
M M
上班时间
下班时间
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（2）根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由．
附： ， ，
20. 若直线和抛物线的对称轴不平行且与抛物线只有一个公共点，则称该直线是抛物线在该点处的切线，
该公共点为切点．已知抛物线 ： 和 ： ，其中 ． 与 在第一象限内的交点
为P． 与 在点P处的切线分别为 和 ，定义 和 的夹角为曲线 、 的夹角．
的
（1）求点P 坐标；
（2）若 、 的夹角为 ，求 的值；
（3）若直线 既是 也是 的切线，切点分别为Q、R，当 为直角三角形时，求出相应的 的值．
21. 已知 ，等差数列 的前 项和为 ，记 ．
（1）求证：函数 的图像关于点 中心对称；
（2）若 、 、 是某三角形的三个内角，求 的取值范围；
（3）若 ，求证： ．反之是否成立？并请说明理由．
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