文档内容
上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
2023 届金山区高三二模数学试卷
2023.04
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应
在答题纸的相应位置直接填写结果.
1. 已知集合 ，集合 ，若 ，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得到 ，代入集合B，结合元素的互异性，即可求解.
【详解】由题意，集合 ，又因为 ，所以 ，
则 ，
故答案为： .
2. 若实数 满足不等式 ，则 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】不等式 ，即 ，解得 ，则 的取值范围是 .
故答案 ：为.
3. 双曲线 的渐近线方程是___________.
【答案】
【解析】
【分析】直接由双曲线的方程求解即可
【详解】因为双曲线方程为 ，
第 1 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
所以双曲线的渐近线方程为 ，即 ，
故答案为：
4. 已知向量 ，向量 ，则 与 的夹角的大小为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用向量夹角的坐标表示来求解.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 .
故答案为： .
5. 在 的二项展开式中， 项的系数为_________（结果用数值表示）.
【答案】
【解析】
【分析】根据二项式展开式的通项即可求解.
【详解】由二项式 展开式的通项 可知，
令 ，可得 ，所以 项的系数为 ，
故答案为： .
6. 设复数 ，其中 为虚数单位，则 _________.
【答案】5
第 2 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
【解析】
【分析】
计算得到 ，再计算 得到答案.
【详解】 ，所以 .
故答案为：5.
【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.
7. 已知 是定义域为 的奇函数，当 时， ，则 __________.
【答案】
【解析】
【
分析】根据奇函数性质求解即可.
【详解】因为函数 是定义域为 的奇函数，
所以 ，
故答案为： .
8. 掷一颗骰子，令事件 ， ，则 _________（结果用数值表示）.
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据题意先求出 和 ，然后带入条件概率的计算公式即可求解.
【详解】由题意可知： ， ，
由条件概率的计算公式可得 ，
故答案为： .
9. 已知正实数 满足 ,则 的最小值为__________.
第 3 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
【答案】
【解析】
【分析】因为 ，展开利用基本不等式求解即可.
【详解】因为正实数 满足 ,
所以 ,
当且仅当 即 时等号成立,
所以 的最小值为 .
故答案为: .
10. 若函数 （常数 ）在区间 没有最值，则 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意先求出 的取值范围，然后根据题意列出不等式，解之即可求解.
【详解】因为 ， ，所以 ，
又因为函数 （常数 ）在区间 没有最值，
所以 ，解得 ，所以 的取值范围是
故答案为： .
第 4 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
11. 已知函数 和 的表达式分别为 ， ，若对任意
，若存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】将问题转化为 ，由二次函数性质可求得 在 上的最大值为 ，分
别在 、 和 的情况下，结合导数讨论 的单调性，从而得到 ，由
可构造不等式求得 的范围.
【详解】 对任意 ，若存在 ，使得 ， ；
当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减， ；
当 时， ，
①当 时， ， ，
则 在 上恒成立， 在 上单调递增，
， ，解得： ，
；
②当 时， ， ，
令 ，解得： ，
（i）当 ，即 时， 在 上恒成立，
第 5 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
在 上单调递减， ，
，解得： ， ；
（ii）当 ，即 时， 在 上恒成立，
在 上单调递增， ，
，解得： （舍）；
（iii）当 ，即 时，
若 ，则 ；若 ，则 ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
， ，解得： （舍）；
③当 时， ， ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
，
， ，
当 ，即 时， ，
，解得： ， ；
第 6 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
当 ，即 时， ，
，解得： ， ；
综上所述：实数 的取值范围为 .
故答案为： .
12. 已知 、 、 、 都是平面向量，且 ，若 ，则
的最小值为__________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据题意作出图形，利用数形结合即可求解.
【详解】如图，设 ， ， ， ， ，
则点 在以 为圆心，以 为半径的圆上，点 在以 为圆心，以 为半径的圆上，
，所以点 在射线 上，
所以 ，
作点 关于射线 对称的点 ，则 ，且 ，
第 7 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
所以 （当且仅当点 三点共线时取等号）
所以 的最小值为 ，
故答案为： .
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题
有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 若实数 、 满足 ，则下列不等式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对于D，结合对数函数的单调性即可判断；对于ABC，取 ， 即可判断.
【详解】由题意， ，所以 ，故D正确；
当 ， 时， ，但 ， ， ，故A，B，C错误.
故选：D.
14. 某社区通过公益讲座宣传交通法规.为了解讲座效果，随机抽取10位居民，分别在讲座前、后各回答一
份交通法规知识问卷，满分为100分.他们得分的茎叶图如图所示（“叶”是个位数字），则下列选项叙述错
误的是（ ）
A. 讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分
B. 讲座前的答卷得分分布较讲座后分散
C. 讲座后答卷得分的第80百分位数为95
第 8 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
D. 讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差
【答案】C
【解析】
【分析】根据茎叶图即可判断AB；再根据百分位数的计算公式即可判断C；根据极差的定义即可判断D.
【详解】有茎叶图可知讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分，故A正确；
讲座前的答卷得分主要分布在 之间，而讲座后主要分布在 之间，
则讲座前的答卷得分分布较讲座后分散，故B正确；
讲座后答卷得分依次为 ，
因为 ，所以第80百分位数是第8个数与第 个数的平均数，为 ，故C错误；
讲座前答卷得分的极差为 ，讲座后得分的极差为 ，
所以讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差，故D正确.
故选：C.
15. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别为边AD、BC上的点，且 ， ，设P、Q分别
为线段AF、CE的中点，将四边形ABFE沿着直线EF进行翻折，使得点A不在平面CDEF上，在这一过程
中，下列关系不能恒成立的是（ ）
A. 直线 直线CD B. 直线 直线ED
C. 直线 直线PQ D. 直线 平面
【答案】B
【解析】
【分析】由 ， ，可得四边形 和 都为矩形，进而得到 ，
，进而得证即可判断A；根据异面直线的定义即可判断B；设 中点为H，连接 ， ，
第 9 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
由P、Q分别为线段AF、CE的中点，可得 ， ，进而得到 ， ，可
得 平面 ，进而即可判断C；连接 ， ，可得 ，进而证明 平面 ，即
可判断D.
【详解】在矩形ABCD中， ， ，
可得四边形 和 都为矩形，
所以 ， ，翻折后仍然成立，
所以直线 直线 ，故A正确；
翻折前， ，翻折后直线 和直线ED为异面直线，故B错误；
设 中点为H，连接 ， ，
因为P、Q分别为线段AF、CE的中点，
所以 ， ，而 ， ， ，
所以 ， ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，故C正确；
连接 ， ，
因为P、Q分别为线段AF、CE的中点，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，故D正确.
故选：B.
第 10 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
16. 设 是项数为 的有穷数列，其中 ．当 时， ，且对任意正整数 ，都有
.给出下列两个命题：①若对任意正整数 ，都有 ，则 的最大值为18；
②对于任意满足 的正整数s和t，总存在不超过 的正整数m和k，使得 ．下
列说法正确的是（ ）
A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题
C. ①和②都是真命题 D. ①和②都是假命题
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列的前 项和公式计算和，然后分析判断．
【详解】 ， ，
由已知 且 时， ，因此 中 （ 为偶数）或 （ 为奇数）时
取得最大值，
因此对命题①，有 ， ，命题①为真命题；
由已知数列 是 或 ，其中 ，
第 11 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
整理化简后 等于 或 中连续项的和或等于0,
若 ，取 即可满足题意；
若 等于 中连续项的和，例如
（ 且 ），
则有 ，取 ， 即可满足
题意；
同理若 等于 中连续项的和，例如
（ 且 ），
则有 ，取 ， 即可满
足题意；
综上，命题②是真命题．
故选：C．
三、解答题（本大题共有 5题，满分78分）解答下列各题必须在答题相应位置写出必要的步
骤.
17. 在 中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，已知 ， .
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 的面积.
第 12 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据正弦定理求边长后再应用余弦定理求解即可.
(2)先求出角，再求出边长，最后应用面积公式求解可得.
【小问1详解】
由 ,应用正弦定理得 ,
,即得 .
【小问2详解】
因为
则 ,
又由正弦定理得
.
18. 如图，在正三棱柱 中，已知 ， 是 的中点.
第 13 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
（1）求直线 与 所成的角的大小；
（2）求证：平面 平面 ，并求点 到平面 的距离.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据 可知所求角为 ，由长度关系可得结果；
（2）作 ，由面面垂直性质可知所求距离为 ，利用面积桥可求得结果.
【小问1详解】
由正三棱柱结构特征可知： ， 平面 ， 为等边三角形；
直线 与 所成角即为 ，
平面 ， ，
在 中， ， ，
即直线 与 所成角的大小为 .
【小问2详解】
作 ，垂足为 ，
第 14 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ，
平面 ， 点 到平面 的距离即为 的长，
由（1）知： ， ，
，即 ，
点 到平面 的距离为 .
19. 某网站计划4月份订购草莓在网络销售，每天的进货量相同，成本价为每盒15元.假设当天进货能全部
售完，决定每晚七点前（含七点）售价为每盒20元，每晚七点后售价为每盒10元.根据销售经验，每天的
购买量与网站每天的浏览量（单位：万次）有关.为确定草莓的进货量，相关人员统计了前两年4月份（共
60天）网站每天的浏览量（单位：万次）、购买草莓的数量（单位：盒）以及达到该流量的天数，如下表
所示：
每天的浏览量
每天 的购买量 300 900
天数 36 24
以每天的浏览量位于各区间的频率代替浏览量位于该区间的概率.
（1）求4月份草莓一天的购买量 （单位：盒）的分布；
（2）设4月份销售草莓一天的利润为 （单位：元），一天的进货量为 （单位：盒）， 为正整数且
，当 为多少时， 的期望达到最大值，并求此最大值.
【答案】（1）分布列见解析
第 15 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
（2）当 时 的期望达到最大值， .
【解析】
【分析】（1）依题意 的可能取值为 、 ，求出所对应的概率，即可得到概率分布列；
（2）依题意可得 的可能取值为 或 ，求出所对应的概率，即可得到
【小问1详解】
的
依题意 可能取值为 、 ，
则 ， ，
所以 的分布列为
【小问2详解】当一天的进货量为 （单位：盒）， 为正整数且 时利润 的可能取值为
或 ，
且 ， ，
所以 ，
显然 随着 的增大而减少，所以当 时 的期望达到最大值， .
20. 已知椭圆 .
（1）已知椭圆 的离心率为 ，求椭圆 的标准方程；
（2）已知直线 过椭圆 的右焦点且垂直于 轴，记 与 的交点分别为A、B，A、 B两点关于y轴的对
称点分别为 、 ，若四边形 是正方形，求正方形 的内切圆的方程；
第 16 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
（3）设О为坐标原点，P、Q两点都在椭圆 上，若 是等腰直角三角形，其中 是直角，
点Р在第一象限，且O、P、Q三点按顺时针方向排列，求b的最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据离心率求出 ，然后求出 ，即可得解；
（2）设右焦点 ，左焦点 ，根据正方形的结构特征及椭圆的对称性可得 ，再根
据椭圆的定义求出 ，即可得出所求圆的半径，即可得解；
（ 3 ） 设 直 线 的 倾 斜 角 为 ， 斜 率 为 ， 求 出 直 线 的 斜 率 ， 设
，则 ，联立方程求出 ，根据 可得关于 的一
元二次方程，再根据 即可得解.
【小问1详解】
由题意得 ， ，所以 ，
所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 ；
【小问2详解】
设右焦点 ，左焦点 ，
因为四边形 是正方形，
不妨设点 在第一象限，则 ，
第 17 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
所以 ，
由 ，得 ，
正方形 的内切圆的圆心为 ，半径为 ，
所以所求圆的方程为 ；
【小问3详解】
设直线 的倾斜角为 ，斜率为 ，
则直线 的斜率为 ，
设 ，则 ，
联立 ，得 ，
同理可得 ，
由 得 ，
即 ，
整理得 ，
第 18 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
注意到 且 ，
则要使上述关于 的一元二次方程有正数解，
只需要 ，解得 ，
所以b的最大值为 .
【点睛】关键点点睛：由 得出关于 的一元二次方程，再结合题意得出 是解决第三问
的关键步骤.
21. 若函数 在 处取得极值，且 （常数 ），则称 是函数 的“
相关点”.
（1）若函数 存在“ 相关点”，求 的值；
（2）若函数 （常数 ）存在“1相关点”，求 的值：
（3）设函数 的表达式为 （常数 且 ），若函数
有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点 存在3条直线与曲线 相切，求实
数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
第 19 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
【分析】（1）函数 在 上单调递减，在 上单调递增，可得 为函数
的极值点，进而结合题意即可求解；
（2）由题意可得 ，即得 ，设 ，结合导
数可得函数 在 上单调递增，且 ，进而求解；
（3）由 ，可得 ，设 ， 为函数 的“2相关点”，
则 ， ，进而可得 ， ， ，故
，再结合导数的几何意义求解即可.
【小问1详解】
函数 的对称轴为 ，
且函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 为函数 的极值点，
因为函数 存在“ 相关点”，
由题意可得， ，解得 .
【小问2详解】
由 ，则 ，
第 20 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
由题意可得， ，即 ，即 ，
设 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，且 ，
所以方程 存在唯一实数根1，即 ，即 ，
此时 ，则 ，
令 ，即 ；令 ，即 ，
即函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 的极值点为1，所以1是函数 的“1相关点”，
所以 .
【小问3详解】
由 ，得 ，即 ，
设 ， 为函数 的“2相关点”，则 ，
另一方面， ，所以 ，
所以 且 ，解得 ， ， ，
第 21 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
故 ，则 ，
因为过点 存在3条直线与曲线 相切，
设其中一个切点为 ，则 ，
整理得 ，
设 ，且函数 有三个不同的零点，
则 ，
令 ，则 ；令 ，则 或 .
所以函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 ，即实数 的取值范围为 .
【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来
创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实
现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性
质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
第 22 页 共 23 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
第 23 页 共 23 页
