文档内容
2023 学年第一学期期末学情诊断
初三数学试卷
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；
2．务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 将抛物线 向左平移 个单位后得到的抛物线表达式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线平移的规律“上加下减，左加右减”即可选择．
【
详解】原抛物线向左平移1个单位后得：
．
故选C．
【点睛】本题考查抛物线平移与抛物线解析式的变化规律．掌握其规律“上加下减，左加右减”是解答本
题的关键．
2. 已知点 是平行四边形 的边 上一点，连接 和 相交于点F，如果 ，那
么 为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．先画出图形，根据平行四边形的性质可得 ， ，再证出 ，根据相
似三角形的性质即可得．
【详解】解：由题意，画出图形如下：
，
，
四边形 是平行四边形，
，
， ，
，
即 ，
故选：C．
3. 在直角坐标平面的第一象限内有一点 ，如果射线 与x轴正半轴的夹角为 ，那么下列各式
正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，解直角三角形，过点 作 轴于点 ，则 ， ，再由正切的定义得到 ，则 ．
【详解】解：如图所示，过点 作 轴于点 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选A．
4. 抛物线 图像如图所示，下列判断中不正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解并掌握二次函数的图像与性质是解题关键．由该抛物线开口向下，可知 ，即可判断选项A；由该抛物线对称轴为 ，结合 ，可得 ，
即可判断选项B；由图像可知，当 时，可有 ，即可判断选项C；由图像可知，当 时，
可有 ，即可判断选项D．
【详解】解：A.该抛物线开口向下，所以 ，故该选项正确，不符合题意；
B. 该抛物线对称轴为 ，又因为 ，所以 ，故该选项正确，不符合题意；
C. 由图像可知，当 时，可有 ，故该选项正确，不符合题意；
D. 由图像可知，当 时，可有 ，故该选项不正确，符合题意．
故选：D．
5. 将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形较长边
和较短边的比是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形对应边成比例的性质是解题关键．表示
出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解．
【详解】解：设原来矩形的长为 ，宽为 ，
则对折后的矩形的长为 ，宽为 ，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，∴ ，
解得 ，
∴ ．
故选：B．
6. 如图在 的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角
形，△ABC就是一个格点三角形，现从 的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格
点联结成格点三角形，其中与 相似的有( )
.
A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可．
【详解】解：如图所示，由网格的特点可知 ，
，
∴ ，
∴ ，
同理可证明 ，
∴从 的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与
相似的有3个，
故选C．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 如果 （ ），那么 ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．设 ，则有
，然后代入求值即可．
【详解】解：设 ，则 ，
∴ ．
故答案为： ．
8. 化简： ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查向量的加减运算，理解和掌握向量的加减运算方法是解题的关键．先去括号，然后
结合向量的加减运算即可求解．
【详解】解： ．
故答案为： ．
9. 已知两个相似三角形的相似比为 ，那么这两个三角形的周长比为________．
【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长之比等于相似比的平方进行求解即可．
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为 ，
∴这两个三角形的周长比为 ，
故答案为： ．
10. 已知点 是线段 的黄金分割点（ ），如果 ，那么 ____．
【答案】
【解析】
【分析】由题意知， ，由点 是线段 的黄金分割点，可得 ，即
，整理得 ，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：由题意知， ，
∵点 是线段 的黄金分割点，
∴ ，即 ，整理得 ，
解得： 或 （舍去），
故答案为： ．
【点睛】本题考出来黄金分割，解一元二次方程组．解题的关键在于对黄金分割的熟练掌握与灵活运用．
11. 抛物线 的顶点坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了抛物线顶点坐标，根据公式计算即可．
【详解】抛物线 的顶点坐标是 ，故答案为： ．
12. 如果点 在二次函数 的图像上，那么a________b填“ ”“ ”或“
”）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，分别求出当 时，当 时的函数值即可得到答案．
【详解】解：在 中，当 时， ，
当 时， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
13. 如果 是直角三角形的一个锐角， ，那么 ________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题主要考查了正弦和正切的知识，熟练掌握正弦和正切的定义是解题关键．由题意可知，
，可设 ，则 ，然后根据正切的定义求解即可．
【详解】解：如下图，由题意可知， ，
设 ，则 ，
∴ ．
故答案为： ．
14. 如图，已知 D、E、F 分别是 的边 上的点， ，
的面积分别为1、4，四边形 的面积为________．
【答案】4
【解析】
【 分 析 】 本 题 主 要 考 查 了 相 似 三 角 形 的 性 质 与 判 定 ， 先 证 明 ， 推 出
，进而得到 ，再证明 得到 ，则
．
【详解】解：∵
∴ ，
∴ ，
∵ 的面积为1， 的面积为4，∴
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：4．
15. 如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是 4米，斜坡的坡度 ，那么相邻两
树间的坡面距离为________米．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，先根据坡度得到 ，再利
用勾股定理求出 的长即可得到答案．
【详解】解：如图，斜坡 的坡度 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴相邻两树间的坡面距离为 米，
故答案为： ．
16. 如图，为了绕开岛礁区，一艘船从A处向北偏东 的方向行驶8海里到B处，再从B处向南偏东
方向行驶到发点A正东方向上的C处，此时这艘船距离出发点A处________海里．
【答案】
【解析】
【分析】根据直角三角形的三角函数得出， （海里），
（海里），进而得出 （海里），计算即可．此题考查了方向角、解直角三角形的应用，解题
的关键是根据直角三角形的三角函数解答．
【详解】解：如图
根据题意，得 ， 海里，∴ （海里）， （海里），
（海里），
（海里），
故答案为： ．
17. 把矩形 绕点C顺时针旋转 得到矩形 ，其中点A对应点 在 的延长线上，如
果 ，那么 ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是旋转的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，本题
先画出图形，再证明 ，再建立方程求解即可．
【详解】解：如图，矩形 绕点C顺时针旋转 得到矩形 ，
∴ ，设 ，
∵点A对应点 在 的延长线上，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，即 ，
解得： （负根舍去），经检验符合题意；
∴ ，
故答案为： ；
18. 在 中， ，P是 上的一点，Q为 上一点，直线 把 分成面积相等的两部
分，且 和 相似，如果这样的直线 有两条，那么边 长度的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，当 时，只要满足 ，都能满足
题意；当 时，得到 ，则 ，再由
，可得 ，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，当 时，
∴ ，
∴只要满足 ，都能满足题意；如图所示，当 时，
∵直线 把 分成面积相等的两部分，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述，直线 把 分成面积相等的两部分，且 和 相似，如果这样的直线 有
两条，那么边 长度的取值范围是 ．
故答案为：三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算： ．
【答案】0
【解析】
【分析】本题主要考查了锐角三角函数的混合运算．先将特殊角锐角三角锐角三角函数值代入，再合并，
即可求解．
【详解】解：
20. 某学校有一喷水池，如果以喷水口（点 ）所在的铅垂线为 轴，相应的地面水平线为 轴，1米为单
位长度建立直角坐标系 ，喷出的抛物线形水柱在最高处（点 ）距离 轴1米，水柱落地处（点 ）
距离y轴4米，喷水口距离地面为2米，求抛物线形水柱的最高处距离地面的高度．
【答案】 米【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，利用待定系数法解得抛物线解析式是解题关键．设该抛物线的
解析式为 ，结合题意，将点 ， 代入并求解，即可确定该抛物线解析式，即可
获得答案．
【详解】解：设该抛物线的解析式为 ，
将点 ， 代入，
可得 ，解得 ，
∴该抛物线的解析式为 ，其顶点坐标为 ，
∴抛物线形水柱的最高处距离地面的高度为 米．
21. 已知：如图， 是 的中线，点 是重心，点 、 分别在边 和 上，四边形
是平行四边形．
（1）求证： ；
（2）设 ， ，用向量 ， 表示 _____．
【答案】（1）证明见解析；
（2） ．
【解析】【分析】（ ）由三角形重心的性质得到 ，由平行四边形的性质得到 ，
，推出 ，得到 ，而 ，得到 ，由
， 推 出 得 到 ， 因 此 ， 而
，推出 ，得到 ，即可证明 ，
（ ）由平面向量 的运算法则，即可求解；
本题考查三角形的重心，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平面向量， 关键是证明
，掌握平面向量的运算法则．
【小问1详解】
∵ 是 的重心，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的中线，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵G是 的重心，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
【小问2详解】
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
22. 随着人民生活水平的日益提高，许多农村的房屋普遍进行了改造，小明家改造时在门前安装了一个遮
阳棚，如图，在侧面示意图中，遮阳篷 长为4米，与墙面 的夹角 ，靠墙端A离地
高 为3米，当太阳光线 与地面 的夹角为 时，求阴影 的长．（结果精确到 米；参
考数据： ）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点 作 于点 ，
于点 ，则四边形 是矩形，据此可得 ，解 得到
， ，进而求出 ，再解 得到 ，则
．
【详解】解：如图所示，过点 作 于点 ， 于点 ，则四边形 是矩形，
∴ ，
在 中， ，∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴阴影 的长为 ．
23. 已知：如图，在四边形 中，对角线 和 相交于点O， ．
（1）求证： ；
（2）过点A作 ， 交 于点E．求证： ．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟练的证明两个三角形相似是解本题的关键．
（1）先证明 ，可得 ，结合 ，可得 ；
（2）证明 ，可得 ，证明 ，可得 ，再
利用相似三角形的性质可得结论．
【小问1详解】
证明：∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【小问2详解】
如图，过点A作 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
24. 已知：在平面直角坐标系 中，抛物线 过点 、 、 ．（1）求抛物线的表达式和顶点 的坐标；
（2）点 在抛物线对称轴上， ，求点 的坐标；
（3）抛物线的对称轴和 轴相交于点 ，把抛物线平移，得到新抛物线的顶点为点 ， ，
的延长线交原抛物线为 ， ，求新抛物线的表达式．
【答案】（1） ，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法解得该抛物线解析式，并将其转化为顶点式，即可确定点 的坐标；
（2）设点 ，根据勾股定理可得 ， ， ，在
中，由勾股定理可得 ，然后代入求值，即可获得答案；
（3）首先过点 作 于点 ，根据等腰三角形“三线合一”的性质确定点 为 中点，易得
；过点 作 轴于点 ，证明 ，由全等三角形的性质可得 ，
，易知点 的横坐标为 ，进而确定点 ，点 ，然后根据平移的性质，即可
获得答案．【小问1详解】
解：将点 、 、 代入抛物线 ，
可得 ，解得 ，
∴该抛物线的表达式为 ，
又∵ ，
∴顶点 的坐标为 ；
【小问2详解】
如下图，
根据题意，点 在抛物线对称轴上， ，
设点 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
，
在 中，由勾股定理可得 ，
即 ，
解得 ，
∴点 的坐标为 ；【小问3详解】
如下图，
∵原抛物线 ，
∴其对称轴为 ，
∴ ，
∵新抛物线的顶点为点 ， ，
过点 作 于点 ，则 ，即点 为 中点，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 轴于点 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴点 的横坐标为 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵把原抛物线 平移，得到新抛物线，
为
∴新抛物线解析式 ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、利用二次函数解决几何问题、勾股定理、全等三
角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．
25. 已知：如图，在 中， ， ， ， 与边 相交于点P．
（1）求证： ；
（2）如果 ，求 的值；
（3）如果 是直角三角形，求 的正切值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）根据等边对等角可得 ；推得 ；根据等角对等边可得；根据直角三角形两锐角互余，等角的余角相等可得 ；根据等角对等边可得
；根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边成比例，且都等于
相似比即可证明 ．
（2）结合题意可得 ，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得 ；
结合（1）中结论可求得 ；分别求出 和 ，即可求解．
（3）分两种情况讨论：当 时，根据相似三角形的判定和性质可求得 ；根据勾股
定理和（1）中结论可求得 ，即可列出等式，求得 ，根据勾股定理求
出 ，分别求出 、 与 的关系，根据锐角三角函数的定义即可求解；当
时，根据同旁内角互补，两直线平行可得 ；根据两直线平行，内错角相等可得
；根据锐角三角函数的定义可推得 ，根据正方形的判定和性质即可
求出 ，根据特殊角的锐角三角函数值即可求解；当 时，分析可得 不存在，
即可推得该情况不存在．
【小问1详解】
证明：∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ,
∵ ，
∴ ，
即 ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ,
即 ．
【小问2详解】
解：∵ ，∴ ，
即 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
又∵ ，
即 ，
整理得： ；
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【小问3详解】
解：当 时，
∵ ， ，
∴ ，∴ ,
∴ ，
即 ，
在 中， ，
即 ，
又∵ ，
∴ ，
故 ，
则 ，
整理得： ，
在 中， ，
即 ， ，
，
即 ；当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
故 ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴平行四边形 是矩形，
又∵ ，
∴四边形 是正方形；
则 和 是正方形的对角线，
∴
故 ．
当 时，点A在 上，即 不存在，
故不存在 这种情况．
【点睛】本题考查了等边对等角，等角对等边，直角三角形两锐角互余，等角的余角相等，相似三角形的
判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，锐角三角函数等；结合第1问中的结论通过 列出等式，求出 是解题的关键．
