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2023 届松江区高三二模考试数学试卷
2023.04
一、填空题
1. 已知集合 ， ，则 ______．
2. 若复数z满足 ，则 ___________
3. 已知空间向量 ， ， ，若 ，则 ______．
4. 已知随机变量X服从正态分布 ，若 ，则 ______．
5. 已知 ，且 ，则 ______．
6. 在 的展开式中， 的系数为_______．（用数字作答）
7. 将下图所示的圆锥形容器内的液体全部倒入底面半径为 的直立的圆柱形容器内，则液面高度为
______ ．
8. 现从 名男医生和 名女医生中抽取两人加入“援沪医疗队”，用 表示事件“抽到的两名医生性别同”，
表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则 __________.
9. 参考《九章算术》中“竹九节”问题，提出：一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4
节的容积共2升，下面3节的容积共3升，则第5节的容积为______升．
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10. 若 ，则 的最小值为_____________________
11. 已知函数 为 上的奇函数；且 ，当 时， ，则
______．
12. 已知点 是平面直角坐标系中关于 轴对称的两点，且 ．若存在 ，使得
与 垂直，且 ，则 的最小值为______．
二、选择题
13. 已知直线 与直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
14. 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
.
收入x（万元） 8.2 8.6 10.0 113 11.9
.
支出y（万元） 6.2 7.5 8.0 85 9.8
根据上表可得回归直线方程 ，其中 ， ，据此估计，该社区一户收入为15万
元家庭年支出为（ ）
A. 11.4万元 B. 11.8万元 C. 12.0万元 D. 12.2万元
15. 若方程 的解集为M，则以下结论一定正确的是（ ）
（1）
（2）
（3）
（4）
A. （1）（4） B. （2）（4）
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C. （3）（4） D. （1）（3）（4）
16. 已知函数 ， ，在区间 上有最大值，则实数t 的取值范围是（
）
A. B.
C. D.
三、解答题
17. 在锐角 中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，且 ．
（1）求角B;
（2）求 的最大值．
18. 如图，在四棱锥 中，底面ABCD为平行四边形，O是AC与BD的交点， ，
， 平面ABCD， ，M是PD的中点．
（1）证明： 平面ACM
（2）求直线AM与平面ABCD所成角的大小．
19. 某城市响应国家号召，积极调整能源结构，推出多种价位的新能源电动汽车．根据前期市场调研，有
购买新能源车需求的约有2万人，他们的选择意向统计如下：
车型 A B C D E F
价格 9万元 12万元 18万元 24万元 30万元 40万元
占比 5% 15% 25% 35% 15% 5%
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（1）如果有购车需求的这些人今年都购买了新能源车，今年新能源车的销售额预计约为多少亿元？
（2）车企推出两种付款方式：
的
全款购车：购车时一次性付款可优惠车价 3%；
分期付款：无价格优惠，购车时先付车价的一半，余下的每半年付一次，分4次付完，每次付车价的 ．
①某位顾客现有a万元现金，欲购买价值a万元的某款车，付款后剩余的资金全部用于购买半年期的理财
产品（该理财产品半年期到期收益率为1.8%），到期后，可用资金（含理财收益）继续购买半年期的理财
产品，问：顾客选择哪一种付款方式收益更多？（计算结果精确到0.0001）
的
②为了激励购买理财产品，银行对采用分期付款方式 顾客，赠送价值1888元的大礼包，试问：这一措施
对哪些车型有效？（计算结果精确到0.0001）
20. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ;双曲线 的左、右
焦点分别为 ，离心率为 ， ．过点 作不垂直于y轴的直线l交曲线 于点A、B，点
M为线段AB的中点，直线OM交曲线 于P、Q两点．
（1）求 、 的方程；
（2）若 ，求直线PQ的方程；
（3）求四边形APBQ面积的最小值.
21. 已知 ，记 ， ， ．
（1）试将 、 、 中的一个函数表示为另外两个函数复合而成的复合函数；
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（2）借助（1）的结果，求函数 的导函数和最小值；
（3）记 ，a是实常数，函数 的导函数是 ．已知函数
有三个不相同的零点 ．求证： ．
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