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第 1 页 共 89 页变式题库
【原卷 1 题】 知识点 根据交集结果求集合或参数,并集的概念及运算,对数的概念判断与求值
【正确答案】
【试题解析】
1-1（基础） 已知集合 ， ，若 ，则 __．
【正确答案】
1-2（基础） 集合 ， ，若 ，则 _____________．
【正确答案】
1-3（巩固） 已知集合 ，且 ，则 _______.
【正确答案】
1-4（巩固） 已知集合 若 ，则
______
【正确答案】
1-5（提升） 设集合 ， ，若 ，则 ______．
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【正确答案】
1-6（提升） 设集合 ，集合 ，若 ，则 ______.
【正确答案】 或
【原卷 2 题】 知识点 等差中项的应用,写出等比数列的通项公式,等比数列通项公式的基本量计算
1
【正确答案】
【试题解析】
2-1（基础） 已知数列 为等比数列，且 成等差数列，则公比 ___________.
【正确答案】 1或3
2-2（基础） 已知等比数列 的首项为 ，公比为 ，且 、 、 成等差数列，则
________．
【正确答案】 2
2-3（巩固） 在正项等比数列 中， 是 与 的等差中项， 的公比为______．
【正确答案】 2
2-4（巩固） 已知数列 是等比数列，若 ，且 是 与2的等差中项，则q的值是___________.
【正确答案】 1
2-5（提升） 已知数列 为递增的等比数列，若 ，且 是 和 的等差中项，则 __________.
【正确答案】 1024或
第 3 页 共 89 页2-6（提升） 已知等比数列 的各项都是正数，且 ， ， 成等差数列，则 ______.
【正确答案】 9
【原卷 3 题】 知识点 求复数的模,复数的除法运算
【正确答案】
【试题解析】
3-1（基础） 已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 ______．
【正确答案】
3-2（基础） 已知复数 满足 为虚数单位），则 的模为__．
【正确答案】
3-3（巩固） 复数 满足 （其中 为虚数单位）．则 等于______．
【正确答案】
3-4（巩固） 若 ，则 _______．
【正确答案】
3-5（提升） 已知复数 满足 ，则 ______.
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【正确答案】
3-6（提升） 已知复数 （ 为虚数单位， ）为纯虚数，则 ______.
【正确答案】
【原卷 4 题】 知识点 根据椭圆过的点求标准方程
【正确答案】
【试题解析】
4-1（基础） 过点 和 的椭圆的标准方程是______.
【正确答案】
4-2（基础） 经过点 和 的椭圆的标准方程为________．
第 5 页 共 89 页【正确答案】
4-3（巩固） 经过 和 两点的椭圆的标准方程为______．
【正确答案】
4-4（巩固） 已知椭圆 的焦点在坐标轴上，且经过 和 两点，则椭圆 的标准方程为
_______.
【正确答案】
4-5（提升） 若 ， ， ， 四点中恰有三点在椭圆 上，
则椭圆C的方程为________.
【正确答案】
4-6（提升） 已知椭圆 , 四个点中恰有三个点在
椭圆 上,则椭圆 的方程是_____.
【正确答案】
【原卷 5 题】 知识点 二倍角的余弦公式
【正确答案】
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【试题解析】
5-1（基础） 已知 ，且有 ，则 ____________.
【正确答案】 或0.5
5-2（基础） 设 ，若 ，则 __．
【正确答案】 或
5-3（巩固） 已知 ，则 ________
【正确答案】
5-4（巩固） 若 ，则 ______．
【正确答案】 1或
5-5（提升） 若 ,则 __．
【正确答案】 或0.875
第 7 页 共 89 页5-6（提升） 已知 是第三象限角， ，则 ________．
【正确答案】
【原卷 6 题】 知识点 正弦定理边角互化的应用,三角形面积公式及其应用
3
【正确答案】
【试题解析】
6-1（基础） 已知a、b、c分别为 的三个内角A、B、C的对边， ，且
，则 面积的最大值为______．
【正确答案】
6-2（基础） 记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则
的面积为______.
【正确答案】 1
6-3（巩固） 在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，且
，则 面积的最大值为__________．
【正确答案】
6-4（巩固） 在 中，若 ，则 面积的最大值为__________．
【正确答案】 1
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6-5（提升） 在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，且 ， ， 成等差
数列，则 的面积的最大值为__________．
【正确答案】
6-6（提升） 已知 中，角 所对的边分别为 ，那么 面积的取值
范围是__________.
【正确答案】
【原卷 7 题】 知识点 复杂（根式型、分式型等）函数的值域,求指数型复合函数的值域,基本（均值）不等式的应
用,由奇偶性求参数
【正确答案】
【试题解析】
7-1（基础） 已知 是定义域为 的奇函数，且 时， ，则 的值域是_______
第 9 页 共 89 页【正确答案】
7-2（基础） 已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则此函数的值域为
________.
【正确答案】
7-3（巩固） 已知函数 在 上的最大值与最小值分别为 ， ，则
________.
【正确答案】 4
7-4（巩固） 偶函数 的值域为______．
【正确答案】
7-5（提升） 对于定义在 上的奇函数 ，当 时， ，则该函数的值域为
________.
【正确答案】
7-6（提升） 函数 （a，b均为正数），若f（x）在（0，+∞）上有最小值10，则f（x）在
（﹣∞，0）上的最大值为_____．
【正确答案】 ﹣4
【原卷 8 题】 知识点 数量积的运算律,求投影向量
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【正确答案】
【试题解析】
8-1（基础） 已知向量 与 的夹角为 ， ， ，则 在 方向上的投影向量为________．
【正确答案】
8-2（基础） 若向量 与 满足 ，且 ，则 在 方向上的投影向量的模为______．
【正确答案】 5
8-3（巩固） 若 为单位向量，且 ，则 在 方向上的投影向量为___________．
【正确答案】 或
8-4（巩固） 已知向量 ，则 在 方向上的投影为___________
【正确答案】 或
第 11 页 共 89 页8-5（提升） 已知向量 满足 且 ，则 在 方向上的投影向量为
__________.
【正确答案】
8-6（提升） 已知向量 ， 满足 ， ， ，则 在 方向上的投影向量是___________.
【正确答案】
【原卷 9 题】 知识点 求回归直线方程
【正确答案】
【试题解析】
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9-1（基础） 已知碘的衰减量y与衰减时间x之间存在着较强的线性相关关系．下表是某校化学社团师生观测
碘在5天内衰减情况得出的一组数据，则y对x的线性回归方程可以是________．
x（分钟） 10 20 30 40 50
y（克） 22.5 19 17.5 15 11
【正确答案】
9-2（基础） 两个线性相关变量 与 的统计数据如表：
0 1 2
6 5 3 1 0
其经验回归方程是 ，则 ___________.
【正确答案】
9-3（巩固） 某种细胞的存活率 与存放温度 之间具有线性相关关系，其样本数据如下表所示：
存放温度
存活率
计算得 ， ， ， ，并求得回归直线为 .但实验人员发现表中数
第 13 页 共 89 页据 的对应值 录入有误，更正为 .则更正后的回归直线方程为________．
参考公式：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
， ．
【正确答案】
9-4（巩固） 2020年9月，中国在第75届联合国大会上承诺，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努
力争取2060年前实现碳中和(简称“双碳目标”).某地区积极响应政府的号召，大力提倡新能源汽车，某机构为
研究新能源汽车在该地区的销售情况，对某品牌的新能源汽车在该地区近几个月的销售情况作了统计，如下表：
月份 2021年11月 2021年12月 2022年1月 2022年2月 2022年3月
月份编号x 1 2 3 4 5
新能源汽车销售量y(辆) 30 50 70 100 110
则y关于x的线性回归方程为______．
参考公式：回归方程 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， .
【正确答案】
9-5（提升） 某种细胞的存活率 （%）与存放温度 （℃）之间具有线性相关关系，其样本数据如下表所示：
存放温度 /℃ 20 15 10 5 0
存活率 /% 6 14 26 33 43 60 63
计算得 ， ， ， ，并求得回归方程为 ，但实验人员发现表中数
据 的对应值 录入有误，更正为 .则更正后的回归方程为______.
【正确答案】
9-6（提升） 某品牌餐饮公司准备在10个规模相当的地区开设加盟店，为合理安排各地区加盟店的个数，先
在其中5个地区进行试点，得到试点地区加盟店个数x及单店日平均营业额y（万元）的：：数据如下：
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x 1 2 3 4 5
y 10.9 10.2 9.0 7.8 7.1
根据上表可得y关于x线性相关，为保证规模和效益，该公司要求在其他5个地区需满足同一地区所有加盟店
的日平均营业额预计值总和不低于35万元，则一个地区开设的加盟店个数m的所有可能取值为______.（参考
数据： ， ）
【正确答案】 5，6，7
【原卷 10 题】 知识点 求线面角
【正确答案】
【试题解析】
10-1（基础） 如图，在棱长为2的正方体ABCD－ABC D 中，E是AD的中点，F是BB 的中点，则直线EF
1 1 1 1 1
与平面ABCD所成角的正切值为______.
第 15 页 共 89 页【正确答案】 或
10-2（基础） 已知正三棱柱 的侧棱长与底面边长相等，则 与侧面 所成角的正弦值是
______．
【正确答案】
10-3（巩固） 如图，长方体 ， ， ， ， 是棱 上的一个动点，若
点 运动到棱 靠近 的一个三等分点时，恰有 ，求此时 与平面 所成的角__________．
【正确答案】
10-4（巩固） 已知一个正四棱锥的底面正方形边长为1，侧棱长为1，则该棱锥的侧棱与底面所成角的大小
为______.
【正确答案】
10-5（提升） 正四面体的侧棱和底面夹角的正弦值是____________
【正确答案】
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10-6（提升） 正方体 中，直线 与平面 所成角大小为______．
【正确答案】 30°或
【原卷 11 题】 知识点 指定区间的概率
95.4（或95.5都对）
【正确答案】
【试题解析】
11-1（基础） 某品牌的一款纯电动车单次最大续航里程 （千米）服从正态分布 .任选一辆该款
电动车，则它的单次最大续航里程恰在1970（千米）到2020（千米）之间的概率为___________.（参考公式：
随机变量 服从正态分布 ，则 ， ，
.）
【正确答案】 0.9759
11-2（基础） 某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高（单位：cm）服从正态分布
，若测量10000株水稻，株高在 的约有__________株.（若 ，
， ）.
【正确答案】 1359
11-3（巩固） 在2021年6月某区的高二期末质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布 ．
已知参加本次考试的学生约有9450人，如果某学生在这次考试中数学成绩为108分，那么他的数学成绩大约
第 17 页 共 89 页排在该区的名次是______．附:若 ,则 ，
.
【正确答案】 1500
11-4（巩固） 某学校共1000人参加数学测验，考试成绩 近似服从正态分布 ，若
，则估计成绩在120分以上的学生人数为______.
【正确答案】 50
11-5（提升） 某种食盐的袋装质量 服从正态分布 ，随机抽取10000袋，则袋装质量在区间
的约有______袋．（质量单位：g）
附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， ．
【正确答案】 8186
11-6（提升） 经过大数据分析，徐州高铁站春运期间每日客流量（单位：万人）服从正态分布 ，该
车站每日可供出售的有座车票为 万张，且仅在有座车票已经售馨后，才开始出售无座车票，若需要出售无
座车票的概率为 ，则有座车票每日剩余量不超过 万张的概率为________．
【正确答案】
【原卷 12 题】 知识点 简单复合函数的导数,由导数求函数的最值（不含参）
【正确答案】
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【试题解析】
12-1（基础） 已知 ，且 ，则实数 的最小值为_________________.
【正确答案】
12-2（基础） 已知正数 满足 ，则 的最小值为_________．
【正确答案】
12-3（巩固） 函数 的最小值为___________.
【正确答案】 .
12-4（巩固） 若 ，则实数 的最大值为________.
【正确答案】
12-5（提升） 已知实数 ， 满足 ，则 的取值范围是___________.
【正确答案】
12-6（提升） 已知正实数x，y满足 ，则 的最大值为______.
【正确答案】 或
第 19 页 共 89 页【原卷 13 题】 知识点 空间向量的坐标运算,空间向量垂直的坐标表示,空间位置关系的向量证明
C
【正确答案】
【作答统计】 A:0人/占0% B:0人/占0% C:1人/占100% D:0人/占0%
【试题解析】
13-1（基础） 若平面 的法向量分别为 ，则 与 的位置关系是（ ）
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.无法确定
【正确答案】 B
13-2（基础） 设 是平面 的一个法向量， 是直线l的一个方向向量，则直线l与平面
的位置关系是（ ）
A.平行或直线在平面内 B.不能确定 C.相交但不垂直 D.垂直
【正确答案】 A
13-3（巩固） 设向量 是直线l的方向向量， 是平面α的法向量，则（ ）
A. B. 或 C. D.
【正确答案】 B
13-4（巩固） 若 是直线 的方向向量， 是平面 的法向量，则 与 的位置关系是（
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）
A. B.
C. D. 与 相交但不垂直
【正确答案】 D
13-5（提升） 给出以下命题，其中正确的是（ ）
A.直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则 ⊥
B.平面 经过三个点 ，向量 是平面 的法向量，则
C.平面 、 的法向量分别为 ， ，则 ∥
D.直线 的方向向量为 ，直线 的方向向量为 ，则 与 垂直
【正确答案】 D
13-6（提升） 下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A.两条不重合直线 的方向向量分别是 ，则
B.直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则
C.两个不同的平面 的法向量分别是 ，则
D.直线 的方向向量 ，平面 的法向量是 ，则
【正确答案】 C
【原卷 14 题】 知识点 利用给定函数模型解决实际问题,求cosx（型）函数的最值,三角函数在生活中的应用
第 21 页 共 89 页B
【正确答案】
【试题解析】
14-1（基础） 为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖位置为
点 ．若初始位置为点 ，秒针从 （规定此时 ）开始沿顺时针方向转动，若点P的纵
坐标为y， ，则 时t的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B
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14-2（基础） 一小球做简谐振动，其运动方程为 ，其中y（单位： ）是小球相对于平衡
位置的距离，t（单位： ）为运动时间，则小球第二次回到平衡位置时的速度是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C
14-3（巩固） 水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，其工作示意图如图所示，设水车的半径为4m，
其中心О到水面的距离为2m，水车逆时针匀速旋转，旋转一周的时间为120s，当水车上的一个水筒A从水中
（ 处）浮现时开始计时，经过 后水筒A距离水面的高度为 （单位：m，在水面下，高度为负数），
则 （ ）.
A.1 B.2 C.4 D.6
【正确答案】 D
14-4（巩固） 2019年长春市新地标——“长春眼”在摩天活力城Mall购物中心落成，其楼顶平台上的空中摩
天轮的半径约为40m，圆心O距地面的高度约为60m，摩天轮逆时针匀速转动，每15min转一圈，摩天轮上的
点P的起始位置在最低点处，已知在时刻t（min）时P距离地面的高度 ，
当距离地面的高度在 以上时可以看到长春的全貌，则在转一圈的过程中可以看到整个城市全貌
的时间约为（ ）
A.2.0min B.2.5min C.2.8min D.3.0min
【正确答案】 B
第 23 页 共 89 页14-5（提升） 已知某摩天轮的半径为 ，其中心到地面的距离为 ，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转
动，每 分钟转动一圈．已知当游客距离地面超过 时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的
过程中最佳观景时长约有（ ）
A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟
【正确答案】 B
14-6（提升） 塔因为年代久远，塔身容易倾斜，在下方如图中， 表示塔身，塔身 的长度就是塔的高
度，塔身与铅垂线 的夹角 为倾斜角，塔顶 到铅垂线的距离 为偏移距离，现有两个塔高相同的斜塔，
它们的倾斜角的正弦值分别为 ， ，两座塔的偏移距离差的绝对值为3.1米，则两座塔的塔顶到地面的距
离差的绝对值为（ ）
A.1.2米 B.0.6米 C.1米 D.0.8米
【正确答案】 D
【原卷 15 题】 知识点 两条直线的到（夹）角公式,求直线交点坐标,直线关于直线对称问题
A
【正确答案】
【试题解析】
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15-1（基础） 直线 关于 轴对称的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 C
15-2（基础） 直线 关于直线 对称的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 B
15-3（巩固） 两直线方程为 ， ，则 关于 对称的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 C
15-4（巩固） 已知直线 ，直线 ，则 关于 对称的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 D
15-5（提升） 直线 关于直线 对称的直线方程为（ ）
第 25 页 共 89 页A. B. C. D.
【正确答案】 C
15-6（提升） 若两条平行直线 ： 与 ： 之间的距离是 ，则直线 关
于直线 对称的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 A
【原卷 16 题】 知识点 用导数判断或证明已知函数的单调性,利用导数求函数的单调区间（不含参）
D
【正确答案】
【试题解析】
16-1（基础） 函数 的单调递减区间是（ ）
A. B.
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C. D. 和
【正确答案】 C
16-2（基础） 函数 的单调递增区间是（ ）
A. 和 B. C. D.
【正确答案】 B
16-3（巩固） 函数 的单调递增区间是（ ）
A. B.
C. ， D.
【正确答案】 B
16-4（巩固） 函数 的单调递增区间（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A
16-5（提升） 已知 ，下列说法正确的是（ ）
A. 无零点 B.单调递增区间为
C. 的极大值为 D. 的极小值点为
【正确答案】 C
16-6（提升） 已知函数 ， ，则（ ）
第 27 页 共 89 页A. 有一个零点 B. 在 上单调递减
C. 有两个极值点 D. 在 上单调递增
【正确答案】 B
【原卷 17 题】 知识点 由递推关系证明等比数列,求等比数列前n项和,分组（并项）法求和,构造法求数列通项
【正确答案】
【试题解析】
17-1（基础） 已知数列 满足： ，且对任意的 ，
1、求 ， 的值，并证明数列 是等比数列；
2、设 ，求数列 的前 项和 .
【正确答案】 1、 ， ，证明见解析
2、
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17-2（基础） 设 为数列 的前 项和，且满足： .
1、设 ，证明 是等比数列；
2、求 .
【正确答案】 1、证明见解析； 2、 .
17-3（巩固） 已知： 为数列 的前n项和，
1、求证： 是等比数列
2、求数列{ }的前 项和 ．
【正确答案】 1、证明见解析; 2、 .
17-4（巩固） 已知数列 是等差数列，且满足 ， ．数列 的前n项和是 ，且
．
1、求数列 及数列 的通项公式；
2、若 ，求数列 的前n项和 ．
【正确答案】 1、 ；
2、
17-5（提升） 已知数列 满足 ， .
1、设 ，求 和 的值及数列 的通项公式；
2、若不等式 成立，求正整数 的最小值.
第 29 页 共 89 页【正确答案】 1、 ，
2、正整数 的最小值为7
17-6（提升） 已知数列 满足 ，且 ．
1、求数列 的通项公式；
2、数列 的前n项和为 ，若 ，求n的最大值．
【正确答案】 1、
2、10
【原卷 18 题】 知识点 柱体体积的有关计算,锥体体积的有关计算,证明面面垂直,求组合体的体积
【正确答案】
【试题解析】
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18-1（基础） 如图，四棱柱 的底面是直角梯形， ， ， ，四
边形 和 均为正方形.
（1）证明：平面 平面 .
（2）求四面体 的体积.
【正确答案】 （1）证明见解析；（2）2.
18-2（基础） 如图所示，在四棱柱 中，底面 是菱形， .
第 31 页 共 89 页1、证明：平面 平面 ；
2、若四边形 是正方形， ，求四棱柱 的体积.
【正确答案】 1、证明见详解 2、
18-3（巩固） 如图，在正三棱柱 中，点D为 中点．
1、若 ，证明：平面 平面 ；
2、若 ，且二面角 的正切值为 ，求三棱柱 的体积．
【正确答案】 1、见解析 2、
18-4（巩固） 如图，在三棱柱 中，侧面 底面ABC， ，且
，O为 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若点E在 上，且 平面 ，求三棱锥 的体积.
【正确答案】 （1）证明见解析；（2） .
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)
18-5（提升） 如图，在三棱柱 中， ， ．
1、证明：平面 平面 ．
2、设P是棱 上一点，且 ，求三棱锥 体积．
【正确答案】 1、证明见解析 2、
18-6（提升） 如图，在三棱柱 中， ， ， ， ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若平面 平面 ， ，求三棱柱 的体积．
【正确答案】 （1）证明见解析；（2）3.
【原卷 19 题】 知识点 根据a、b、c求双曲线的标准方程,求双曲线的离心率或离心率的取值范围,求双曲线中三
角形（四边形）的面积问题
第 33 页 共 89 页【正确答案】
【试题解析】
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)
19-1（基础） 已知双曲线 的实轴长为2，右焦点 到 的距离为 .
1、求双曲线 的方程；
2、若直线 与双曲线 交于 ， 两点，求 的面积.
【正确答案】 1、
2、
19-2（基础） 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，焦距为 .
1、求双曲线C的标准方程；
2、若O为坐标原点，过 的直线l交双曲线C于A，B两点，且 的面积为 ，求直线l的方程.
【正确答案】 1、
2、 或
19-3（巩固） 已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P（1，y）（y＞0）到其焦点的距离为5．双曲线x2﹣
0 0
＝1的左顶点为A，左、右焦点分别为F，F，且双曲线的一条渐近线与直线AP垂直．
1 2
（1）求抛物线的方程及双曲线的离心率；
（2）设点M在双曲线上，且 ＝0，求M点到x轴的距离；
第 35 页 共 89 页（3）过F 且斜率为1的直线与双曲线交于D，E两点，求线段DE的长度．
2
【正确答案】 （1）双曲线方程为x2﹣4y2＝1，双曲线的离心率为 ；（2） ；（3）
19-4（巩固） 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， ，虚轴长为4．
1、求双曲线的标准方程；
2、直线 与双曲线交于 ， 两点且 ，求△ 的面积．
【正确答案】 1、
2、
19-5（提升）
已知双曲线 ： 和圆 ： （其中原点 为圆心），过双曲线 上一点
引圆 的两条切线，切点分别为 、 ．
（1）若双曲线 上存在点 ，使得 ，求双曲线离心率 的取值范围；
（2）求直线 的方程；
（3）求三角形 面积的最大值．
【正确答案】 （1） ； （2） ；（3） ．
19-6（提升） 已知双曲线C： 的一条渐近线方程为 ，焦点到渐近线的距离
为1．
1、求双曲线C的标准方程与离心率；
2、已知斜率为 的直线 与双曲线C交于x轴下方的A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为
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)
，求 的面积．
【正确答案】 1、 ；
2、
【原卷 20 题】 知识点 完善列联表,独立性检验解决实际问题,写出简单离散型随机变量分布列,求离散型随机变量
的均值
（1）分布列见解析， 1
【正确答案】 （2）表格见解析，长时间使用手机与是否得脑瘤没有显著关系
【试题解析】
第 37 页 共 89 页20-1（基础） 地球上生命体内都存在生物钟，研究表明，生物钟紊乱会导致肥胖、糖尿病、高血压、高血脂
等严重体征状况．控制睡眠或苏醒倾向的生物钟基因，简称PER，PER分为PERl（导致早起倾向）和PERo
（导致晚睡倾向）．某研究小组为研究光照对动物的影响，对实验鼠进行了光照诱导与GRPE蛋白干预实验．
以下是16只实验鼠在光照诱导与GRPE蛋白干预实验中，出现PERl突变的Sd指标：
实验鼠编号 1 2 3 4 5 6 7 8
Sd指标 9.95 9.99 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
实验鼠编号 9 10 11 12 13 14 15 16
Sd指标 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.4 10.5 9.95
长期试验发现，若实验鼠Sd指标超过10.00，则认定其体征状况严重，
1、从实验鼠中随机选取3只，记X为体征状况严重的只数，求X的分布列和数学期望；
2、若编号1~8的实验鼠为GRPE蛋白干预实验组，编号9~16的为非GRPE蛋白干预对照组，试依据小概率值
的独立性检验，分析GRPE蛋白干预是否与实验鼠体征状况有关？
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
附： （其中 ）．
【正确答案】 1、分布列见解析；期望为
2、认为实验鼠体征状况与GRPE蛋白干预无关
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)
20-2（基础） 为治疗某种疾病，厂商研制了一种新型药物，为了解新型药物的治疗效果相较于原始药物有无
提高，现进行动物试验，检测其血液内药物的有效时间，得到40只同种动物的对照组（服用原始药物）与实
验组（服用新型药物）的药物有效时间（单位： ）数据，整理如下表：
对照组 12 16 22 7 18 7 24 17 8 13 10 26 6 14 24 25 15 11 15 14
实验组 16 23 25 16 15 25 22 24 22 14 30 25 19 23 25 27 21 23 21 23
1、根据所给数据，完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为药物的有效时间与服用的药物类型有
关？
有效时间超过 有效时间不超过 合计
对照组
实验组
合计
2、利用分层抽样的方法从实验组中随机抽取8组实验结果，再从中随机抽取4组实验结果做进一步比较，记
为抽取的4组实验结果中有效时间超过 的数量，求 的分布列及数学期望．
附： ．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【正确答案】 1、列联表见解析，有99%的把握认为药物的有效时间与服用的药物类型有关；
2、分布列见解析， .
20-3（巩固） 2021中国国际大数据产业博览会于5月26日在“中国数谷”贵阳开幕，本届数博会的大会主题
是“数据创造价值，创新驱动未来”，本年度主题是“数智变，物致新”，大会采取线上线下相融的办会模式.博览
会期间，某机构为了解贵阳市市民线上线下的观看方式是否与年龄有关，研究了年龄在 周岁范围内的
市民的观看方式，并从这个年龄范围内的线上和线下观看的市民中各随机抽取了100人进一步研究，将抽取的
200人的数据整理后得到如下表：
年龄段（周岁） 线上观看市民人数 线下观看市民人数
第 39 页 共 89 页8 14
13 24
19 22
25 18
16 11
11 8
8 3
（1）根据表格中的数据完成下面的 列联表，并判断是否有 的把握认为市民线上线下的观看方式与年
龄段有关？
线上观看市民 线下观看市民 总计
年龄在
年龄在
总计
（2）某公司为扩大宣传举行了现场抽奖活动， 周岁范围内线下观看的市民可参与现场抽奖，且
周岁范围的市民只抽一次， 周岁范围的市民可抽两次，已知在一次抽奖中，抽中45元优惠券的概率为
，抽中90元优惠券的概率为 ， 表示某市民抽中的优惠券金额（单位：元），将表中数据得到的频率视
为概率，求 的分布列和数学期望.
附： ，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【正确答案】 （1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，84.
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)
20-4（巩固） 为了解某班学生喜爱打羽毛球是否与性别有关，故对本班60名学生进行问卷调查，得到了如
下的 列联表：
喜爱 不喜爱 合计
男 6
女 16
合计 60
已知在全班60人中随机抽取1人，抽到喜爱打羽毛球的学生的概率为 .
1、请将上面的 列联表补充完整，并推断是否有99.9%的把握认为学生喜爱打羽毛球与性别有关；
2、采用分层抽样的方法在喜爱打羽毛球的学生中抽取5人，再选出2人参加学校组织的羽毛球比赛，记选出
的2人中女生数为 ，求 的分布列及数学期望.
附： ， .
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【正确答案】 1、 列联表见解析，没有 2、分布列见解析，
20-5（提升） 某校组织了全校学生参加“党的二十大”知识测试，并规定测试成绩（满分100分）不低于80
分的为优秀，其他为不优秀．从全校学生中随机抽取200名（其中男生、女生各100名），并统计他们的测试
成绩，得到如下不完整的 列联表，其中 ， ．
不优秀 优秀 总计
男生
女生
总计 200
第 41 页 共 89 页1、完成 列联表，若依据小概率值 的独立性检验，可以认为是否优秀与性别有关联，求m的最大值．
2、每班派出一名代表参加校级“党的二十大”知识竞赛，经过各班代表的激烈角逐，最终甲、乙进入冠亚军
争夺赛．争夺赛采用三局两胜制，约定先胜两局者获胜，每局比赛只有胜负两种情况，每局比赛中胜者得10
分，负者得 分．根据以往比赛经验，每局比赛中甲先答题获胜的概率为 ，甲后答题获胜的概率为 ，甲
每局比赛结果互不影响．经抽签，第一局甲先答题，每一局获胜者在接下来的一局比赛中后答题．设X表示比
赛结束时甲的总得分，求X的分布列和数学期望．
附： ，其中 ．
0.1 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
【正确答案】 1、列联表见解析，最大值为14 2、分布列见解析，
20-6（提升） 春季是呼吸道疾病的高发季节．经验表明，老年人受到流感的冲击较大，某科研机构为了了解
老年人未接种流感疫苗与患流感的关系，随机抽取了某地区的100位老年人进行调查，统计数据如表所示：
未接种流感疫苗 接种流感疫苗 合计
不患流感 70
患流感 16
合计 20
1、请填写 列联表，并根据小概率值 的独立性检验，分析老年人患流感是否与未接种流感疫苗有关
联．
2、若从这100位老年人中随机抽取2人，其中有 人未接种流感疫苗， 人患流感，求 的分布列和数
学期望．
参考公式及参考数据： ，其中 ．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
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)
【正确答案】 1、填表见解析；认为老年人患流感与未接种流感疫苗有关联
2、分布列见解析；期望为
【原卷 21 题】知识点 由导数求函数的最值（不含参）,求在曲线上一点处的切线方程（斜率）,利用导数研究函数
的零点
【正确答案】
【试题解析】
第 43 页 共 89 页21-1（基础） 已知函数 ．
（1）求 在 处的切线方程；
（2）求函数 在 上的最大值和最小值；
（3）写出函数 的零点个数．
【正确答案】 （1） ；（2）最大值为 和最小值为 ；（3）1个
21-2（基础） 已知函数 ．
1、求曲线 在点 处的切线方程；
2、求函数 的最小值；
3、求函数 的零点个数，并说明理由．
【正确答案】 1、
2、
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)
3、只有一个零点，理由见解析
21-3（巩固） 已知函数 ．
1、若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
2、若方程 有两个根，求a的取值范围．
【正确答案】 1、 ； 2、 .
21-4（巩固） 已知函数 （ ）.
（1）当 时，求 在 处的切线方程；
（2）若函数 在 上有两个零点，求实数 的取值范围.
【正确答案】 （1） （2）
21-5（提升） 已知函数 ．
1、若 恰有一个零点，求a的值；
2、若 是 的零点，且 在点 处的切线恰与 相切，求a的值．
【正确答案】 1、 ； 2、 .
21-6（提升） 设函数 .
1、求曲线 在 处的切线方程；
2、若函数 有最大值并记为 ，求 的最小值；
3、当 时，求 零点的个数.
第 45 页 共 89 页【正确答案】 1、
2、 取得最小值
3、2个
46/78答案解析
再由并集定义计算．
1-1【基础】 【正确答案】 详解:
【试题解析】 分析:
， ， 且
利用交集、并集定义直接求解．
详解: ，
集合 ， ， ， ，
，且 ， ，
， ， . ．
故答案为： ．
故答案为： ．
1-5【提升】 【正确答案】
1-2【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
【试题解析】 分析:
由已知，根据 ，可利用集合A，求解出
根据交集运算得出 ，再由并集运算求解.
详解: x的值，然后分别求解出集合A和集合B，然后验证
是否满足，如果满足即可直接求解
若 ，则 ， ，所以 ，所以
.
．
详解:
故答案为：
由 ， 得 ， 所 以 或
1-3【巩固】 【正确答案】
，解得 或 或4．
【试题解析】 分析:
当 时， ， ，
由题意知 ，对A集合中元素进行分类讨论求出
m，然后根据集合交集的概念计算即可.
，不满足题意，故 舍去；
详解:
当 时， ， ，
因为 ，所以 ，
若 ，此时 ，满足条件； ，满足题意，此时
若 ，则 ， ，不符合题意， ；
舍去.
当 时，B中元素不满足互异性，故 舍去．
所以 ， .
故答案为： ．
故答案为：
点睛:
点睛: 在解决集合中含参数的问题时，求出参数的值后，一
本题考查根据集合交集的结果求参数、集合的并集运 定要回代检验，避免因忽略集合中元素的互异性而出
算，属于基础题. 现错误．
1-4【巩固】 【正确答案】 1-6【提升】 【正确答案】 或
【试题解析】 分析: 【试题解析】 分析:
解不等式确定集合 ，由交集的结果确定参数 值，
39/78由 ，可知 ，故 或 ， 质得到 ，再根据等比数列通项公式整理
求出m，分类讨论求出 即可. 得 ，解得即可.
详解: 详解:
， ， ， 解：设正项等比数列 的公比为 ， ，
或 ，解得： 或 ，
因为 是 与 的等差中项，所以 ，
当 时， ， ，此时
即 ，
；
即 ，解得 或 （舍去）；
当 时， ， ，此时
故答案为：
. 2-4【巩固】 【正确答案】 1
【试题解析】 分析:
故答案为： 或
由题设可得 且 ，结合等比通项公
2-1【基础】 【正确答案】 1或3
式列方程求公比q即可.
【试题解析】 分析:
详解:
根据等比数列得 ，又 成等差数列，
由 题 设 ， 而 ， 显 然
列式求解即可得公比 的值.
，则 ，
详解:
解 ： 数 列 为 等 比 数 列 ， 所 以 ， 且 所以 ，故 ，可得 .
故答案为：1
成等差数列，所以
2-5【提升】 【正确答案】 1024或
则 ，解得 或3.
【试题解析】 分析:
故答案为：1或3.
设出公比，利用 是 和 的等差中项，列出方程，
2-2【基础】 【正确答案】 2
【试题解析】 分析: 求出公比，从而结合 得到答案.
根据题意，利用等比数列的基本量，列出 的方程，
详解:
求解即可.
设等比数列 的公比为 ，
详解:
因为 是 和 的等差中项，所以 ，
因为 是等比数列，又 、 、 成等差数列，
即 ，
故可得 ，即 ，
因为 ，则 ，解得 或 ，
又 ，整理得： ，
因为等比数列 是递增数列，所以 ，
解得 .
又因为 ，所以 .
故答案为： .
2-3【巩固】 【正确答案】 2 故答案为：1024
【试题解析】 分析: 2-6【提升】 【正确答案】 9
【试题解析】 分析:
设正项等比数列 的公比为 ，根据等差中项的性
40/78∵ ，
利用等比数列的性质及 ， ， 成等差数列
建立方程，从而求出q的值，即可求解.
∴ ，
详解:
设正项等比数列 的公比为q，则 ，∵ ，
∴ .
， 成等差数列，∴ ， 方法二：
∵ ，∴ ，∴
∴ ，∴ 或 （舍去），∴
. .
故答案为：9
故答案为： .
3-1【基础】 【正确答案】
3-4【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
【试题解析】 分析:
根据复数的除法运算和模的定义求解.
详解: 根据复数的除法运算求出复数z，可得 ，再
由 得 根据复数模的计算即可得答案.
详解:
，
由 可得 ，
所以 ，
故 ，则 ，
故答案为: .
故答案为：
3-2【基础】 【正确答案】
3-5【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
【试题解析】 分析:
根据复数的运算公式求复数 的代数形式，再由复数
先由 求出复数 ，再代入 求解即可.
的模的公式求 的模.
详解:
详解:
由 ， 得 由 ，得
， ，
．
所以 ，
故答案为： .
故答案为： .
3-3【巩固】 【正确答案】
3-6【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
【试题解析】 分析:
先由复数除法运算求出 ，再求模即可.
详解:
先对 化简，再由其为纯虚数求出 ，从而可
方法一：
41/78求出 的值.
，所以 ，
详解:
所以椭圆的标准方程为 .
，
故答案为：
因为复数 （ 为虚数单位， ）为纯虚数，
4-3【巩固】 【正确答案】
所以 ，解得 ，
【试题解析】 分析:
所以 ， 设椭圆的方程为 ，将
两点坐标代入椭圆方程，列出方程组，解之即可.
故答案为： .
详解:
设椭圆的方程为 ，
4-1【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
已知椭圆上顶点坐标和左顶点坐标，可求椭圆的标准 则 ，解得 ，
方程.
详解:
为椭圆上顶点， 为椭圆左顶点，所以椭 所以该椭圆的标准方程为 .
圆两焦点在 轴上，
故答案为： .
设椭圆的标准方程为 ，依题意有
4-4【巩固】 【正确答案】
，
【试题解析】 分析:
所以椭圆的标准方程为 .
设所求椭圆方程为： ( ， ，
)将 和 的坐标代入方程，即可得到答案；
故答案为：
详解:
设所求椭圆方程为： ( ， ，
4-2【基础】 【正确答案】
)将 和 的坐标代入方程得：
【试题解析】 分析:
设椭圆方程为 ，代入两点
，解得 ，
坐标 和 即可得解.
详解:
设椭圆方程为 ， 所求椭圆的标准方程为： .
代入 和 点坐标为：
故答案为： .
42/784-5【提升】 【正确答案】 所以 必在椭圆上，
【试题解析】 分析:
于是有 …...①
由于 ， 关于轴对称，故由题设知C经过 ，
若点 在椭圆上，
两点，C不经过点 ，然后求出a，b，即可得到椭
圆的方程.
则 矛盾，
详解:
解：由于 ， 关于轴对称，故由题设知 经过 ，
所以点 在椭圆上，及 ……②
两点，所以 .
联立①②解得 ，
又由 知， 不经过点 ，所以点 故椭圆的标准方程为 ，
在上，所以 .
故答案为：
因此 ，故 的方程为 . 点睛:
本题考查利用待定系数法求椭圆的标准方程，考查了
分类讨论得思想.
故答案为： .
5-1【基础】 【正确答案】 或0.5
点睛:
【试题解析】 分析:
求椭圆的标准方程有两种方法：
根 据 二 倍 角 公 式 可 将 已 知 等 式 化 简 为
①定义法：根据椭圆的定义，确定 ， 的值，结
，根据 可求得 ；
合焦点位置可写出椭圆方程．
②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标
详解:
准方程，结合已知条件求出 ， ；若焦点位置不明
由二倍角公式可知： ，
确，则需要分焦点在 轴上和 轴上两种情况讨论，
化简得 ,
也可设椭圆的方程为
． 可得
4-6【提升】 【正确答案】 又 ，
【试题解析】 分析:
故答案为：
由于椭圆是对称图形，得C、D两点必在椭圆上，故
， 若 B 点 在 椭 圆 上 ， 则 5-2【基础】 【正确答案】 或
【试题解析】 分析:
，矛盾，所以点 A 在椭 根据二倍角的余弦公式计算求解.
详解:
圆上，由此可求出椭圆的标准方程.
详解: ， ，
由于椭圆是对称图形，
43/78， ,将 代入即可得出结果.
详解:
故答案为： ．
因为 ,所以 ,
5-3【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析: 所以 ．
首先求出 ，再根据二倍角公式及同角三角函数
的基本关系将弦化切，再代入计算可得. 故答案为:
详解:
由 可得 ，
5-6【提升】 【正确答案】
故
【试题解析】 分析:
.
利用二倍角公式可得 ，再由同角三角函数
故答案为：
的基本关系即可求解.
详解:
5-4【巩固】 【正确答案】 1或 因为 ，
【试题解析】 分析: 整理可得 ，
利用二倍角的正弦公式化简可得 ，
解得 ，或 ，由于 是第三象限
分 和 两种情况，结合同角的三
角， （舍去）
角函数关系即可求得答案.
详解:
所以 ， ．
因为 ，则 ，
故答案为： ．
即 ，
6-1【基础】 【正确答案】
若 ，则 ，故 ； 【试题解析】 分析:
若 ，则 ， 先求出角 的大小，由 ，考虑余弦定理
建立 的方程，再由基本不等式求 的最大值.
故答案为：1或
详解:
解析：因为 ，
5-5【提升】 【正确答案】 或0.875
根据正弦定理可知 ，即
【试题解析】 分析:
，
解出 ,将 用倍角公式写成
由余弦定理可知 ，又 ，故 ，
44/78又因为 ，所以 ，
由三角恒等变换得出 ，再由正弦定理结合正
（当且仅当 时取
弦函数的性质得出 面积的最大值.
等号），即
详解:
因为 ，
所以 ，即 面积
即 ．
的最大值为 ，
又因为 ，所以 ，因为 ，所以
故答案为： .
6-2【基础】 【正确答案】 1
，
【试题解析】 分析:
利用正弦定理化角为边，再根据三角形的面积公式即
可得解.
即 ，
详解:
由 ，得 ，得 ，
所以 ，当
所以 的面积为 .
时， 取得最大值1．
故答案为： .
故答案为：1
6-3【巩固】 【正确答案】
6-5【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
【试题解析】 分析:
根据正弦定理边角互化可得 ，结合不
由 ， ， 成等差数列，结合正弦定理
等式可得 ，由余弦定理可得 ， 可得 ，进而可得 ，由余弦定理结合基
进而由面积公式即可求解. 本不等式可得 ， ，
详解:
从而根据 的面积公式即可求解.
由 正 弦 定 理 得 ， 由 于
详解:
解：因为 ， ， 成等差数列，
，当且仅当
所以 ，
时 等 号 成 立 ， 又
由正弦定理可得 ，又 ，所以 ，
， 因 此
即 ，
所以由余弦定理可得
由 ， 故
，
, 即 ，
又 ，即
故答案为：
6-4【巩固】 【正确答案】 1 ，当且仅当 时等号成立，
【试题解析】 分析:
所以 ，即
45/78， 因为 是定义域为 的奇函数，
因为 ，所以 ， 当 时， ，则 时，
，
所以 ，
所以 的面积的最大值为 . 所以 ，
故答案为： .
作出函数图像如下图所示：
6-6【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
利用正弦定理将边化角，即可求出 ，再由余弦定理
由图像可知：函数 值域为 .
及基本不等式求出 的取值范围，最后由面积公式
计算可得. 故答案为：
详解:
因 为 ， 由 正 弦 定 理 可 得 7-2【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
先求当 时函数的值域，再根据函数的奇偶性得
， ，
到函数在R上的值域.
， ， 详解:
当 时， ,
又 ， ，
由余弦定理得 ，即 令 ，所以 ，
，
所以 .
所以 ，所以 ，当且仅
由于函数是奇函数，
当 时取等号，
所以当 时， .
所以 .
当 时， .
故答案为：
综上所述，此函数的值域为 .
7-1【基础】 【正确答案】
故答案为
【试题解析】 分析:
点睛:
由函数奇偶性可得函数在 上的解析式，做出图像
本题主要考查函数奇偶性的应用，考查指数型函数的
即可求得值域.
值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水
详解:
平.
7-3【巩固】 【正确答案】 4
46/78【试题解析】 分析: 详解:
构造 是奇函数，由奇函数的对称性求解． 因为 为 上的奇函数，
详解:
所以 ，所以 ，
设 ， ，
又当 时， ，
，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，
，
即当 时， ，
所以 是奇函数，
因为 为 上的奇函数，
又 ，
所以函数 的图象关于原点对称，
，
所以 时， ，
所以 ， ．
所以函数 的值域为 .
故答案为：4．
故答案为： .
7-4【巩固】 【正确答案】
7-6【提升】 【正确答案】 ﹣4
【试题解析】 分析:
【试题解析】 分析:
由偶函数求得 ，再由对勾函数及指数函数的性
设g（x）= +bx，判断奇偶性，可设g（x）在x＞0
质求 的值域即可.
详解: 的最小值为m，在x＜0的最大值为n，且m+n=0，计
算可得所求最大值．
由题设， ，故 ， 详解:
函数 （a，b均为正数），
所以 ，当且仅当
可设g（x）= +bx，可得g（﹣x）=﹣（ +bx）=
时等号成立，又 ，
﹣g（x），
即g（x）为奇函数，
所以 的值域为 . 设g（x）在x＞0的最小值为m，在x＜0的最大值为
n，
且m+n=0，
故答案为： .
由f（x）在（0，+∞）上有最小值10，
可得m+3=10，
7-5【提升】 【正确答案】
即m=7，可得n=﹣7，
【试题解析】 分析:
则f（x）在（﹣∞，0）上的最大值为﹣7+3=﹣4．
故答案为﹣4．
根据奇函数的性质求得 ，再结合基本不等式
点睛:
本题考查函数的最值求法，注意运用转化思想和奇函
求 时其 的取值范围，再结合奇函数的
数的性质，考查运算能力，属于中档题．
性质求 时函数值的范围，由此可得函数值域.
47/788-1【基础】 【正确答案】 则 ，故 在 方向
【试题解析】 分析:
上的投影向量为 .
先求出 ，再代入投影向量公式中求解即可．
详解:
故答案为：
因为 与 的夹角为 ， ， ，
8-4【巩固】 【正确答案】 或
所以 ，
【试题解析】 分析:
所以 在 方向上的投影向量为
根据已知条件求得 的模长，以及 ，结合题意求
解即可.
．
详解:
根 据 题 意 可 得 ， 由
故答案为： ．
可得 ，
8-2【基础】 【正确答案】 5
【试题解析】 分析:
即 ，故 在 方向上的投影为 .
根据给定条件，求出 ，再利用投影向量及向量模
的意义求解作答.
详解: 故答案为： .
因为 ， ，则有 ，即
8-5【提升】 【正确答案】
，
【试题解析】 分析:
先根据数量积的运算律求 ，进而求 在 方向上
而 在 方向上的投影向量为 ，所以 在
的投影向量.
详解:
方向上的投影向量的模为 .
∵ ，且 ，
故答案为：5
则 ，解得 ，
8-3【巩固】 【正确答案】 或
故 在 方向上的投影向量为
【试题解析】 分析:
.
利用向量数量积运算律求得 ，再根据投影向
量的定义求 在 方向上的投影向量.
故答案为： .
详解:
8-6【提升】 【正确答案】
由 ，
【试题解析】 分析:
所以 ，
48/78根据条件，求得 ，结合投影向量的计算公
，
式，即可求解.
详解:
故答案为： .
因为 ，且 ，
所以 9-3【巩固】 【正确答案】
， 【试题解析】 分析:
由已知分别求出更正后的 、 、 ，的值，然后利
所以 ，所以 ，
用最小二乘法公式可求回归直线方程．
详解:
所以向量 在 方向上的投影向量是 . 由 题 意 ， 更 正 后 ， ，
，
故答案为： .
， ，
9-1【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
根据回归直线方程的计算公式即可直接得出结果.
，
详解:
，
，
，
因此，更正后的回归直线方程为 .
，
故答案为： .
点睛:
，
本题考查回归方程的求法，考查最小二乘法公式的应
故回归直线方程为 . 用，考查计算能力，是基础题．
9-4【巩固】 【正确答案】
故答案为： .
【试题解析】 分析:
9-2【基础】 【正确答案】
根据表中数据和最小二乘估计公式计算出 和 即可．
【试题解析】 分析:
详解:
由最小二乘法结论，结合已知数据计算即可.
详解:
，
由统计数据表得 ， ，
，
，
，
，
49/78∴ ， ，
， 设线性回归方程为 ，
∴y关于x的线性回归方程为 ．
故答案为： ． 则 ，
9-5【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析: ，
故线性回归方程为 .
根据更正前的数据计算更正后的 ， ， ，
根据题意， ，解得 ，又
，从而求更正后的回归方程.
，
详解:
所以m的所有可能取值为5，6，7.
故答案为：5，6，7
由题意知，更正后 ， ，
10-1【基础】 【正确答案】 或
， ，
【试题解析】 分析:
根据 平面 可知 即为所求角，利用
∴ ，
可求得结果.
详解:
，
连接 ，
∴更正后的回归方程为 .
故答案为： .
9-6【提升】 【正确答案】 5，6，7
【试题解析】 分析:
根据题意求出 ，利用最小二乘法求出 ，进而
求出 即可得出线性回归方程，根据题意列出不等式，
解之即可.
平面 ， 即为直线 与平面
详解:
所成角，
由 题 意 可 得 ， ，
在 中， ，
，
，
，
.
50/78，
故答案为： .
所以 ， ，
10-2【基础】 【正确答案】
，
【试题解析】 分析:
由正三棱柱结构特征及线面角定义确定其平面角，进
而求其正弦值. 因为 底面 ， 平面 ，所以
详解:
，
若 为 中点，连接 ，
所以 与平面 所成的角为 ，
，
由条件 可得 ，解得
，
由正三棱柱 的侧棱长与底面边长相等，
因此 ，
故 ，且 面 ，
因为 ，
面 ，则 ， ，
所以 ， 与平面 所成的角为
面 ，
，
所以 面 ，故 为 与侧面
故答案为：
所成角平面角，
10-4【巩固】 【正确答案】
所以 .
【试题解析】 分析:
由题意，作图，根据线面角的定义以及正四棱锥的性
质，明确线面角，利用勾股定理以及三角函数，可得
故答案为： 答案.
详解:
10-3【巩固】 【正确答案】 由题意，作正四棱锥 ，连接 ，记
【试题解析】 分析:
，连接 ，
结合长方体的结构特点，可知 与平面 所成
的角为 ，由 及勾股定理可得
，进而可求出 得出结果.
详解:
长 方 体 中 ， 因 为 ， 则在正四棱锥 中， 底面 ，则
51/78为侧棱 与底面 所成角，
在底面正方形 中，
，
在 中， ，故
，
10-6【提升】 【正确答案】 30°或
故答案为： . 【试题解析】 分析:
由线面角的定义及线面垂直的判定找到线面角的平面
角，进而求其大小.
10-5【提升】 【正确答案】
详解:
【试题解析】 分析: 如 下 图 ， 由 正 方 体 性 质 知 ： ， 且
由线面角的定义作出侧棱与底面的夹角，解三角形求
，即 ，
其正弦值.
详解:
连接顶点 与 的中心 ，连接 并延长交
于点 ，
由正四面体性质可得 平面 ，
所以侧棱 与底面 的夹角的平面角为 ，
设 ，则 ， 又 面 ， 面 ，故
，
因为 为 的中心，
由 ， 面 ，故
所以 ，
面 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 为直线 与平面 所成角的平面
所以 ，故 为直角三角形，
角，显然 ，
因为 ，所以 ，
又 ，故 .
所以 ，
故答案为：
11-1【基础】 【正确答案】 0.9759
所以正四面体的侧棱和底面夹角的正弦值是 .
【试题解析】 分析:
根据正态分布求出 和 的值，根据参考公式，即可
故答案为： .
求出单次最大续航里程恰在1970千米到2020千米之
间的概率.
详解:
52/78解：由题意
又 ，根据正态分布的对称性可
，
得 ，
∴ ， 所以
∴
所以，可估计成绩在120分以上的学生人数为
.
故答案为： .
故答案为：0.9759. 11-5【提升】 【正确答案】 8186
11-2【基础】 【正确答案】 1359 【试题解析】 分析:
【试题解析】 分析: 根 据 正 态 分 布 的 概 率 分 布 原 则 可 得
根据正态分布的曲线特点求得概率即可.
，
详解:
进而求出 即可求解.
由已知发现株高服从正态分布
详解:
所以 ， ，所以 ，
由题意知， ，
所以
，
得
株高在 的约有
故答案为：
11-3【巩固】 【正确答案】 1500
【试题解析】 分析: ，
根据正态分布特点，则 ，再乘以
所以袋装质量在区间 的约有
总人数即可.
详解: 袋.
故答案为：8186.
因为考试的成绩 服从正态分布 ，
根据 ， ，则 ， 11-6【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
得 ，
设 每 日 所 售 的 票 数 为 万 张 ， 分 析 可 得
即数学成绩高于108分的学生占总人数的15.87%，
由 ，可知这位学生的数学成绩 ，根据正态密度曲线的对称性求出
108分大约排在该区的名次是1500．
的值，即为所求.
故答案为：1500.
11-4【巩固】 【正确答案】 50 详解:
【试题解析】 分析:
设每日所售的票数为 万张，若需要售出无座票，则
根据正态分布曲线的性质即可求解.
详解:
，故 ，
由已知可得， ，所以 .
53/78若有座车票每日剩余量不超过 万张，则 关键点点睛：将 ，转化为
，
，再利用函数 在 上
因为 ，由正态密度曲线的对称性可得
单调递增，得 是解决本题的关键.
. 12-2【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
故答案为： . 运用同构函数 研究其单调性可得
12-1【基础】 【正确答案】 ， 将 求 的 最 小 值 转 化 为 求
【试题解析】 分析:
上的最小值，运用导数研究
先 将 ， 转 化 为
的最小值即可.
，再利用函数 在 上 详解:
单 调 递 增 ， 可 得 ， 进 而 转 化 为 因 为 ， 即 ， 所 以
， 再 利 用 导 数 求 出 函 数 ，所以 .
的最小值即可.
令 ，则 ，所以
详解:
在 上单调递增，所以 ，
由 ，得 ，
即 ，所以 ，
令 ，则 ，
令 .
，所以函数 在 上单
则 ．令 ，解得：
调递增，
所以 ，
；令 ，解得： ；
则 ，
所以 在 上单调递减，在
， 上单调递增，所以
.
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 即 的最小值为 .
故答案为： .
上单调递增，
点睛:
所以当 时， 取得最小值
同构法的三种基本模式：①乘积型，如 可
，
以同构成 ，进而构造函数 ；
即实数 的最小值为 .
故答案为： . ②比商型，如 可以同构成 ，进
点睛:
54/7812-4【巩固】 【正确答案】
而构造函数 ；③和差型，如
【试题解析】 分析:
将 不 等 式 化 为 ， 令
，同构后可以构造函数 f
，即 ，利用导数
或 .
12-3【巩固】 【正确答案】 . 分 析 函 数 单 调 性 ， 即 可 得 到 ， 即
【试题解析】 分析: 恒成立，令 ，利
将 化 为
用导数分析函数单调性，进而求得 ，进而求
解.
， 采 用 换 元 ， 令
详解:
，利用求导的方法求函数 的 由 ，
最小值，进而求得答案.
则 ，
详解:因为
令 ，即 ，
，
所以 ，
令 ，设 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，
当 时， ；当 时， ，
由 ，可得 ，
所以 ，
即 恒成立，
又函数 ，
所以 ，
令 ，
当 时， ， 递减；当 时，
， 递增； 则 ，
故 最小值为 ，而 令 ，则 ；令 ，则 ，
， 所以函数 在 上单调递减，在 上单调
所以方程 有解，即存在 使得 递增，
所以 ，
，
所以 ，即 ，
故 的最小值为 ，
所以实数 的最大值为 .
故答案为： .
故答案为： .
点睛: 12-5【提升】 【正确答案】
本题考查了利用导数求函数最值问题，综合性强，能
【试题解析】 分析:
很好地考查学生的数学素养，要求思维能力较高，解
答的关键是根据函数的解析式特点，合理变式，从而 将 等 式 化 为 ， 设
整体换元，构造函数，解决问题.
55/78标函数的值域.
，利用导数研究函数的单调性，根据函
12-6【提升】 【正确答案】 或
数的单调性可得 ，代入 可得
【试题解析】 分析:
，利用导数求其值域即可.
详解: 把 已 知 等 式 变 形 为 ， 利 用 函 数
因为 ，
的单调性得 的关系，从而将
所以 ，
转化为 的函数，再利用导数求得其最大值即
设 ，则 ，
可．
详解:
所以函数 在 上单调递增，
由 得 ，所以 ，
所以 ，
所以
则 ，
，
因为 ， ， ，所以 ，
，
设 ， 令 ，则 ，所以
则 ， 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递
所以由 ，即 ，得
增，
当 时， ，函数 在 上单调
，所以 ，
递减，
又 ， ， 所以 ，
当 时， ，当 时， ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 且 时，
令 ，得 ；令 ，得 ，
，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 的值域为
所以 ，即 的最大值为 ．
，
故答案为： ．
所以 的取值范围为 .
点睛:
故答案为： .
关键点点睛：本题解决的关键对已知等式进行同构变
点睛:
关键点睛：解决的关键在于将条件等式化为同构形式， 形 ，从而利用函数的单调性得出变量
利用函数的性质化简已知条件，再结合函数性质求目
56/78间的关系，由此得解. 【试题解析】 分析:
13-1【基础】 【正确答案】 B 根据空间位置关系的向量证明逐项分析判断.
【试题解析】 分析: 详解:
先判断法向量的位置关系，进而判断两平面的位置关
对 A ： ∵ ， 则
系.
详解:
，故 或 ，A错误；
∵ ，
对B：对于平面 可得 ，
则 ，
若向量 是平面 的法向量，则
∴ ，故 .
故选：B.
，解得 ，
13-2【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
判断两个向量的位置关系即可得解.
详解: 故 ，B错误；
因为 ，所以 ，
对C：显然不存在实数 ，使得 成立，则
所以直线l与平面 的位置关系是平行或直线在平面
内.
不共线，故 与 不平行，C错误；
故选：A.
13-3【巩固】 【正确答案】 B
对D：∵ ，则 ，
【试题解析】 分析:
由 ，得 ，所以 或
故 ，D正确.
详解:
故选：D.
， ， 13-6【提升】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
， 根据空间位置关系的向量判断方法对四个选项一一判
断即可.
则有 ，
详解:
又 是直线l的方向向量， 是平面α的法向量，所 对于A：因为 ，所以 不
以 或 .
成立，所以 不成立.故A错误；
故选：B
13-4【巩固】 【正确答案】 D 对于B：因为 ， ,所以
【试题解析】 分析:
根据直线的方向向量与平面的法向量的位置关系可判 ，
断直线与平面的位置关系可得.
所以 ，所以 或 .故B错误；
详解:
因为 且 对于C：因为 ，,所以
，
所以 与 不平行，也不垂直，
所以 与 相交但不垂直. 所以 ，所以 .故C正确；
故选：D
对于D：因为 ， ,所以
13-5【提升】 【正确答案】 D
57/78， 令 ，可得 ，
所以 .故D错误；
解得 ，
故选：C
14-1【基础】 【正确答案】 B
因为 ， ，所以当 时，小球第二次回到
【试题解析】 分析:
首先设y与时间t的函数关系式为 ， 平衡位置，此时 ，
根据已知条件得到 ， ， ，得到
又因为 ，所以 ，
则小球第二次回到平衡位置时的速度是
，再解不等式
.
即可.
详解:
故选：C.
设y与时间t的函数关系式为 ，由题 14-3【巩固】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
设经过 （单位：s）后水筒 距离水面的高度为
意可得，初始位置为 ，即初相为 ，故
，由题意求得
可得 ， ，则 ， ．
参数，可得解析式，即可求得答案.
详解:
又函数周期是60（秒）且秒针按顺时针方向旋转，
由题设，水车的角速度为 ,
即 ，
又水车的半径为 ，中心O到水面的距离 ，
所以 ，即 ，
设经过 （单位：s）后水筒 距离水面的高度为
． ，
由题意可知 ,
令 ，则 ，解
由于 时，水筒 在 处，即
得 ．
，
故选：B
14-2【基础】 【正确答案】 C
即 ，由于 ，故取 ，
【试题解析】 分析:
故t（单位：s）后水筒 距离水面的高度可表示为
根据题意求得函数的解析式 ，求得
，
，进而求得小球第二次回到平衡
，
位置时的速度，得到答案.
详解:
58/78故选︰ .
所以， ，
14-4【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
由 ，即 ，可得
根据条件得出 ，然后解
，
不等式 即可.
详解:
所以， ，解得
由题意可知摩天轮运动一周距离底面的最高点为
(60+40)米与最低点(60-40)米，相差80米，
，
∴ ；运动一周15分钟， 因此，游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长
约有 分钟.
即 ； 故选：B.
14-6【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
由 ，可得 ，故
由题意可得塔的偏移距离 ，设两座塔的
塔高为 ，结合题意可得两座塔的偏移距离差的绝对
.
要看到全景需 ，解之得： 值为 ，进而得到 ，结合塔顶
，故时间长为 min. 到地面的距离 ，进而求解.
详解:
故选：B
14-5【提升】 【正确答案】 B 塔的偏移距离 ，设两座塔的塔高为 ，
【试题解析】 分析:
则根据倾斜角的正弦值分别为 ， ，
求出游客到地面的距离为 关于转动时间 （单位：
分钟）的函数关系式，然后解不等式 ，可得
得两座塔的偏移距离差的绝对值为 ，
出结果.
详解:
设游客到地面的距离为 ，设 关于转动时间 即 ， ，
（ 单 位 ： 分 钟 ） 的 函 数 关 系 式 为
， 塔顶到地面的距离 ，
则 ， ，可得 ， 根据倾斜角的正弦值分别为 ， ，
函数 的最小正周期为 ，则
得倾斜角的余弦值分别为 ， ，
，
两座塔的塔顶到地面的距离差的绝对值为
当 时，游客位于最低点，可取 ， .
故选：D.
59/7815-1【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
则 ，解出
利用对称性质可得原直线上的点关于 轴的对称点，
代入对称点，即可得到答案.
详解:
点 在直线 上， 将 式代入，
设点 是所求直线上任意一点，则 关于 轴
得 ，
的对称点为 ，且在直线 上，
化简得 ，即为 关于 对称的直线方程．
代入可得 ，即 . 故选：C
故选：C. 15-4【巩固】 【正确答案】 D
15-2【基础】 【正确答案】 B 【试题解析】 分析:
【试题解析】 分析: 先求两直线交点，再在 上找一点（不同于交点）
设点 是所求直线上任意一点，进而求得其关 做关于 的对称点，然后利用对称点与交点求出直线
方程即为答案.
于 对称的点为 ，再代入已知直线方
详解:
程即可得答案.
由题知直线 与直线 交于点 ，且点
详解:
在 上，
解：设点 是所求直线上任意一点，
设点 关于 对称的点的坐标为 ，则
则 关于直线 对称的点为 ，且
在直线 上，
解得
所以，代入可得 ，整理得
．
则直线 的方程为 ，即 关于 对称
所以，所求直线方程为 .
的直线方程为 ．
故选：B
故选：
15-3【巩固】 【正确答案】 C
点睛:
【试题解析】 分析:
考查对称知识，求直线关于直线对称，转化成点与点
根据题意，设所求直线上任一点 M（x，y）且M关
关于直线对称，也可以利用求轨迹方程的方法，到角
于直线 的对称点 ， ，利用轴 公式等.
15-5【提升】 【正确答案】 C
对称的性质列出方程组解出用 、 表示 、 的式
【试题解析】 分析:
子，再由点 在直线 上代入，化简即
先 联 立 方 程 得 ， 再 求 得 直 线
得所求对称直线方程；
详解:
的点 关于直线 对称点的坐标为
设 所 求 直 线 上 任 一 点 ， 关 于 直 线
，进而根据题意得所求直线过点 ， ，
的对称点 ， ，
进而得直线方程.
详解:
60/7816-1【基础】 【正确答案】 C
解：联立方程 得 ，即直线 【试题解析】 分析:
根据给定的函数，利用导数求出单调减区间作答.
详解:
与直线 的交点为
函数 的定义域为 ，求
设直线 的点 关于直线 对称点的坐
导得 ，
标为 ，
由 得 ，所以函数
所以 ，解得
的单调递减区间是 .
故选：C
16-2【基础】 【正确答案】 B
所以直线 关于直线 对称的直线过点
【试题解析】 分析:
， 求出导函数 ，由 确定增区间．
详解:
所以所求直线方程的斜率为 ，
， 的定义域为 ，
所以所求直线的方程为 ，即
由 ，得 ，
故选：C ∴ 的单调递增区间为 ．
15-6【提升】 【正确答案】 A 故选：B．
【试题解析】 分析: 16-3【巩固】 【正确答案】 B
利用两条直线平行的性质求出n,再利用两条平行直线
【试题解析】 分析:
间的距离求出m，再由平行线间距离即可求解.
先求出函数的定义域，再对函数求导，然后由导数大
详解: 于零，可求出函数的增区间.
详解:
因 为 直 线 ： 与 ：
函数 的定义域为 ，
，
所以 ， 由 ，得 ，
又两条平行直线 ： 与 ：
令 ，得 ，
之间的距离是 ，
所以函数的单调递增区间为 ，
所以 解得
故选：B.
即直线 ： ， ： ， 16-4【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
设直线 关于直线 对称的直线方程为 ，
根据 ，结合函数的定义域，即可得出单调递
增区间.
则 ，解得 ，
详解:
故所求直线方程为 ， 由 ，可得 或 ，
故选：A
61/7816-6【提升】 【正确答案】 B
所以函数 的定义域为
【试题解析】 分析:
. ， ，求出
时， ，并证明此解为 的唯一解，则可
求导可得 ，当 时， ，由
判断.
函数定义域可知， ， 详解:
所以函数 的单调递增区间是
令 ，因为
.
，
故选：A.
， ，
16-5【提升】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
所以 在 上单调递减，
由 的定义域为 ，可判定B不正确；求得
所以 ，即
，得到函数 的单调性和极值的
所以当 时， ，且为唯一解，
概念，可判定 C 正确，D 不正确；结合单调性和
，可判定A不正确. 所以 单调递减；
详解:
单调递增，
由函数 ，可得定义域为 ，所以
B不正确；
所以 ，即 在 上无零点，
又由 ，令 ，解得 ，
同时表明 在 上有唯一极值点，故A,C,D
当 时， ， 单调递增；
错误，B正确；
故选：B.
当 时， ， 单调递减，
17-1【基础】 【正确答案】 1、 ， ，证明
所以当 时，函数 取得极大值，极大值为
见解析
，无极小值， 2、
所以C正确，D不正确； 【试题解析】 分析:
当 时， ；当 时， ；当
（1）根据数列定义，将 逐步展开为
时， ，
，即可判断数列 是等比数列；
所以函数 在定义域内有一个零点，所以A不正
确. （2）根据分组求和即可求解 .
故选：C.
62/78， . .
由题意得 【试题解析】 分析:
， （1）由题意可得 ，从而有
，
又 ，所以数列 是等比数列.
，从而得证；
由（1）知 .
（2）由（1）可得 ，利用分组求和即可.
运用分组求和，可得
证明：因为 ，
所以 ，
即 ，
.
所以 ，
17-2【基础】 【正确答案】 1、证明见解析； 2、
所以 ，
.
所以 是等比数列，首项为 ，公比
【试题解析】 分析:
（1）根据给定的递推公式，结合 及等 ；
比数列的定义推理作答. 解：由（1）可知， ，
（2）利用并项求和法，结合等比数列前n项和公式
求解作答. 所以 ，
因为 ， ，则 ，
所以 .
两式相减得： ，整理可得
17-4【巩固】 【正确答案】 1、 ；
，即 ，
于是 ， ，
所以数列 是等比数列. 2、
由（1）知， ，又 ，则 【试题解析】 分析:
（1）由已知条件得 ，利用等差数列的通项公
所以 式即可得出a ；再由 与 的关系得出{b}的通项
n n
公式；
. （2）由（1）得 ，利用分
17-3【巩固】 【正确答案】 1、证明见解析; 2、 组求和求和即可.
因为数列 是等差数列，且满足 ，
63/78， 由已知 ，
由等差数列的性质可得 ， 所以 ，则 ， ，则 ，
，所以公差 ， ，则 ；
则 ． 因此 ， ，
又当 时， ，所以 ， 因为 ， ，
①
所以 ，即 ，
当 时， ②
故 是 为首项， 为公比的等比数列，
由 得 ，即 （ ），
因此 ；
所以 是首项为1，公比为 的等比数列，故 由（1）知 ，又 ，
． 所以 ，可得 ，
所以 是1为首项，2为公比的等比数列，
由（1）得 ，
因此
所以 ．
，
17-5【提升】 【正确答案】 1、 ， 由 ，解得 ，因为
，又因为 ，
所以正整数 的最小值为 .
2、正整数 的最小值为7
【试题解析】 分析: 17-6【提升】 【正确答案】 1、
（1）根据递推公式求出 、 、 的值，即可求出
2、10
【试题解析】 分析:
， ，再由 ， ，即可
（1）根据题意中的递推公式可得 ，则
得到 ，从而得到 是 为首项， 为公比的
数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
等比数列，即可求出其通项公式；
结合等比数列的通项公式即可求解；
（2）由（1）可得 是1为首项，2为公比的等
（2）由（1），利用分组求和法，结合等差、等比数
比数列，利用分组求和及等比数列求和公式求出 列前n项求和公式计算可得
，即可得到 ，解得
，求出 即可求解.
，从而求出 的最小值.
∵ ，且 ，
64/78∴ ．
（2） ，
由于 ，则 ，∴ ．
，
则 ．
，
∴数列 是以2为首项，2为公比的等比数列．
，
得 ，则 ，
即数列 的通项公式为 ．
，
∵ ， 所以
.
∴
点睛:
（1）证明面面垂直常用的方法：定义法——证所成
二面角为直二面角；判定定理——由线面垂直推面面
． 垂直.
（2）体积求法：确定基本量直接用公式，割补法，
等体积法（等底等高）.
∵ ，即 ，
18-2【基础】 【正确答案】 1、证明见详解 2、
【试题解析】 分析:
当 时， ；当 时，
（ 1 ） 通 过 ， 得 到 面
.
，进而可得面面垂直；
（2）先证明四棱锥是直四棱锥，再根据棱锥的体积
∴满足 的n的最大值为10．
公式计算即可
18-1【基础】 【正确答案】 （1）证明见解析；（2） 底面 是菱形，
2.
【试题解析】 分析: ，又 ，且 ，
（1）通过证明 平面 ，即可得到平面
面 ，
平面 .
面 ，又 平面 ，
（2）利用割补法求四面体的体积.
平面 平面 ；
详解:
（1）证明：因为四边形 和 均为正方 底面 是菱形， ，
故 是等边三角形，则 ，
形，所以 ， .
又四边形 是正方形，则 ，
又 ， 平面 ， 平面
.所以 平面 . 由（1）知 ，又 ， 面
因为 平面 ，所以平面 平面 ， 与 相交，
. 平面
65/78. .
18-3【巩固】 【正确答案】 1、见解析 2、 【试题解析】 分析:
（1）先证明 平面 ，再利用面面垂直的判
【试题解析】 分析:
（1）根据面面垂直的性质即可证明线面垂直，进而
定定理证明平面 平面 ；
可证明线面垂直；（2）根据几何法找二面角的平面
角，求出三棱锥的高，进而可求体积.
（2）先判断出E为 中点，用等体积转化法求三
为等边三角形,点D为 中点,故 ,
棱锥 的体积.
因为平面 平面 ,其交线为 ,故
详解:
平面 ， 平面 ,故平面 平 （1） ，
在 中， ，O是 的中点，
，
面 ；
又平面 平面 ，平面 平面
，
平面 .
过D作 平面 交 于 故 是 的
平面 .
四等分点靠近 的位置，过 作 交 于
平面 ， 平面
所以 即为二面角 的平面角，
，
,
又 平面 ， 平面 平面 .
在 中, （2）如图，
，
在 中， ,
故三棱锥的体积为：
连接 ，设 与 交于点E，连接 ，
利用三角形中位线定理易得 ，
平面 平面 ， 平面
，
满足条件的E为 的中点.
18-4【巩固】 【正确答案】 （1）证明见解析；（2）
66/78∵ 平面 ，∴平面 平面 ．
取AB的中点D，连接CD，∵ ，∴
，
，
故三棱锥 的体积为 .
点睛:
立体几何解答题的基本结构：
(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；
(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要
先求距离）.如果求体积（距离），常用的方法有：
(1) 直接法；(2)等体积法；(3) 补形法；(4)向量法. 又由（1）知平面 平面 ，平面
18-5【提升】 【正确答案】 1、证明见解析 2、 平面
【试题解析】 分析: 则 平面 ，且 ．
（1）先利用线面垂直判定定理证明 平面 ，
则三棱锥 的体积为 ，
再利用面面垂直判定定理证明平面 平面
则三棱柱 的体积为6，
；
（2）先求得三棱锥 的体积，再利用三棱柱 ∵ ，∴在四边形 中，
的结构特征，进而可求得三棱锥
，
体积．
又∵四棱锥 的体积为 ，
连接 .
∴三棱锥 的体积为 ．
18-6【提升】 【正确答案】 （1）证明见解析；（2）
3.
【试题解析】 分析:
（1）先证明 平面 ，再根据平面与平面垂
直的判定定理可证平面 平面 ；
三棱柱 中， ，
（2）依题意证明 平面 ，可得
．
则 ．再证明
，
，从而可得三棱柱
则 ，则 ，∴ ，
C的体积．
详解:
又∵ ，∴ ，
（1）证明：因为 ， ，所以 为
又 ，∴ 平面 ，
67/78的中点，连接 ．
19-1【基础】 【正确答案】 1、
2、
【试题解析】 分析:
（1）由双曲线实轴长为2可得 ，再利用右焦点
由于 ， ，故 为等边三角
到 的距离为 可得 ，即可求得双曲线
形，
的方程；
所以 ．
（2）联立直线和双曲线方程容易解出 ， 两点坐
又因为 ， 平面， 平面 ，
标即可求得 的面积.
，
设双曲线 的焦距为 ，
所以 平面 ．
因为双曲线 的实轴长为2，所以 ，解得 .
又因为 平面 ，所以平面 平面
因为右焦点 到 的距离为 ，所以 ，
．
解得 或 .
（2）因为平面 平面 ，平面 平
因为 ，所以 .可得 ，
面 ， 平面 ， ．所
所以双曲线 的方程为 .
以 平面 ．
由 ，得 是等边三角形，则 设 ， ，
；
联立直线和双曲线 可得
由 是等边三角形，得 ，
，
所以 ．
即 ， 或
连接 ，由于 和 都是平行四边形，
不妨设 ， ，所以 .
所以 ， ，
所以 .
所以 ，
于是
即 的面积为
．
点睛:
19-2【基础】 【正确答案】 1、
关键点点睛：根据题意证明
是解题关键.
2、 或
68/78【试题解析】 分析: 19-3【巩固】 【正确答案】 （1）双曲线方程为x2﹣
（1）根据 ， ，以及 ， 4y2＝1，双曲线的离心率为 ；（2） ；（3）
求解即可；
（2）设直线 的方程为 与椭圆联立，利
【试题解析】 分析:
用弦长公式表示 ，根据点到直线的距离公式求
（1）根据题意及拋物线的定义可得 p=8，进而得到
解高，即可根据三角形面积公式进行求解. 拋物线的标准方程，再根据双曲线的一条渐近线与直
线AP垂直可求得双曲线方程；
由题意得： ， ， ，
（2）利用焦点三角形的面积公式可得 ，再利
解得： ， ， ， 用等面积法即可求得M点到x轴的距离；
（3）求得直线的方程.利用弦长公式直接求解即可.
详解:
双曲线 的标准方程为 ．
（1）依题意，抛物线的准线方程为x＝﹣4，故p＝
8，则抛物线方程为y2＝16x，
由题意可知，直线 的斜率一定存在，
由点P（1，y）（y＞0）在抛物线上，故y＝4，即
0 0 0
设直线 的方程为 ， ， ， ， P（1，4）.
， 又双曲线 的左顶点为A（﹣1，0），故
联立方程组 ，消去 整理得 ，
， 由双曲线的一条渐近线与直线AP垂直可知， ，
即 ，故双曲线方程为x2﹣4y2＝1，
则 ，
所以双曲线的离心率为 ；
（2）∵ ，∴MF ⊥MF ，即∠FMF ＝
1 2 1 2
90°，
由双曲线中焦点三角形的面积公式有，
原点到直线 的距离为 ， ，
所以
又 ，解得
，
，
解得 或 ，故 或 ，
∴M点到x轴的距离为 ；
故直线方程为 或
69/78（3）易知， ，则直线l的方程为
，与双曲线方程联立可得，
，
设D（x，y），E（x，y），则
1 1 2 2
， 则由双曲线与直线 的对称性易知：四边形 为
平行四边形，
由弦长公式有， ＝
又 ， ，
．
根据平行四边形的性质可知：△ 的面积等于△
的面积，
19-4【巩固】 【正确答案】 1、
设 ， ， ，
2、
则根据双曲线的几何性质及余弦定理可得：
【试题解析】 分析:
，两式结合化简可得
（1）根据双曲线的几何性质，方程思想即可求解；
（2）连接 ， ，则由双曲线与直线 的对称性
，
易知：四边形 为平行四边形，从而得△
的面积等于△ 的面积，再推到出“焦点三角形
△ 的面积 ，
“的面积公式，从而根据公式即可求解．
双曲线的离心率 ，虚轴长为4，
由（1）知 ，又 ，
，解得 ， ， ， △ 的面积 ，
△ 的面积为 ．
双曲线的标准方程为 ；
19-5【提升】 【正确答案】 （1） ； （2）
如图，连接 ， ，
；（3） ．
【试题解析】 分析:
（ 1 ） 由 ， 知
70/78方形，所以 ．
， 由
因为 ，所以 ，所以
及圆的性质，知四边形 是正方形，所以
．由此能求出双曲线离心率 的取值范围
．
（2）因为 ，所以以
故双曲线离心率 的取值范围为 ．
点 为 圆 心 ， 为 半 径 的 圆 的 方 程 为
， 联 立 方 程 组
（2）因为 ，
所以以点 为圆心， 为半径的圆 的方程为
，得直线AB的方程
．
（3）直线 的方程为 ，所以点 到
因为圆 与圆 两圆的公共弦所在的直线即为直线
直 线 的 距 离 为 ， 由 ，
所以联立方程组 ，
，
消去 ， ，即得直线 的方程为 ．
知 的面积 ，
（3）由（2）知，直线 的方程为 ，
因 为 点 在 双 曲 线 上 ， 所 以
所以点 到直线 的距离为 ．
． 设
因为
， 所 ，
所以三角形 的面积
以 ． 再 由 导 数 能 够 求 出
．
．
：
详解:
因为点 在双曲线 上，
（ 1 ） 因 为 ， 所 以 ， 所 以
所以 ，即 ．
．
设 ，
由 及圆的性质，可知四边形 是正
71/78则
所以 ．
因为一条渐近线方程为 ，所以 ，
因为 ，
又 ，解得 ， ，
所以当 时， ，当 时， ．
所以双曲线 的标准方程为 ，
所以 在 上单调递增，在 上单
离心率为 ．
调递减．当 ，即 时，
设直线 ： ， ， ，
，当 ，即
时， ． 联立
综上可知，当 时， ；当
则 ，
所以 ，
时， ．
点睛:
由
本题主要考查圆、双曲线、直线方程和不等式等基础
知识，考查运算求解能力和推理论证能力，以及数形
结合、分类讨论思想和创新意识等．解决圆锥曲线中
的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是
用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非
常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，
然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、 解得 （舍）或 ，
三角函数有界法、函数单调性法（导数）以及均值不
等式法求解. 所以 ，
19-6【提升】 【正确答案】 1、 ； ： ，令 ，得 ，
2、
【试题解析】 分析:
（1）依题意用点到直线的距离公式列方程可得 c， 所以 的面积为
然后由渐近线斜率和几何量关系列方程组可解；
（2）设直线方程联立双曲线方程消元，利用韦达定 ，
理表示出直线 ， 的斜率可得直线 的方程，数
形结合可解.
由题意知焦点 到渐近线 的距离为
，
72/78利用列联表中的数据得，
，
根据小概率值 的独立性检验，没有充分证据
推断 不成立，因此可认为 成立，即认为实验
鼠体征状况与GRPE蛋白干预无关．
20-2【基础】 【正确答案】 1、列联表见解析，有
20-1【基础】 【正确答案】 1、分布列见解析；期望 99%的把握认为药物的有效时间与服用的药物类型有
关；
为
2、分布列见解析， .
2、认为实验鼠体征状况与GRPE蛋白干预无关
【试题解析】 分析:
【试题解析】 分析: （1）根据表中数据补充2×2列联表，再根据公式计
（1）先求出X的可能取值，逐个求解概率可得分布
算 的值与临界值 比较即可判断；
列，利用期望公式可求期望；
（2）根据提供的数据列出2×2列联表，计算卡方，
（2）先确定 的可能取值，再求对应的概率，列出
根据临界值进行判断.
分布列，然后求出其期望即可.
由题意得，16只实验鼠中，有7只体征状况严重.
根据表中数据可得2×2列联表如下：
X的可能取值有0，1，2，3，
有效时间超过 有效时间不超过 合
计
对照
5 15 20
组
.
实验
15 5 20
组
所以X的分布列为
合计 20 20 40
X 0 1 2 3
则 ，
P
所以有99%的把握认为药物的有效时间与服用的药物
所以X的数学期望
类型有关.
． 由2×2列联表可知8组中有效时间超过 的有
由题意得，根据所给数据，得到 列联表： 组，有效时间不超过 的有 组，
GRPE蛋白 非GRPE蛋白 合 则 的可能取值为 ，
干预 干预 计
体征状况严
2 5 7 ，
重
体征状况不
6 3 9
严重
，
合计 8 8 16
，
零假设 ：实验鼠体征状况与GRPE蛋白干预没有
关系． 所以 的分布列为：
73/78所以数学期望 .
20-3【巩固】 【正确答案】 （1）列联表见解析，有；
所以 的分布列为：
（2）分布列见解析，84.
【试题解析】 分析:
（1）根据频数分布表中的数据填写列联表，利用公
45 90 135 180
式 求解 ，再根据临
界值表得出结论，
（2）由题意知， 可能得取值为45、90、135、
所以 的数学期望为：
180，且线下观看的 周岁范围内的市民占 ，
周岁范围的市民占 ，从而求出对应的概率， 20-4【巩固】 【正确答案】 1、 列联表见解析，没
有
列出分布列，求出数学期望即可
详解: 2、分布列见解析，
解：（1）根据所给数据，可得 列联表：
【试题解析】 分析:
（1）利用条件求出喜爱打羽毛球的学生的人数，从
线上观看市 线下观看市 总
民 民 计
而得出 列联表，根据列联表求出 ，进而判断
年龄在
40 60 100 出结果；
（2）利用条件可知 的可能取值，再利用古典概率
年龄在
60 40 100 公式求出相应的概率，从而求出分布列及期望.
因为全班60人中随机抽取1人，抽到喜爱打羽毛球
总计 100 100 200
的学生的概率为 ，所以喜爱打羽毛球的学生的人数
为40，其中男生为24人，女生16人，故可得到
列联表：
由于 ，故有 的把握认为市民线上线下
喜爱 不喜爱 合计
的观看方式与年龄有关.
（2）由题意知， 可能得取值为45、90、135、 男 24 6 30
女 16 14 30
180，且线下观看的 周岁范围内的市民占 ，
合计 40 20 60
周岁范围的市民占 ，所以
又
，
所以没有99.9%的把握认为学生喜爱打羽毛球与性别
74/78有关.
解得 或 ，
用分层抽样的方法在喜爱打羽毛球的学生中抽取5人，
其中男生3人，女生2人，所以 的可能取值为0， 又 ， ，所以m的最大值为14．
1，2，
X的所有可能取值为 ，0，15，20，
， ，
甲负前2局， ；
， 表示比赛了3局，前2局甲胜1局负1局，第
3局甲负，
所以 的分布列为
；
0 1 2
表示比赛了3局，前2局甲胜1局负1局，第
3局甲胜，
；
的数学期望 .
20-5【提升】 【正确答案】 1、列联表见解析，最大值 表示甲胜前2局， ，
为14
所以X的分布列为
2、分布列见解析，
X 0 15 20
【试题解析】 分析:
P
（1）根据题意，补全列联表，求出 ，依据小概率
值 的独立性检验，可以认为是否优秀与性别
故 ．
有关联，则 ，解出 的范围，结合
20-6【提升】 【正确答案】 1、填表见解析；认为老年
， 即可求出m的最大值；
人患流感与未接种流感疫苗有关联
（2）分析得X的所有可能取值为 ，0，15，20，
2、分布列见解析；期望为
分别求出对应概率，即可得到X的分布列和数学期望．
补全的列联表如下： 【试题解析】 分析:
（1）根据题意得出 列联表，利用公式求得 的
不优秀 优秀 总计
值，结合附表，即可得出结论；
男生 100
（2）根据题意求得随机变量 的所有可能取值
女生 100
为 ，求得相应的概率，列出分布列，利用
总计 80 120 200
期望的公式求得期望值.
由题意可知， 解：由题可知，样本中接种流感疫苗的有80人，其
中患流感的有10人，未接种流感疫苗且患流感的有
， 6人，未接种流感疫苗且不患流感的有14人，
得出以下 列联表：
由题意可知， ，
未接种流感疫 接种流感疫 合
苗 苗 计
75/78（2）利用导数研究函数的单调性，结合区间端点的
不患流
14 70 84
感 函数值，比较即可得到最值；
（3）利用（1）中的单调性，结合零点的存在性定理
患流感 6 10 16
进行分析求解即可．
合计 20 80 100 详解:
解：（1）函数 ，
根据列联表中的数据，得到
则 ，所以 ， ，
，
故切点为 ，切线的斜率为1，
所以由 的把握认为老年人患流感与未接种流感
所以 在 处的切线方程为 ；
疫苗有关联.
解：由题意，随机变量 的所有可能取值为 ， （2）由（1）可知， ，
随机变量 的所有可能取值为 ，所以随机变量
令 ，解得 ，
的所有可能取值为 ，
当 时， ，则 单调递减，
则 ，
当 时， ，则 单调递增，
，
又 ， ， ，
故 在 上的最大值为 和最小值为 ；
，
（3）由（2）可知，函数 在 上单调递减，
，
在 上单调递增，
，
因为 ，
所以随机变量 的分布列为
又当 时， ， ，即 ，
0 1 2 3 4
所以 ，
故函数 的零点个数为1个．
所以
21-2【基础】 【正确答案】 1、
．
2、
21-1【基础】 【正确答案】 （1） ；（2）最
3、只有一个零点，理由见解析
大值为 和最小值为 ；（3）1个 【试题解析】 分析:
（1）求导，求得切线斜率，再由点斜式得解；
【试题解析】 分析:
（2）判断函数的单调性，进而可得最小值；
（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，求出切
点坐标，由点斜式即可得到切线方程； （3）结合零点存在定理和 单调性，即可得出结
76/78论． 【试题解析】 分析:
函数的定义域为 ， ， （1）当 时，求出函数 的导数，再利用导
数的几何意义直接求出切线方程作答.
则 ，又 ，
（2）求出函数 的导数，构造函数 ，
由点斜式可得，所求切线方程为 ，即
再探讨其性质，利用直线与曲线有两个公共点求解作
；
答.
令 ，解得 ；令 ，解得
当 时，函数 定义域为
，
，求导得： ，
所以函数 在 上单调递减，在 上 则 ，而 ，则有 ，即
，
单调递增，
所以所求切线方程为： ．
所以 ；
函数 定义域为 ，求导
， ，则 ，
得： ，
令 ，解得 ；令 ，解得
而方程 ，则 有两个根
，
即直线 与曲线 有两个公共点，
所以函数 在 上单调递减，在 上单
调递增，
令 ， ，则 ，当
当 时， ，则 在
时， ，当 时， ，
上无零点，
即函数 在 上单调递增，在 上单
在 上 单调递增， ， 调递减， ，
， 因为 ，且当 时， ，在同一坐标
系内作出直线 及函数 的图象，如图，
则 在 只有一个零点，
综上 在定义域 只有一个零点．
21-3【巩固】 【正确答案】 1、 ；
观察图象得，直线 与曲线 有两个公共
2、 .
77/78点时， ， ∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ，
所以a的取值范围是 ．
21-4【巩固】 【正确答案】 （1） （2）
∴ 与 的图象在 上有两个交
【试题解析】 分析:
点时：
（1）求出 ， ，利用导数的几何意义
以及直线的点斜式方程即可求解.
综上所述：实数 的取值范围位 .
（2）根据题意可得 在 上有两个解，
点睛:
本题考查了求曲线上一点的切线方程，考查了函数的
转化为 与 的图象在 上有两 零点个数求参数的取值范围以及导数在研究函数的单
调性、最值中的应用，考查了转化与化归的思想，属
于难题.
个交点，令 ， ，求出函数
21-5【提升】 【正确答案】 1、 ；
的值域，从而可求解.
2、 .
详解: 【试题解析】 分析:
解：（1）当 时， ，
（1）由题可得函数 ，进而可得
，
，即得；
∴ ， ，
∴ 在 处的切线方程为
（2）利用导数的几何意义可得 在 处切
（2） 在 线l： ，结合条件可得
上有两个零点，
， ，即得.
∴ 在 上有两个解，
∵ ，
即： 与 的图象在 上有两个
由 可得 ，
交点，
令 ， ，则 ∴当 时， ，当 时，
∵ 为增函数，又∵ ，
∴由 得： ，由 得： ，
78/78的单调性求函数的最大值 ，再利
∴ 在 单调递减，在 单调递增，
用导数求函数的最小值；
（3）首先利用导数求函数的单调性和最大值，再结
合零点存在性定理，即可求解函数的零点个数.
所以 ，当 时， ，当
， ， ，
时， ，
所以函数 在 处的切线方程是
∴由题意可知， 是 的唯一零点，由
；
， ， ，
解得： ； 当 时， ，所以函数 在 单调
递减，函数没有最大值，故舍去；
由 可得 ，
当 时， ，得
∴ 在 处切线l： ，
，
整理得：l： ，
当 时， ，函数单调递增，
设该切线与 相切于 ，又 ，
当 时， ，函数单调递减，
则l： ， 所以当 时，函数取得最大值
，
整理得：l： ，
，得 ，
∴ ， 当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
∴ ，
所以当 时，函数 取得最小值， .
又由题知： ，
当 时， ，
∴ ，
∴ 即为所求．
，得 ，
21-6【提升】 【正确答案】 1、
当 时， ，函数单调递增，当
2、 取得最小值
3、2个
时， ，函数单调递减，当
【试题解析】 分析:
（1）根据导数的几何意义，即可求得切线方程；
（2）首先利用导数判断函数的单调性，再根据函数
时，函数取得最大值，
79/78，
当 时， ，
所以 时，必存在一个零点，
当 时，
，所以
时，必存在一个零点，
综上可知，函数 零点个数是2个.
80/7881/78
