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2023 届松江区高三二模考试数学试卷
2023.04
一、填空题
1. 已知集合 ， ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据先解不等式求集合，再应用交集的概念进行运算即可.
【详解】因为 ， ,
所以 .
故答案为: .
2. 若复数z满足 ，则 ___________
【答案】5
【解析】
【分析】利用复数的运算法则，算出 和 ，再求模即可
【详解】
故答案为：5
3. 已知空间向量 ， ， ，若 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【详解】 ，
， ， ，
解得 ，
故答案为： .
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4. 已知随机变量X服从正态分布 ，若 ，则 ______．
【答案】0.94
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性即可求出指定区间的概率.
【详解】由正态分布的对称性得 .
故答案为：0.94.
5. 已知 ，且 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】利用同角三角函数的基本关系结合二倍角公式即可.
【详解】 ， ，
， .
,
.
故答案为： .
6. 在 的展开式中， 的系数为_______．（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】首先写出展开式的通项，再令 的幂指数为 ，即可求出 ，再代入计算可得；
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【详解】解：因为 展开式的通项为 ，令 ，解得
，所以 ，所以 的系数为 ；
故答案为：
7. 将下图所示的圆锥形容器内的液体全部倒入底面半径为 的直立的圆柱形容器内，则液面高度为
______ ．
【答案】
【解析】
【分析】先求出圆锥形容器内的液体表面的半径，再根据液体的体积不变，结合圆锥和圆柱的体积公式即
可得解.
【详解】设圆锥形容器内的液体表面的半径为 ，
则 ，解得 ，
设所求液面高度为 ，
则 ，解得 ，
所以液面高度为 ．
故答案为： .
8. 现从 名男医生和 名女医生中抽取两人加入“援沪医疗队”，用 表示事件“抽到的两名医生性别同”，
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表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】结合分类计数原理，计算出抽到的两名医生性别相同的概率，计算出抽到的两名医生都是女医生
的概率，从而结合条件概率的计算公式即可求出 .
【详解】由题意知， ， ，
所以 .
故答案为： .
9. 参考《九章算术》中“竹九节”问题，提出：一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4
节的容积共2升，下面3节的容积共3升，则第5节的容积为______升．
【答案】
【解析】
【分析】设自上而下的竹子容量依次为 ，可得 为等差数列，根据 ， ，可得数
列的通项公式及
【详解】设自上而下的竹子容量依次为 ，可得 为等差数列，
则 ，解得 ，
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故 ， ，
故答案为： .
10. 若 ，则 的最小值为_____________________
【答案】9
【解析】
【分析】化简 = ，利用基本不等式可求得其最小值.
【详解】 =
，
当 时等号成立，
所以 的最小值为 ，
故答案为 .
【点睛】本题主要考查同角三角函数之间的关系，利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最
值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定
是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立
（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.
11. 已知函数 为 上的奇函数；且 ，当 时， ，则
______．
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【答案】 ##
【解析】
【 分 析 】 首 先 证 明 得 ， 则 根 据 其 周 期 性 得 ， 再 求 出
，最后相加即可.
【详解】因为 ， 为 上的奇函数，
所以 ，所以 为周期为2的周期函数，
因为当 时, ,
则 ，
令 ,得, ,又因为 为奇函数，则 ，
所以 ，则 ，则 ，
所以 ，所以 ，
故答案 ： .
为
12. 已知点 是平面直角坐标系中关于 轴对称的两点，且 ．若存在 ，使得
与 垂直，且 ，则 的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】设 ， ，根据向量线性运算可得 ，设 ，则 ，由
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向量垂直的坐标表示可构造方程，结合二次函数最值求法可求得 ，由 可求得最
小值.
【详解】设 在直线 上，又 是平面直角坐标系中关于 轴对称的两点， ，
；
设 ， ，则 ， ，
，
不妨设 在 的左侧， ，则 ，
与 垂直， ，
即 有解， ，
，即 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量模长最值的求解问题，解题关键是能够将问题转化为求解与变量
有关的函数最值的求解问题，从而根据向量的线性运算和向量垂直的坐标表示求得 的范围，结合函数
最值求法可求得结果.
二、选择题
13. 已知直线 与直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
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C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由 ，求得 ，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由题意，直线 ，直线 ，
因为 ，可得 , ，即 ，解得 ，
所以“ ”是“ ”的必要非充分条件.
故选：B.
14. 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x（万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
支出y（万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8
根据上表可得回归直线方程 ，其中 ， ，据此估计，该社区一户收入为15万
元家庭年支出为（ ）
A. 11.4万元 B. 11.8万元 C. 12.0万元 D. 12.2万元
【答案】B
【解析】
【分析】求出 ， ，则求出 ，最后得到回归直线方程，代入 即可.
【详解】由题意得 ， ，
,则 ，
所以 ,当 时, ,
故选：B.
15. 若方程 的解集为M，则以下结论一定正确的是（ ）
（1）
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（2）
（3）
（4）
A. （1）（4） B. （2）（4）
C. （3）（4） D. （1）（3）（4）
【答案】C
【解析】
【分析】根据特殊值法可确定(1),(2)选项错误; 根据集合的基本关系可以判断(3),(4)正确.
【详解】设 , ,
, ,故(1),(2)错误;
根据集合的基本关系可以知道 , ,(3),
(4)正确.
故选 :C.
16. 已知函数 ， ，在区间 上有最大值，则实数t的取值范围是（
）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数求出函数单调性，据此知函数有极大值，根据函数 在开区间上有最大值可知，区间含极
大值点
【详解】 ，
当 或 时， ，当 时， ，
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所以函数在 ， 上递增函数，在 上递减函数，
故 时函数有极大值，且 ，
所以当函数在 上有最大值，则 且 ，
即 ，解得 .
故选：B.
三、解答题
17. 在锐角 中，内角A、B、C所对边分别 为a、b、c，且 ．
（1）求角B;
（2）求 的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理得 ，则 ，结合角 的范围即可求出角
的大小.
（2）通过三角恒等变换得 ，结合角 的范围即可得到其最值.
【小问1详解】
由 结合正弦定理可得: ，
因为 为锐角三角形，所以 ，
所以 ，
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，故 .
【小问2详解】
结合（1）的结论有:
由 ，可得: ，
当 时 , ,
即 的最大值是 .
18. 如图，在四棱锥 中，底面ABCD为平行四边形，O是AC与BD的交点， ，
， 平面ABCD， ，M是PD的中点．
（1）证明： 平面ACM
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（2）求直线AM与平面ABCD所成角的大小．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，通过中位线性质得到 ，从而根据线面平行的判定定理得到 平
面 ；
（2）取 中点 ,连接 , ，利用线面垂直的性质得 平面 ，从而将题目转化为求
的大小，再利用勾股定理求出 ，则得到 ，最后利用反三角即可表示出角的大
小.
【小问1详解】
连接 ，在平行四边形 中，
因为 为 与 的交点，
所以 为 的中点，
又 为 的中点,所以 .
因为 平面 平面 ，
所以 平面 .
【小问2详解】
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取 中点 ,连接 , ，
因为 为 的中点,所以 ,且 ,
由 平面 ，得 平面 ，
所以 是直线 与平面 所成的角.
因为底面 为平行四边形，且 ， ，
所以 ，则 ，
在Rt 中, ,所以 ,从而 ，
因为 平面 , 平面 , ，
所以在Rt 中， ， ，
所以直线 与平面 所成角大小为 .
19. 某城市响应国家号召，积极调整能源结构，推出多种价位的新能源电动汽车．根据前期市场调研，有
购买新能源车需求的约有2万人，他们的选择意向统计如下：
车型 A B C D E F
价格 9万元 12万元 18万元 24万元 30万元 40万元
占比 5% 15% 25% 35% 15% 5%
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的
（1）如果有购车需求 这些人今年都购买了新能源车，今年新能源车的销售额预计约为多少亿元？
（2）车企推出两种付款方式：
全款购车：购车时一次性付款可优惠车价的3%；
分期付款：无价格优惠，购车时先付车价的一半，余下的每半年付一次，分4次付完，每次付车价的 ．
①某位顾客现有a万元现金，欲购买价值a万元的某款车，付款后剩余的资金全部用于购买半年期的理财
产品（该理财产品半年期到期收益率为1.8%），到期后，可用资金（含理财收益）继续购买半年期的理财
产品，问：顾客选择哪一种付款方式收益更多？（计算结果精确到0.0001）
②为了激励购买理财产品，银行对采用分期付款方式的顾客，赠送价值1888元的大礼包，试问：这一措施
对哪些车型有效？（计算结果精确到0.0001）
【答案】（1） 亿元
（2）①顾客选择全款购车方式收益更多.②这一措施对购买 车型有效．
【解析】
【分析】(1) 先计算销售一辆车的价格的数学期望 ,再计算 ,即可得今年新能源车的
销售额预计;
(2) ①先计算全款购车两年后资产总额和分期付款购车两年后资产总额则为顾客选择全款购车方式收益更
多.; ②由①得 ,可得措施对购买 车型有效．
【小问1详解】
销售一辆车的价格的数学期望 为：
（万元） （亿）
所以，今年新能源车的销售额预计约为 亿元
【小问2详解】
①全款购车两年后资产总额为： （万元）.
分期付款购车两年后资产总额为：
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（万元）
因为 ，所以顾客选择全款购车方式收益更多.
②由①得： ,所以 .
所以，这一措施对购买 车型有效．
20. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ;双曲线 的左、右
焦点分别为 ，离心率为 ， ．过点 作不垂直于y轴的直线l交曲线 于点A、B，点
M为线段AB的中点，直线OM交曲线 于P、Q两点．
（1）求 、 的方程；
（2）若 ，求直线PQ的方程；
（3）求四边形APBQ面积的最小值.
【答案】（1） ，
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（2） 或
（3）2
【解析】
【分析】（1）用 表示 ，由 计算 可得方程；
（2）设直线 的方程为 ，由 ，得出纵坐标之间的关系，由韦达定理消 可求解
；
（3）由（2）可求出弦长 ，根据中点 可写出直线 的方程，与椭圆联立求出 两点坐标，计
算点 到直线 的距离，以 为底，可计算四边形 的面积，从而求出最小值.
【小问1详解】
由题意可知： ，
所以 ，
解得： ，
所以椭圆方程为 ，双曲线方程为： .
【小问2详解】
由（1）知 ，因为直线 不垂直与 轴，设直线 的方程为： ，设点
，则 ，
由 ，则 ，即 ，
联立： ，可得： ， ，
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由韦达定理可得： ，
将 代入得： 解得 ，
当 时，弦 的中点 ，此时直线 的方程为： ；
当 时，弦 的中点 ，此时直线 的方程为： .
所以直线 的方程为 或 .
【小问3详解】
设 的中点 ，由（2）可得 ，
且 ，点 ，
，直线 的方程为： ，
联立 可得： ， ，且 ，
由双曲线的对称性，不妨取点 、 ，
所以点 到直线 的距离为： ，
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点 到直线 的距离为： ，
，
所以四边形 的面积为
，因为 ，
所以当 ，即 时，四边形 的面积取最小值2.
21. 已知 ，记 ， ， ．
（1）试将 、 、 中的一个函数表示为另外两个函数复合而成的复合函数；
（2）借助（1）的结果，求函数 的导函数和最小值；
（3）记 ，a是实常数，函数 的导函数是 ．已知函数
有三个不相同的零点 ．求证： ．
【答案】（1）
（2） ，最小值为
（3）见解析.
【解析】
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【分析】（1）直接计算 即可；
（2）利用复合函数求导法则得 ，再结合导数和函数最值的关系即可得到答案；
（3）首先求出 ，求出其单调性，假设 ，再利用函数
的单调性即可证明.
【小问1详解】
【小问2详解】
利用复合函数的求导法则可求得 ,
令 ,可求得:
令 ， ， ，所以 ，
解得 ，当 时， ，此时 单调递减，
当 时， ，此时 单调递增，
所以函数 的最小值为 .
【小问3详解】
由 ，
，
令 ，解得 ，此时 单调递增，
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令 ，解得 ，此时 单调递减，
因为函数 有三个不相同的零点 .
而 的零点为1,不妨设 ,则 的零点为 .
不妨设 ,则 .
令 ，
则 .
令 ,则 ,
所以当 时, ，所以当 时, 是严格单调递增的,
所以当 时, ,
所以当 时, ,
则 在 上单调递增，
所以在 上， ,所以 .
又 ,所以 ,
即 .
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又函数 在 上单调递增,所以 ，
即 .
综上, .
【点睛】关键点睛：本题第三问的关键需要求出函数 的单调性，再得到其导函数的零点，从而得到
三个零点中的一个具体值，再假设 ，则题目转化为证明 ，再次构造函数
，利用导函数得到其单调性，从而证明不等式成立.
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