文档内容
松江区 2023 学年度第一学期期末质量监控试卷初三数学
（满分150分，完卷时间100分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；没有特殊说明，几何题均视为在同一个平面内研究问题．
2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明．或
计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有
一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1. 下列函数中，属于二次函数的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如 、 、 是
常数， 的函数，叫做二次函数．
根据二次函数的定义选择正确的选项即可．
【详解】A、 是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B、 符合二次函数的定义，是二次函数，故此选项符合题意；
C、 是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D、 不是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：B．
2. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A= ，BC=m，那么AB的长为（ ）
A. ； B. ； C. ； D. ．【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：解直角三角形得出sinA= ，代入求出即可．
在Rt△ACB中，BC=m，∠A=α，
∴sinA= ，
∴AB=
故选C．
考点：锐角三角函数的定义．
3. 关于二次函数 的图像，下列说法正确的是（）
A. 开口向上 B. 经过原点
C. 对称轴右侧的部分是下降的 D. 顶点坐标是
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系；
由抛物线解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
【详解】 ，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为 ，
∴ 时， 随 增大而减小，对称轴右侧的部分是下降的，
把 代入 得
∴抛物线经过 ，
故选：C．
4. 下列条件中，不能判定 的是（）A. ， ； B. ， C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平面向量的平行，熟记平面向量平行的定义是解题的关键．
根据平面向量的相关定义逐一判断即可．
【详解】解：∵ ，
，
由 不能得到 ，
故选：D．
5. 如图，在 中， ，斜边 上的高 ，矩形 的边 在边 上，
顶点G、F分别在边 、 上，如果 正好经过 的重心，那么 的积等于（ ）
A. 4 B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，设 的重心是 ，连接，延长 交 于 ，由三角形的重心的性质可得 ，再结合矩形的性质和平行线分线
段成比例及余角的性质证明 ，即可推出 ．
【详解】解：设 的重心是 ，连接 ，延长 交 于 ，
，
四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
， ， ， ，
，
．
故选：B．
A B C D
6. 某同学对“两个相似的四边形”进行探究．四边形 和四边形 1 1 1 1是相似的图形，点A与点
、点B与点 、点C与点 、点D与点 分别是对应顶点，已知 ．该同学得到以下两个结
A B C D A B C D
论：①四边形 和四边形 1 1 1 1的面积比等于 ；②四边形 和四边形 1 1 1 1的两条对
角线的和之比等于k．对于结论①和②，下列说法正确的是（）
A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①和②都错误 D. ①和②都正确
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查 是的相似多边形的性质，熟记相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比
的平方是解题的关键；
根据相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方解答即可．
【详解】∵四边形 和四边形A B C D 是相似的图形， ，
1 1 1 1
A B C D
∴四边形 和四边形 1 1 1 1是相似比为 ，
A B C D A B C D
∴四边形 和四边形 1 1 1 1的面积比等于 ，四边形 和四边形 1 1 1 1的两条对角线之
比等于 ，
A B C D
∴四边形 和四边形 1 1 1 1的两条对角线的和之比等于 ，则①和②都正确，
故选：D．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 若 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
利用比例的性质进行计算，即可解答．
【详解】解：∵ ，
故答案为： ．
8. 、 两地的实际距离 米，画在地图上的距离为5厘米，则地图上的距离与实际距离的比是
________．
【答案】
【解析】
【分析】根据比例尺=图上距离:实际距离，直接求出即可．
【详解】解：250米 厘米，
∴比例尺 ；
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了比例尺，掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一．
9. 某印刷厂一月份印书50万册，如果从二月份起，每月印书量的增长率都为x，那么三月份的印书量y
（万册）与x的函数解析式是______．【答案】 或
【解析】
【详解】因为一月份印书50万册，每月印书量的增长率都为x，所以二月份印书
三月份印书
【点睛】一元二次方程的实际应用是常考内容，解题关键是要读懂题目的信息，根据题目给出的条件，找
出合适的等量关系，列出方程再求解，属于中档题．
10. 已知点P是线段 的黄金分割点，且 ，如果 ，那么 __________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割点的应用，把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部
分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割；根据黄金分割点的定义列方程是解题的关键．
【详解】解：设 长为x，则 长为 ，
列方程得： ，
解得： ， （舍去）
∴ 长为 ，
故答案 ：为．
11. 在直角坐标平面中，将抛物线 ，先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么平
移后的抛物线表达式是__________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查的是二次函数图象的平移，根据二次函数的平移规律：括号内左加右减，括号外上加下减求解即可．
【详解】解：将抛物线 ，先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么平移后的抛
物线表达式是 ，
故答案为： ．
12. 如果一个二次函数图像的顶点在x轴上，且在y轴的右侧部分是上升的．请写出一个符合条件的函数
解析式：__________．
【答案】 ，答案不唯一
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是会利用函数的性质确定解析式的各项系数．
由于二次函数的顶点在x轴上，且在y轴的右侧部分是上升的，由此可以确定二次函数的二次项系数为正
数，由此可以确定函数解析式不唯一．
【详解】解：∵二次函数的顶点在x轴上，且在y轴的右侧部分是上升的，
∴这个二次函数的二次项系数为正数，
∴符合条件的函数有 ，答案不唯一．
答案为： ，答案不唯一．
13. 如图，一辆小车沿着坡度为 的斜坡从A点向上行驶了50米，到达B点，那么此时该小车上升的
高度为__________米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度 和水平宽度 的
比是解题的关键．
设小车上升的高度为 米，根据坡度的概念得到 米，再根据勾股定理计算，得到答案．【详解】设小车上升的高度为 米，斜坡的坡度为 ，
∴ 米，
由勾股定理得： ，
解得： (负值舍去)，
∴小车上升的高度为 米，
故答案为： ．
14. 如图，梯形 中， ，且 ，若 ， ．请用 ， 来表示
__________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了平面向量，根据平行四边形法则得到 ，即可用 、 表示 ．
【详解】∵ ， ， ，
∴ ，∴ ，
故答案为： ．
15. 如图，已知直线 、 、 分别交直线m于点A、B、C，交直线n于点D、E、F，且 ，
， ，那么 __________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
先由 ，运用平行线分线段成比例的内容可得 ，再将
代入求出 ，即可求解．
【详解】解：∵ ，
解得 ．
故答案为：2．
16. 如图，在梯形 中， ，点E是 的中点， 、 的延长线交于点F，如果
，那么 __________．【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.过点
作 的垂线交 于点 ，交 于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，可得四边
形 为矩形，则 ，由题意可得 ，证明 ，则
，即 ，将 化简为 ，即可得
出答案.
【详解】过点 作 的垂线交 于点 ，交 于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点
，
，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
，
∵点 是 的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为： ．
17. 在 中， ，点D、E分别是边 、 的中点， 与 相交于点O，如果
是等边三角形，那么 __________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质以及特殊角的三角函数值，掌握相似
三角形的判定与性质是解答本题的关键．
过点 作 于点 ， 过点 作 于点 ，连接 ，根据 是等边三角形，得
出 ， ，设 ，根据点D、E分别是
边 、 的中点，得出 ， ， ，证明 ，得出， ，根据 ，得出 ， ，证明
从而得出 ，
再求出 ，即可求解；
【详解】过点 作 于点 ， 过点 作 于点 ，连接 ，
∵ 是等边三角形，
， ，
设 ，
点D、E分别是边 、 的中点，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
，
故答案为：
18. 如图，在矩形 中， ， ，将边 绕点A逆时针旋转，点B落在 处，连接
、 ，若 ，则 __________．【答案】
【解析】
【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，矩形的性质，旋转的性质，解答该题的关
键是掌握以上知识点；
过A作 ，设 证明 ，根据相似三角形的性质得出 ，再
运用勾股定理列方程解答即可；
【详解】将边 绕点A逆时针旋转，如图所示，过A作 ，
则 ，
设
，
，
，
，
，
，
，在 中， ，
（负值舍去），
故答案为： ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19. 二次函数 的图像上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表．
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 ? 3 …
（1）由表格信息，求出该二次函数解析式，并写出该二次函数图像的顶点D的坐标；
（2）如果该二次函数图像与y轴交于点A，点 是图像上一点，求 的面积．
【答案】（1） ，顶点D的坐标为
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的解析式，二次函数的图像和性质，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）运用待定系数法求出函数解析式，并配方找到顶点坐标即可；（2）求出直线 的解析式，过点D作 轴交 于点E，得到点E的坐标，根据
计算即可．
【小问1详解】
解：把 、 、 代入得：
，解得 ，
∴函数关系式为： ，
，
∴顶点D的坐标为 ；
【小问2详解】
解：当 时， ，
∴点P的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，把点 和 代入得：
，解得： ，
∴解析式为 ，
过点D作 轴交 于点E，
当 时， ，
∴点E的坐标为 ，
∴ ，∴ ．
20. 如图，在 中，点D、E、F分别在边 、 、 上，连接 、 ．已知 ，
， ， ．
（1）求 的值；
（2）若 的面积为16，求四边形 的面积．
【答案】（1）
（2）6
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质：
（1）根据平行线分线段成比例求解即可；
（2）证明 ， ，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求得
和 的面积，再根据四边形 的面积为 求解即可．
【小问1详解】解： ， ，
， ，
，
又 ， ，
；
【小问2详解】
解： ， ，
，
，
，
与 的相似比是： ，
，
的面积为16，
，
，
，
由（1）知 ，
∴ ，
，，
四边形 的面积为 ．
21. 已知：如图， 中， ， ， ， 于D．
（1）求 的长；
（2）如果点E是边 的中点，求 大小．
【答案】（1）13 （2）
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形性质和判定，三角形中位线定理，勾股定理，关键是由锐角
的正弦求出 长，证明 是 的中位线．
（1）由锐角的正弦求出 长，由勾股定理求出 长，得到 长，由勾股定理即可求出 长．
（2）过 作 ，由相似三角形性质，推出 ，得到 是 的中位
线，因此 ，求出 ，即可求出 ．
【小问1详解】
解：∵【小问2详解】
解：过 作 于 ，
，
点E是边 的中点，
∴ 是 的中位线，22. 如图，A处有一垂直于地面的标杆 ，热气球沿着与 的夹角为 的方向升空，到达B处，这
时在A处的正东方向200米的C处测得B的仰角为 （ 、B、C在同一平面内）．求A、B之间的距
离．（结果精确到1米， ）
【答案】 、 之间的距离约为141米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助
线是解题的关键；
过点 作 ，垂足为 ，根据题意可得： 米， ，从而利用三
角形内角和定理可得 ，然后在 中，利用含30度角的直角三角形的性质可得
米，再在 中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：过点 作 ，垂足为 ，
由题意得： 米， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ (米)，在 中， (米)，
∴ 、 之间的距离约为141米．
23. 已知：如图，在 中，点D、E分别在边 、 上， ， ．求证：
（1） ；
（2）
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是
解题的关键．
（1）利用三角形的内角和定理的推论和相似三角形的判定定理解答即可；
（2）利用三角形的内角和定理的推论和相似三角形的判定定理得到 ，利用相似三角形的
性质得到 ，再证明 ，利用相似三角形的性质和等量代换的性质解答即
可．
【小问1详解】
证明：∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ；
【小问2详解】
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
24. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的图像经过原点 、点 ，此
抛物线的对称轴与x轴交于点C，顶点为B．（1）求抛物线的对称轴；
（2）如果该抛物线与x轴负半轴的交点为D，且 的正切值为2，求a的值；
（3）将这条抛物线平移，平移后，原抛物线上的点A、B分别对应新抛物线上的点E、P．联结 ，如果
点P在y轴上， 轴，且 ，求新抛物线的表达式．
【答案】（1）直线
（2）
（3）
【解析】
【分析】该题主要考查了二次函数综合，涉及知识点主要有解直角三角形，二次函数的图象和性质，全等
三角形的性质和判断，函数平移等知识点，解题的关键是掌握以上知识点；
（1）将 、 代入解析式再求解即可；
（2）过A作 轴，根据 求解即可；
（3）由（1）算出 ， ，再根据点P在y轴上， 轴，作 轴于K ，得出
证明 得出 ，又结合平移得出
，在 中， 由 列方程解出，即可求解；
【小问1详解】
过
，
又过 ，
∴
，
∴ 的对称轴为直线 ，
【
小问2详解】
由（1）知 ，
，
∴
，
过A作 轴，
，，
【小问3详解】
由（1）得， ，
∴ ，对称轴为直线 ，
故 ，
点P在y轴上， 轴，
作 轴于K ，
设 交y轴于L，
，∴
又
又 ，
，
∴ ，
又由平移知 ，
∴ ，
∴ ，
又在 中，
，
∴
，
或 ，
，，
∴二次函数解析式为 ，
∴ 为 ，
∴新抛物线解析式为
25. 在 中， ．点D是射线 上一点（不与A、C重合），点F在线段 上，直线
交直线 于点E， ．
（1）如图，如果点D在 的延长线上
①求证： ；
②联结 ，如果 ， ，求 的长．
（2）如果 ，求： 的值．
【答案】（1）①见详解；②
（2） 的值为1
【解析】
【分析】此题重点考查相似三角形 的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、等
腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明 是解题的关键．（1）①由 ，得 ，因为 ，所以 ，得
，由 ，得 ，所以 ，则
，即可证明 ；
②由 ，得 ，则 ，可证明 ，得 ，
所以 ，而 ，得 ，所以 ，则
，求得 ，于是得 ，求得 ；
（2）分两种情况，一是当点 在 的延长线上，联结 ，作 交 的延长线于点 ，可证明
，得 ，再证明 ，得 ，则 ；二是当点
在线段 上，可证明 与 不相似，则不存在 的情况．
【小问1详解】
证明：如图1，∵ ，
，
，
，，
②如图 ，解得 或 （舍去），
【小问2详解】
如图2，点 在 的延长线上，
联结 ，作 交 的延长线于点 ，则
∴ ，
∵ ，
在 和 中，，
在 和 中，
如图3，点 在线段 上，
与 不相似，不存在 的情况，
的
综上所述， 值为1．
