文档内容
上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
浦东新区 2022 学年度第二学期期中教学质量检测
高三数学试卷
考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；
2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分 ．
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接
填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1. 已知集合 ， ，则 _____________．
【答案】
【解析】
【分析】解一元二次不等式得到 ，从而求出交集.
【详解】解不等式得 ，故 .
故答案为：
2. 若复数z满足 （ 是虚数单位），则复数 _____________．
【答案】 ．
【解析】
【分析】由复数的乘法和除法运算化简即可得出答案.
【详解】由 可得 .
故答案为： .
3. 若圆柱的高为10，底面积为 ，则这个圆柱的侧面积为_____________．（结果保留 ）
【答案】
【解析】
第 1 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
【分析】求出圆柱的底面半径，从而得到侧面积.
【详解】设圆柱的底面半径为 ，则 ，解得 ，
故这个圆柱的侧面积为 .
故答案为：
4. 的二项展开式中 项的系数为_____________．
【答案】270
【解析】
【分析】利用 的展开式的通项公式，求出 项的系数.
【详解】 的展开式的通项公式为 ，
令 得 ，
故 ，故 的二项展开式中 项的系数为270.
故答案为：270
5. 设随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 _____________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】由正态分布曲线的对称性进行求解.
【详解】 服从正态分布 ，其正态分布曲线关于 轴对称，
由对称性可知 .
故答案为：0.1
6. 双曲线 的右焦点F到其一条渐近线的距离为_____________．
【答案】2
【解析】
【分析】求出右焦点和渐近线方程，由点到直线距离公式求出答案.
第 2 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
【详解】 的右焦点为 ，渐近线方程为 ，
不妨取 ，则右焦点F到其一条渐近线的距离为 .
故答案为：2
7. 投掷一颗骰子，记事件 ， ，则 _____________．
【答案】 ##0.5
【解析】
【分析】先计算出 ，利用求条件概率的公式求出答案.
【详解】投掷一颗骰子，出现的点数共有6种情况，
因 为，故 ，其中 ，
故 .
故答案为：
8. 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别记为 a、b、c，若 ，则
________．
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理得到 ，求出正弦，利用二倍角公式求出答案.
【详解】 ，由正弦定理得
，
第 3 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
因为 ，所以 ，故 ，
由于 ，故 ，
则 .
故答案为：
9. 函数 在区间 上的最小值为_____________．
【答案】 ．
【解析】
【分析】对函数变形后，利用基本不等式求出最小值.
【详解】 ，
因为 ，所以 ，故 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故答案为：
10. 已知 ，函数 在区间 上有唯一的最小值-2，则 的取值范围为
______________．
【答案】 ．
【解析】
第 4 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
【分析】先用辅助角公式得到 ，结合 得到 ，求出
，得到答案.
【详解】 ，
因为 ， ，所以 ，
因为函数 在 上有唯一的最小值-2，
所以 ，解得 ，
故 的取值范围是 .
故答案为：
11. 已知边长为2的菱形 中， ，P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且 ，则
的最大值是_____________．
【答案】 ##0.25
【解析】
【分析】画出图形，求出内切圆半径，设出 ，表达出 ，结合
求出最值.
第 5 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
【详解】如图， ，故菱形内切圆半径为点 到 的距离，
故内切圆半径 ，
由对称性可知， 关于 轴对称，设 ， ，
则 ， ，
其中 ，故
，
当 时， 取得最大值，最大值为 .
故答案为：
12. 已知 ，设 ， ，其中k是整数． 若对一切 ，
都是区间 上的严格增函数．则 的取值范围是 __________ ．
【答案】 ．
【解析】
第 6 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
【分析】对 二次求导，得到 的凹凸性，有 的几何意义是点
和点 连线的斜率，因此当 时，满足要求，当 时，需使点
都在 处的切线上或切线上方即可，求出曲线在 处的切线方程，得到
，整理变形，换元后画出 及 的图象，数形结合得
到 的取值范围.
【详解】 ，
令 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
令 得 或 ，令 得， ，
故 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ， ，其中 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
第 7 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
且 在 和 内下凹，在 内上凸，
的几何意义是点 和点 连线的斜率，
当 在 内下凹时，可满足 都是区间 上严格递增，
因此当 时， 严格递增，
而当 时，唯一可能使 不严格递增的区间可能在 ，
曲线 须在直线 下方，曲线 须在直线 上方，
故需使点 都在 处的切线上或切线上方即可，
从图象可知，只需 在 处的切线上或切线上方即可，
， ，
故曲线在 处的切线方程为 ，
令 ，化简得 ，
第 8 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
，因此 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
其中 ，画出 及 的图象，如下：
由图可知， ，即
故答案为：
【点睛】方法点睛：若函数在区间 上有定义，若 ，则称 为在区间 上的凸函数，反之
则称 为在区间 上的凹函数，
其性质为：若 为在区间 上的凸函数，则 ，则
，反之，
.
二、选择题（本大题满分 18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在
答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选
第 9 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
对得5分，否则一律得零分．
13. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）．
A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件；
C. 充要条件； D. 既不充分也不必要条件．
【答案】B
【解析】
【分析】解出不等式的解集，判断“ ”和“ ”之间的逻辑推理关系，即得答案.
【详解】解 ，当 时，即 ，则 ，此时解集为 ，
当 时，即 ，则 ，此时解集为 ，
当 时，即 ，则 ，此时解集为 ，
故“ ”成立时，等价于 ；
当“ ”成立时，等价于 ，
故 成立时，不一定推出 成立，反之成立，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选：B
14. 某种产品的广告支出 与销售额 （单位：万元）之间有下表关系， 与 的线性回归方程为
，当广告支出6万元时，随机误差的效应即离差（真实值减去预报值）为（ ）．
2 4 5 6 8
30 40 60 70 80
A. 1.6 B. 8.4 C. 11.6 D. 7.4
【答案】A
第 10 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
【解析】
【分析】代入 ，得到 ，从而得到随机误差的效应即离差.
【详解】当 时， ，故随机误差的效应即离差为 .
故选：A
15. 在空间中，下列命题为真命题的是（ ）．
A. 若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；
B. 若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直；
C. 若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线与另外一个平面垂直；
D. 若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．
【答案】D
【解析】
【分析】ABC均可举出反例，D可利用线面平行的性质及线面垂直的性质进行证明.
【详解】A选项，若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线异面，平行或相交，
如图1，直线 ⊥ ， ⊥ ，但 与 异面，故A错误；
B选项，如图2， ， ，则 ，
故两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面不一定垂直，B错误；
第 11 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
C选项，如图3，平面 与平面 垂直，交线为 ，
则过平面内 一点 的直线m垂直于交线 ，但m与另外一个平面 平行，C错误；
选项D，如图4，直线 ，直线 ⊥ ，则 ，理由如下：
因为 ， ， ，所以 ，
因为 ⊥ ， ，所以 ⊥ ，故 ，证毕.
若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直，D正确
第 12 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
故选：D
16. 已知函数 ，其导函数为 ，有以下两个命题：
①若 为偶函数，则 为奇函数；
②若 为周期函数，则 也为周期函数．
那么（ ）．
A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题
C. ①、②都是真命题 D. ①、②都是假命题
【答案】D
【解析】
【分析】取特殊函数，判断①、②的真假即可得解.
【详解】对①，取非奇函数 ，则 为偶函数，故①为假命题；
对②，取函数 ，则函数不是周期函数，但 是周期函数，故②为假命题.
故选：D
三、解答题（本大题满分 76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规
定区域内写出必要的步骤．
17. 已知数列 是首项为9，公比为 的等比数列．
（1）求 的值；
（2）设数列 的前 项和为 ，求 的最大值，并指出 取最大值时 的取值．
第 13 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
【答案】（1）
（2）当 2或3时， 取得最大值3
【解析】
【分析】（1）求出等比数列 的通项公式，由等比数列的前 项和求解即可；
（2）记 ，由（1）知 ，由等差数列的前 项和求出 ，由二次函数的性质即可求出
答案.
【小问1详解】
由题 ，则 ，
【
小问2详解】
记 ，由（1）知 ，
所以 ，
，
当 2或3时， 取得最大值3．
18. 如图，三角形 与梯形 所在的平面互相垂直， ， ， ，
， ， 、 分别为 、 的中点．
第 14 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件及三角形的中位线定理，利用平行四边的判定及性质，结合线面平行的判定
定理即可求解；
（2）根据已知条件、面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理，建立空间直角坐标系，求出相关点的
坐标，求出平面 和平面 的法向量，利用向量的夹角公式，结合二面角的平面角的定义及向量夹
角的关系即可求解.
【小问1详解】
连接 ，
因为 、 分别为 、 的中点，
所以 且 ，
又因为 ，且 ，
所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
【小问2详解】
因为三角形 与梯形 所在的平面互相垂直， ，
第 15 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
又平面 平面 , 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以 ，
所以以 为坐标原点， 建立空间直角坐标系 ，如图所示
则 ， ， , ．
所以 ， ，
由题意知，平面 的法向量 ，
设平面 的法向量 ，则
，即 ，
令 ，则 ，所以 ，
设平面 与平面 所成锐二面角为 ，则
，
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
第 16 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
19. 为了庆祝党的二十大顺利召开，某学校特举办主题为“重温光辉历史 展现坚定信心”的百科知识小测
试比赛．比赛分抢答和必答两个环节，两个环节均设置10道题，其中5道人文历史题和5道地理环境题．
（1）在抢答环节，某代表队非常积极，抢到4次答题机会，求该代表队至少抢到1道地理环境题的概率；
（2）在必答环节，每个班级从5道人文历史题和5道地理环境题各选2题，各题答对与否相互独立，每个
代表队可以先选择人文历史题，也可以先选择地理环境题开始答题．若中间有一题答错就退出必答环节，
仅当第一类问题中2题均答对，才有资格开始第二类问题答题．已知答对1道人文历史题得2分，答对1
道地理环境题得3分．假设某代表队答对人文历史题的概率都是 ，答对地理环境题的概率都是 ．请你
为该代表队作出答题顺序的选择，使其得分期望值更大，并说明理由．
【答案】（1）
（2）该代表队应该先答人文历史题，再答地理环境题；理由见解析
【解析】
【分析】（1）先求出“某代表队没有抢到地理环境题”的概率，再由对立事件即可求出答案；
（2）分别求出某代表队先答人文历史题，再答地理环境题和先答地理环境题，再答人文历史题的数学期
望，比较它们大小即可得出答案.
【小问1详解】
从10道题中随机抽取4道题，所有的基本事件的个数为 ，
将“某代表队没有抢到地理环境题”的事件记为 ，事件 的对立事件 为“某代表队抢到至少1道地理
环境题”．则
，
【小问2详解】
情况一：某代表队先答人文历史题，再答地理环境题，
设该代表队必答环节的得分为 ， ，
， ， ，
第 17 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
， ，
则 的分布为：
此时得分期望
情况二：某代表队先答地理环境题，再答人文历史题，
设该代表队必答环节的得分为 ， ,
， ， ，
， ，
则 的分布为：
此时得分期望
由于 ，故为了使该代表队必答环节得分期望值更大，该代表队应该先答人文历史题，再答地理
环境题．
20. 椭圆 的方程为 ， 、 为椭圆的左右顶点， 、 为左右焦点， 为椭圆上的动点．
（1）求椭圆的离心率；
第 18 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
（2）若 为直角三角形，求 的面积；
（3）若 、 为椭圆上异于 的点，直线 、 均与圆 相切，记直线 、
的斜率分别为 、 ，是否存在位于第一象限的点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标，若不存
在，请说明理由．
【答案】（1）
（2） 或
（3）存在；
【解析】
【分析】（1）将椭圆方程化为标准方程，再根据椭圆的离心率公式即可得解；
（2）分 和 两种情况讨论，结合椭圆的定义即可得解；
（3）设 ，则直线 ，再根据已知可得 ， ，化简，
再根据韦达定理结合 求得 的关系，即可得出结论.
【小问1详解】
由椭圆 的方程为 ，得标准方程为 ，
则 ，故 ，
所以离心率 ；
【小问2详解】
第 19 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
设 ， ，
当 时， ，
此时 ，
由对称性，不妨设 ，且 在第一象限，
令 ，得 ，则 ，
此时 ，
综上， 的面积为 或 ；
【小问3详解】
设 ，则直线 ，
由已知 ，
同理： ，
因而 ， 是方程 的两根，
所以 ，得 ，
又点 为椭圆上的动点，
所以 ，则 ，
由 在第一象限得 ，所以 ，
所以存在， .
第 20 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于 或 的一元二次方程的形式；
②利用 求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系；
.
④消去变量，得到定量关系
21. 设 是坐标平面 上的一点，曲线 是函数 的图像． 若过点 恰能作曲线 的 条切线
（ ），则称 是函数 的“ 度点”．
（1）判断点 与点 是否为函数 的1度点，不需要说明理由；
（2）已知 ， ． 证明：点 是 的0度点；
（3）求函数 的全体2度点构成的集合．
【答案】（1）原点 是函数 的一个1度点，点 不是函数 的一个1度点
（2）证明见解析 （3） 或
【解析】
【分析】（1）求出曲线 在点 处的切线方程，该切线过点 时，列出方程，求出一个根，
满足要求，该切线过点 ，构造函数，解超越方程，无解，不合要求；
（ 2 ） 求 出 在 点 处 的 切 线 方 程 ， 转 化 为 无 解 ， 构 造
，求导得到其单调性，证明出无解，故证毕；
（3）求出切线方程，得到 的一个2度点当且仅当关于 的方程 恰有两
个不同的实数解，设 ，分 ， 与 三种情况，进行求解.
【小问1详解】
第 21 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
设 ，则曲线 在点 处的切线方程为 ．
则该切线过点 当且仅当 ，即 ． 故原点 是函数 的一个1度点，
该切线过点 ，故 ，
令 ，则 ，令 得 ，令 得 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
在 处取得极小值，也时最小值，且 ，
故 无解，点 不是函数 的一个1度点
【小问2详解】
设 ， ，
则曲线 在点 处的切线方程为 ．
则该切线过点 当且仅当 （*）．
设 ，则当 时， ，故 在区间 上严格增．
因此当 时， ，（*）恒不成立，即点 是 的一个0度点．
【小问3详解】
，
对任意 ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
故点 为函数 的一个2度点当且仅当关于 的方程 恰有两个不同
的实数解．
设 ． 则点 为函数 的一个2度点当且仅当 两个不同的零
第 22 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
点．
若 ，则 在 上严格增，只有一个实数解，不合要求．
若 ，因为 ，解得 有两个驻点 ．
由 或 时 得 严格增；而当 时 ，得 严格减．
故 在 时取得极大值 ，在 时取得极小值 ．
又因为 ， ，
所以当 时，由零点存在定理， 在 、 、 上各有一个零点，不
合要求；
当 时， 仅 上有一个零点，不合要求；
当 时， 仅 上有一个零点，也不合要求．
故 两个不同的零点当且仅当 或 ．
若 ，同理可得 两个不同的零点当且仅当 或 ．
综上， 的全体2度点构成的集合为 或 ．
【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使
用书上的概念.
第 23 页 共 24 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
第 24 页 共 24 页
